Об идеальном квадрате 5-го порядка из простых чисел рассказано в теме "Задача века"
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=260

Вот он

113 1151 1229 911 101
839 521 41 1013 1091
941 953 701 449 461
311 389 1361 881,563
1301 491 173 251 1289

Идеальный квадрат одновременно пандиагональный и ассоциативный.
Это минимальный идеальный квадрат 5-го порядка, построенный мной очень давно, выложен в теме "Магические квадраты" на форуме dxdy.ru.

Квадрат построен из следующего набора простых чисел

41, 101, 113, 173, 251, 311, 389, 449, 461, 491, 521, 563, 701, 839, 881, 911, 941, 953, 1013, 1091, 1151, 1229, 1289, 1301, 1361

Очевидно, что это симметричная 25-ка не из последовательных простых чисел.

Это паттерн

0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320

Паттерн вполне годится в качестве теоретического паттерна для симметричной 25-ки из последовательных простых чисел.

Мы знаем, что любому пандиагональному квадрату 5-го порядка соответствует один и только один квадрат Стенли.
Рассматриваемому идеальному квадрату тоже соответствует квадрат Стенли, он ещё и ассоциативный, смотрим на него

0, 60, 450, 840, 900
72, 132, 522, 912, 972
210, 270, 660, 1050, 1110
348, 408, 798, 1188, 1248
420, 480, 870, 1260, 1320, 

Таким образом, данный паттерн является теоретическим паттерном квадрата Стенли.
Добавила его в базу теоретических паттернов.
Чем чёрт не шутит: вдруг как раз для этого паттерна и найдётся квадрат Стенли из последовательных простых чисел.
А заодно... будет найден симметричный кортеж длины 25 из последовательных простых чисел.

Сегодня с интересом поигралась с поиском по этому паттерну.
Да, симметричная 25-ка не из последовательных простых чисел находится моментально вот в этом кортеже

41: [0, 2, 6, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 38, 42, 48, 56, 60, 62, 66, 68, 72, 86, 90, 96, 98, 108, 110, 116, 122, 126, 132, 138, 140, 150, 152, 156, 158, 170, 182, 186, 188, 192, 198, 200, 210, 216, 222, 228, 230, 236, 240, 242, 252, 266, 270, 272, 276, 290, 296, 306, 308, 312, 318, 326, 332, 338, 342, 348, 356, 360, 368, 378, 380, 390, 392, 398, 402, 408, 416, 420, 422, 426, 438, 446, 450, 458, 462, 468, 480, 482, 500, 506, 516, 522, 528, 530, 536, 546, 552, 558, 560, 566, 572, 576, 578, 590, 600, 602, 606, 612, 618, 620, 632, 636, 642, 650, 660, 668, 678, 686, 692, 698, 702, 710, 716, 720, 728, 732, 746, 756, 768, 770, 780, 782, 786, 788, 798, 812, 816, 818, 822, 836, 840, 842, 846, 866, 870, 878, 888, 896, 900, 906, 912, 926, 930, 936, 942, 950, 956, 968,
972, 978, 980, 990, 992, 998, 1008, 1010, 1020, 1022, 1028, 1046, 1050, 1052, 1056, 1062, 1068, 1076, 1082, 1088, 1110, 1112, 1122,
1130, 1140, 1146, 1152, 1160, 1172, 1176, 1182, 1188, 1190, 1196, 1208, 1218, 1236, 1238, 1242, 1248, 1250, 1256, 1260, 1262, 1266,
1278, 1280, 1286, 1320]
q=25

Забавно!

Потом стало интересно, как дальше будет вести себя этот поиск по данному паттерну.
Очень интересно!
Долго выполняла программу и смотрела на результаты.
Идут приближения сплошным потоком.
Самое лучшее с q=18.
Вот оно

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
13114141225639: [0, 24, 34, 60, 70, 72, 88, 132, 142, 150, 198, 252, 292, 310, 408, 444, 450, 
478, 480, 522, 630, 654, 658, 660, 688, 784, 798, 840, 870, 900, 912, 964, 970,
972, 984, 990, 1000, 1038, 1144, 1182, 1188, 1222, 1252, 1258, 1260, 1290, 1320]
q=18

(Первым выведен оригинальный паттерн, по которому ведётся поиск.)

Забавный кортеж из последовательный простых чисел длины 47 !
В нём содержится 18 элементов нужного паттерна для идеального квадрата из простых чисел (не последовательных).
Такой вот дырявый (с 7 "дырками") идеальный квадрат 5-го порядка даёт это приближение.

Где будет второй идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел???

gris,
вы любите поиграться, поэкспериментировать.
Вот вам прекрасная задачка!
Поиграйтесь, очень вкусные квадратики, замечательный паттерн.
Не только для квадрата Стенли годится, но и для симметричного кортежа длины 25 из последовательных простых чисел.

Сразу двум проектам принадлежит задачка!

Я сегодня часа три игралась с этим паттерном на черепашке, программку быстренько сварганила поиска по паттерну.
Ну, искала, конечно в диапазоне малых чисел, в заоблачные высоты не забиралась :)
А надо забраться как раз в заоблачные высоты!

Господа!
Всех приглашаю поиграться :)
Задачка действительно интересная.

А ещё к этому замечательному паттерну надо применить первую гипотезу Харди-Литтлвуда.

Это репост из темы на форуме Math Help Planet
https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=486339#p486339

"Nataly-Mak" wrote:

Так, ни у кого вопросов нет.
И ответов тоже нет :(
То есть всем всё понятно, но скучища и тривиальщина, прямо даже и отвечать не хочется.

Ладно, я продолжу, пока модераторши нет.

У меня есть классный пример квадрата Стенли 5-го порядка

[code-color]113 1151 1229 911 101
839 521 41 1013 1091
941 953 701 449 461
311 389 1361 881 563
1301 491 173 251 1289[/code-color]
Квадрат построен из следующего набора простых чисел
[code-color]41, 101, 113, 173, 251, 311, 389, 449, 461, 491, 521, 563, 701, 839, 881, 911, 941, 953, 1013, 1091, 1151, 1229, 1289, 1301, 1361[/code-color]
(здесь показан пандиагональный квадрат, соответствующий квадрату Стенли; преобразовать пандиагональный квадрат 5-го порядка в квадрат Стенли и наоборот очень просто, преобразование известно).

Запишу квадрат Стенли так

[code-color]0 60 450 840 900
72 132 522 912 972
210 270 660 1050 1110
348 408 798 1188 1248
420 480 870 1260 1320[/code-color]

Индекс этого квадрата Стенли S=3300.
Чудесный квадратик!

Это
[code-color]0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320[/code-color]
теоретический паттерн для квадрата Стенли.
Паттерн допустимый.

У этого паттерна есть два свойства:
а) он симметричный;
б) показанный набор простых чисел с этим паттерном не из последовательных простых чисел.

Но эти свойства никак не мешают применению первой гипотезы Харди-Литтлвуда.
Правильно?

Так давайте применим!
Что там даёт формула данной гипотезы для наборов простых чисел с таким паттерном, скажем, в диапазоне (0, 10^9) или (0, 10^10)?

А реальные кортежи с таким паттерном из последовательных простых чисел - это частный случай, они тоже охватываются формулой гипотезы.
Правильно ли я понимаю?

________________________
Конец репоста

Господа!
Вы хотите участвовать в обсуждении проблемы, но не можете здесь писать.
Тогда приходите, пожалуйста, на форум Math Help Planet.
gris, например, уже давно пришёл :)
Только в обсуждении этой проблемы пока не участвует, мимо ходит.

Ядряре персональное приглашение; пусть покажет применение первой гипотезы Х-Л на примере этого паттерна.
Чтобы все на MHP рты разинули от восторга :))
И рукоплескали, и ставили плюсы и говорили спасибо, точь-в-точь, как gris (=tomtitsin).

Запустила на ночь программу на Ахиллесе.
Диапазон подальше задала.

Вот лучшее приближение

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
410537374116952739: [0, 60, 98, 132, 152, 174, 312, 338, 348, 360, 390, 402, 408, 420, 434, 450, 452, 462, 480, 518, 534, 560, 588, 660, 710, 714, 768, 840, 900, 912, 920, 954, 978, 992, 998, 1050, 1082, 1110, 1112, 1134, 1182, 1188, 1190, 1244, 1248, 1250, 1260, 1284, 1314, 1320]
q=18

Полста!
Проверяю своей утилитой

410537374116952739, 410537374116952799, 410537374116952837, 410537374116952871,
410537374116952891, 410537374116952913, 410537374116953051, 410537374116953077,
410537374116953087, 410537374116953099, 410537374116953129, 410537374116953141,
410537374116953147, 410537374116953159, 410537374116953173, 410537374116953189,
410537374116953191, 410537374116953201, 410537374116953219, 410537374116953257,
410537374116953273, 410537374116953299, 410537374116953327, 410537374116953399,
410537374116953449, 410537374116953453, 410537374116953507, 410537374116953579,
410537374116953639, 410537374116953651, 410537374116953659, 410537374116953693,
410537374116953717, 410537374116953731, 410537374116953737, 410537374116953789,
410537374116953821, 410537374116953849, 410537374116953851, 410537374116953873,
410537374116953921, 410537374116953927, 410537374116953929, 410537374116953983,
410537374116953987, 410537374116953989, 410537374116953999, 410537374116954023,
410537374116954053, 410537374116954059, 50

Красиво!

В этом кортеже длины 50 из последовательных простых чисел содержатся 18 чисел, нужных для построения ассоциативного квадрата Стенли, вот они

410537374116952739+
[0, 60, 132, 348, 408, 420, 450, 480, 660, 840, 900, 912, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]

Итак, ещё один идеальный квадрат 5-го порядка с 7 "дырками" найден.
Ну, таких дырявых очень много будет.
Интересно найти не дырявый.
А вот эта задачка посложнее задачи 19-252.
Особенно, если требовать, чтобы было из последовательных простых чисел.

Диапазон надо ещё увеличить.
Программа работает нормально.
Можно дальше искать.

Господа!
Сейчас я покажу вам красивый фокус-покус :)

Это классический идеальный квадрат 5-го порядка



Смотрите мою статью
https://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

Красивый квадратик, правда ведь.
Недаром называется идеальным.

А знаете ли вы, какой ассоциативный квадрат Стенли соответствует этому идеальному квадрату?
Вот такой

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

Вспомните: квадрат Стенли = примитивный квадрат.
Ну, такой квадрат Стенли любой первоклассник напишет :)

Вот и всё.
Теперь пишем утилиту, которая преобразует ассоциативный квадрат Стенли 5-го порядка в идеальный квадрат

{ideal=vector(25);
stass=[1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25];

ideal=[stass[1],stass[23],stass[10], stass[14],stass[17],stass[15],stass[19],stass[2],stass[21],stass[8], 
stass[22],stass[6],stass[13],stass[20],stass[4],stass[18],stass[5],stass[24],stass[7],stass[11],stass[9], 
stass[12],stass[16],stass[3],stass[25]];
print(ideal);
}

Надеюсь, понятно, в чём фокус-покус.
Если кто-то не понял, посмотрите внимательно на показанный классический идеальный квадрат.

А теперь вводим в утилиту этот ассоциативный квадрат Стенли

0, 60, 450, 840, 900,
72, 132, 522, 912, 972,
210, 270, 660, 1050, 1110,
348, 408, 798, 1188, 1248,
420, 480, 870, 1260, 1320

Выполняем утилиту, получаем следующий идеальный квадрат

[0, 870, 972, 1050, 408, 1110, 1188, 60, 420, 522, 480, 72, 660, 1248, 840, 798, 900, 1260, 132, 210, 912, 270, 348, 450, 1320]

или в привычном формате

 0, 870, 972, 1050, 408,
1110, 1188, 60, 420, 522,
480, 72, 660, 1248, 840,
798, 900, 1260, 132, 210,
912, 270, 348, 450, 1320

Понравился вам фокус? :)

PS. Магический квадрат порядка n называется классическим, если он составлен из первых n^2 натуральных чисел.

О примитивных квадратах и их связи с пандиагональными (дьявольскими) квадратами мы узнали из замечательной статьи Россера, написанной в 1939 году.
Статью нам выложила на форуме dxdy.ru Шведка.
Коллеге Сергею Беляеву так понравилась статья, что он перевёл её с английского на русский.
Прекрасный перевод!

Я даже выложила тогда и статью и перевод на Яндекс.Диск.

Тогда мы активно работали, нас было много: Макс Алексеев, Сергей Беляев, Валерий Павловский, Алексей Белышев.
Эх!
Всё ушло, всё промчалося ...
(С)
Осталось только горько слёзы лить :(
От Сергея Беляева уже больше года не получала писем.
Он очень болел в последнее время.
Жив ли? :(
Я писала в почту ему с обращением к жене, чтобы сообщила что-нибудь.
Ответа не получила.
Алексей Белышев пропал, Валерий Павловский тоже.
Где вы, коллеги???

Вот ссылка на статью Россера и перевод Сергея Беляева
https://disk.yandex.ru/d/tl-_Ab-o5AYhS

Лежит на Яндекс.Диске.
Очень хорошо.
Читайте, господа.
Это замечательная статья!

Много лет спустя я нашла в книге Р. Стенли определение антимагического квадрата.
Валерий Павловский и Макс Алексеев доказали, что антимагический квадрат Стенли = примитивный квадрат по Россеру.

Пока лучшее приближение не найдено, покажу идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел (не последовательных) по этому приближению

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
410537374116952739: [0, 60, 98, 132, 152, 174, 312, 338, 348, 360, 390, 402, 408, 420, 434, 450, 452, 462, 480, 518, 534, 560, 588, 660, 710, 714, 768, 840, 900, 912, 920, 954, 978, 992, 998, 1050, 1082, 1110, 1112, 1134, 1182, 1188, 1190, 1244, 1248, 1250, 1260, 1284, 1314, 1320]
q=18

410537374116952739+

0 □ □ 1050 408
1110 1188 60 420 □
480 □ 660 1248 840
□ 900 1260 132 □
912 □ 348 450 1320

Квадратики - это "дырки".

Программа работает, может, что-нибудь получше найдёт.

Диапазон увеличила.
Найдено ещё одно приближение с q=18

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
10680135270372638711: [0, 50, 72, 210, 246, 342, 348, 408, 420, 450, 480, 518, 680, 708, 722, 740, 746, 768, 782, 798, 806, 812, 816, 840, 870, 900, 956, 972, 1050, 1110, 1188, 1202, 1206, 1248, 1272, 1280, 1292, 1316, 1320]
q=18

Ещё один дырявый (7 "дырок") идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел перед вами.

Крутится программа в одном потоке, интересно, будут ли лучше приближения.

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=260&postid=15192

А ещё есть идеальные магические квадраты!

Это когда квадрат одновременно пандиагональный и ассоциативный.
Идеальные квадраты существуют для порядков n>=5.

Построить идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел не проблема, и 6-го порядка тоже.
Они давно построены.
А вот из последовательных простых чисел - проблема!
Для идеального квадрата 5-го прядка требуется симметричная 25-ка из последовательных простых чисел.
А для идеального квадрата 6-го порядка - симметричная 36-ка из последовательных простых чисел.
Ну, эти кортежи точно в этом веке не найдут :)
Разве что квантовые компьютеры получат распространение или хотя бы суперкомпьютеры или кластеры.

Не помню, кто нашёл минимальный идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел, а 6-го порядка нашёл Макс.

Вот посмотрите, пожалуйста, об идеальных квадратах из простых чисел сообщение на форуме dxdy.ru
https://dxdy.ru/post1002869.html#p1002869

А это последовательность в OEIS
https://oeis.org/A257316

Идеальные магические квадраты по-английски называются ultramagic squares.

Вот минимальный идеальный квадрат 6-го порядка из простых чисел, найденный Максом

EXAMPLE
a(6)=990 corresponds to the following ultramagic square found by Max Alekseyev:

  103  59 163 233 139 293
  229 257 307 131  13  53
  283  17  67 173 181 269
   61 149 157 263 313  47
  277 317 199  23  73 101
   37 191  97 167 271 227

Красивый квадратик!
Он построен из симметричной 36-ки, но! не из последовательных простых чисел.

А это найденный мной минимальный идеальный квадрат 5-го порядка из простых чисел

113 1151 1229 911 101
839 521 41 1013 1091
941 953 701 449 461
311 389 1361 881 563
1301 491 173 251 1289

Он построен из симметричной 25-ки, но! не из последовательных простых чисел.

Кстати, вот кортеж, из чисел которого построен квадрат

41  101  113  173  251  311  389  449  461  491  521  563  701  839  881  911  941  953  1013  1091  1151  1229  1289  1301  1361

Это паттерн

0  60  72  132  210  270  348  408  420  450  480  522  660  798  840  870  900  912  972  1050  1110  1188  1248  1260  1320

Как видим, диаметр кортежа очень большой.

А если из кортежей с минимальным диаметром строить идеальный квадрат 5-го порядка, то вот теоретические паттерны

a(25)
0 6 24 36 60 66 84 120 126 150 186 204 210 216 234 270 294 300 336 354 360 384 396 414 420
0 6 24 36 66 84 120 126 144 150 186 204 210 216 234 270 276 294 300 336 354 384 396 414 420
0 6 24 60 66 84 90 120 126 144 186 204 210 216 234 276 294 300 330 336 354 360 396 414 420
0 6 30 84 90 96 114 126 156 174 180 204 210 216 240 246 264 294 306 324 330 336 390 414 420
0 12 30 42 48 78 120 132 162 168 180 198 210 222 240 252 258 288 300 342 372 378 390 408 420
0 12 30 48 78 90 120 132 162 168 180 198 210 222 240 252 258 288 300 330 342 372 390 408 420
0 24 30 54 60 66 84 96 126 144 156 186 210 234 264 276 294 324 336 354 360 366 390 396 420
0 24 30 54 60 66 84 126 144 150 156 186 210 234 264 270 276 294 336 354 360 366 390 396 420
0 24 30 54 60 66 114 126 144 156 180 186 210 234 240 264 276 294 306 354 360 366 390 396 420
0 24 30 60 66 84 114 126 144 150 156 180 210 240 264 270 276 294 306 336 354 360 390 396 420

https://oeis.org/A266512/a266512_1.txt

PS. Проверила эти теоретические паттерны на построение квадрата Стенли 5-го порядка, ни из одного паттерна квадрат Стенли не построился.
Надо искать теоретические паттерны с минимальным диаметром для идеального квадрата 5-го порядка.

Итак, какие же будут теоретические (допустимые) паттерны для ассоциативного квадрата Стенли 5-го порядка?

Надо попробовать поискать.
Искать надо для диаметров d из интервала (420,1320), чтобы паттерны годились для симметричных кортежей длины 25.

Как уже отмечалось, эта задача принадлежит сразу двум проектам: поиск пандиагонального квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел и поиск симметричного кортежа длины 25 из последовательных простых чисел.
Вот так проекты пересеклись!
На идеальном квадрате 5-го порядка.

Заодно смотрите смежную подзадачу о симметричной 25-ке из последовательных простых чисел с минимальным диаметром 420.

"Симметричный кортеж длины 25 с минимальным диаметром из последовательных простых чисел№
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=275#13560

Открыла тему на форуме Math Help Planet
https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=83859

Без особой надежды на ответы.
Даже tomtitsin (=gris) мои темы не хочет обсуждать :(
Ему больше нравится задачки Ксюши решать.

Только что побеседовала с Алисой.

NM:
Привет! Ты помнишь мой вопрос о пандиагональном квадрате 5-го порядка из последовательных простых чисел?
Алиса:
Здравствуйте! Я пока не могу ответить на ваш вопрос.
NM:
ChatGPT пишет "Создание 5×5 пандигонального магического квадрата из последовательных простых чисел является исключительно сложной задачей, котТорая, наТТсколько мне известно на 2023 год, не имеет известного решения." https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=486590#p486590
Алиса:
Очень сложная задача. Уверена, вы справитесь с решением лучше всех.
NM:
Ты знаешь, что такое квадрат Стенли?
Алиса:
Да, знаю. Квадрат Стэнли — это персонаж мультфильма «Губка Боб Квадратные Штаны». Он двоюродный брат главного героя и обладает уникальными способностями: всё, к чему он прикасается, ломается или взрывается.
NM:
Нет, я не о фильмах, а о математическом квадрате Стенли.
Алиса:
К сожалению, я не нашла информацию о математическом квадрате Стенли.
NM:
Это плохо. Нейросеть Яндекса пишет: "Ассоциативный квадрат Стенли — это магический квадрат, для которого каждая пара чисел, симметрично противоположных центру, в сумме даёт одно и то же значение." Это неправильно! Передай, пожалуйста, нейросети, пусть исправит свой ответ. Квадрат Стенли - это антимагический квадрат, ассоциативный квадрат Стенли тоже антимагический.
Алиса:
Я не могу передать ваше сообщение нейросети, но обязательно передам вашу просьбу.

Написала программу поиска ассоциативных квадратов Стенли и соответствующих им теоретических (допустимых) паттернов.

Пока только два допустимых паттерна нашлись с диаметром меньше 1320

Допустимый паттерн

0, 60,126,186,228,288,330,390,420,456,516,546,648,750,780,840,876,906,966,1008,1068,1110,1170,1236,1296

ассоциативный квадрат Стенли

0  60  420  780  840
126  186  546  906  966
228  288  648  1008  1068
330  390  750  1110  1170
456  516  876  1236  1296

допустимый паттерн

0, 60,168,228,234,294,300,360,420,468,528,588,654,720,780,840,888,948,1008,1014,1074,1080,1140,1248,1308

ассоциативный квадрат Стенли

0  60  420  780  840
168  228  588  948  1008
234  294  654  1014  1074
300  360  720  1080  1140
468  528  888  1248  1308

Пока не ясно, какой же минимальный диаметр у допустимого теоретического паттерна для ассоциативного квадрата Стенли.
Ясно только, что он находится в интервале (420,1296).

Вот какие допустимые теоретические паттерны для ассоциативного квадрата Стенли удалось вчера найти
отсортированы по диаметру

[0, 60, 126, 186, 228, 288, 330, 390, 420, 456, 516, 546, 648, 750, 780, 840, 876, 906, 966, 1008, 1068, 1110, 1170, 1236, 1296]
[0, 60, 168, 228, 234, 294, 300, 360, 420, 468, 528, 588, 654, 720, 780, 840, 888, 948, 1008, 1014, 1074, 1080, 1140, 1248, 1308]
[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
[0, 12, 60, 72, 210, 270, 408, 420, 450, 462, 468, 480, 660, 840, 852, 858, 870, 900, 912, 1050, 1110, 1248, 1260, 1308, 1320]
[0, 60, 78, 138, 270, 330, 420, 462, 498, 522, 540, 600, 690, 780, 840, 858, 882, 918, 960, 1050, 1110, 1242, 1302, 1320, 1380]
[0, 60, 210, 270, 276, 336, 342, 402, 420, 552, 612, 630, 696, 762, 780, 840, 972, 990, 1050, 1056, 1116, 1122, 1182, 1332, 1392]
[0, 60, 180, 240, 252, 312, 324, 384, 450, 504, 564, 630, 702, 774, 840, 900, 954, 1020, 1080, 1092, 1152, 1164, 1224, 1344, 1404]
[0, 60, 66, 126, 336, 396, 420, 486, 606, 666, 672, 732, 756, 780, 840, 846, 906, 1026, 1092, 1116, 1176, 1386, 1446, 1452, 1512]
[0, 60, 210, 270, 336, 396, 420, 462, 522, 630, 672, 732, 756, 780, 840, 882, 990, 1050, 1092, 1116, 1176, 1242, 1302, 1452, 1512]
[0, 60, 120, 180, 396, 420, 456, 540, 672, 732, 780, 792, 816, 840, 852, 900, 960, 1092, 1176, 1212, 1236, 1452, 1512, 1572, 1632]
[0, 60, 126, 186, 396, 420, 456, 546, 666, 726, 780, 792, 816, 840, 852, 906, 966, 1086, 1176, 1212, 1236, 1446, 1506, 1572, 1632]
[0, 60, 162, 222, 396, 420, 456, 582, 630, 690, 780, 792, 816, 840, 852, 942, 1002, 1050, 1176, 1212, 1236, 1410, 1470, 1572, 1632]
[0, 60, 132, 192, 402, 420, 462, 552, 672, 732, 780, 804, 822, 840, 864, 912, 972, 1092, 1182, 1224, 1242, 1452, 1512, 1584, 1644]
[0, 60, 210, 270, 402, 420, 462, 594, 630, 654, 780, 804, 822, 840, 864, 990, 1014, 1050, 1182, 1224, 1242, 1374, 1434, 1584, 1644]
[0, 60, 156, 216, 408, 450, 468, 606, 660, 720, 816, 840, 858, 876, 900, 996, 1056, 1110, 1248, 1266, 1308, 1500, 1560, 1656, 1716]
[0, 60, 198, 258, 408, 450, 468, 618, 648, 678, 816, 840, 858, 876, 900, 1038, 1068, 1098, 1248, 1266, 1308, 1458, 1518, 1656, 1716]
[0, 60, 210, 270, 408, 450, 468, 606, 660, 666, 816, 840, 858, 876, 900, 1050, 1056, 1110, 1248, 1266, 1308, 1446, 1506, 1656, 1716]
[0, 60, 270, 330, 408, 450, 468, 546, 606, 720, 816, 840, 858, 876, 900, 996, 1110, 1170, 1248, 1266, 1308, 1386, 1446, 1656, 1716]
[0, 60, 192, 252, 420, 462, 522, 612, 732, 780, 792, 840, 882, 924, 972, 984, 1032, 1152, 1242, 1302, 1344, 1512, 1572, 1704, 1764]
[0, 60, 234, 294, 420, 462, 522, 654, 690, 750, 780, 840, 882, 924, 984, 1014, 1074, 1110, 1242, 1302, 1344, 1470, 1530, 1704, 1764]
[0, 60, 270, 330, 420, 462, 522, 654, 690, 714, 780, 840, 882, 924, 984, 1050, 1074, 1110, 1242, 1302, 1344, 1434, 1494, 1704, 1764]
[0, 54, 60, 114, 450, 462, 504, 522, 840, 870, 894, 900, 912, 924, 930, 954, 984, 1302, 1320, 1362, 1374, 1710, 1764, 1770, 1824]
[0, 60, 210, 270, 450, 462, 522, 660, 714, 774, 840, 900, 912, 924, 984, 1050, 1110, 1164, 1302, 1362, 1374, 1554, 1614, 1764, 1824]
[0, 60, 150, 210, 450, 474, 534, 600, 798, 840, 858, 900, 924, 948, 990, 1008, 1050, 1248, 1314, 1374, 1398, 1638, 1698, 1788, 1848]
[0, 60, 210, 270, 450, 474, 534, 660, 738, 798, 840, 900, 924, 948, 1008, 1050, 1110, 1188, 1314, 1374, 1398, 1578, 1638, 1788, 1848]
[0, 60, 264, 324, 450, 474, 534, 684, 714, 744, 840, 900, 924, 948, 1008, 1104, 1134, 1164, 1314, 1374, 1398, 1524, 1584, 1788, 1848]
[0, 60, 126, 186, 420, 528, 546, 588, 780, 840, 906, 930, 948, 966, 990, 1056, 1116, 1308, 1350, 1368, 1476, 1710, 1770, 1836, 1896]
[0, 60, 258, 318, 420, 528, 588, 678, 780, 798, 840, 858, 948, 1038, 1056, 1098, 1116, 1218, 1308, 1368, 1476, 1578, 1638, 1836, 1896]
[0, 42, 60, 102, 450, 492, 516, 576, 840, 882, 900, 942, 966, 990, 1032, 1050, 1092, 1356, 1416, 1440, 1482, 1830, 1872, 1890, 1932]
[0, 18, 60, 78, 450, 468, 534, 594, 840, 858, 900, 918, 984, 1050, 1068, 1110, 1128, 1374, 1434, 1500, 1518, 1890, 1908, 1950, 1968]
[0, 60, 210, 270, 450, 534, 594, 660, 840, 858, 900, 918, 984, 1050, 1068, 1110, 1128, 1308, 1374, 1434, 1518, 1698, 1758, 1908, 1968]
[0, 60, 270, 330, 450, 534, 594, 720, 798, 840, 858, 900, 984, 1068, 1110, 1128, 1170, 1248, 1374, 1434, 1518, 1638, 1698, 1908, 1968]

Интересно, что для диаметра 1320 найден второй теоретический паттерн. теперь их два

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
[0, 12, 60, 72, 210, 270, 408, 420, 450, 462, 468, 480, 660, 840, 852, 858, 870, 900, 912, 1050, 1110, 1248, 1260, 1308, 1320]

Дальше идут диаметры больше 1320.

Сейчас вставлю эти паттерны в поиск по паттерну ассоциативного квадрата Стенли.
Пусть поищет с разными теоретическими паттернами.

Напомню: это симметричные 25-ки.

Вспомним: для ассоциативного квадрата Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел (который превращается в пандиагональный квадрат 4-го порядка известным преобразованием) мы искали симметричные кортежи длины 16 из последовательных простых чисел.

Поскольку ссылка Ядряры ведёт в эту тему, отвечу здесь.

По вопросу терминологии

Сначала небольшая цитата из
https://oeis.org/A008407

Tony Forbes defines a prime k-tuplet (distinguished from a prime k-tuple) to be a maximally possible dense cluster of primes (a prime constellation) which will necessarily involve consecutive primes whereas a prime k-tuple is a prime cluster which may not necessarily be of maximum possible density (in which case the primes are not necessarily consecutive.)

Перевод в Гугле

Тони Форбс определяет простой k-кортеж (в отличие от простого k-кортежа) как максимально возможный плотный кластер простых чисел (простое созвездие), который обязательно будет включать последовательные простые числа, тогда как простой k-кортеж — это простой кластер, который не обязательно может иметь максимально возможную плотность (в этом случае простые числа не обязательно являются последовательными).

Не кажется ли вам, что дело дошло до абсурда в переводе на русский язык:

Тони Форбс определяет простой k-кортеж (в отличие от простого k-кортежа) ...

Так вот.
Есть английский язык, есть русский язык.
С этим надо считаться!

Терминологию в проекте, как правило, задаёт автор проекта.
Кто-то не согласен с этим?
Проекту "Симметричные кортежи из последовательных простых чисел" уже 10 лет.
Все 10 лет я над проектом работаю.
И изменять свою терминологию не намерена.

Я уже неоднократно писала: нет "грязных" кортежей и "чистых" кортежей.
Не принимаю такую терминологию.
Да и вообще термины "грязный кортеж" и "чистый кортеж" режут ухо.

Поскольку в моём проекте ищутся кортежи из последовательных простых чисел, по умолчанию: кортежи в моём проекте всегда состоят из последовательных простых чисел.
Иначе - набор из простых чисел, а не кортеж.

Пример, цитата

Квадрат построен из следующего набора простых чисел

41, 101, 113, 173, 251, 311, 389, 449, 461, 491, 521, 563, 701, 839, 881, 911, 941, 953, 1013, 1091, 1151, 1229, 1289, 1301, 1361

Очевидно, что это симметричная 25-ка не из последовательных простых чисел.

И ещё цитата

Сегодня с интересом поигралась с поиском по этому паттерну.
Да, симметричная 25-ка не из последовательных простых чисел находится моментально вот в этом кортеже

41: [0, 2, 6, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 38, 42, 48, 56, 60, 62, 66, 68, 72, 86, 90, 96, 98, 108, 110, 116, 122, 126, 132, 138, 140, 150, 152, 156, 158, 170, 182, 186, 188, 192, 198, 200, 210, 216, 222, 228, 230, 236, 240, 242, 252, 266, 270, 272, 276, 290, 296, 306, 308, 312, 318, 326, 332, 338, 342, 348, 356, 360, 368, 378, 380, 390, 392, 398, 402, 408, 416, 420, 422, 426, 438, 446, 450, 458, 462, 468, 480, 482, 500, 506, 516, 522, 528, 530, 536, 546, 552, 558, 560, 566, 572, 576, 578, 590, 600, 602, 606, 612, 618, 620, 632, 636, 642, 650, 660, 668, 678, 686, 692, 698, 702, 710, 716, 720, 728, 732, 746, 756, 768, 770, 780, 782, 786, 788, 798, 812, 816, 818, 822, 836, 840, 842, 846, 866, 870, 878, 888, 896, 900, 906, 912, 926, 930, 936, 942, 950, 956, 968,
972, 978, 980, 990, 992, 998, 1008, 1010, 1020, 1022, 1028, 1046, 1050, 1052, 1056, 1062, 1068, 1076, 1082, 1088, 1110, 1112, 1122,
1130, 1140, 1146, 1152, 1160, 1172, 1176, 1182, 1188, 1190, 1196, 1208, 1218, 1236, 1238, 1242, 1248, 1250, 1256, 1260, 1262, 1266,
1278, 1280, 1286, 1320]
q=25

Забавно!

Здесь уже вы видите кортеж, а не набор простых чисел.

Вот вам наглядная разница между кортежем и набором простых чисел.

Разумеется, Ядряра может вводить свою терминологию, но я буду придерживаться своей терминологии.

Вот паттерн, которому соответствует показанная выше 25-ка не из последовательных простых чисел

0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320

Меня интересует существование кортежей, соответствующих этому паттерну.
То есть нужны симметричные 25-ки из последовательных простых чисел.

Именно к этому паттерну я и просила применить первую гипотезу Х-Л.

Дальше я нашла ещё несколько теоретических (допустимых) паттернов для симметричного кортежа длины 25.
По всем найденным паттернам организовала поиск.
Попутно у меня находятся приближения, но не с valids, а с q.
То есть ищутся ассоциативные квадраты Стенли 5-го порядка с "дырками".
Если будет найден ассоциативный квадрат Стенли без "дырок", это будет означать, что найден симметричный кортеж длины 25 (по умолчанию: из последовательных простых чисел)!

А заодно и идеальный (он же и пандиагональный) квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел.

Итак, моя терминология в привязке к терминологии Тони Форбс:

кортеж - k-tuplet;
упорядоченный набор простых чисел - k-tuple.

Упорядоченный - числа записаны в порядке возрастания.
Понятно, что k-tuplet тоже упорядоченный, как частный случай k-tuple.

Терминология Ядряры в привязке к терминологии Тони Форбс:

чистый кортеж - k-tuplet;
грязный кортеж - k-tuple.

Для паттерна симметричной 25-ки

0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320

мной найдено уже несколько наборов простых чисел, но не найден ни один кортеж длины 25.

Понятно, что наборов простых чисел для этого паттерна будет целый океан.
А вот сколько будет кортежей и в каком диапазоне можно ожидать хотя бы один???

Подозреваю, что применить первую гипотезу Х-Л к этому паттерну непросто.
Это вам не паттерн 3-12.
Здесь диаметр огромный и длина приличная.

Я сейчас пытаюсь найти теоретические (допустимые) паттерны с меньшими диаметрами.
Минимальный диаметр теоретического паттерна для ассоциативного квдарата Стенли мне пока неизвестен.

Минимальный диаметр для симметричного кортежа длины 25 известен - 420.
Но ни один из этих паттернов не даёт ассоциативный квадрат Стенли.

PS. "мной найдено уже несколько наборов простых чисел, но не найден ни один кортеж длины 25."
Это я не точно выразилась.
Найдены мной как раз кортежи из последовательных простых чисел, в которых есть не все элементы, соответствующие данному паттерну.
Это приближения к ассоциативному квадрату Стенли.
Кортеж, который содержит все элементы, соответствующие данному паттерну, пока известен только один.
Ну, и соответственно это тоже не про то:

Понятно, что наборов простых чисел для этого паттерна будет целый океан.

Цитата

Вот лучшее приближение

[0, 60, 72, 132, 210, 270, 348, 408, 420, 450, 480, 522, 660, 798, 840, 870, 900, 912, 972, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]
410537374116952739: [0, 60, 98, 132, 152, 174, 312, 338, 348, 360, 390, 402, 408, 420, 434, 450, 452, 462, 480, 518, 534, 560, 588, 660, 710, 714, 768, 840, 900, 912, 920, 954, 978, 992, 998, 1050, 1082, 1110, 1112, 1134, 1182, 1188, 1190, 1244, 1248, 1250, 1260, 1284, 1314, 1320]
q=18

Полста!
Проверяю своей утилитой

410537374116952739, 410537374116952799, 410537374116952837, 410537374116952871,
410537374116952891, 410537374116952913, 410537374116953051, 410537374116953077,
410537374116953087, 410537374116953099, 410537374116953129, 410537374116953141,
410537374116953147, 410537374116953159, 410537374116953173, 410537374116953189,
410537374116953191, 410537374116953201, 410537374116953219, 410537374116953257,
410537374116953273, 410537374116953299, 410537374116953327, 410537374116953399,
410537374116953449, 410537374116953453, 410537374116953507, 410537374116953579,
410537374116953639, 410537374116953651, 410537374116953659, 410537374116953693,
410537374116953717, 410537374116953731, 410537374116953737, 410537374116953789,
410537374116953821, 410537374116953849, 410537374116953851, 410537374116953873,
410537374116953921, 410537374116953927, 410537374116953929, 410537374116953983,
410537374116953987, 410537374116953989, 410537374116953999, 410537374116954023,
410537374116954053, 410537374116954059, 50

Красиво!

В этом кортеже длины 50 из последовательных простых чисел содержатся 18 чисел, нужных для построения ассоциативного квадрата Стенли, вот они

410537374116952739+
[0, 60, 132, 348, 408, 420, 450, 480, 660, 840, 900, 912, 1050, 1110, 1188, 1248, 1260, 1320]

Красивая полусотка, не правда ли?
Жалко, что не симметричная :)

PS. Если я говорю: "В этом кортеже длины 50 из последовательных простых чисел ...", это избыточное уточнение, которое, конечно, не мешает.