Это цитата

Нашла интересную статью



Насколько я понимаю, свежая статья - 2017 г.
В статье рассматриваются симметричные ЛК, метод их составления, причём весьма интересное определение этих ЛК.
Вот



Здесь в ЛК A опечатка, в последней строке должно быть

4 1 2 3

отсюда
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=32&postid=815#815

Чтобы не путать симметричные ЛК по определению данной статьи с другими видами симметричных ЛК, будем называть этот класс симметричных ЛК диагонально-симметричные ЛК. Далее используется аббревиатура ДС ЛК.
Будем рассматривать ДС ЛК 10-го порядка.

Первый ДС ЛК я построила методом, изложенным в представленной статье.
Вот он



Интересный квадратик!
Это ЛК блочной структуры, причём БС двух видов: с интеркалятами 2х2 и с интеркалятами 5х5,
смотрите здесь
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=41&postid=1371#1371

Вопрос: много ли существенно различных ДС ЛК 10-го порядка можно построить данным методом?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Второй ДС ЛК построен здесь
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=32&postid=818#818

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 2 5 4 7 6 9 8 1 0
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 4 7 6 9 8 1 0 3 2
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 6 9 8 1 0 3 2 5 4
8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 1 0 3 2 5 4 7 6

Построение тоже методом из указанной статьи, только используются блоки 2х2, а не 5х5.
Ну, это хорошо известный нам ЛК блочной структуры (первое семейство) с интеркалятами 2х2.

Тот же самый вопрос: много ли существенно различных ДС ЛК 10-го порядка можно построить данным методом?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Этот очень интересный ДС ЛК я нашла давно в Интернете



Автор этого ЛК А. И. Лямзин, квадрат взят из статьи “ПРИМЕР ПАРЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА"; ссылки у меня нет, в то время я её не скопировала.
Этот ЛК рассматривается в моей статье ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА.
ЛК весьма интересный!
Начать с того, что ортогональные ему соквадраты получаются друг из друга перестановкой строк (или столбцов).
В моей статье на рис 8 приведена ортогональная пара, полученная перестановкой строк, а на рис. 9 - ортогональная пара, полученная аналогичной перестановкой столбцов.
Программа С. Беляева поиска псевдотроек выдаёт следующую псевдотройку для этого ЛК

(1,2) cm=82
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 0 5 8 3 2 7 9 6 4
 2 5 0 6 9 4 3 8 1 7
 3 8 6 0 7 1 5 4 9 2
 4 3 9 7 0 8 2 6 5 1
 5 2 4 1 8 0 9 3 7 6
 6 7 3 5 2 9 0 1 4 8
 7 9 8 4 6 3 1 0 2 5
 8 6 1 9 5 7 4 2 0 3
 9 4 7 2 1 6 8 5 3 0

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 2 5 0 6 9 4 3 8 1 7
 3 8 6 0 7 1 5 4 9 2
 4 3 9 7 0 8 2 6 5 1
 5 2 4 1 8 0 9 3 7 6
 6 7 3 5 2 9 0 1 4 8
 7 9 8 4 6 3 1 0 2 5
 8 6 1 9 5 7 4 2 0 3
 9 4 7 2 1 6 8 5 3 0
 1 0 5 8 3 2 7 9 6 4

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 9 4 7 2 1 6 8 5 3 0
 1 0 5 8 3 2 7 9 6 4
 2 5 0 6 9 4 3 8 1 7
 3 8 6 0 7 1 5 4 9 2
 4 3 9 7 0 8 2 6 5 1
 5 2 4 1 8 0 9 3 7 6
 6 7 3 5 2 9 0 1 4 8
 7 9 8 4 6 3 1 0 2 5
 8 6 1 9 5 7 4 2 0 3

И все три ЛК в этой группе получаются друг из друга перестановкой строк!
Ну, в то время, когда я исследовала этот ЛК, ещё не было программы С. Беляева.

Я в то время написала программу нахождения аналогичной ортогональной пары ЛК. Программа нашла ещё одну аналогичную пару ОЛК, она показана в статье на рис. 24 - 25.

Вопрос тот же: много ли существенно различных ДС ЛК 10-го порядка можно построить по методу, применённому в ЛК Лямзина?

PS. В дальнейших исследованиях я установила, что ЛК Лямзина можно построить по квази-разностной матрице. И конечно, не один вариант!

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Смотрим мою статью "ПОДРОБНО О КВАЗИ-РАЗНОСТНОЙ МАТРИЦЕ"
http://www.natalimak1.narod.ru/quazi.htm

Вот скриншот из статьи, показана квази-разностная матрица и построенная по ней ортогональная пара (исходный ЛК Лямзина немного преобразован)



Довольно интересный метод построения.
Примечание: символьный элемент a равен 9.

Дальше в статье показан ещё вариант квази-разностной матрицы, соответствующий второй ортогональной паре ЛК (см. рис. 28 - 29).

А если строить не ортогональные пары, а только первые ЛК пары, то квази-разностная матрица будет состоять всего из трёх строк (см. рис. 18), при этом варьироваться будет только третья строка.
Можно использовать этот метод (с помощью квази-разностной матрицы) для поиска всех ЛК подобных ЛК Лямзина.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Написала генератор ДС ЛК.
Если ДС ЛК нормализовать, то он обязательно будет редуцированным (см. иллюстрации выше).
Писала программу для редуцированных ЛК.
Генератор работает. Если не наврала в программе, вот первый ДС ЛК, выданный программой

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 
 2  3  0  1  6  7  8  9  4  5 
 3  2  1  0  7  6  9  8  5  4 
 4  5  6  7  8  9  0  1  2  3 
 5  4  7  6  9  8  2  3  1  0 
 6  7  8  9  0  2  4  5  3  1 
 7  6  9  8  1  3  5  4  0  2 
 8  9  4  5  2  1  3  0  6  7 
 9  8  5  4  3  0  1  2  7  6 

Имеем интересный класс ЛК. Надо этот класс тоже проверить программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК.
Я вчера чуть-чуть начала проверку, одна уникальная однушечка найдена.
Но весь класс проверить на ПК не реально.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

ДС ЛК были известны очень давно.
Нашла в своём рабочем файле этот ДС ЛК



Верхний ЛК в нетрадиционной форме записан, и построен он по какому-то древнему алгоритму (в моей давней статье приведён).
Нижний ЛК тот же самый только переведён в традиционную форму записи.

Кстати, этот ЛК не только диагонально-симметричный, он ещё симметричный по Гергели/Брауну, и даже дважды симметричный!
А диагонально-симметричный он не только относительно главной диагонали, но и относительно побочной диагонали.

И это ещё не всё! У этого ЛК блочная структура!
Вот что выдаёт программа Белышева Интеркалятор

срез #1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 5 7 9 0 2 4 6 8
2 5 8 0 3 6 9 1 4 7
3 7 0 4 8 1 5 9 2 6
4 9 3 8 2 7 1 6 0 5
5 0 6 1 7 2 8 3 9 4
6 2 9 5 1 8 4 0 7 3
7 4 1 9 6 3 0 8 5 2
8 6 4 2 0 9 7 5 3 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

{0,9} = 5 : (0,9,0,9) (1,8,4,5) (2,7,3,6) (3,6,2,7) (4,5,1,8) 
{1,8} = 5 : (0,9,1,8) (1,8,0,9) (2,7,2,7) (3,6,4,5) (4,5,3,6) 
{2,7} = 5 : (0,9,2,7) (1,8,3,6) (2,7,0,9) (3,6,1,8) (4,5,4,5) 
{3,6} = 5 : (0,9,3,6) (1,8,1,8) (2,7,4,5) (3,6,0,9) (4,5,2,7) 
{4,5} = 5 : (0,9,4,5) (1,8,2,7) (2,7,1,8) (3,6,3,6) (4,5,0,9) 

Таким образом, установлено, что некоторые ДС ЛК являются ЛК блочной структуры, но далеко не все.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Теперь проверю все диагонально-симметричные ЛК (имеющиеся в этом топике) программой Белышева avtoizor.
Цитата

Первый ДС ЛК я построила методом, изложенным в представленной статье.
Вот он

Для этого ЛК программа выдаёт 2400 автоморфизмов, показываю несколько первых

** 0123456789 3401289567 2340178956 -> (1,41,41)
** 0123456789 4012395678 1234067895 -> (1,41,41)
** 0123456789 5678901234 5678901234 -> (1,31,31)
** 0123456789 6789512340 9567840123 -> (1,42,42)
** 0123456789 7895623401 8956734012 -> (1,42,42)
** 0123456789 8956734012 7895623401 -> (1,42,42)
** 0123456789 9567840123 6789512340 -> (1,42,42)
** 0241357968 0241357968 0314258697 -> (21,21,21)
** 0241357968 1302468579 2031475869 -> (21,21,21)
** 0241357968 2413079685 4203197586 -> (21,21,21)
** 0241357968 3024185796 1420369758 -> (21,21,21)
** 0241357968 4130296857 3142086975 -> (21,21,21)
** 0241357968 5796802413 5869703142 -> (21,36,36)
** 0241357968 6857913024 7586920314 -> (21,36,36)
** 0241357968 7968524130 9758642031 -> (21,36,36)
** 0241357968 8579630241 6975814203 -> (21,36,36)
** 0241357968 9685741302 8697531420 -> (21,36,36)
** 0314258697 0314258697 0241357968 -> (21,21,21)
** 0314258697 1420369758 3024185796 -> (21,21,21)
** 0314258697 2031475869 1302468579 -> (21,21,21)
** 0314258697 3142086975 4130296857 -> (21,21,21)
** 0314258697 4203197586 2413079685 -> (21,21,21)
** 0314258697 5869703142 5796802413 -> (21,36,36)
** 0314258697 6975814203 8579630241 -> (21,36,36)
** 0314258697 7586920314 6857913024 -> (21,36,36)
** 0314258697 8697531420 9685741302 -> (21,36,36)
** 0314258697 9758642031 7968524130 -> (21,36,36)
** 0432159876 0432159876 0432159876 -> (16,16,16)
** 0432159876 1043265987 1043265987 -> (16,16,16)
** 0432159876 2104376598 2104376598 -> (16,16,16)
** 0432159876 3210487659 3210487659 -> (16,16,16)
** 0432159876 4321098765 4321098765 -> (16,16,16)
** 0432159876 5987604321 5987604321 -> (16,31,31)
** 0432159876 6598710432 6598710432 -> (16,31,31)
** 0432159876 7659821043 7659821043 -> (16,31,31)
** 0432159876 8765932104 8765932104 -> (16,31,31)
** 0432159876 9876543210 9876543210 -> (16,31,31)
. . . . . . . . . . 

Кода (4,31, 31) здесь нет.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Цитата

Второй ДС ЛК построен здесь
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=32&postid=818#818

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 2 5 4 7 6 9 8 1 0
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 4 7 6 9 8 1 0 3 2
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 6 9 8 1 0 3 2 5 4
8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 1 0 3 2 5 4 7 6

Построение тоже методом из указанной статьи, только используются блоки 2х2, а не 5х5.
Ну, это хорошо известный нам ЛК блочной структуры (первое семейство) с интеркалятами 2х2.

Для этого ЛК тоже выдаётся 2400 автоморфизмов, первые

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 1032547698 1032547698 -> (1,31,31)
** 0123456789 2345678901 8901234567 -> (1,41,41)
** 0123456789 3254769810 9810325476 -> (1,42,42)
** 0123456789 4567890123 6789012345 -> (1,41,41)
** 0123456789 5476981032 7698103254 -> (1,42,42)
** 0123456789 6789012345 4567890123 -> (1,41,41)
** 0123456789 7698103254 5476981032 -> (1,42,42)
** 0123456789 8901234567 2345678901 -> (1,41,41)
** 0123456789 9810325476 3254769810 -> (1,42,42)
. . . . . . 

А эти два ЛК (данный и показанный в предыдущем посте) изоморфны, как утверждает программа avtoizor, и выдаёт 2400 изоморфизмов, переводящих первый ЛК во второй.
Интересные квадратики!

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Следующий диагонально симметричный ЛК - ЛК Лямзина



Для этого ЛК выдаётся 18 автоморфизмов

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0234567891 0234567891 0912345678 -> (30,30,30)
** 0345678912 0345678912 0891234567 -> (30,30,30)
** 0456789123 0456789123 0789123456 -> (27,27,27)
** 0567891234 0567891234 0678912345 -> (30,30,30)
** 0678912345 0678912345 0567891234 -> (30,30,30)
** 0789123456 0789123456 0456789123 -> (27,27,27)
** 0891234567 0891234567 0345678912 -> (30,30,30)
** 0912345678 0912345678 0234567891 -> (30,30,30)
*T 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)+
*T 0234567891 0234567891 0912345678 -> (30,30,30)+
*T 0345678912 0345678912 0891234567 -> (30,30,30)+
*T 0456789123 0456789123 0789123456 -> (27,27,27)+
*T 0567891234 0567891234 0678912345 -> (30,30,30)+
*T 0678912345 0678912345 0567891234 -> (30,30,30)+
*T 0789123456 0789123456 0456789123 -> (27,27,27)+
*T 0891234567 0891234567 0345678912 -> (30,30,30)+
*T 0912345678 0912345678 0234567891 -> (30,30,30)+

Ни одного из кодов (1,31,31), (16,31,31), (4,31,31) здесь нет.
Напрашивается вывод: диагонально-симметричные ЛК имеют какой-то другой код, отличный от трёх перечисленных.
Интересно: все коды у этого ЛК состоят из одинаковых чисел.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Следующий диагонально-симметричный ЛК получен моим генератором.
Цитата

Написала генератор ДС ЛК.
Если ДС ЛК нормализовать, то он обязательно будет редуцированным (см. иллюстрации выше).
Писала программу для редуцированных ЛК.
Генератор работает. Если не наврала в программе, вот первый ДС ЛК, выданный программой

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 
 2  3  0  1  6  7  8  9  4  5 
 3  2  1  0  7  6  9  8  5  4 
 4  5  6  7  8  9  0  1  2  3 
 5  4  7  6  9  8  2  3  1  0 
 6  7  8  9  0  2  4  5  3  1 
 7  6  9  8  1  3  5  4  0  2 
 8  9  4  5  2  1  3  0  6  7 
 9  8  5  4  3  0  1  2  7  6 

Для этого ЛК программа avtoizor выдаёт всего два автоморфизма

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
*T 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)+

И что? Какой же код у диагональной симметрии будет?
ЛК вроде бы вполне диагонально-симметричный. А выдаётся только код тождественной симметрии.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А этот ЛК диагонально-диагонально симметричный не только относительно главной диагонали, но и относительно побочной диагонали.
Можно сказать, что он дважды диагонально-симметричный :)



Для этого ЛК выдаётся 2400 автоморфизмов, первые 20

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 1357902468 5061728394 -> (1,42,42)
** 0123456789 2580369147 3704815926 -> (1,41,41)
** 0123456789 3704815926 2580369147 -> (1,41,41)
** 0123456789 4938271605 8642097531 -> (1,41,41)
** 0123456789 5061728394 1357902468 -> (1,42,42)
** 0123456789 6295184073 7419630852 -> (1,42,42)
** 0123456789 7419630852 6295184073 -> (1,42,42)
** 0123456789 8642097531 4938271605 -> (1,41,41)
** 0123456789 9876543210 9876543210 -> (1,31,31)
** 0532817649 0532817649 0532817649 -> (16,16,16)
** 0532817649 1075634298 1075634298 -> (16,31,31)
** 0532817649 2608451937 2608451937 -> (16,16,16)
** 0532817649 3140279586 3140279586 -> (16,16,16)
** 0532817649 4783096125 4783096125 -> (16,16,16)
** 0532817649 5216903874 5216903874 -> (16,31,31)
** 0532817649 6859720413 6859720413 -> (16,31,31)
** 0532817649 7391548062 7391548062 -> (16,31,31)
** 0532817649 8924365701 8924365701 -> (16,16,16)
** 0532817649 9467182350 9467182350 -> (16,31,31)
. . . . . . 

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Всё, примеры диагонально-симметричных ЛК у меня закончились.
Код этой симметрии так и не узнала.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Возобновила эксперимент с диагонально-симметричными ЛК.
Покажу симпатичный квадратик, цитата

Встречайте: диагонально-симметричный ЛК, произведённый моим генератором



Лепота!

Как уже отмечалось, генератор ДС ЛК входит в серию генераторов, объединённых в эксперименте мультисимметрия.
Есть генератор №1, о котором ещё не рассказано. Этот генератор у меня постоянно работает в эксперименте мультисимметрия.
Генератор ДС ЛК пусть будет генератор №2.

отсюда
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=125&postid=4019#4019

Перелистывая архив, нашла ещё диагонально-симметричный ЛК, это ЛК Паркера, изображён в двух ракурсах



Этот ЛК обладает следующими симметриями

(1,1,1): 	1
(1,31,31): 	3
(16,16,16): 	1
(16,31,31): 	3
(1,1,1)+: 	1
(1,16,16)+: 	2
(1,31,31)+: 	5
(16,16,16)+: 	1
(16,31,31)+: 	7
(16,41,41)+: 	2
(16,42,42)+: 	2
(31,41,42)+: 	4
(1,16,16)++: 	2
(1,31,31)++: 	2
(16,31,31)++: 	4
(16,41,41)++: 	2
(16,42,42)++: 	2
(31,41,42)++: 	4

и принадлежит семейству БС вида 5х5.

PS. Интересная КФ у этого ЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 5 1 2 8 9 0 6 7 3
5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 8 9 5 6 2 3 4 0 1
8 9 5 6 7 3 4 0 1 2
9 0 6 7 3 4 5 1 2 8

Добавлю сюда ещё одну иллюстрацию с ЛК Паркера: другой ракурс, а также КФ

А это построенный мной вручную диагонально-симметричный ЛК (по образцу ЛК Паркера)



Блочная структура ЛК уже показана.
Этот ЛК обладает следующими симметриями

(1,1,1): 	1
(1,31,31): 	3
(16,16,16): 	1
(16,31,31): 	3
(1,1,1)+: 	1
(1,31,31)+: 	3
(16,16,16)+: 	1
(16,31,31)+: 	3

ЛК не изоморфен ЛК Паркера, по образцу которого был построен.

Ну, а написанный мной генератор производит много-много миллионов диагонально-симметричных ЛК.

Цитата

Написала генератор ДС ЛК.
Если ДС ЛК нормализовать, то он обязательно будет редуцированным (см. иллюстрации выше).
Писала программу для редуцированных ЛК.
Генератор работает. Если не наврала в программе, вот первый ДС ЛК, выданный программой

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8 
 2  3  0  1  6  7  8  9  4  5 
 3  2  1  0  7  6  9  8  5  4 
 4  5  6  7  8  9  0  1  2  3 
 5  4  7  6  9  8  2  3  1  0 
 6  7  8  9  0  2  4  5  3  1 
 7  6  9  8  1  3  5  4  0  2 
 8  9  4  5  2  1  3  0  6  7 
 9  8  5  4  3  0  1  2  7  6 

Для этого ЛК программа avtoizor выдаёт всего два автоморфизма

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
*T 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)+

И что? Какой же код у диагональной симметрии будет?
ЛК вроде бы вполне диагонально-симметричный. А выдаётся только код тождественной симметрии.

Вот сейчас только дошло :)
Все диагонально-симметричные ЛК обладают симметрией (1,1,1)+.
Понятно: диагонально-симметричный ЛК совпадает со своим транспонированным по определению.