Написала программку на PARI/GP и нашла ко всем 17-ам Врублевского паттерны.
Теперь все 17-ки расписаны полностью и с паттернами

6837359459759035391: 0 42 60 66 72 120 126 150 156 162 186 192 240 246 252 270 312
{6837359459759035391, 6837359459759035433, 6837359459759035451, 6837359459759035457, 6837359459759035463, 6837359459759035511,
6837359459759035517, 6837359459759035541, 6837359459759035547, 6837359459759035553, 6837359459759035577, 6837359459759035583,
6837359459759035631, 6837359459759035637, 6837359459759035643, 6837359459759035661, 6837359459759035703}
 
7902083290948579129: 0 12 18 102 132 138 150 168 180 192 210 222 228 258 342 348 360
{7902083290948579129, 7902083290948579141, 7902083290948579147, 7902083290948579231, 7902083290948579261, 7902083290948579267,
7902083290948579279, 7902083290948579297, 7902083290948579309, 7902083290948579321, 7902083290948579339, 7902083290948579351,
7902083290948579357, 7902083290948579387, 7902083290948579471, 7902083290948579477, 7902083290948579489} 

8053379680763235601: 0 18 48 60 102 132 138 150 180 210 222 228 258 300 312 342 360
{8053379680763235601, 8053379680763235619, 8053379680763235649, 8053379680763235661, 8053379680763235703, 8053379680763235733,
8053379680763235739, 8053379680763235751, 8053379680763235781, 8053379680763235811, 8053379680763235823, 8053379680763235829,
8053379680763235859, 8053379680763235901, 8053379680763235913, 8053379680763235943, 8053379680763235961}

11954696436290948869: 0 18 60 78 90 138 144 168 174 180 204 210 258 270 288 330 348
{11954696436290948869, 11954696436290948887, 11954696436290948929, 11954696436290948947, 11954696436290948959, 11954696436290949007,
11954696436290949013, 11954696436290949037, 11954696436290949043, 11954696436290949049, 11954696436290949073, 11954696436290949079,
11954696436290949127, 11954696436290949139, 11954696436290949157, 11954696436290949199, 11954696436290949217}

12196464604998841777: 0 36 84 96 114 120 126 150 180 210 234 240 246 264 276 324 360
{12196464604998841777, 12196464604998841813, 12196464604998841861, 12196464604998841873, 12196464604998841891, 12196464604998841897,
12196464604998841903, 12196464604998841927, 12196464604998841957, 12196464604998841987, 12196464604998842011, 12196464604998842017,
12196464604998842023, 12196464604998842041, 12196464604998842053, 12196464604998842101, 12196464604998842137}

14271237683005753507: 0 24 30 84 96 114 150 156 180 204 210 246 264 276 330 336 360
{14271237683005753507, 14271237683005753531, 14271237683005753537, 14271237683005753591, 14271237683005753603, 14271237683005753621,
14271237683005753657, 14271237683005753663, 14271237683005753687, 14271237683005753711, 14271237683005753717, 14271237683005753753,
14271237683005753771, 14271237683005753783, 14271237683005753837, 14271237683005753843, 14271237683005753867}

17667344133365404873: 0 30 48 84 90 108 114 150 174 198 234 240 258 264 300 318 348
{17667344133365404873, 17667344133365404903, 17667344133365404921, 17667344133365404957, 17667344133365404963, 17667344133365404981,
17667344133365404987, 17667344133365405023, 17667344133365405047, 17667344133365405071, 17667344133365405107, 17667344133365405113,
17667344133365405131, 17667344133365405137, 17667344133365405173, 17667344133365405191, 17667344133365405221}

18462005826764715791: 0 78 90 102 120 162 168 192 210 228 252 258 300 318 330 342 420
{18462005826764715791, 18462005826764715869, 18462005826764715881, 18462005826764715893, 18462005826764715911, 18462005826764715953,
18462005826764715959, 18462005826764715983, 18462005826764716001, 18462005826764716019, 18462005826764716043, 18462005826764716049,
18462005826764716091, 18462005826764716109, 18462005826764716121, 18462005826764716133, 18462005826764716211}

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
{258406392900394343851, 258406392900394343863, 258406392900394343881, 258406392900394343893, 258406392900394343911,
258406392900394343923, 258406392900394343929, 258406392900394343953, 258406392900394343971, 258406392900394343989,
258406392900394344013, 258406392900394344019, 258406392900394344031, 258406392900394344049, 258406392900394344061,
258406392900394344079, 258406392900394344091}

311634572279873026493: 0 18 24 60 78 84 108 138 144 150 180 204 210 228 264 270 288
{311634572279873026493, 311634572279873026511, 311634572279873026517, 311634572279873026553, 311634572279873026571,
311634572279873026577, 311634572279873026601, 311634572279873026631, 311634572279873026637, 311634572279873026643,
311634572279873026673, 311634572279873026697, 311634572279873026703, 311634572279873026721, 311634572279873026757,
311634572279873026763, 311634572279873026781}

384703558068522780559: 0 24 30 42 72 84 90 114 132 150 174 180 192 222 234 240 264
{384703558068522780559, 384703558068522780583, 384703558068522780589, 384703558068522780601, 384703558068522780631,
384703558068522780643, 384703558068522780649, 384703558068522780673, 384703558068522780691, 384703558068522780709,
384703558068522780733, 384703558068522780739, 384703558068522780751, 384703558068522780781, 384703558068522780793,
384703558068522780799, 384703558068522780823}

401276622469261903031: 0 6 12 30 72 90 96 120 126 132 156 162 180 222 240 246 252
{401276622469261903031, 401276622469261903037, 401276622469261903043, 401276622469261903061, 401276622469261903103,
401276622469261903121,401276622469261903127, 401276622469261903151, 401276622469261903157, 401276622469261903163,
401276622469261903187, 401276622469261903193, 401276622469261903211, 401276622469261903253, 401276622469261903271,
401276622469261903277, 401276622469261903283}

443707110791502007579: 0 42 72 84 114 120 132 150 162 174 192 204 210 240 252 282 324
{443707110791502007579, 443707110791502007621, 443707110791502007651, 443707110791502007663, 443707110791502007693,
443707110791502007699, 443707110791502007711, 443707110791502007729, 443707110791502007741, 443707110791502007753,
443707110791502007771, 443707110791502007783, 443707110791502007789, 443707110791502007819, 443707110791502007831,
443707110791502007861, 443707110791502007903}

535010601740877140023: 0 18 54 60 78 84 120 138 144 150 168 204 210 228 234 270 288
{535010601740877140023, 535010601740877140041, 535010601740877140077, 535010601740877140083, 535010601740877140101,
535010601740877140107, 535010601740877140143, 535010601740877140161, 535010601740877140167, 535010601740877140173,
535010601740877140191, 535010601740877140227, 535010601740877140233, 535010601740877140251, 535010601740877140257,
535010601740877140293, 535010601740877140311}

568398209014995678701: 0 6 12 30 42 72 90 96 126 156 162 180 210 222 240 246 252
{568398209014995678701, 568398209014995678707, 568398209014995678713, 568398209014995678731, 568398209014995678743,
568398209014995678773, 568398209014995678791, 568398209014995678797, 568398209014995678827, 568398209014995678857,
568398209014995678863, 568398209014995678881, 568398209014995678911, 568398209014995678923, 568398209014995678941,
568398209014995678947, 568398209014995678953}

702939111495760681807: 0 90 102 132 144 174 180 210 222 234 264 270 300 312 342 354 444
{702939111495760681807, 702939111495760681897, 702939111495760681909, 702939111495760681939, 702939111495760681951,
702939111495760681981, 702939111495760681987, 702939111495760682017, 702939111495760682029, 702939111495760682041,
702939111495760682071, 702939111495760682077, 702939111495760682107, 702939111495760682119, 702939111495760682149,
702939111495760682161, 702939111495760682251}

752853880537802642981: 0 6 12 30 42 72 96 120 126 132 156 180 210 222 240 246 252
{752853880537802642981, 752853880537802642987, 752853880537802642993, 752853880537802643011, 752853880537802643023,
752853880537802643053, 752853880537802643077, 752853880537802643101, 752853880537802643107, 752853880537802643113,
752853880537802643137, 752853880537802643161,752853880537802643191, 752853880537802643203, 752853880537802643221,
752853880537802643227, 752853880537802643233}

1006882292528806742267: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{1006882292528806742267, 1006882292528806742273, 1006882292528806742291, 1006882292528806742303, 1006882292528806742333,
1006882292528806742351, 1006882292528806742357, 1006882292528806742381, 1006882292528806742387, 1006882292528806742393,
1006882292528806742417, 1006882292528806742423, 1006882292528806742441, 1006882292528806742471, 1006882292528806742483,
1006882292528806742501, 1006882292528806742507}

1338977422865229706499: 0 12 24 30 42 54 84 90 132 174 180 210 222 234 240 252 264
{1338977422865229706499, 1338977422865229706511, 1338977422865229706523, 1338977422865229706529, 1338977422865229706541,
1338977422865229706553, 1338977422865229706583, 1338977422865229706589, 1338977422865229706631, 1338977422865229706673,
1338977422865229706679, 1338977422865229706709, 1338977422865229706721, 1338977422865229706733, 1338977422865229706739,
1338977422865229706751, 1338977422865229706763}

2035559077035293441299: 0 12 24 42 54 84 90 114 132 150 174 180 210 222 240 252 264
{2035559077035293441299, 2035559077035293441311, 2035559077035293441323, 2035559077035293441341, 2035559077035293441353,
2035559077035293441383, 2035559077035293441389, 2035559077035293441413, 2035559077035293441431, 2035559077035293441449,
2035559077035293441473, 2035559077035293441479, 2035559077035293441509, 2035559077035293441521, 2035559077035293441539,
2035559077035293441551, 2035559077035293441563}

3954328349097827424397: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{3954328349097827424397, 3954328349097827424403, 3954328349097827424421, 3954328349097827424433, 3954328349097827424463,
3954328349097827424481, 3954328349097827424487, 3954328349097827424511, 3954328349097827424517, 3954328349097827424523,
3954328349097827424547, 3954328349097827424553, 3954328349097827424571, 3954328349097827424601, 3954328349097827424613,
3954328349097827424631, 3954328349097827424637}

4896552110116770789773: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{4896552110116770789773, 4896552110116770789779, 4896552110116770789797, 4896552110116770789809, 4896552110116770789839,
4896552110116770789857, 4896552110116770789863, 4896552110116770789887, 4896552110116770789893, 4896552110116770789899,
4896552110116770789923, 4896552110116770789929, 4896552110116770789947, 4896552110116770789977, 4896552110116770789989,
4896552110116770790007, 4896552110116770790013}

6751407944109046348063: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{6751407944109046348063, 6751407944109046348069, 6751407944109046348087, 6751407944109046348099, 6751407944109046348129,
6751407944109046348147, 6751407944109046348153, 6751407944109046348177, 6751407944109046348183, 6751407944109046348189,
6751407944109046348213, 6751407944109046348219, 6751407944109046348237, 6751407944109046348267, 6751407944109046348279,
6751407944109046348297, 6751407944109046348303}

7768326730875185894807: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{7768326730875185894807, 7768326730875185894813, 7768326730875185894831, 7768326730875185894843, 7768326730875185894873,
7768326730875185894891, 7768326730875185894897, 7768326730875185894921, 7768326730875185894927, 7768326730875185894933,
7768326730875185894957, 7768326730875185894963, 7768326730875185894981, 7768326730875185895011, 7768326730875185895023,
7768326730875185895041, 7768326730875185895047}

19252814175273852997757: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
{19252814175273852997757, 19252814175273852997763, 19252814175273852997781, 19252814175273852997793, 19252814175273852997823,
19252814175273852997841, 19252814175273852997847, 19252814175273852997871, 19252814175273852997877, 19252814175273852997883,
19252814175273852997907, 19252814175273852997913, 19252814175273852997931, 19252814175273852997961, 19252814175273852997973, 
19252814175273852997991, 19252814175273852997997}

20278587540464136529199: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
{20278587540464136529199, 20278587540464136529211, 20278587540464136529229, 20278587540464136529241, 20278587540464136529259,
20278587540464136529271, 20278587540464136529277, 20278587540464136529301, 20278587540464136529319, 20278587540464136529337,
20278587540464136529361, 20278587540464136529367, 20278587540464136529379, 20278587540464136529397, 20278587540464136529409,
20278587540464136529427, 20278587540464136529439}

24300494153317939112651: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
{24300494153317939112651, 24300494153317939112663, 24300494153317939112669, 24300494153317939112681, 24300494153317939112693,
24300494153317939112723, 24300494153317939112729, 24300494153317939112753, 24300494153317939112771, 24300494153317939112789,
24300494153317939112813, 24300494153317939112819, 24300494153317939112849, 24300494153317939112861, 24300494153317939112873,
24300494153317939112879, 24300494153317939112891}

25651315879379564172971: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
{25651315879379564172971, 25651315879379564172983, 25651315879379564172989, 25651315879379564173001, 25651315879379564173013,
25651315879379564173043, 25651315879379564173049, 25651315879379564173073, 25651315879379564173091, 25651315879379564173109,
25651315879379564173133, 25651315879379564173139, 25651315879379564173169, 25651315879379564173181, 25651315879379564173193,
25651315879379564173199, 25651315879379564173211}

32686971428909208943211: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
{32686971428909208943211, 32686971428909208943223, 32686971428909208943241, 32686971428909208943253, 32686971428909208943271,
32686971428909208943283, 32686971428909208943289, 32686971428909208943313, 32686971428909208943331, 32686971428909208943349,
32686971428909208943373, 32686971428909208943379, 32686971428909208943391, 32686971428909208943409, 32686971428909208943421,
32686971428909208943439, 32686971428909208943451}

Пожалуйста, сообщите, если обнаружите неточности, это полуавтоматическая работа.
Сейчас выпишу 17-ки с минимальным диаметром 240, их несколько штук.
Вот

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
1006882292528806742267: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
3954328349097827424397: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
4896552110116770789773: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
6751407944109046348063: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
7768326730875185894807: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
19252814175273852997757: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
20278587540464136529199: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
24300494153317939112651: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
25651315879379564172971: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
32686971428909208943211: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

И три типа паттернов для 17-ок с минимальным диаметром

0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240

Это все теоретические паттерны для симметричных кортежей длины 17 (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром 240.

Интересный вопрос: сколько существует теоретических паттернов для симметричных кортежей длины 17 из последовательных простых чисел (с любым диаметром)?
Наверное, много.
Некоторые паттерны мы видим в 17-ках, найденных Врублевским.
Ещё есть несколько паттернов в 17-ах, найденных в BOINC-проекте TBEG.

PS. О теоретических паттернах для симметричных кортежей (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром смотрите
Natalia Makarova and Vladimir Chirkov, Theoretical patterns with a minimal diameter for a(2) - a(50)
https://oeis.org/A266512/a266512_1.txt

Цитата из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4557

Расскажу ещё об одной последовательности OEIS
https://oeis.org/A266512
A266512 Smallest prime starting a (nonsingular) symmetric n-tuplet of the shortest span (=A266511(n)).
2, 3, 47, 5, 18713, 7, 12003179, 17, 1480028129, 13, 1542186111157, 41280160361347, 660287401247633, 10421030292115097, 3112462738414697093, 996689250471604163, 258406392900394343851

В этой последовательности приведены первые члены симметричных кортежей (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром.
В связанной последовательности A266511 вы найдёте минимальные диаметры для кортежей, они определены до некоторой длины k.

Я. Врублевский нашёл в рамках конкурса следующие кортежи с минимальным диаметром:

k=15
3112462738414697093: 0, 6, 24, 30, 54, 66, 84, 90, 96, 114, 126, 150, 156, 174, 180
k=17
258406392900394343851: 0, 12, 30, 42, 60, 72, 78, 102, 120, 138, 162, 168, 180, 198, 210, 228, 240 
k=18 (не известно, минимальный ли кортеж, то есть минимален ли его первый член)
824871967574850703732309: 0, 4, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 78, 82

Покажу все 17-ки, найденные в BOINC-проекте TBEG (уже были показаны в стартовом посте, но пусть будут ещё раз)

# page= 1, [unstable]
# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where `start`>=0 and `start`<=9000000000000000000 and kind='spt' and k=17
159067808851610411: 0 42 60 96 102 186 210 240 246 252 282 306 390 396 432 450 492
589492143270716899: 0 24 54 114 120 192 204 210 222 234 240 252 324 330 390 420 444
1326033721182094741: 0 6 18 36 120 168 186 216 258 300 330 348 396 480 498 510 516
1724672488829630161: 0 6 42 66 90 96 162 180 276 372 390 456 462 486 510 546 552
1799009523793490033: 0 114 156 186 240 264 270 324 330 336 390 396 420 474 504 546 660
2627620801084662563: 0 108 174 228 264 294 318 384 474 564 630 654 684 720 774 840 948
2687119294463586293: 0 24 78 84 120 150 168 198 204 210 240 258 288 324 330 384 408
2711169519694856959: 0 18 60 78 84 114 138 180 204 228 270 294 324 330 348 390 408
# [unstable]: new tuples may appear below
3235522982693027633: 0 6 60 120 126 138 168 246 258 270 348 378 390 396 456 510 516
# count = 9

Результаты доступны по ссылке
https://boinc.tbrada.eu/spt/tuples.php?spt=17&p=1

Здесь вы видите 9 разных паттернов для 17-ок.
Добавьте сюда паттерны 17-ок, найденных Ярославом Врублевским, которые показаны выше.
Это уже паттерны с реальными решениями.
Но существуют ещё теоретические паттерны.

PS. Первая 17-ка (минимальная) была найдена сначала в BOINC-проекте Stop@home.

Вот какой интересный набор из 19 чисел программа выдала

{3555067993334327551, 3555067993334327557, 3555067993334327563, 3555067993334327581, 3555067993334327593, 3555067993334327623, 3555067993334327641, 3555067993334327647, 3555067993334327671, 3555067993334327677, 3555067993334327683, 3555067993334327707, 3555067993334327713, 3555067993334327731, 3555067993334327761, 3555067993334327773, 3555067993334327791, 3555067993334327797, 3555067993334327803}

В этом наборе 11 простых чисел, они выделены синим цветом.
Кортеж длины 11 имеем опять неполный

{3555067993334327593, 3555067993334327623, 3555067993334327641, 3555067993334327647, 3555067993334327671, 3555067993334327677,
3555067993334327683, 3555067993334327707, 3555067993334327713, 3555067993334327731, Х}

Последний элемент кортежа, обозначенный Х, неправильный (это число не простое).

Ну вот, неполные кортежи длины 11 (с одной "дыркой") периодически получаются.
Полный кортеж длины 11 пока никак.

PS. Неправильные элементы кортежа я называю "дырками" (то есть прокол).
Вот перед вами симметричный кортеж длины 19 из последовательных простых чисел (с минимальным диаметром 252) с 8 "дырками"

{3555067993334327551*, 3555067993334327557*, 3555067993334327563*, 3555067993334327581*, 3555067993334327593, 3555067993334327623,
3555067993334327641, 3555067993334327647, 3555067993334327671, 3555067993334327677, 3555067993334327683, 3555067993334327707,
3555067993334327713, 3555067993334327731, 3555067993334327761*, 3555067993334327773*, 3555067993334327791*, 3555067993334327797*,
3555067993334327803}

Кортеж в полном соответствии с паттерном

0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

"Дырки" помечены звёздочкой. Эти элементы кортежа не являются простыми числами.
Восемь чисел не попали на простые.
Должны быть найдены и лучшие приближения, то есть с меньшим количеством "дырок", но очень не скоро.

В сообщении
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=224&postid=8238
показаны симметричные кортежи длины 19 из последовательных простых чисел с одной "дыркой"

535010601740877139993: 0 30 48 84 90 108 114 150 168 174 180 198 234 240 258 264 300 318 346*
8053379680763235571: 0 30 48 78 90 132 162 168 180 210 240 252 258 288 330 342 372, 390 418*

"Дырки" помечены звёздочкой.
[правильный элемент в паттерне первого кортежа должен быть 348, а в паттерне второго кортежа - 420.]
Но в этих кортежах диаметр побольше (не минимальный).
С минимальным диаметром вообще труднее найти решение.
Надо организовать поиск кортежей с другими диаметрами.
Но у меня пока нет теоретических паттернов для кортежей длины 19 с другими диаметрами.
Может быть, я их раньше и находила (не помню), надо поискать.
А потом надо ещё формулы получить по паттернам (всё напрочь забыла!).

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4532
Цитата

Вместе с итальянским коллегой ice00 организовали конкурс

K-Tuples of Primes
http://primesmagicgames.altervista.org/wp/competitions/

отсюда
https://dxdy.ru/post1052169.html#p1052169

Это было в сентябре 2015 г.
Единственный (!) участник конкурса Ярослав Врублевский (Польша).
Всё собирался принять участие в конкурсе коллега В. Чирков (Vovka17), но так и не собрался.
Врублевский нашёл в рамках конкурса много замечательных решений.
Вот откуда его квадраты, о которых постоянно упоминается.
Он нашёл также несколько кортежей с минимальным диаметром.

Работа над организацией конкурса была увлекательной!
Сам конкурс не менее увлекательный.
Думаю, что ice00 и Врублевскому конкурс тоже понравился.

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8211

Программа крутится.
Найден ещё один неполный кортеж длины 11, теперь первый элемент кортежа неправильный

{Х, 3553161800858033363, 3553161800858033381, 3553161800858033387, 3553161800858033411, 3553161800858033417,
3553161800858033423, 3553161800858033447, 3553161800858033453, 3553161800858033471, 3553161800858033501}

Постоянно сидит в голове задача. И вот пришла мысль такая.
У нас есть известная минимальная 17-ка с минимальным диаметром 240, найденный Врублевским

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

Так вот, думаю, что 19-ка, которую мы ищем, не может начинаться с меньшего числа.
Правильная мысль?
Следовательно, надо изменить значения переменной k в формуле.
Сейчас эти значения слишком маленькие.
Посмотрите, какие числа получаются в кортеже.

PS. Хотя... я не уверена, что показанная 17-ка минимальная.
Может быть, это минимальная из всех найденных Врублевским, он много нашёл 17-ок с минимальным диаметром 240.
__________________________________
конец дублируемого сообщения

Теперь уже уверена в том, что эта 17-ка, найденная Врублевским, минимальная

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

Нашла подтверждение в статье OEIS.
Если, конечно, Врублевский не ошибся.

И тогда мысль в дублируемом посте правильная.
Искомая 19-ка никак не может начинаться с числа меньше 258406392900394343851, потому что тогда в этой 19-ке будет содержаться 17-ка (с минимальным диметром 240) меньше минимальной.
Следовательно, надо переключаться на большие значения переменной k в формулах.
Ой, а для чисел, получаемых для больших значений переменной k, вообще всё очень плохо: простых чисел совсем мало получается в наборах из 19 чисел.
Такая вот очень сложная задача.

Поясню свою мысль ещё раз.
Предположим, что мы нашли симметричный кортеж длины 19 с минимальным диаметром 252 из последовательных простых чисел

Х: 0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

Тогда в этом кортеже будет содержаться следующий симметричный кортеж длины 17 с минимальным диаметром 240 из последовательных простых чисел

Х-6: 0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240

Число Х-6 не может быть меньше числа 258406392900394343851.

Ну вот, вернулась к большим значениям переменной k.
Проверяю небольшими интервалами (изменения переменной k).
В данный момент проверяется интервал [26640699000001,26640706000000].

Да, для больших значений переменной k числа в наборе получаются значительно больше и среди них меньше простых.
Но не совсем всё безнадёжно.
Вот нашёлся неполный симметричный кортеж длины 9 из последовательных простых чисел

{258406504976346853019, 258406504976346853037, 258406504976346853043, 258406504976346853067, 258406504976346853073,
258406504976346853079, 258406504976346853103, 258406504976346853109, Х}

Последний элемент кортежа, обозначенный Х, неправильный.
Программа крутится для 80 формул (из 384).
Можно добавить ещё формулы, но понятно, что чем больше формул, тем дольше идёт проверка.
Однако в идеале надо проверять сразу все 384 формулы. Шансы на появление решения возрастут.
Компьютер надо помощнее моего.

Кстати, когда я только начинала тестировать программу и в ней была всего одна формула (а переменные k были маленькие), тоже появлялись только восемь последовательных простых чисел.
Потом ввела в программу больше формул, и стали появляться неполные кортежи длины 11, то есть уже 10 последовательных простых чисел.

Вот что писал форумчанин на форуме Math Help Planet, который немного проверял мою формулу

Очень редко встречаются простые числа. Для тех к, которые я испытал,
максимум было 8 простых (а нужно девятнадцать). На последовательность их не проверял.

http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=439029#p439029
Он проверял получаемые наборы из 19 чисел только на простоту.

Показываю новые результаты.
Четыре неполных симметричных кортежа длины 9, все с неправильным последним элементом

{258406558215739553513, 258406558215739553531, 258406558215739553537, 258406558215739553561, 258406558215739553567,
258406558215739553573, 258406558215739553597, 258406558215739553603, X}

{258406549270610332199, 258406549270610332217, 258406549270610332223, 258406549270610332247, 258406549270610332253,
258406549270610332259, 258406549270610332283, 258406549270610332289, X}

{258406544027482306609, 258406544027482306627, 258406544027482306633, 258406544027482306657, 258406544027482306663,
258406544027482306669, 258406544027482306693, 258406544027482306699, X}

{258406566605229037603, 258406566605229037621, 258406566605229037627, 258406566605229037651, 258406566605229037657,
258406566605229037663, 258406566605229037687, 258406566605229037693, X}

А это полный симметричный кортеж длины 9 из последовательных простых чисел!

{258406570538411947259, 258406570538411947277, 258406570538411947283, 258406570538411947307, 258406570538411947313,
258406570538411947319, 258406570538411947343, 258406570538411947349, 258406570538411947367}

Запишу этот кортеж с паттерном

258406570538411947259: 0 18 24 48 54 60 84 90 108

Вот такая красивая 9-ка, первая в этом диапазоне чисел.
Ну, 9 последовательных простых чисел получено. Это уже хорошо.

А это неполный симметричный кортеж длины 11 - с двумя "дырками", два последних элемента кортежа, обозначенные Х1 и Х2, неправильные

{258406566360936525109, 258406566360936525139, 258406566360936525157, 258406566360936525163, 258406566360936525187,
258406566360936525193, 258406566360936525199, 258406566360936525223, 258406566360936525229, X1, X2}

Здесь тоже 9 последовательных простых чисел.
В этом диапазоне чисел неполного кортежа длины 11 с одной "дыркой" пока не было.

Тэк-с, убрала в программе вывод неполных 9-ок, уже не интересны.
Остался вывод полных 9-ок и далее.

Ещё две правильные 9-ки найдены

{258406605957613733513, 258406605957613733531, 258406605957613733537, 258406605957613733561, 258406605957613733567,
258406605957613733573, 258406605957613733597, 258406605957613733603, 258406605957613733621}

{258406635954475418849, 258406635954475418867, 258406635954475418873, 258406635954475418897, 258406635954475418903,
258406635954475418909, 258406635954475418933, 258406635954475418939, 258406635954475418957}

Неполные 9-ки программа теперь не выводит.

Цитата из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=224&postid=8255

Сейчас выпишу 17-ки с минимальным диаметром 240, их несколько штук.
Вот

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
1006882292528806742267: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
3954328349097827424397: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
4896552110116770789773: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
6751407944109046348063: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
7768326730875185894807: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
19252814175273852997757: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
20278587540464136529199: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
24300494153317939112651: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
25651315879379564172971: 0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240
32686971428909208943211: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

И три типа паттернов для 17-ок с минимальным диаметром

0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240
0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240
0 12 18 30 42 72 78 102 120 138 162 168 198 210 222 228 240

Это все теоретические паттерны для симметричных кортежей длины 17 (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром 240

_____________________________________
конец цитаты

Интересный вопрос: показанные 17-ки с минимальным диаметром 240 найдены Врублевским в порядке возрастания, без пропусков?
Если это так, тогда искомый кортеж длины 19 надо искать ещё дальше, чем я ищу сейчас.
Правильная мысль?

Господа, пожалуйста, высказывайте свои мнения.
Одна голова - хорошо, а две - лучше.
Что-нибудь вместе придумаем наиболее эффективное для решения проблемы.

PS. Сейчас я проверяю диапазон чисел, исходя из минимальной 17-ки с минимальным диаметром 240

258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

Добавила в программу ещё 10 формул, стало 90 формул.
Пока работаю в том же диапазоне чисел.

Нашлась ещё одна 9-ка

{258406855900501393693, 258406855900501393711, 258406855900501393717, 258406855900501393741, 258406855900501393747,
258406855900501393753, 258406855900501393777, 258406855900501393783, 258406855900501393801}

11-ки пока нет даже неполной - с одной "дыркой".

И ещё одна 9-ка

{258406907214964978469, 258406907214964978487, 258406907214964978493, 258406907214964978517, 258406907214964978523,
258406907214964978529, 258406907214964978553, 258406907214964978559, 258406907214964978577}

Ну вот, 9-ки уже стабильно идут.
Жду с нетерпением 11-ку, хотя бы неполную (с одной "дыркой").

В общем, сделала программу поиска симметричных кортежей нечётных длин из последовательных простых чисел с одним и тем же паттерном - для каждой длины.
Пока программа выдаёт только кортежи длины 9 (ну, меньшие длины, разумеется, не считаются).
Вот, например, три последние 9-ки, записанные с паттерном

258406570538411947259: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406855900501393693: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406907214964978469: 0 18 24 48 54 60 84 90 108

Выше ещё несколько 9-ок показаны.
Ну что ж, пусть пока только 9-ки.
А вдруг и получше что-нибудь найдётся :)
Мечтать, надеяться и работать!
Да, ВСЁ здесь тоже никогда не пересчитать, потому что, как всем известно, простых чисел бесконечно много.
А мы и не стремимся ВСЁ пересчитать.
Нам нужны результаты здесь и сейчас!

Очень долго собиралась написать Ярославу Врублевскому. Было какое-то внутреннее сопротивление, как будто интуиция подсказывала, что бесполезно писать.
Сегодня, наконец, решила написать, несмотря на голос интуиции.
Приведу цитату из своего письма

Я снова занимаюсь поиском симметричного кортежа длины 19 с минимальным диаметром 252, из последовательных простых чисел.
Пожалуйста, посмотрите тему
«Нерешённая проблема теории чисел»
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=224

Обратите особое внимание на сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=224&postid=8262
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=224&postid=8270

В действующем сейчас алгоритме я использую формулу, приведённую на форуме dxdy.ru
https://dxdy.ru/post1057373.html#p1057373

Автор этого сообщения привёл ещё 383 формулы (смотрите список
чисел, спрятанный под тегом оффтоп).
У меня такой вопрос: правильные ли эти 383 формулы? Нет ли ещё других формул для данного паттерна?
Я использую эти формулы в своём алгоритме.
Ещё такой вопрос: какие вы знаете паттерны для симметричного кортежа длины 19 из последовательных простых чисел с другими диаметрами (не с минимальным диаметром 252)?
Много таких паттернов? Вы знаете их все?
Я понимаю, что найти кортеж с минимальным диаметром – самая трудная задача.
Но я не знаю другие паттерны и формулы для них.

[Врублевский поляк, но прекрасно знает русский язык.]
Ответ пришёл мгновенно. Врублевский ответил, что не занимается больше кортежами и не знает ответы на мои вопросы.
Ну вот, интуиция мне редко врёт :)
Конечно, очень огорчена, но... переживу.

11-ка близко!

Сегодня нашлась ещё одна 9-ка

{258407217904067412619, 258407217904067412637, 258407217904067412643, 258407217904067412667, 258407217904067412673,
258407217904067412679, 258407217904067412703, 258407217904067412709, 258407217904067412727}

Эта 9-ка так продолжается влево и вправо - последовательными простыми числами

{258407217904067412613, 258407217904067412619, 258407217904067412637, 258407217904067412643, 258407217904067412667,
258407217904067412673, 258407217904067412679, 258407217904067412703, 258407217904067412709, 258407217904067412727,
2584072179 04067412751}
Это почти 11-ка, в которой первый и последний элемент неправильные, то есть 11-ка с двумя "дырками". Запишем эту 11-ку с двумя "дырками" так

{Х1, 258407217904067412619, 258407217904067412637, 258407217904067412643, 258407217904067412667,
258407217904067412673, 258407217904067412679, 258407217904067412703, 258407217904067412709, 258407217904067412727,
Х2}

В реальном наборе из 19-чисел
Х1 = 258407217904067412589
Х2 = 258407217904067412757

И ещё одна аналогичная 11-ка с двумя "дырками"

{Х1, 258407294422999327759, 258407294422999327777, 258407294422999327783, 258407294422999327807, 258407294422999327813,
258407294422999327819, 258407294422999327843, 258407294422999327849, 258407294422999327867, Х2}

Эта 11-ка, конечно, содержит правильную 9-ку (отбросьте элементы Х1 и Х2).
Соответствующий набор из 19 чисел

[258407294422999327687, 258407294422999327693, 258407294422999327699, 258407294422999327717, 258407294422999327729,
258407294422999327759, 258407294422999327777, 258407294422999327783, 258407294422999327807, 258407294422999327813,
258407294422999327819, 258407294422999327843, 258407294422999327849, 258407294422999327867, 258407294422999327897,
258407294422999327909, 258407294422999327927, 258407294422999327933, 258407294422999327939}

В BOINC-проекте PrimeGrid ищут арифметические прогрессии из простых чисел.
Сейчас прочитала на форуме французской команды
https://forum.boinc-af.org/index.php/topic,2184.msg527277.html#msg527277

La différence entre un CPU et un GPU (même pas le plus puissant et en thermal throttling pour réduire encore plus la puissance) est énorme sur AP 27! Content que ce soit moi qui aie eu la tâche GPU et qui a trouvé une suite de longueur 20!

https://www.primegrid.com/workunit.php?wuid=782822607

225457952502887759+259240465*23#*n for n=0..19

Как я понимаю, это арифметическая прогрессия из 20 простых чисел.
Разность у этой арифметической прогрессии огромная.

Интересно: какая самая длинная арифметическая прогрессия из простых чисел найдена на данный момент?
В Википедии, наверное, написано.
Надо посмотреть.

При проверке очередного диапазона изменения переменной k нашлось три 9-ки!
Покажу консоль

                  GP/PARI CALCULATOR Version 2.7.4 (released)
          amd64 running mingw (x86-64/GMP-6.0.0 kernel) 64-bit version
                compiled: Jun 19 2015, gcc version 4.9.2 (GCC)
                            threading engine: single
                 (readline v6.2 enabled, extended help enabled)

                     Copyright (C) 2000-2015 The PARI Group

PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes
WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.

Type ? for help, \q to quit.
Type ?12 for how to get moral (and possibly technical) support.

parisize = 8000000, primelimit = 500000
? \r a15.txt
[258407478680319184037, 258407478680319184043, 258407478680319184049, 2584074786
80319184067, 258407478680319184079, 258407478680319184109, 258407478680319184127
, 258407478680319184133, 258407478680319184157, 258407478680319184163, 258407478
680319184169, 258407478680319184193, 258407478680319184199, 25840747868031918421
7, 258407478680319184247, 258407478680319184259, 258407478680319184277, 25840747
8680319184283, 258407478680319184289],
6001817,
[258407488374403111411, 258407488374403111417, 258407488374403111423, 2584074883
74403111441, 258407488374403111453, 258407488374403111483, 258407488374403111501
, 258407488374403111507, 258407488374403111531, 258407488374403111537, 258407488
374403111543, 258407488374403111567, 258407488374403111573, 25840748837440311159
1, 258407488374403111621, 258407488374403111633, 258407488374403111651, 25840748
8374403111657, 258407488374403111663],
6350011,
[258407481102906511457, 258407481102906511463, 258407481102906511469, 2584074811
02906511487, 258407481102906511499, 258407481102906511529, 258407481102906511547
, 258407481102906511553, 258407481102906511577, 258407481102906511583, 258407481
102906511589, 258407481102906511613, 258407481102906511619, 25840748110290651163
7, 258407481102906511667, 258407481102906511679, 258407481102906511697, 25840748
1102906511703, 258407481102906511709],
8454527,
?

У меня работает давнишняя версия PARI/GP.
Если кто-то захочет попробовать эту программу, надо будет загрузить последнюю версию PARI/GP.

Сейчас я рассмотрю эти 9-ки получше и опубликую их в удобочитаемом виде.
А перед этими тремя 9-ками была найдена такая 9-ка

{258407376120368539063, 258407376120368539081, 258407376120368539087, 258407376120368539111, 258407376120368539117,
25840737120368539123, 258407376120368539147, 258407376120368539153, 258407376120368539171}

PS. После каждой 9-ки программа выводит параметр соответствующей формулы, по которой эта 9-ка получена; в программе это параметр a(n).

Показываю три последние 9-ки

{258407478680319184109, 258407478680319184127, 258407478680319184133, 258407478680319184157, 258407478680319184163,
258407478680319184169, 258407478680319184193, 258407478680319184199, 258407478680319184217}

{258407488374403111483, 258407488374403111501, 258407488374403111507, 258407488374403111531, 258407488374403111537,
258407488374403111543, 258407488374403111567, 258407488374403111573, 258407488374403111591}

Эта 9-ка продолжается до 11-ки с двумя "дырками"

{Х1, 258407488374403111483, 258407488374403111501, 258407488374403111507, 258407488374403111531, 258407488374403111537,
258407488374403111543, 258407488374403111567, 258407488374403111573, 258407488374403111591, Х2}

И последняя 9-ка

{258407481102906511529, 258407481102906511547, 258407481102906511553, 258407481102906511577, 258407481102906511583,
258407481102906511589, 258407481102906511613, 258407481102906511619, 258407481102906511637}

Ещё одна 9-ка

{258407507016667624223, 258407507016667624241, 258407507016667624247, 258407507016667624271, 258407507016667624277,
258407507016667624283, 258407507016667624307, 258407507016667624313, 258407507016667624331}

На сегодня последняя.
Сегодня хороший урожай 9-ок.
Однако 11-ка пока так и не найдена.

В программе уже работают 100 формул.

Собрала все 9-ки (симметричные кортежи длины 9 из последовательных простых чисел), которые в теме опубликованы

3549622711859925139: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3549173539569207989: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3550351383294876599: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3552014334866237393: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3549622711859925139: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3553161800858033363: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3554575123837841843: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
3555067993334327623: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406570538411947259: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406605957613733513: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406635954475418849: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406855900501393693: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258406907214964978469: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258407217904067412619: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258407376120368539063: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258407478680319184109: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258407481102906511529: 0 18 24 48 54 60 84 90 108
258407507016667624223: 0 18 24 48 54 60 84 90 108

У всех этих кортежей одинаковый паттерн, можно было его не писать у каждого кортежа, но пусть будет - так нагляднее.
В общем, 9-ки находятся стабильно.
А нам 19-ка нужна! :)
Напомню: данный алгоритм проверяет наборы из 19 чисел, начиная с центрального числа набора.
Вот все показанные 9-ки - это центральное ядро найденного набора из 19 чисел.
Это ядро правильное. Дальше пока никак - даже до кортежа длины 11 не складывается.

Покажу примеры неполных 11-ок с одной "дыркой", то есть в кортеже один элемент неправильный

3549622711859925109: 0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168*
3554575123837841813: 0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168*
3555067993334327593: 0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168*

У этих кортежей тоже одинаковый паттерн.
Последний элемент паттерна помечен звёздочкой, потому что соответствующий ему элемент кортежа не является простым числом.

В диапазоне больших чисел пока найдены только 11-ки с двумя "дырками", они показаны выше.

Ещё раз об алгоритме Ярослава Врублевского, с помощью которого он пытался найти симметричный кортеж длины 19 из последовательных простых чисел.
Он искал симметричные кортежи длины 17 из последовательных простых чисел, а затем проверял их на продолжение до 19-ки.

Приведу пример.
Берём следующий симметричный кортеж длины 17 из последовательных простых чисел

6837359459759035391: 0 42 60 66 72 120 126 150 156 162 186 192 240 246 252 270 312

Эта 17-ка продолжается влево и вправо последовательными простыми числами так

{6837359459759035381, 6837359459759035391, 6837359459759035433, 6837359459759035451, 6837359459759035457,
6837359459759035463, 6837359459759035511, 6837359459759035517, 6837359459759035541, 6837359459759035547,
6837359459759035553, 6837359459759035577, 6837359459759035583, 6837359459759035631, 6837359459759035637,
6837359459759035643, 6837359459759035661, 6837359459759035703, 6837359459759035759}

Красным цветом выделены числа продолжения (эти числа простые и последовательные).
Очевидно, что до симметричного кортежа длины 19 из последовательных простых чисел эта 17-ка не продолжилась.
Таким образом, мы имеем приближённую 19-ку - с двумя "дырками": первый и последний элементы кортежа неправильные.

В то время, когда проходил конкурс и Врублевский прислал мне все найденные им 17-ки, я все их проверила на продолжение.
Тогда я делала это в Вольфраме.
Сейчас Вольфрам стал платным, поэтому я пользуюсь командой PARI/GP (команда показана выше).

Сегодня за целый день нашлась одна 9-ка

{258407549231059664329, 258407549231059664347, 258407549231059664353, 258407549231059664377, 258407549231059664383,
258407549231059664389, 258407549231059664413, 258407549231059664419, 258407549231059664437}

Этот кортеж продолжается влево и вправо последовательными простыми числами, но, увы, они не вписываются в паттерн.
Вот она - 11-ка с двумя "дырками"

{258407549231059664327*, 258407549231059664329, 258407549231059664347, 258407549231059664353, 258407549231059664377,
258407549231059664383, 258407549231059664389, 258407549231059664413, 258407549231059664419, 258407549231059664437,
258407549231059664507*}

Неправильные элементы кортежа помечены звёздочкой.
В реальном наборе из 19 чисел простым числам соответствуют такие не простые числа
258407549231059664327* --> 258407549231059664299
258407549231059664507* --> 258407549231059664467

Ну вот, с двумя "дырками" 11-ки появляются, а вот с одной "дыркой" в диапазоне с большими числами пока не было.