Нерешённая проблема теории чисел

Message boards : Science : Нерешённая проблема теории чисел
Message board moderation

To post messages, you must log in.

1 · 2 · 3 · 4 . . . 10 · Next

AuthorMessage
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8218 - Posted: 15 Mar 2022, 11:34:25 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 12:41:59 UTC

Сейчас мы с помощником Mynx выполняем эксперимент по поиску симметричных кортежей из последовательных простых чисел.
Смотрите тему
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49
Тема большая и в ней много рассказано о моём проекте по кортежам.
Не буду здесь повторяться.
Отмечу главное.
Мы с Mynx работаем по разным программам.
Но в обеих реализован алгоритм грубой силы (тотальный поиск).
Можно ли этим алгоритмом найти симметричный кортеж длины 19 из последовательных простых чисел?
Наверное, можно.
Ведь симметричные кортежи длины 17 из последовательных простых чисел найдены в количестве 9 штук (это только в BOINC-проекте TBEG; ещё много таких кортежей было найдено Ярославом Врублевским в рамках конкурса, проведённого мной и моим коллегой из Италии).

Результаты с BOINC-проекта TBEG
https://boinc.tbrada.eu/spt/tuples.php?spt=17&p=1

# page= 1, [unstable]
# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where `start`>=0 and `start`<=9000000000000000000 and kind='spt' and k=17
159067808851610411: 0 42 60 96 102 186 210 240 246 252 282 306 390 396 432 450 492
589492143270716899: 0 24 54 114 120 192 204 210 222 234 240 252 324 330 390 420 444
1326033721182094741: 0 6 18 36 120 168 186 216 258 300 330 348 396 480 498 510 516
1724672488829630161: 0 6 42 66 90 96 162 180 276 372 390 456 462 486 510 546 552
1799009523793490033: 0 114 156 186 240 264 270 324 330 336 390 396 420 474 504 546 660
2627620801084662563: 0 108 174 228 264 294 318 384 474 564 630 654 684 720 774 840 948
2687119294463586293: 0 24 78 84 120 150 168 198 204 210 240 258 288 324 330 384 408
2711169519694856959: 0 18 60 78 84 114 138 180 204 228 270 294 324 330 348 390 408
# [unstable]: new tuples may appear below
3235522982693027633: 0 6 60 120 126 138 168 246 258 270 348 378 390 396 456 510 516
# count = 9

Однако симметричный кортеж длины 19 из последовательных простых чисел пока не найден.
Это и есть нерешённая проблема теории чисел.
И её надо решать.
ID: 8218 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8219 - Posted: 15 Mar 2022, 11:38:50 UTC

Смотрим статью в OEIS
https://oeis.org/A055380
Central prime p in the smallest (2n+1)-tuple of consecutive primes that are symmetric with respect to p.
5, 18731, 683783, 98303927, 60335249959, 1169769749219, 3945769040699039, 159067808851610657

Последний кортеж a(8) - это минимальная 17-ка, она была найдена в BOINC-проекте Stop@home и добавлена господином Петуховым
a(8) from BOINC project, added by Dmitry Petukhov, Apr 06 2017

Кортежа a(9) длины 19 в статье нет.
Значит, пока не найден.
ID: 8219 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8220 - Posted: 15 Mar 2022, 11:47:39 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 11:53:42 UTC

Недавно я открыла тему на форуме MHP
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=48&t=76851

Эта тема посвящена одному из алгоритмов поиска симметричных кортежей нечётных длин из последовательных простых чисел.
Потом немного продолжала эту тему в разделе "Cafe".
Однако проблема эта очень серьёзная, поэтому решила создать для неё специальную тему в этом разделе.

Я уже довольно много занималась поиском 19-ки по разным алгоритмам.
Но пока задачу решить не удалось.
Так вот, в противоположность алгоритму грубой силы, который работает в эксперименте всего с двумя участниками, есть специальные алгоритмы, заточенные на поиск именно 19-ки.
Понятно, что специальные алгоритмы могут быстрее привести к решению.
Но требуются большие вычислительные мощности.
Что я могу сделать на своём ПК? Н-и-ч-е-г-о!
И всё-таки пытаюсь.

Кстати, господа, подключайтесь к эксперименту по поиску всяких симметричных кортежей из последовательных простых чисел.
Все подробности в теме
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49
ID: 8220 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8221 - Posted: 15 Mar 2022, 11:53:08 UTC
Last modified: 17 Mar 2022, 6:24:51 UTC

Цитирую сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8200


У меня интереснейший эксперимент по поиску симметричного кортежа длины 19 с минимальным диаметром 252 из последовательных простых чисел.
Взяла формулы (давно полученные мной и другим форумчанином на форуме dxdy.ru), написала на основе этих формул программу на PARI/GP и теперь кручу эту программу.

Расскажу вам о паттернах, их преемственности.
Паттерн искомого симметричного (из последовательных простых чисел) кортежа длины 19 с минимальным диаметром 252
0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

Решения пока ни одного не найдено, насколько мне известно.
Если вдруг вам известно, что решение найдено, сообщите, пожалуйста.

Теперь будем двигаться к кортежам меньших нечётных длин.
k=17
паттерн для кортежа с минимальным диаметром 240
0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240

Здесь имеем замечательное решение, найденное Ярославом Врублевским в рамках проведённого мной и коллегой ice00 конкурса.
Вот она - 17-ка с минимальным диаметром 240, найденная Врублевским
1006882292528806742267: 0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240

Ну, а теперь - эффект матрёшек.
Думаю, что этот эффект всем хорошо известен.
В симметричном кортеже длины 17 содержится симметричный кортеж длины 15, а в этом кортеже содержится симметричный кортеж длины 13 и так далее.

Я покажу только паттерны.
k=15
0 18 30 60 78 84 108 114 120 144 150 168 198  210 228

k=13
0 12 42 60 66 90 96 102 126 132 150 180 192

k=11
0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168

k=9
0 18 24 48 54 60 84 90 108

Дальше не буду спускаться.
Красивые матрёшки! Не правда ли? :)
Главное, что все они известны - от найденного решения Врублевского для k=17.

Теперь, думаю, что всё хорошо понятно про паттерны.
Если же ещё не совсем хорошо, пожалуйста, задавайте ваши вопросы.
ID: 8221 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8222 - Posted: 15 Mar 2022, 12:02:46 UTC

Из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8203

Возвращаюсь к поиску кортежей.
Кручу программу.
Пока результаты плохие: найдены всего только кортежи длины 9, несколько штук.
Например:

{3549622711859925139, 3549622711859925157, 3549622711859925163, 3549622711859925187, 3549622711859925193, 3549622711859925199,
3549622711859925223, 3549622711859925229, 3549622711859925247}

{3549173539569207989, 3549173539569208007, 3549173539569208013, 3549173539569208037, 3549173539569208043, 3549173539569208049,
3549173539569208073, 3549173539569208079, 3549173539569208097}

{3550351383294876599, 3550351383294876617, 3550351383294876623, 3550351383294876647, 3550351383294876653, 3550351383294876659,
3550351383294876683, 3550351383294876689, 3550351383294876707}

{3550351383294876599, 3550351383294876617, 3550351383294876623, 3550351383294876647, 3550351383294876653, 3550351383294876659,
3550351383294876683, 3550351383294876689, 3550351383294876707}

{3552014334866237393, 3552014334866237411, 3552014334866237417, 3552014334866237441, 3552014334866237447, 3552014334866237453,
3552014334866237477, 3552014334866237483, 3552014334866237501}

Правильный кортеж длины 11 пока не сложился.
Есть один неполный кортеж длины 11

{3549622711859925109, 3549622711859925139, 3549622711859925157, 3549622711859925163, 3549622711859925187, 3549622711859925193,
3549622711859925199, 3549622711859925223, 3549622711859925229, 3549622711859925247, Х}

Здесь последний элемент кортежа Х неправильный.
Кортеж в полном соответствии с паттерном
0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168

кроме последнего элемента.
Если записать число, соответствующее последнему элементу паттерна 168, оно будет не простое.
Интересно отметить, что в этом наборе получилось 12 последовательных простых чисел, показываю их

{3549622711859925079, 3549622711859925097, 3549622711859925109, 3549622711859925139, 3549622711859925157, 
3549622711859925163, 3549622711859925187, 3549622711859925193, 3549622711859925199, 3549622711859925223, 3549622711859925229,
3549622711859925247}

12 правильных чисел - это уже хорошо. Всего 7 чисел (из 19) не удовлетворяют условиям.
Можно считать этот набор не симметричным кортежем длины 12 из последовательных простых чисел.
Но поиск не симметричных кортежей не входит в мою задачу.

Сегодня я убрала из программы вывод кортежей длины 9, оставила вывод правильных кортежей длины 11 и 13.
Пока ни одного такого кортежа не найдено, то есть программа пока ничего не вывела.
ID: 8222 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8223 - Posted: 15 Mar 2022, 12:05:27 UTC

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8208

Цитата
Пока результаты плохие: найдены всего только кортежи длины 9, несколько штук.
Например:

{3549622711859925139, 3549622711859925157, 3549622711859925163, 3549622711859925187, 3549622711859925193, 3549622711859925199,
3549622711859925223, 3549622711859925229, 3549622711859925247}

{3549173539569207989, 3549173539569208007, 3549173539569208013, 3549173539569208037, 3549173539569208043, 3549173539569208049,
3549173539569208073, 3549173539569208079, 3549173539569208097}

{3550351383294876599, 3550351383294876617, 3550351383294876623, 3550351383294876647, 3550351383294876653, 3550351383294876659,
3550351383294876683, 3550351383294876689, 3550351383294876707}

{3550351383294876599, 3550351383294876617, 3550351383294876623, 3550351383294876647, 3550351383294876653, 3550351383294876659,
3550351383294876683, 3550351383294876689, 3550351383294876707}

{3552014334866237393, 3552014334866237411, 3552014334866237417, 3552014334866237441, 3552014334866237447, 3552014334866237453,
3552014334866237477, 3552014334866237483, 3552014334866237501}

Проверяла ещё эти кортежи и обнаружила, что один кортеж написала два раза.
Ну, это не страшно :)

А при более тщательной проверке нашла среди симметричных кортежей длины 9 из последовательных простых чисел ещё один не симметричный кортеж из 12 последовательных простых чисел

{3552014334866237393, 3552014334866237411, 3552014334866237417, 3552014334866237441, 3552014334866237447,
3552014334866237453, 3552014334866237477, 3552014334866237483, 3552014334866237501, 3552014334866237543,
3552014334866237561, 3552014334866237567}

Покажу, как это кортеж запишется с паттерном
3552014334866237393: 0 18 24 48 54 60 84 90 108 150 168 174

Сравните с полным набором из 19 чисел, который получен программой

3552014334866237321, 3552014334866237327, 3552014334866237333, 3552014334866237351, 3552014334866237363, 3552014334866237393,
3552014334866237411, 3552014334866237417, 3552014334866237441, 3552014334866237447, 3552014334866237453, 3552014334866237477,
3552014334866237483, 3552014334866237501, 3552014334866237531, 3552014334866237543, 3552014334866237561, 3552014334866237567,
3552014334866237573

Таким образом, два раза получилось 12 последовательных простых чисел, только не симметрично расположенных.
ID: 8223 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8224 - Posted: 15 Mar 2022, 12:07:43 UTC
Last modified: 17 Mar 2022, 6:33:34 UTC

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8211

Программа крутится.
Найден ещё один неполный кортеж длины 11, теперь первый элемент кортежа неправильный

{Х, 3553161800858033363, 3553161800858033381, 3553161800858033387, 3553161800858033411, 3553161800858033417,
3553161800858033423, 3553161800858033447, 3553161800858033453, 3553161800858033471, 3553161800858033501}

Постоянно сидит в голове задача. И вот пришла мысль такая.
У нас есть известная минимальная 17-ка с минимальным диаметром 240, найденный Врублевским
258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

Так вот, думаю, что 19-ка, которую мы ищем, не может начинаться с меньшего числа.
Правильная мысль?
Следовательно, надо изменить значения переменной k в формуле.
Сейчас эти значения слишком маленькие.
Посмотрите, какие числа получаются в кортеже.

PS. Хотя... я не уверена, что показанная 17-ка минимальная.
Может быть, это минимальная из всех найденных Врублевским, он много нашёл 17-ок с минимальным диаметром 240.
ID: 8224 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8225 - Posted: 15 Mar 2022, 12:09:16 UTC

Репост
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=196&postid=8214

Вчера покрутила программу для больших значений переменной k.
Простые числа вообще почти не появляются в получаемых наборах из 19 чисел, а если и появляются, то совсем другие, нежели числа в наборе.
Например, найден такой не симметричный кортеж из 13 последовательных простых чисел
{258406492582649739541, 258406492582649739563, 258406492582649739613, 258406492582649739649, 258406492582649739659,
258406492582649739661, 258406492582649739667, 258406492582649739673, 258406492582649739689, 258406492582649739703,
258406492582649739719, 258406492582649739737, 258406492582649739791}

При этом из полученного набора здесь всего три простых числа.

Сегодня добавила в программу ещё 10 формул (теперь в программе задействовано 60 формул) и вернулась к маленьким значениям переменной k.
Покручу так. Может быть, хотя бы кортеж длины 11 найдётся.
Было пока два неполных кортежа длины 11, в одном первое число неправильное, а в другом - последнее.
Покажу оба эти кортежа рядышком
{3549622711859925109, 3549622711859925139, 3549622711859925157, 3549622711859925163, 3549622711859925187, 3549622711859925193,
3549622711859925199, 3549622711859925223, 3549622711859925229, 3549622711859925247, Х}
{Х, 3553161800858033363, 3553161800858033381, 3553161800858033387, 3553161800858033411, 3553161800858033417,
3553161800858033423, 3553161800858033447, 3553161800858033453, 3553161800858033471, 3553161800858033501}

Х - это неправильное число в кортеже. Если его записать в соответствии с паттерном, оно будет не простое.
Напомню паттерн
0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168

PS. Для того чтобы получить из заданного набора чисел последовательные простые числа, использую команду в PARI/GP.
Пример
forprime( i = 258406492582649739541, 258406492582649739793, print1(i,", ") )
ID: 8225 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8226 - Posted: 15 Mar 2022, 12:13:07 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 12:29:43 UTC

Ну вот, перенесла все сообщения по теме из раздела "Cafe".

Программа работает.
Кортеж длины 11 пока не найден (и тем более, кортежи бОльших длин).
ID: 8226 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8227 - Posted: 15 Mar 2022, 12:38:11 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 12:39:14 UTC

Напомню: читайте о проекте по кортежам следующие темы

Симметричные кортежи из последовательных простых чисел
https://dxdy.ru/post1057373.html#p1057373

Одноимённая тема на форуме Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=43217

About Stop@home project
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49

Проекту по кортежам уже 8 лет.
Очень не везёт проекту!
Было запущено два BOINC-проекта (Stop@home и TBEG) и оба остановлены.
ID: 8227 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8228 - Posted: 15 Mar 2022, 13:49:38 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 13:51:03 UTC

Черепашка ищет симметричные кортежи из последовательных простых чисел

Поиск ассоциативных наборов простых              4:30:52
Текущий интервал: [3537018023987718120 ... 3537018025987718120]
Проверено :      0%
Скорость  :    248
Найдено 12:    923
Найдено 13:      0
Найдено 14:     31
Найдено 15:      0
Найдено 16:      4
Найдено 17:      0
Найдено 18:      0
Найдено 19:      0
Найдено 20:      0
Найдено 21:      0
Найдено 22:      0
Найдено 23:      0
Найдено 24:      0
Найдено 25:      0
Найдено 26:      0
Найдено 27:      0
Найдено 28:      0
Найдено 29:      0
Найдено 30:      0
Найдено 31:      0
Найдено 32:      0
Найдено 33:      0

В этой программе задействован поиск кортежей длин 12 - 33.
Ну, пока идут только кортежи чётных длин 12, 14 и 16.
С кортежами нечётных длин вообще большие проблемы.
Даже кортеж длины 13 пока не найден в проверяемом черепашкой диапазоне.
Не говорю уже о кортежах длин 15 и 17.

А нам-то нужен симметричный кортеж длины 19 из последовательных простых чисел!
Заоблачная мечта :)
Такая мечта и должна быть, ничуть не меньше.
ID: 8228 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8229 - Posted: 15 Mar 2022, 13:59:38 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 14:00:24 UTC

Так работает в эксперименте Mynx



В программе, которой пользуется Mynx, задействован поиск симметричных кортежей длин 16 - 33 из последовательных простых чисел.
Автор программы Алексей Белышев.
Понятно, что при поиске этой программой кортежи длин 12 - 15 будут потеряны.
Собственно, Mynx тоже может переключиться на поиск второй программой.
Но не вижу особого смысла.
Наиболее важны кортежи длин, начиная с 16.
А самый важный кортеж, который надо найти, это кортеж длины 19.
ID: 8229 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8230 - Posted: 15 Mar 2022, 19:02:35 UTC
Last modified: 15 Mar 2022, 19:19:07 UTC

Крутила программу целый день параллельно с другими экспериментами.
Вот нашлись 15 последовательных простых чисел и 14 последовательных простых чисел (в найденных наборах из 19 чисел), но, увы, они не симметрично расположены; к тому же, эти простые числа не все совпадают с числами набора из 19 чисел, то есть они расположены между ними

{3553786574907889709, 3553786574907889741, 3553786574907889759, 3553786574907889777, 3553786574907889783,
3553786574907889807, 3553786574907889813, 3553786574907889819, 3553786574907889843, 3553786574907889849,
3553786574907889883, 3553786574907889921, 3553786574907889927, 3553786574907889937, 3553786574907889939}

{3553790192729770661, 3553790192729770681, 3553790192729770709, 3553790192729770717, 3553790192729770733,
3553790192729770751, 3553790192729770757, 3553790192729770781, 3553790192729770787, 3553790192729770793,
3553790192729770817, 3553790192729770823, 3553790192729770871, 3553790192729770901}

Никакого интереса эти наборы последовательных простых чисел не представляют.

Симметричные кортежи из последовательных простых чисел пока получаются только длины 9.
Даже полный правильный кортеж длины 11 не удаётся получить.

Да-а-а-а, очень трудная задача.
Кстати, в тотальной проверке черепашка до сих пор не нашла ни одного симметричного кортежа длины 13 из последовательных простых чисел.
Нету!
Хоть застрелись - не складываются :(
ID: 8230 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8231 - Posted: 15 Mar 2022, 19:14:30 UTC

Вот черепашка работает в эксперименте с тотальной проверкой

Поиск ассоциативных наборов простых              9:55:40
Текущий интервал: [3537019349986813138 ... 3537019351986813138]
Проверено :      0%
Скорость  :    246
Найдено 12:   2112
Найдено 13:      0
Найдено 14:     78
Найдено 15:      0
Найдено 16:      4
Найдено 17:      0
Найдено 18:      0
Найдено 19:      0
Найдено 20:      0
Найдено 21:      0
Найдено 22:      0
Найдено 23:      0
Найдено 24:      0
Найдено 25:      0
Найдено 26:      0
Найдено 27:      0
Найдено 28:      0
Найдено 29:      0
Найдено 30:      0
Найдено 31:      0
Найдено 32:      0
Найдено 33:      0

12-ки, 14-ки и 16-ки!
И больше пока ничего нет.

У Mynx хоть 18-ки есть и даже одна 20-ка нашлась.
Но всё это не редкие решения.
ID: 8231 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8237 - Posted: 16 Mar 2022, 23:08:03 UTC
Last modified: 16 Mar 2022, 23:46:52 UTC

Для симметричных кортежей чётных длин из последовательных простых чисел поиск более успешный.
Цитата из сообщения
hhttp://ttps://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4557

Посмотрите на преемственность паттернов с минимальным диаметром для k=16, 18, 20, 22, 24

k=16
0  6  8  14  20  24  26  36  38  48  50  54  60  66  68  74
k=18
0  4  10  12  18  22  28  30  40  42  52  54  60  64  70  72  78  82
k=20
0  6  10  16  18  24  28  34  36  46  48  58  60  66  70  76  78  84  88  94
k=22
0  6  12  16  22  24  30  34  40  42  52  54  64  66  72  76  82  84  90  94  100  106
k=24
0  6  12  18  22  28  30  36  40  46  48  58  60  70  72  78  82  88  90  96  100  106  112  118

Реальные кортежи, соответствующие этим паттернам, для k=16, 18, 20 уже найдены

k=16
824871967574850703732313: 0, 6, 8, 14, 18, 24, 26, 36, 38, 48, 50, 56, 60, 66, 68, 74
k=18
824871967574850703732309: 0, 4, 10, 12, 18, 22, 28, 30, 40, 42, 52, 54, 60, 64, 70, 72, 78, 82
k=20
824871967574850703732303: 0, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 66, 70, 76, 78, 84, 88, 94

Красивая серия кортежей с минимальным диаметром!
Для k=16 кортеж точно не минимальный, для k=18, 20 пока не известно.

PS. Ещё один 18-tuple с минимальным диаметром, найденный Врублевским в конкурсе
2124773992554613163708029: 0,4,10,12,18,22,28,30,40,42,52,54,60,64,70,72,78,82

Этот кортеж до 20-tuple не продолжается.
Числа в этом кортеже ещё больше, чем в первом.

____________________________________
конец цитаты

Для кортежей длин меньше 16, конечно, тоже все кортежи с минимальным диаметром найдены.
Таким образом, следующий кортеж с минимальным диаметром 106 ищем для k=22.
Паттерн
0  6  12  16  22  24  30  34  40  42  52  54  64  66  72  76  82  84  90  94  100  106

Это не единственный паттерн для кортежей длины 22 с минимальным диаметром, вот ещё два теоретических паттерна
0  6  10  12  16  22  24  30  34  42  52  54  64  72  76  82  84  90  94  96  100  106 
0  6  10  12  16  22  24  30  40  42  52  54  64  66  76  82  84  90  94  96  100  106 

Может быть, уже найден кортеж длины 22 с минимальным диаметром. Я давно не слежу за диаметрами в найденных решениях.

PS. Теоретические паттерны для кортежей длин 22 и 24 с минимальным диаметром смотрите здесь
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4562
ID: 8237 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8238 - Posted: 16 Mar 2022, 23:27:48 UTC
Last modified: 16 Mar 2022, 23:58:50 UTC

Процитирую интересное сообщение. в котором показаны найденные Ярославом Врублевским симметричные кортежи длины 17 из последовательных простых чисел
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4559

Да, Врублевский нашёл в рамках конкурса много 17-tuples, например:

4896552110116770789773:0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240 
2035559077035293441299:0,12,24,42,54,84,90,114,132,150,174,180,210,222,240,252,264
1338977422865229706499:0,12,24,30,42,54,84,90,132,174,180,210,222,234,240,252,264 
752853880537802642981:0,6,12,30,42,72,96,120,126,132,156,180,210,222,240,246,252
384703558068522780559:0,24,30,42,72,84,90,114,132,150,174,180,192,222,234,240,264 
568398209014995678701:0,6,12,30,42,72,90,96,126,156,162,180,210,222,240,246,252
401276622469261903031:0,6,12,30,72,90,96,120,126,132,156,162,180,222,240,246,252 
702939111495760681807:0,90,102,132,144,174,180,210,222,234,264,270,300,312,342,354,444
535010601740877140023:0,18,54,60,78,84,120,138,144,150,168,204,210,228,234,270,288
311634572279873026493:0,18,24,60,78,84,108,138,144,150,180,204,210,228,264,270,288
3954328349097827424397:0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
1006882292528806742267:0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240 
258406392900394343851:0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240 
6751407944109046348063:0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240

Среди решений есть несколько кортежей с минимальным диаметром 240, в том числе минимальный кортеж с таким диаметром
258406392900394343851:0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240

Ярослав писал мне, что он ищет 17-tuples, затем продолжает их в надежде найти 19-tuple.
Но это не получилось.

Вот почти 19-tuple
Select[Range[0,400],PrimeQ[535010601740877139993+#]&]
{0, 30, 48, 84, 90, 108, 114, 150, 168, 174, 180, 198, 234, 240, 258, 264, 300, 318, 346}

Последнее число кортежа нарушает симметричность и совсем чуть-чуть нарушает. Обидно!

PS. Нашла в своём рабочем файле ещё один почти 19-tuple
8053379680763235571: 0, 30, 48, 78, 90, 132, 162, 168, 180, 210, 240, 252, 258, 288, 330, 342, 372, 390, 418

Получено продолжением этого 17-tuple Врублевского:
8053379680763235601: 0,18,48,60,102,132,138,150,180,210,222,228,258,300,312,342,360

____________________________
конец цитаты

Здесь вы видите две приближённые 19-ки, в этих кортежах всего один неправильный элемент!
Как мне кажется, вполне возможны полные правильные решения.

Покажу ещё раз две почти 19-ки

535010601740877139993: 0 30 48 84 90 108 114 150 168 174 180 198 234 240 258 264 300 318 346*
8053379680763235571: 0 30 48 78 90 132 162 168 180 210 240 252 258 288 330 342 372, 390 418*

Последние элементы в обоих кортежах неправильные; соответствующие элементы паттерна помечены звёздочкой (правильные элементы паттерна должны быть 348 и 420, но числа, соответствующие этим элементам не простые).

Кстати, обратите внимание на паттерны в этих приближённых кортежах длины 19.
Я сейчас решаю задачу поиска симметричного кортежа длины 19 с минимальным диаметром 252 по следующему паттерну (это единственный паттерн для минимального диаметра)
0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

Понятно, что симметричные кортежи длины 19 из последовательных простых чисел могут иметь другие паттерны - с другими (бОльшими) диаметрами.
И найти их, может быть, даже проще, чем кортеж с минимальным диаметром.

PS. Покажу более полный список 17-ок, найденных Врублевским в конкурсе

6837359459759035391
7902083290948579129
8053379680763235601
11954696436290948869
12196464604998841777
14271237683005753507
17667344133365404873
18462005826764715791
258406392900394343851
311634572279873026493
384703558068522780559
401276622469261903031
443707110791502007579
535010601740877140023
568398209014995678701
702939111495760681807
752853880537802642981
1006882292528806742267
1338977422865229706499
2035559077035293441299
3954328349097827424397
4896552110116770789773
6751407944109046348063
7768326730875185894807
19252814175273852997757
20278587540464136529199
24300494153317939112651
25651315879379564172971
32686971428909208943211

Может быть, он нашёл ещё больше 17-ок.
Надо посмотреть в результатах конкурса, сейчас уже не помню.
ID: 8238 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8239 - Posted: 17 Mar 2022, 0:04:59 UTC

Ещё раз об алгоритме Ярослава Врублевского, с помощью которого он искал симметричные кортежи длины 19 из последовательных простых чисел.
Он искал симметричные кортежи длины 17 из последовательных простых чисел, что, наверное, проще, нежели искать кортежи длины 19.
А потом проверял найденные кортежи длины 17 на продолжение до кортежа длины 19.
Увы! В рамках конкурса он не нашёл кортеж длины 19.
А после окончания конкурса, конечно, бросил этот поиск.
ID: 8239 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8244 - Posted: 17 Mar 2022, 5:31:21 UTC
Last modified: 17 Mar 2022, 6:47:28 UTC

С помощью команды PARI/GP расписала полностью все кортежи длины 17, найденные Ярославом Врублевским в конкурсе;
первый элемент кортежа сохранила по списку (чтобы можно было проверить)

6837359459759035391
{6837359459759035391, 6837359459759035433, 6837359459759035451, 6837359459759035457, 6837359459759035463, 6837359459759035511,
6837359459759035517, 6837359459759035541, 6837359459759035547, 6837359459759035553, 6837359459759035577, 6837359459759035583,
6837359459759035631, 6837359459759035637, 6837359459759035643, 6837359459759035661, 6837359459759035703}
 
7902083290948579129
{7902083290948579129, 7902083290948579141, 7902083290948579147, 7902083290948579231, 7902083290948579261, 7902083290948579267,
7902083290948579279, 7902083290948579297, 7902083290948579309, 7902083290948579321, 7902083290948579339, 7902083290948579351,
7902083290948579357, 7902083290948579387, 7902083290948579471, 7902083290948579477, 7902083290948579489} 

8053379680763235601
{8053379680763235601, 8053379680763235619, 8053379680763235649, 8053379680763235661, 8053379680763235703, 8053379680763235733,
8053379680763235739, 8053379680763235751, 8053379680763235781, 8053379680763235811, 8053379680763235823, 8053379680763235829,
8053379680763235859, 8053379680763235901, 8053379680763235913, 8053379680763235943, 8053379680763235961}

11954696436290948869
{11954696436290948869, 11954696436290948887, 11954696436290948929, 11954696436290948947, 11954696436290948959, 11954696436290949007,
11954696436290949013, 11954696436290949037, 11954696436290949043, 11954696436290949049, 11954696436290949073, 11954696436290949079,
11954696436290949127, 11954696436290949139, 11954696436290949157, 11954696436290949199, 11954696436290949217}

12196464604998841777
{12196464604998841777, 12196464604998841813, 12196464604998841861, 12196464604998841873, 12196464604998841891, 12196464604998841897,
12196464604998841903, 12196464604998841927, 12196464604998841957, 12196464604998841987, 12196464604998842011, 12196464604998842017,
12196464604998842023, 12196464604998842041, 12196464604998842053, 12196464604998842101, 12196464604998842137}

14271237683005753507
{14271237683005753507, 14271237683005753531, 14271237683005753537, 14271237683005753591, 14271237683005753603, 14271237683005753621,
14271237683005753657, 14271237683005753663, 14271237683005753687, 14271237683005753711, 14271237683005753717, 14271237683005753753,
14271237683005753771, 14271237683005753783, 14271237683005753837, 14271237683005753843, 14271237683005753867}

17667344133365404873
{17667344133365404873, 17667344133365404903, 17667344133365404921, 17667344133365404957, 17667344133365404963, 17667344133365404981,
17667344133365404987, 17667344133365405023, 17667344133365405047, 17667344133365405071, 17667344133365405107, 17667344133365405113,
17667344133365405131, 17667344133365405137, 17667344133365405173, 17667344133365405191, 17667344133365405221}

18462005826764715791
{18462005826764715791, 18462005826764715869, 18462005826764715881, 18462005826764715893, 18462005826764715911, 18462005826764715953,
18462005826764715959, 18462005826764715983, 18462005826764716001, 18462005826764716019, 18462005826764716043, 18462005826764716049,
18462005826764716091, 18462005826764716109, 18462005826764716121, 18462005826764716133, 18462005826764716211}

258406392900394343851
{258406392900394343851, 258406392900394343863, 258406392900394343881, 258406392900394343893, 258406392900394343911,
258406392900394343923, 258406392900394343929, 258406392900394343953, 258406392900394343971, 258406392900394343989,
258406392900394344013, 258406392900394344019, 258406392900394344031, 258406392900394344049, 258406392900394344061,
258406392900394344079, 258406392900394344091}

311634572279873026493
{311634572279873026493, 311634572279873026511, 311634572279873026517, 311634572279873026553, 311634572279873026571,
311634572279873026577, 311634572279873026601, 311634572279873026631, 311634572279873026637, 311634572279873026643,
311634572279873026673, 311634572279873026697, 311634572279873026703, 311634572279873026721, 311634572279873026757,
311634572279873026763, 311634572279873026781}

384703558068522780559
{384703558068522780559, 384703558068522780583, 384703558068522780589, 384703558068522780601, 384703558068522780631,
384703558068522780643, 384703558068522780649, 384703558068522780673, 384703558068522780691, 384703558068522780709,
384703558068522780733, 384703558068522780739, 384703558068522780751, 384703558068522780781, 384703558068522780793,
384703558068522780799, 384703558068522780823}

401276622469261903031
{401276622469261903031, 401276622469261903037, 401276622469261903043, 401276622469261903061, 401276622469261903103,
401276622469261903121,401276622469261903127, 401276622469261903151, 401276622469261903157, 401276622469261903163,
401276622469261903187, 401276622469261903193, 401276622469261903211, 401276622469261903253, 401276622469261903271,
401276622469261903277, 401276622469261903283}

443707110791502007579
{443707110791502007579, 443707110791502007621, 443707110791502007651, 443707110791502007663, 443707110791502007693,
443707110791502007699, 443707110791502007711, 443707110791502007729, 443707110791502007741, 443707110791502007753,
443707110791502007771, 443707110791502007783, 443707110791502007789, 443707110791502007819, 443707110791502007831,
443707110791502007861, 443707110791502007903}

535010601740877140023
{535010601740877140023, 535010601740877140041, 535010601740877140077, 535010601740877140083, 535010601740877140101,
535010601740877140107, 535010601740877140143, 535010601740877140161, 535010601740877140167, 535010601740877140173,
535010601740877140191, 535010601740877140227, 535010601740877140233, 535010601740877140251, 535010601740877140257,
535010601740877140293, 535010601740877140311}

568398209014995678701
{568398209014995678701, 568398209014995678707, 568398209014995678713, 568398209014995678731, 568398209014995678743,
568398209014995678773, 568398209014995678791, 568398209014995678797, 568398209014995678827, 568398209014995678857,
568398209014995678863, 568398209014995678881, 568398209014995678911, 568398209014995678923, 568398209014995678941,
568398209014995678947, 568398209014995678953}

702939111495760681807
{702939111495760681807, 702939111495760681897, 702939111495760681909, 702939111495760681939, 702939111495760681951,
702939111495760681981, 702939111495760681987, 702939111495760682017, 702939111495760682029, 702939111495760682041,
702939111495760682071, 702939111495760682077, 702939111495760682107, 702939111495760682119, 702939111495760682149,
702939111495760682161, 702939111495760682251}

752853880537802642981
{752853880537802642981, 752853880537802642987, 752853880537802642993, 752853880537802643011, 752853880537802643023,
752853880537802643053, 752853880537802643077, 752853880537802643101, 752853880537802643107, 752853880537802643113,
752853880537802643137, 752853880537802643161,752853880537802643191, 752853880537802643203, 752853880537802643221,
752853880537802643227, 752853880537802643233}

1006882292528806742267
{1006882292528806742267, 1006882292528806742273, 1006882292528806742291, 1006882292528806742303, 1006882292528806742333,
1006882292528806742351, 1006882292528806742357, 1006882292528806742381, 1006882292528806742387, 1006882292528806742393,
1006882292528806742417, 1006882292528806742423, 1006882292528806742441, 1006882292528806742471, 1006882292528806742483,
1006882292528806742501, 1006882292528806742507}

1338977422865229706499
{1338977422865229706499, 1338977422865229706511, 1338977422865229706523, 1338977422865229706529, 1338977422865229706541,
1338977422865229706553, 1338977422865229706583, 1338977422865229706589, 1338977422865229706631, 1338977422865229706673,
1338977422865229706679, 1338977422865229706709, 1338977422865229706721, 1338977422865229706733, 1338977422865229706739,
1338977422865229706751, 1338977422865229706763}

2035559077035293441299
{2035559077035293441299, 2035559077035293441311, 2035559077035293441323, 2035559077035293441341, 2035559077035293441353,
2035559077035293441383, 2035559077035293441389, 2035559077035293441413, 2035559077035293441431, 2035559077035293441449,
2035559077035293441473, 2035559077035293441479, 2035559077035293441509, 2035559077035293441521, 2035559077035293441539,
2035559077035293441551, 2035559077035293441563}

3954328349097827424397
{3954328349097827424397, 3954328349097827424403, 3954328349097827424421, 3954328349097827424433, 3954328349097827424463,
3954328349097827424481, 3954328349097827424487, 3954328349097827424511, 3954328349097827424517, 3954328349097827424523,
3954328349097827424547, 3954328349097827424553, 3954328349097827424571, 3954328349097827424601, 3954328349097827424613,
3954328349097827424631, 3954328349097827424637}

4896552110116770789773
{4896552110116770789773, 4896552110116770789779, 4896552110116770789797, 4896552110116770789809, 4896552110116770789839,
4896552110116770789857, 4896552110116770789863, 4896552110116770789887, 4896552110116770789893, 4896552110116770789899,
4896552110116770789923, 4896552110116770789929, 4896552110116770789947, 4896552110116770789977, 4896552110116770789989,
4896552110116770790007, 4896552110116770790013}

6751407944109046348063
{6751407944109046348063, 6751407944109046348069, 6751407944109046348087, 6751407944109046348099, 6751407944109046348129,
6751407944109046348147, 6751407944109046348153, 6751407944109046348177, 6751407944109046348183, 6751407944109046348189,
6751407944109046348213, 6751407944109046348219, 6751407944109046348237, 6751407944109046348267, 6751407944109046348279,
6751407944109046348297, 6751407944109046348303}

7768326730875185894807
{7768326730875185894807, 7768326730875185894813, 7768326730875185894831, 7768326730875185894843, 7768326730875185894873,
7768326730875185894891, 7768326730875185894897, 7768326730875185894921, 7768326730875185894927, 7768326730875185894933,
7768326730875185894957, 7768326730875185894963, 7768326730875185894981, 7768326730875185895011, 7768326730875185895023,
7768326730875185895041, 7768326730875185895047}

19252814175273852997757
{19252814175273852997757, 19252814175273852997763, 19252814175273852997781, 19252814175273852997793, 19252814175273852997823,
19252814175273852997841, 19252814175273852997847, 19252814175273852997871, 19252814175273852997877, 19252814175273852997883,
19252814175273852997907, 19252814175273852997913, 19252814175273852997931, 19252814175273852997961, 19252814175273852997973, 
19252814175273852997991, 19252814175273852997997}

20278587540464136529199
{20278587540464136529199, 20278587540464136529211, 20278587540464136529229, 20278587540464136529241, 20278587540464136529259,
20278587540464136529271, 20278587540464136529277, 20278587540464136529301, 20278587540464136529319, 20278587540464136529337,
20278587540464136529361, 20278587540464136529367, 20278587540464136529379, 20278587540464136529397, 20278587540464136529409,
20278587540464136529427, 20278587540464136529439}

24300494153317939112651
{24300494153317939112651, 24300494153317939112663, 24300494153317939112669, 24300494153317939112681, 24300494153317939112693,
24300494153317939112723, 24300494153317939112729, 24300494153317939112753, 24300494153317939112771, 24300494153317939112789,
24300494153317939112813, 24300494153317939112819, 24300494153317939112849, 24300494153317939112861, 24300494153317939112873,
24300494153317939112879, 24300494153317939112891}

25651315879379564172971
{25651315879379564172971, 25651315879379564172983, 25651315879379564172989, 25651315879379564173001, 25651315879379564173013,
25651315879379564173043, 25651315879379564173049, 25651315879379564173073, 25651315879379564173091, 25651315879379564173109,
25651315879379564173133, 25651315879379564173139, 25651315879379564173169, 25651315879379564173181, 25651315879379564173193,
25651315879379564173199, 25651315879379564173211}

32686971428909208943211
{32686971428909208943211, 32686971428909208943223, 32686971428909208943241, 32686971428909208943253, 32686971428909208943271,
32686971428909208943283, 32686971428909208943289, 32686971428909208943313, 32686971428909208943331, 32686971428909208943349,
32686971428909208943373, 32686971428909208943379, 32686971428909208943391, 32686971428909208943409, 32686971428909208943421,
32686971428909208943439, 32686971428909208943451}

Каждый кортеж расписывала одной командой, потом копировала с экрана, могла ошибиться при копировании.

Надо бы сюда ещё паттерны приписать.
Ну, паттерн легко получить по полному кортежу.
Надеюсь, всем понятно, как это сделать.
Пример
{258406392900394343851, 258406392900394343863, 258406392900394343881, 258406392900394343893, 258406392900394343911,
258406392900394343923, 258406392900394343929, 258406392900394343953, 258406392900394343971, 258406392900394343989,
258406392900394344013, 258406392900394344019, 258406392900394344031, 258406392900394344049, 258406392900394344061,
258406392900394344079, 258406392900394344091}

Этот кортеж, записанный с паттерном
258406392900394343851: 0 12 30 42 60 72 78 102 120 138 162 168 180 198 210 228 240

PS. Кстати, выше этот кортеж приведён с другим паттерном.
Видимо, я там ошиблась.
Надо проверить, какой кортеж соответствует тому паттерну.

Ошибку исправила в том сообщении.
Там такой кортеж
1006882292528806742267: 0 6 24 36 66 84 90 114 120 126 150 156 174 204 216 234 240

Врублевский нашёл четыре 17-ки с минимальным диаметром 240 и с таким паттерном, вот ещё три
4896552110116770789773: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240 
3954328349097827424397: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
6751407944109046348063: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
ID: 8244 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8245 - Posted: 17 Mar 2022, 6:43:45 UTC

Господа!
Мне очень трудно без оппонентов.
Пожалуйста, вникайте в тему и участвуйте в обсуждении.
Задавайте ваши вопросы, чтобы быстрее войти в тему.
Тема довольно сложная, тем более - нерешённая проблема.
Знаю, что есть много людей, которые работают в теме кортежей из последовательных простых чисел (симметричных и не симметричных).
Но, к сожалению, не имею контактов с этими людьми.
Если вы знаете таких людей и имеете их контакты, пожалуйста, напишите им ссылку на эту тему.
ID: 8245 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 8812
Credit: 0
RAC: 0
Message 8246 - Posted: 17 Mar 2022, 11:24:27 UTC
Last modified: 22 Apr 2022, 4:47:40 UTC

А программа у меня работает!
Черепашка - умница, тащит, пусть медленно, но тащит.
Сейчас у меня в программе 70 формул.
Ой, до двухсот миллионов формул (как у господина Петухова), как до Луны! :)
Сейчас нашёлся опять неполный кортеж длины 11

{3554575123837841813, 3554575123837841843, 3554575123837841861, 3554575123837841867, 3554575123837841891, 3554575123837841897,
3554575123837841903, 3554575123837841927, 3554575123837841933, 3554575123837841951, Х}

Последний элемент кортежа, обозначенный Х, неправильный.
Запишу этот кортеж с паттерном
3554575123837841813: 0 30 48 54 78 84 90 114 120 138 168*

Элемент паттерна 168 правильный, но число, соответствующее этому элементу, не простое.

Полные кортежи длины 11 ещё не нашлись.
Не говорю уж о кортежах бОльшей длины.

Ну, программа работает правильно, некоторые правильные наборы находит.
Правда, пока очень короткие. Хотя бы 13-ку найти полную.
Однако... 10 правильных чисел из 19 - это уже больше 50% :)))

Эх, развернуть бы это на хорошей технике!!

Покажу и здесь свою черепашку

ID: 8246 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
1 · 2 · 3 · 4 . . . 10 · Next

Message boards : Science : Нерешённая проблема теории чисел


©2022 (C) Progger