Глава 1. История

О SOLS(10) и SODLS(10) я узнала в своей дискуссионной группе (в домашней почте).
Процитирую два письма.
Первое письмо, оно было получено в марте 2017 г.

Dear friends,

A self-orthogonal diagonal Latin square of order 10 (SODLS(10)) was found by Bennett, Du, and Zhang by an exhaustive search using a computer [1].
SODLS(10) : orthogonal to its transpose

0 7 6 9 3 2 4 8 5 1
9 1 0 6 8 7 5 3 4 2
4 8 2 7 1 3 9 5 6 0
6 5 8 3 0 9 2 1 7 4
8 9 5 1 4 6 7 0 2 3
1 3 4 0 7 5 8 2 9 6
7 4 3 8 2 1 6 9 0 5
5 2 9 4 6 0 1 7 3 8
2 0 1 5 9 4 3 6 8 7
3 6 7 2 5 8 0 4 1 9
transpose
0 9 4 6 8 1 7 5 2 3
7 1 8 5 9 3 4 2 0 6
6 0 2 8 5 4 3 9 1 7
9 6 7 3 1 0 8 4 5 2
3 8 1 0 4 7 2 6 9 5
2 7 3 9 6 5 1 0 4 8
4 5 9 2 7 8 6 1 3 0
8 3 5 1 0 2 9 7 6 4
5 4 6 7 2 9 0 3 8 1
1 2 0 4 3 6 5 8 7 9

[1] Frank E. Bennett, Beiliang Du, Hantao Zhang, Existence of self-orthogonal diagonal Latin squares with a missing subsquare,
Discrete Mathematics 261 (2003) 69-86.

Best regares,
Mitsutoshi

В письме вы видите расшифровку аббревиатуры SODLS(10).
SOLS(10) - то же самое, только для не диагональных латинских квадратов.
Кроме того, в письме есть ссылка на статью, из которой взят приведённый пример. Кажется, это 2003 год.
Из письма понятно и определение SODLS - это такой ДЛК, который ортогонален своему транспонированному.

Поскольку речь здесь пойдёт только о SOLS и SODLS 10-го порядка, буду писать просто SOLS и SODLS, опуская указание на порядок 10.
Вот это был первый пример SODLS, о котором я узнала.
Сейчас покажу иллюстрацию приведённой пары SODLS.
Потом продолжу.

Иллюстрация SODLS из предыдущего поста

Второе письмо было ответом на первое, цитирую

Dear Mitsutoshi,

Many thanks by that reference with an example of SODLS of order 10. I had an example obtained by Hedayat (1971) by using the sum composition technique, but it is not diagonal. The SODLS of order 10 seem to be very rare … in a reasonable time by using a backtracking program … none !

К письму прикреплена иллюстрация пары SOLS, о которой идёт речь. Это, кажется, 1971 год!

Показываю иллюстрацию

У меня в рабочем файле приведено небольшое исследование ЛК, изображённого слева на иллюстрации, программой Беляева.

0 1 2 3 4 5 6 9 8 7
3 6 5 4 0 8 7 1 9 2
9 0 1 7 8 6 3 2 5 4
7 9 6 5 2 3 1 0 4 8
8 2 9 1 7 4 0 5 6 3
1 3 4 9 5 2 8 6 7 0
2 5 0 8 9 7 4 3 1 6
5 4 7 6 3 9 2 8 0 1
6 7 8 2 1 0 9 4 3 5
4 8 3 0 6 1 5 7 2 9

Этот ЛК имеет 10 ортогональных соквадратов и даёт псевдотройку с максимальной х. о. 82.

Name:a33.txt
1 - only the diagonal
Max=2000
1
76 70 74 90 60 80 76 66 70 66 :728
 sq=10 64 67 70 73 82
 cm=82  cmm=82
END

Я много писала о SOLS и SODLS на форуме Math Help Planet в теме "Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка".
Harry White прислал мне свою программу поиска SODLS, и я довольно много занималась этим поиском.

А потом о SODLS узнал Белышев и... сразу всё нашёл :)
Читайте об этом далее.

Забегая немного вперёд...
Сейчас проверила 121642 SOLS по ссылке, приведённой Белышевым, его программой family_mar
Вот протокол, чтобы потом второй раз не проверять

Поиск марьяжных ДЛК (кроме симметричных) для семейства ЛК

Введено ЛК: 121642

Найдено марьяжных ДЛК: 33747 они записаны в файл output.txt
Время работы в сек   : 5579.19

Пока ничего не проверяла из этого результата.
Я помню, что Белышев выкладывал 30502 КФ SODLS.
Но ещё помню, что SODLS отлично клонируются при вторичной обработке Канонизатором ЛК по ДЛК.
В своё время я эту обработку выполняла. Сейчас будет просто проверка всех результатов.
Об этом позже.

Итак, продолжаем смотреть историю. Она, право же, очень интересная.

Вот здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=87053#post87053
Белышев дал ссылку на список SOLS, которую он нашёл в Сети

whitefox;87053 wrote:

Вот здесь перечислены все 121642 представителя классов RC-paratopism SOLS10 (осторожно, почти 12 МБ). Не так и много, но SODLS может быть на несколько порядков больше (или меньше :) ).

Внутри цитаты ссылка "зашита".
Найдены 121642 SOLS, это представители каких-то "классов RC-paratopism SOLS10". ХЗ :)
Ну, важно, что это SOLS.

Дальше читайте следующие за указанным сообщения на форуме boinc.ru, там идёт обсуждение этой находки.
Сначала Ватутин увидел среди этих 121642 SOLS 71 ДЛК.
Ну, да, это легко увидеть.
Покажу, как обрабатывает эти SOLS утилита Harry White GetType

Saturday 2018-12-01 09:28:29 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail.txt

Counts
------
    121571 Latin
        71 diagonal Latin
    121642 natural \diagonal
    121642 self-orthogonal

elapsed time 0:00:05

Another order? input y (yes), n (no) or the order:

В отчёте видим: 71 diagonal Latin, 121642 self-orthogonal.

Таким образом, сразу имеем 71 пару SODLS.
Дальше было интереснее!

Отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=87070#post87070
цитирую
whitefox;87070 wrote:

evatutin;87056 wrote:

И среди них 71 ДЛК, от которых получилось построить 142 представителя ОДЛК :199:

Это только те, что лежат на поверхности. Нужно копать глубже. :)

Имеем 121642 класса эквивалентности SOLS, в каждый класс входят до 2*(10!)^2 = 26336378880000 SOLS, из них до 2*10! = 7257600 нормализованных (с главной диагональю вида 0123456789) SOLS. В качестве представителя каждого класса был выбран наименьший в лексикографическом порядке нормализованный SOLS.

Так получилось, что у 71 класса эквивалентности наименьший SOLS оказался ДЛК (а потому и SODLS). Но всякий SODLS является SOLS, а потому принадлежит какому-то классу эквивалентности SOLS. И чтобы найти все SODLS достаточно только найти все ДЛК входящие во все эти классы эквивалентности SOLS. Для этого не понадобится выполнять по 7257600 преобразований для каждого класса эквивалентности, достаточно будет выполнить только по 945.

И здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=87090#post87090
потрясающий финал!

whitefox;87090 wrote:

Написал программу. Было найдено 30534 SODLS, из них существенно различных 30502. Время работы 4 секунды.

З0502 КФ SODLS были найдены за 4 секунды!
Ну, плюс ещё время написания программы. Не думаю, что это время очень большое.

PS. В цитате "зашиты" ссылки.

А теперь посмотрим, как эти 30502 КФ SODLS обрабатывает утилита Harry White GetType

Saturday 2018-12-01 10:23:31 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail.txt

Counts
------
     30502 diagonal Latin
     30502 nfr
       161 self-orthogonal

elapsed time 0:00:02

nfr - (как я понимаю) нормализованный по первой строке.

Почему self-orthogonal осталось только 161? Всё очень просто: не все КФ ортогональны своему транспонированному варианту.
Таких КФ и есть 161.
Утилита Harry помогла мне быстро найти пример КФ, которая ортогональна своему транспонированному варианту.
Вот этот пример

это КФ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 0 1 5 4 8 9 7 6
7 8 1 9 0 6 3 4 2 5
5 4 7 6 2 9 0 8 1 3
6 7 4 5 8 3 2 1 9 0
9 2 3 4 1 7 5 6 0 8
1 5 8 2 6 0 9 3 4 7
3 0 5 7 9 8 4 2 6 1
4 6 9 8 3 1 7 0 5 2
8 9 6 0 7 2 1 5 3 4

это её транспонированный вариант
0 2 7 5 6 9 1 3 4 8
1 3 8 4 7 2 5 0 6 9
2 0 1 7 4 3 8 5 9 6
3 1 9 6 5 4 2 7 8 0
4 5 0 2 8 1 6 9 3 7
5 4 6 9 3 7 0 8 1 2
6 8 3 0 2 5 9 4 7 1
7 9 4 8 1 6 3 2 0 5
8 7 2 1 9 0 4 6 5 3
9 6 5 3 0 8 7 1 2 4

Проверяю своей программкой ортогональность этих ДЛК, программа выдаёт

KVADRATY ORTOGONALNY!!!

 0  12  27  35  46  59  61  73  84  98 
 21  33  8  14  57  42  85  90  76  69 
 72  80  11  97  4  63  38  45  29  56 
 53  41  79  66  25  94  2  87  18  30 
 64  75  40  52  88  31  26  19  93  7 
 95  24  36  49  13  77  50  68  1  82 
 16  58  83  20  62  5  99  34  47  71 
 37  9  54  78  91  86  43  22  60  15 
 48  67  92  81  39  10  74  6  55  23 
 89  96  65  3  70  28  17  51  32  44

Глава 2. Современность

Проверяю 30502 КФ SODLS на симметрии программой Белышева

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 30502
Из них симметричных        : 18

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 2.7 сек

Список симметрий

(1,1,1)
(27,27,27)

Очень интересно!

Проверяю 121642 SOLS на симметрии

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 121642
57993
115545
Из них симметричных        : 188

Найдено различных симметрий: 4
Время работы               : 10.712 сек

Список симметрий

(1,1,1)
(16,16,16)
(27,27,27)
(30,30,30)

Ещё интереснее!

Отдельно по симметриям

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 121642
Введите код симметрии:
(16,16,16)
58353
116551
Квадратов с симметрией (16,16,16) найдено: 1
они записаны в файл symm_16_16_16.txt
Время поиска: 10.453 сек

Продолжить? (Y/N): y

Введите код симметрии:
(27,27,27)
58459
Квадратов с симметрией (27,27,27) найдено: 182
они записаны в файл symm_27_27_27.txt
Время поиска: 9.616 сек

Продолжить? (Y/N): y

Введите код симметрии:
(30,30,30)
77701
Квадратов с симметрией (30,30,30) найдено: 5
они записаны в файл symm_30_30_30.txt
Время поиска: 7.836 сек

Обалденно интересно!

Покажу стандарты для симметрий (16,16,16) и (30,30,30), их немного.
Для симметрии (16,16,16) стандарт всего один

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 5 6 7 8 9 2
2 3 0 1 7 9 8 4 6 5
3 5 9 7 1 2 0 6 4 8
4 6 8 5 9 7 2 1 3 0
5 7 6 9 8 1 4 2 0 3
6 9 7 8 0 3 1 5 2 4
7 8 1 0 2 4 3 9 5 6
8 4 5 2 6 0 9 3 7 1
9 2 4 6 3 8 5 0 1 7

И сразу покажу очевидную симметрию

(16,16,16)
0 3 1 2 5 4 7 8 6 9
1 2 0 3 9 6 8 7 4 5
2 1 3 7 8 0 5 4 9 6
3 4 6 8 1 5 9 2 0 7
4 8 9 6 7 3 0 5 2 1
5 7 4 0 6 2 3 9 1 8
6 0 7 9 4 8 1 3 5 2
7 9 5 4 0 1 2 6 8 3
8 5 2 1 3 9 6 0 7 4
9 6 8 5 2 7 4 1 3 0

(27,27,27)
0 7 8 9 3 1 2 4 5 6
9 1 6 0 4 7 5 3 2 8
7 0 2 4 6 5 8 9 1 3
8 5 0 3 9 4 6 1 7 2
6 4 7 5 1 3 9 2 8 0
4 6 5 8 7 2 1 0 3 9
5 9 4 6 2 8 3 7 0 1
2 3 9 1 8 6 0 5 4 7
3 2 1 7 0 9 4 8 6 5
1 8 3 2 5 0 7 6 9 4

Опа! А симметрия (16,16,16) совместная с симметрией (27,27,27).
А программа avtoizor выдаёт

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0528917634 9351726480 9351726480 -> (16,16,16)
** 6321890745 6432170589 1087956324 -> (16,16,16)
** 6924537018 9274530186 3984026157 -> (27,27,27)
** 7429186053 0547219386 7429186053 -> (16,16,16)
** 7825340691 6715349280 4750386921 -> (27,27,27)

Как всегда симметрия (27,27,27) двукратная. Симметрия (16,16,16) трёхкратная.

Для симметрии (30,30,30) стандартов пять

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 5 6 7 8 9 4
2 3 0 4 6 8 9 1 7 5
3 2 4 0 7 9 5 6 1 8
4 5 6 7 0 2 8 9 3 1
5 6 8 9 2 0 1 3 4 7
6 7 9 5 8 1 0 4 2 3
7 8 1 6 9 3 4 0 5 2
8 9 7 1 3 4 2 5 0 6
9 4 5 8 1 7 3 2 6 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 2 6 7 8 9 5
2 3 5 1 8 7 4 9 6 0
3 6 9 7 5 8 1 0 2 4
4 7 6 9 3 2 5 1 0 8
5 9 8 0 6 4 3 2 7 1
6 5 0 2 9 1 8 4 3 7
7 8 4 5 0 9 2 6 1 3
8 4 7 6 1 0 9 3 5 2
9 2 1 8 7 3 0 5 4 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 5 6 7 8 9 2
2 3 0 5 7 8 4 9 6 1
3 5 1 0 9 4 8 2 7 6
4 6 9 8 0 1 2 3 5 7
5 7 8 2 1 0 9 6 4 3
6 4 7 9 2 3 0 5 1 8
7 2 6 1 8 9 5 0 3 4
8 9 4 7 6 2 3 1 0 5
9 8 5 6 3 7 1 4 2 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 5 6 7 8 9 2
2 3 6 1 9 8 4 5 0 7
3 9 5 2 0 7 8 6 4 1
4 8 9 6 7 0 2 3 1 5
5 7 8 9 2 4 3 1 6 0
6 4 0 7 1 3 5 9 2 8
7 2 1 8 3 9 0 4 5 6
8 5 4 0 6 1 9 2 7 3
9 6 7 5 8 2 1 0 3 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 5 6 7 8 9 2
2 3 7 1 8 0 4 9 5 6
3 6 5 8 0 9 1 2 7 4
4 9 8 7 3 2 0 5 6 1
5 8 6 9 2 7 3 4 1 0
6 4 9 5 1 8 2 3 0 7
7 5 0 2 9 1 8 6 4 3
8 2 1 6 7 4 9 0 3 5
9 7 4 0 6 3 5 1 2 8

Эх, как хотелось бы узнать суть симметрии (30,30,30)!!

PS. Показанные стандарты для симметрий (16,16,16) и (30,30,30) "пустышки", то есть не дают ОДЛК.

Сейчас у меня идёт проверка Замыкания всех КФ SOLDS.
Как я уже писала, раньше выполнила эту процедуру ещё старым Канонизатором ЛК по ДЛК.
Теперь проверю, полное ли Замыкание я тогда нашла.

Ну и проверку псевдотроек от всех 121642 SOLS запустила. А вдруг!
Пока выше х. о. 82 не прыгает. Проверена почти половина всех ЛК.

Кроме того, весьма интересны симметрии от SOLS. Надо на них посмотреть.

А эти стандарты для симметрии (27,27,27) уже не "пустышки"

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 30502
Введите код симметрии:
(27,27,27)
Квадратов с симметрией (27,27,27) найдено: 16
они записаны в файл symm_27_27_27.txt
Время поиска: 1.979 сек

Вот, значит, какие эти SODLS: они дали 16 стандартов с симметрией (27,27,27)!
Показываю все эти стандарты

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 1 5 8 3 9 4 7 6
3 9 4 7 2 8 5 0 6 1
4 6 9 1 0 7 3 5 2 8
5 7 0 8 6 4 2 9 1 3
6 8 7 9 1 2 4 3 0 5
7 5 6 0 3 9 8 1 4 2
8 4 5 2 9 0 1 6 3 7
9 3 8 6 7 1 0 2 5 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 1 7 9 3 5 6 4 8
3 9 7 5 8 4 0 2 6 1
4 8 9 2 6 0 3 1 7 5
5 6 4 1 3 9 8 0 2 7
6 7 5 8 1 2 4 9 0 3
7 3 8 9 0 1 2 4 5 6
8 5 6 0 2 7 9 3 1 4
9 4 0 6 7 8 1 5 3 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 1 9 6 8 5 4 7 3
3 4 5 8 7 9 0 6 2 1
4 8 7 2 9 3 1 5 0 6
5 6 9 0 8 4 2 3 1 7
6 9 4 7 2 1 8 0 3 5
7 5 8 1 0 2 3 9 6 4
8 7 6 5 3 0 9 1 4 2
9 3 0 6 1 7 4 2 5 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 4 8 1 7 5 9 3 6
3 4 6 9 7 8 0 1 2 5
4 3 8 1 0 2 9 6 5 7
5 8 9 6 2 4 3 0 7 1
6 7 0 5 3 9 2 4 1 8
7 9 1 2 6 0 8 5 4 3
8 6 5 7 9 3 1 2 0 4
9 5 7 0 8 1 4 3 6 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 4 9 6 8 1 5 3 7
3 4 8 1 7 0 9 6 2 5
4 6 5 2 0 1 8 9 7 3
5 8 9 6 3 7 4 0 1 2
6 3 7 5 8 9 2 4 0 1
7 9 0 8 1 3 5 2 4 6
8 5 1 7 9 2 0 3 6 4
9 7 6 0 2 4 3 1 5 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 5 1 6 8 3 9 4 7
3 7 0 9 8 4 1 2 5 6
4 6 8 7 2 9 5 1 0 3
5 3 9 6 7 0 8 4 1 2
6 4 1 8 9 7 0 3 2 5
7 5 4 2 0 1 9 6 3 8
8 9 6 0 3 2 4 5 7 1
9 8 7 5 1 3 2 0 6 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 5 6 8 7 9 3 4 1
3 9 6 0 2 4 8 5 1 7
4 3 7 8 9 0 5 1 2 6
5 7 9 2 6 8 1 4 0 3
6 5 4 9 7 1 2 0 3 8
7 8 0 1 3 9 4 2 6 5
8 6 1 5 0 2 3 9 7 4
9 4 8 7 1 3 0 6 5 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 6 1 9 3 8 4 5 7
3 8 7 6 0 4 1 9 2 5
4 5 9 2 3 7 0 1 6 8
5 7 8 0 2 1 9 3 4 6
6 9 1 8 7 0 5 2 3 4
7 3 5 9 8 2 4 6 0 1
8 6 4 5 1 9 3 0 7 2
9 4 0 7 6 8 2 5 1 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 6 5 7 9 4 1 3 8
3 6 5 7 1 8 2 9 0 4
4 8 0 6 9 7 5 3 2 1
5 7 1 8 6 2 9 0 4 3
6 9 7 1 3 0 8 4 5 2
7 5 4 9 8 3 0 2 1 6
8 3 9 0 2 4 1 5 6 7
9 4 8 2 0 1 3 6 7 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 6 7 9 8 1 3 5 4
3 9 4 8 0 2 5 6 7 1
4 5 8 1 7 0 9 2 3 6
5 6 7 0 8 9 3 1 4 2
6 8 9 5 1 7 0 4 2 3
7 3 5 9 2 1 4 0 6 8
8 7 1 6 3 4 2 9 0 5
9 4 0 2 6 3 8 5 1 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 8 6 1 9 3 4 5 7
3 5 0 7 8 4 1 9 2 6
4 3 5 8 6 2 9 0 7 1
5 7 4 9 0 8 2 1 6 3
6 4 1 2 9 7 0 5 3 8
7 9 6 1 3 0 8 2 4 5
8 6 9 5 7 1 4 3 0 2
9 8 7 0 2 3 5 6 1 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 9 1 6 7 8 4 5 3
3 4 8 5 9 2 0 1 7 6
4 3 5 8 7 0 9 2 6 1
5 9 0 2 1 8 4 6 3 7
6 8 7 0 2 9 5 3 1 4
7 6 4 9 0 1 3 5 2 8
8 7 1 6 3 4 2 9 0 5
9 5 6 7 8 3 1 0 4 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 9 1 7 8 3 4 5 6
3 7 0 9 1 2 8 5 6 4
4 8 6 0 3 9 5 2 1 7
5 6 4 8 9 7 2 3 0 1
6 9 1 2 8 3 4 0 7 5
7 3 8 5 0 1 9 6 4 2
8 4 5 7 6 0 1 9 2 3
9 5 7 6 2 4 0 1 3 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 9 6 8 7 4 1 3 5
3 7 6 8 0 9 1 5 4 2
4 5 8 7 6 2 9 3 0 1
5 8 0 1 7 3 2 9 6 4
6 3 7 5 9 1 0 4 2 8
7 9 4 0 2 8 5 6 1 3
8 4 5 9 1 0 3 2 7 6
9 6 1 2 3 4 8 0 5 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 3 5 8 7 9 4 1 0 6
3 4 7 9 6 2 8 0 1 5
4 8 6 0 1 7 3 9 5 2
5 9 1 6 8 0 2 3 4 7
6 7 8 5 0 3 9 4 2 1
7 0 9 2 3 8 1 5 6 4
8 6 0 1 9 4 5 2 7 3
9 5 4 7 2 1 0 6 3 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 4 6 9 7 8 1 5 0 3
3 6 1 5 9 7 0 2 4 8
4 0 5 7 8 2 9 3 1 6
5 9 0 8 1 4 3 6 7 2
6 7 8 0 2 1 4 9 3 5
7 5 9 2 3 0 8 4 6 1
8 3 7 1 6 9 2 0 5 4
9 8 4 6 0 3 5 1 2 7

В теме "Симметрия (27,27,27)" я выложила 19 стандартов для симметрии (27,27,27)
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=96&postid=2661#2661

Утилита В. Чиркова сравнивает выложенные ранее 19 стандартов и найденные от SODLS 16 стандартов для симметрии (27,27,27):

Имя входного файла ИСТОЧНИК (без расширения):symm_27_27_27
Имя входного файла ВЫЧИТАЕМОЕ (без расширения):input
symm_27_27_27.txt
Всего 16 квадратов (вход) в symm_27_27_27.txt
input.txt
Всего 19 квадратов (вход) в input.txt
Уникальных 0 квадратов (выход).
Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

Все 16 стандартов из числа 19 стандартов! Замечательно!

Выполняю Замыкание для 16 стандартов с симметрией (27,27,27), найденных от SODLS

Поиск всех КФ марьяжных ДЛК для ЛК

Введено ЛК: 16

Проверено ДЛК           : 1662
Найдено КФ марьяжных ДЛК: 19
Время работы в сек      : 0.877

*************************************************
╚чтыхўхэшх шэЇюЁьрЎшш

=================================================
Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 19
Найдено КФ ЛК: 16
Время работы : 0.012 сек

Поиск всех КФ марьяжных ДЛК для ЛК

Введено ЛК: 16

Проверено ДЛК           : 1662
Найдено КФ марьяжных ДЛК: 19
Время работы в сек      : 0.802

Найдено марьяжных КФ:
count[1] = 19
Всего: 19
Найдено соквадратов: 19
КФ соквадратов: 19

Обработала найденные 19 КФ ОДЛК утилитой Harry White GetType

Saturday 2018-12-01 13:14:09 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail_1.txt

Counts
------
        19 diagonal Latin
        19 natural \diagonal
        10 self-orthogonal

Красота! Даже есть 10 КФ, которые self-orthogonal, то есть они ортогональны своему транспонированному варианту.
Остальные 9 КФ ОДЛК тоже, разумеется, из классов эквивалентности SODLS, только они не те ДЛК, которые ортогональны своему транспонированному варианту.

Приведу пример.
Берём самую первую КФ из найденных 19

0 2 3 5 9 4 8 6 7 1
4 1 7 0 3 9 5 8 2 6
7 6 2 9 5 1 3 0 4 8
2 8 1 3 6 7 4 5 9 0
8 0 5 7 4 6 9 3 1 2
9 4 8 6 7 5 2 1 0 3
3 9 4 8 1 0 6 2 5 7
6 5 9 1 2 8 0 7 3 4
1 3 6 4 0 2 7 9 8 5
5 7 0 2 8 3 1 4 6 9

Данная КФ не self-orthogonal.

Теперь ищем все изоморфы этой КФ, то есть все ДЛК класса эквивалентности, который представляет данная КФ.
Делаем это программой Белышева izomorfDLK10A.
Программа выдаёт следующее:

Программа поиска нормализованых изоморфов данного ДЛК10:

0 2 3 5 9 4 8 6 7 1
4 1 7 0 3 9 5 8 2 6
7 6 2 9 5 1 3 0 4 8
2 8 1 3 6 7 4 5 9 0
8 0 5 7 4 6 9 3 1 2
9 4 8 6 7 5 2 1 0 3
3 9 4 8 1 0 6 2 5 7
6 5 9 1 2 8 0 7 3 4
1 3 6 4 0 2 7 9 8 5
5 7 0 2 8 3 1 4 6 9

Уникальных изоморфов: 15360
Они записаны в файл out_EYSZXZ.txt

Вот такой класс эквивалентности - содержит 15360 уникальных изоморфов (максимально возможное количество изоморфов).

А теперь проверяем эти 15360 изоморфов утилитой Harry White GetType

Saturday 2018-12-01 14:30:46 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail_2.txt

Counts
------
     15360 diagonal Latin
     15360 nfr
      7680 self-orthogonal

Очень интересно! Ровно половина всех изоморфов self-orthogonal.
Ну вот, например, первый из них (как подсказывает утилита Harry):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 0 4 1 8 5 9 6 7
8 4 1 5 6 0 7 3 9 2
6 5 7 9 2 3 8 4 1 0
7 0 5 6 8 2 9 1 3 4
3 6 9 1 5 7 4 0 2 8
4 9 8 0 3 1 2 6 7 5
9 8 4 2 7 6 1 5 0 3
5 7 6 8 0 9 3 2 4 1
1 2 3 7 9 4 0 8 5 6

Щас проверю :)

Проверила. Всё правильно. Моя программа проверки ортогональности утверждает, что

KVADRATY ORTOGONALNY!!!

 0  12  28  36  47  53  64  79  85  91 
 21  33  4  45  10  86  59  98  67  72 
 82  40  11  57  65  9  78  34  96  23 
 63  54  75  99  26  31  80  42  18  7 
 74  1  56  62  88  25  93  17  30  49 
 35  68  90  13  52  77  41  6  29  84 
 46  95  87  8  39  14  22  61  73  50 
 97  89  43  24  71  60  16  55  2  38 
 58  76  69  81  3  92  37  20  44  15 
 19  27  32  70  94  48  5  83  51  66 

Кстати, закон составления ЛК слева на иллюстрации



это в точности построение по квази-разностной матрице.
Сравните с иллюстрацией из моей статьи



В своё время я подробно писала о построении ЛК с помощью квази-разностной матрицы на форуме Math Help Planet в теме "Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка".
С помощью такого построения я нашла свою первую рекордную псевдотройку с х. о. 82.
Обратите внимание: ЛК с верхней иллюстрации тоже даёт псевдотройку с х. о. 82.

Смотрите, например, это сообщение на форуме MHP
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=258175#p258175
и далее.

И это ещё не всё!
ЛК с верхней иллюстрации (расположенный слева)

0 1 2 3 4 5 6 9 8 7
3 6 5 4 0 8 7 1 9 2
9 0 1 7 8 6 3 2 5 4
7 9 6 5 2 3 1 0 4 8
8 2 9 1 7 4 0 5 6 3
1 3 4 9 5 2 8 6 7 0
2 5 0 8 9 7 4 3 1 6
5 4 7 6 3 9 2 8 0 1
6 7 8 2 1 0 9 4 3 5
4 8 3 0 6 1 5 7 2 9

"симметричный" со следующими симметриями

(1,1,1)
(27,27,27)
(30,30,30)

А программа avtoizor выдаёт для этого ЛК

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 1234567809 1234567809 3678210549 -> (30,30,30)
** 2345678019 2345678019 8054763129 -> (30,30,30)
** 3456780129 3456780129 4312508679 -> (27,27,27)
** 4567801239 4567801239 2867134059 -> (30,30,30)
** 5678012349 5678012349 7405682319 -> (30,30,30)
** 6780123459 6780123459 5231047869 -> (27,27,27)
** 7801234569 7801234569 1786325409 -> (30,30,30)
** 8012345679 8012345679 6540871239 -> (30,30,30)

Симметрия (27,27,27) как всегда двукратная, а симметрия (30,30,30) шестикратная.
Крутой SOLS был придуман в 1971 году!
Но с точки зрения ОДЛК этот ЛК "пустышка".

Листая тему "Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка" на форуме Math Help Planet, наткнулась на это сообщение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=257989#p257989
Цитирую

Нашла статью в Интернете
https://cs.anu.edu.au/~./bdm/papers/ls_final.pdf

Meanwhile, no set of 3 MOLS of order 10 has yet been found, despite a considerable
amount of effort by many people. See [1, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 36, 37, 41, 42, 54] for
some representative partial results. In this paper we will add our own contribution to this
quest; namely, we will describe computations that show that none of the 8,500,842,802
main classes of Latin squares with non-trivial autoparatopy groups lie in a set of 3 MOLS
(where the other two squares may have trivial groups). We believe this to be by far the
largest systematic search so far undertaken for 3 MOLS of order 10.

И далее цитирую часть списка литературы - как раз те работы, в которых пытались найти тройку попарно ортогональных ЛК 10-го порядка:

[9] A. E. Brouwer, Four MOLS of order 10 with a hole of order 2, J. Statist. Plann.
Inference, 10 (1984) 203–205.
[11] J. W. Brown, An extension of Mann’s theorem to a triple of mutually orthogonal
Latin squares of order 10. J. Combin. Theory Ser. A, 12 (1972) 316–318.
[12] J. W. Brown and E. T. Parker, A try for three order-10 orthogonal Latin squares,
Congr. Numer., 36 (1982) 143–144.
[13] J. W. Brown and E. T. Parker, Some attempts to construct orthogonal Latin squares,
Congr. Numer., 43 (1984) 201–202.
[14] J. W. Brown and E. T. Parker, An attempt to construct three mols ◦10 with a common
transversal, Algebras Groups Geom., 2 (1985) 258–262.
[15] J. W. Brown and E. T. Parker, More on order 10 turn-squares, Ars Combin., 35
(1993) 125–127.

Обалдеть! С 1972 года ищут и никак найти не могут!
Дык... может, всё-таки доказали уже, что нету её в Природе - тройки MOLS 10-го порядка???