Посмотрела сейчас статью по указанной выше ссылке.
На стр. 5 интересная информация о редуцированных ЛК разных порядков; наверное, не просто редуцированных, а из каких-то главных классов. Это мимо моих мозгов :)

Цитирую

2 Enumeration techniques

As raw data for our computations for eachn, we will use the total number Rn of reduced
Latin squares of order n, together with a file Mn containing one square from each main class of square with non-trivial autoparatopy group.
The known values of Rn are given in Table 1. As noted before, the total number of squares, reduced or not, is Ln =n!(n−1)!Rn.

И далее в таблице следующее значение для редуцированных ЛК порядка 10
7580721483160132811489280

Хорошее число! :)

И ещё из этой статьи

Abstract
We present the numbers of isotopy classes and main classes of Latin squares,
and the numbers of isomorphism classes of quasigroups and loops, up to order 10.
The best previous results were for Latin squares of order 8 (Kolesova, Lam and
Thiel, 1990), quasigroups of order 6 (Bower, 2000) and loops of order 7 (Brant and
Mullen, 1985). The loops of order 8 have been independently found by “QSCGZ”
and Gu´erin (unpublished, 2001).
We also report on the most extensive search so far for a triple of mutually
orthogonal Latin squares (MOLS) of order 10. Our computations show that any
such triple must have only squares with trivial symmetry groups.

Последнюю фразу я уже встречала в статье с рекордной псевдотройкой с х. о. 91.
Но что она означает - без понятия!

И наконец самое важное!

Цитирую

4 The search for three MOLS of order 10

If L is a Latin square of order n, then a transversal of L is a set of n entries of L containing
one entry from each row, one entry from each column, and one appearance of each symbol.

The relevance of transversals to the search for MOLS is clear when we notice that
the positions of one symbol in a Latin square form a transversal in its orthogonal mate.
Thus, an orthogonal mate to a square L corresponds to n disjoint transversals of L.This
idea, which was first used on a computer by Parker [41], forms the basis for our method
of searching for sets of three MOLS.

Theorem 7. Let L be a Latin square of order n. For k =0,1 define Gk to be the graphs
whose vertices are the transversals of L, and whose edges join transversals with exactly k
entries in common. Then L has two orthogonal mates, also orthogonal to each other, if
and only if G0 has two disjoint cliques A,B of order n such that each a∈ A is joined by
an edge of G1 to each b∈ B.

Вот она - теорема, о которой я уже неоднократно писала!
В теореме чёрным по белому записано необходимое и достаточное условие существования тройки MOLS для ЛК любого порядка n.

Дальше в статье, кажется, описывается, как велось тестирование и какие результаты получены. Надо переводить, я ведь не читаю по-английски :(
В общем, интересная статья.

Программы у меня пыхтят.
Позже расскажу о полученных результатах проверки всех SOLS и SODLS.

Интересно: с точки зрения канонизатора Белышева 121642 SOLS не все уникальны.

Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 121642
47032
95237
Найдено КФ ЛК: 121636
Время работы : 13.135 сек

6 ЛК не уникальные. Почему?

Обработала полученные КФ ЛК утилитой Harry White GetType

Sunday 2018-12-02 09:01:43 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail_3.txt

Counts
------
    121636 Latin
    121636 nfr
    121636 nfc
    121636 nfr nfc
         1 self-transpose

elapsed time 0:00:06

Ни одна КФ не ортогональна своему транспонированному варианту.
Зато есть один ЛК self-transpose.
Как я понимаю, этот ЛК совпадает со своим транспонированным вариантом, то есть он диагонально-симметричный.
Вот этот ЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 5 6 7 8 9 4
2 3 0 4 6 8 9 1 7 5
3 2 4 0 7 9 5 6 1 8
4 5 6 7 0 2 8 9 3 1
5 6 8 9 2 0 1 3 4 7
6 7 9 5 8 1 0 4 2 3
7 8 1 6 9 3 4 0 5 2
8 9 7 1 3 4 2 5 0 6
9 4 5 8 1 7 3 2 6 0

Выудила два изоморфных ЛК из 121642 SOLS

 0  7  8  9  3  1  2  5  6  4 
 8  1  6  0  5  9  3  4  7  2 
 9  0  2  4  1  6  7  3  5  8 
 7  5  0  3  8  2  4  9  1  6 
 1  3  7  6  4  8  0  2  9  5 
 2  4  1  8  0  5  9  6  3  7 
 3  9  5  2  7  0  6  8  4  1 
 6  8  4  1  9  3  5  7  2  0 
 4  2  9  5  6  7  1  0  8  3 
 5  6  3  7  2  4  8  1  0  9 

 0  7  8  9  3  1  2  5  6  4 
 8  1  4  0  6  7  3  9  5  2 
 9  0  2  5  1  4  8  3  7  6 
 7  6  0  3  9  2  5  4  1  8 
 1  9  5  2  4  8  0  6  3  7 
 2  3  7  6  0  5  9  8  4  1 
 3  4  1  8  7  0  6  2  9  5 
 6  5  9  1  8  3  4  7  2  0 
 4  2  6  7  5  9  1  0  8  3 
 5  8  3  4  2  6  7  1  0  9 

Данные ЛК изоморфны со следующими изоморфизмами:

RT 0456123789 0978564123 0645312978
RT 0564231897 0789645231 0564231897
RT 0645312978 0897456312 0456123789

КФ этих ЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 6 7 1 9 5 4 3 8
3 6 4 9 8 7 2 5 0 1
4 8 1 6 3 2 9 0 5 7
5 9 8 0 7 1 3 6 2 4
6 5 7 2 9 8 0 1 4 3
7 4 9 5 2 0 8 3 1 6
8 7 5 1 0 3 4 9 6 2
9 3 0 8 6 4 1 2 7 5

Для обоих изоморфных ЛК автоморфизмы такие:

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)
** 0312645978 0312645978 0231564897 -> (27,27,27)

Как всегда, симметрия (27,27,27) двукратная.

А это автоморфизмы для КФ этих ЛК, симметрии те же, конечно

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0296735841 8374102659 5461387209 -> (27,27,27)
** 0915863472 5461387209 8374102659 -> (27,27,27)

Выудить изоморфные ЛК было непросто. Не знаю быстрого способа для этой процедуры. Может, такой способ и есть, просто я его не знаю.

Проверено уже более половины SOLS на псевдотройки.
Надежда на высокую х. о. растаяла :)
Пока максимальная х. о. 82.
Найдена пока только одна псевдотройка с такой х. о. (программа Беляева lat05)

(1-15,2-19  tr=872) cm=82 sq=2
  0 51 12 83 94 65 76 27 48 39
 28 13 70 61  6 87 59 95 32 44
 43  9 21 90 85 14 38 66 57 72
 16 24  7 35 50 73 92 41 69 88
 67 80 36  8 42 99 23 54 71 15
 34 96 63 19 77 58 40 82 25  1
 89 78 55 47 11  2 64 30 93 26
 91 37 84 22 68 46  5 79 10 53
 52 45 98 74 29 31 17  3 86 60
 75 62 49 56 33 20 81 18  4 97

  0 51 12 83 94 65 76 27 48 39
 22 15 70 69  8 87 54 91 36 43
 45  2 21 96 80 14 33 68 59 77
 19 26  3 32 57 78 95 44 60 81
 61 88 37  4 49 93 20 52 75 16
 38 90 64 17 72 56 41 89 23  5
 86 79 58 40 13  1 67 35 92 24
 97 34 85 28 66 42  9 73 11 50
 53 47 99 71 25 30 18  6 84 62
 74 63 46 55 31 29 82 10  7 98

Обратите внимание: sq=2. Всего два ортогональных соквадрата! Один из них - транспонированный вариант основного ЛК псевдотройки.

Такаую же х. о. даёт ещё SOLS, найденный в 1971 г. Смотрите иллюстрацию выше.
Но этот SOLS и основной SOLS найденной мной псевдотройки не изоморфны.
SOLS с иллюстрации имеет 10 ортогональных соквадратов.

Ну, для чистоты эксперимента проверю все SOLS до конца.

Найдены ещё три псевдотройки с х. о. 82, причём попался и ЛК изоморфный ЛК 1971 г.

Вот псевдотройка

(7-51,8-62  tr=728) cm=82 sq=10
  0 81 62 53 74 95 26 17 48 39
 77 18 93 85  1 32 50 49 66 24
 12  3 25 79 96 41 38 64 57 80
 44 52  8 36 87 69 15 90 23 71
 29 60 37  4 43 78 82 55 91 16
 83 76 19 92 68 54 47 21 30  5
 56 99 84 28 10  7 61 33 75 42
 98 27 51 40 35 86  9 72 14 63
 31 45 70 67 22 13 94  6 89 58
 65 34 46 11 59 20 73 88  2 97

  0 81 62 53 74 95 26 17 48 39
 76 14 98 82  9 37 55 40 61 23
 19  5 21 78 97 42 33 66 50 84
 47 58  6 35 83 64 10 99 22 71
 25 67 34  1 46 70 89 52 93 18
 88 72 13 90 65 59 41 24 36  7
 54 96 80 27 12  3 68 31 79 45
 91 29 57 44 38 86  2 73 15 60
 32 43 75 69 20 11 94  8 87 56
 63 30 49 16 51 28 77 85  4 92

Это основной ЛК псевдотройки

0 8 6 5 7 9 2 1 4 3
7 1 9 8 0 3 5 4 6 2
1 0 2 7 9 4 3 6 5 8
4 5 0 3 8 6 1 9 2 7
2 6 3 0 4 7 8 5 9 1
8 7 1 9 6 5 4 2 3 0
5 9 8 2 1 0 6 3 7 4
9 2 5 4 3 8 0 7 1 6
3 4 7 6 2 1 9 0 8 5
6 3 4 1 5 2 7 8 0 9

Это КФ данного ЛК

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 5 6 7 8 9 2
2 3 6 1 9 8 4 5 0 7
3 9 5 2 0 7 8 6 4 1
4 8 9 6 7 0 2 3 1 5
5 7 8 9 2 4 3 1 6 0
6 4 0 7 1 3 5 9 2 8
7 2 1 8 3 9 0 4 5 6
8 5 4 0 6 1 9 2 7 3
9 6 7 5 8 2 1 0 3 4

Такую же КФ имеет ЛК 1971 г.
Оба ЛК являются SOLS, но записаны в разной форме.
Смотрите иллюстрацию

Интересно: программа Белышева avtoizor_lk утверждает, что эти два ЛК

0 8 6 5 7 9 2 1 4 3
7 1 9 8 0 3 5 4 6 2
1 0 2 7 9 4 3 6 5 8
4 5 0 3 8 6 1 9 2 7
2 6 3 0 4 7 8 5 9 1
8 7 1 9 6 5 4 2 3 0
5 9 8 2 1 0 6 3 7 4
9 2 5 4 3 8 0 7 1 6
3 4 7 6 2 1 9 0 8 5
6 3 4 1 5 2 7 8 0 9

0 1 2 3 4 5 6 9 8 7
3 6 5 4 0 8 7 1 9 2
9 0 1 7 8 6 3 2 5 4
7 9 6 5 2 3 1 0 4 8
8 2 9 1 7 4 0 5 6 3
1 3 4 9 5 2 8 6 7 0
2 5 0 8 9 7 4 3 1 6
5 4 7 6 3 9 2 8 0 1
6 7 8 2 1 0 9 4 3 5
4 8 3 0 6 1 5 7 2 9

изоморфны со следующими 9 изоморфизмами

*T 0219374568 0219374568 0167483295
*T 1937456028 1937456028 8031724596
*T 2193745608 2193745608 3605248791
*T 3745602198 3745602198 2840157693
*T 4560219378 4560219378 5278061394
*T 5602193748 5602193748 1754306892
*T 6021937458 6021937458 6512830497
*T 7456021938 7456021938 7423615098
*T 9374560218 9374560218 4386572190

А утилита Harry White GetType сообщает об этих ЛК:

Wednesday 2018-12-05 13:45:07 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 10

Enter the name of the squares file: input
.. writing type information to file inputTypeDetail.txt

Counts
------
         2 Latin
         1 natural \diagonal
         2 self-orthogonal

Проверка SOLS на псевдотройки подходит к концу. Похоже, х. о. 82 - максимум для SOLS.
Одновременно у меня выполняется общее Замыкание для всех SOLS.
Жду с нетерпением завершения.

Уф! Всё!
Проверка SOLS на псевдотройки полностью выполнена. Максимальная х. о. только 82. Мало!

Все полученные в Замыкании (от SOLS) КФ ОДЛК надо анализировать. Сначала проверю, все ли они есть в БД, ничего я раньше не потеряла ли при обработке выложенных Белышевым SODLS Канонизатором ЛК по ДЛК.

Полное Замыкание от 121642 SOLS дало 33753 уникальные КФ ОДЛК, в том числе 79 двушек.
Проверила наличие этих решений в БД, все решения имеются. Значит, ничего я не потеряла в прошлые времена.

Сравнение с 30502 КФ SODLS, выложенными ранее Белышевым, с помощью утилиты Чиркова

Имя входного файла ИСТОЧНИК (без расширения):input
Имя входного файла ВЫЧИТАЕМОЕ (без расширения):kf_sodls
input.txt
Всего 33753 квадратов (вход) в input.txt
kf_sodls.txt
Всего 30502 квадратов (вход) в kf_sodls.txt
Уникальных 3251 квадратов (выход).

Таким образом, получено дополнительно 3251 КФ ОДЛК.

Весьма интересны двушки, полученные от SODLS. Как уже отмечено, их получено 79 штук.

Вот, например, первые 4 двушки (КФ основных ДЛК во втором формате)

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 0 9 6 5 3 4 7
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 7 0 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 7 1 6 4 3 5 8 0
6 0 5 7 3 8 1 4 2 9

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 7 9 6 5 3 4 0
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 0 7 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 0 1 6 4 3 5 8 7
6 7 5 0 3 8 1 4 2 9

0 2 3 5 9 4 7 8 6 1
4 1 8 7 6 0 3 9 2 5
6 9 2 1 8 7 5 3 0 4
8 0 6 3 2 1 4 5 9 7
7 5 1 9 4 6 0 2 3 8
9 8 4 2 0 5 1 6 7 3
1 4 7 8 3 9 6 0 5 2
3 6 9 4 5 8 2 7 1 0
2 7 5 0 1 3 9 4 8 6
5 3 0 6 7 2 8 1 4 9

0 2 3 5 9 4 7 8 6 1
4 1 8 7 6 0 3 9 2 5
6 9 2 1 8 7 5 3 0 4
8 6 0 3 2 1 4 5 9 7
7 5 1 9 4 6 0 2 3 8
9 8 4 2 0 5 1 6 7 3
1 4 7 8 3 9 6 0 5 2
3 0 9 4 5 8 2 7 1 6
2 7 5 6 1 3 9 4 8 0
5 3 6 0 7 2 8 1 4 9

Обратите внимание на первые две двушки и на следующие две двушки.
Очень похожи основные ДЛК и в первой паре, и во второй паре.
И таких пар двушек с похожими основными ДЛК очень много.
У этих пар двушек интересная особенность: они дают всего две уникальные КФ! Двушки родственницы?
Каждая двушка порождает 3 ОДЛК, но поскольку основные ДЛК у нас SODLK, то уникальных ОДЛК у каждой двушки две.
А у двух двушек их должно бы быть 4. Ан нет! Их всего две.
Пока не рассматривала подробно конфигурации пар двушек родственниц. Получается так, что все ортогональные соквадраты обеих двушек изоморфны, уникальны только основные ДЛК двушек.

Проверила быстренько две первые двушки - родственницы.
Первая двушка (программа Беляева lat03)

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 7 6 4 5 8 9 2 0 3 1
 1 2 5 4 6 0 3 8 9 7
 6 8 3 1 9 2 7 4 5 0
 5 7 8 9 2 4 0 6 1 3
 4 3 6 7 0 8 1 9 2 5
 8 4 7 6 3 1 9 5 0 2
 9 0 1 2 5 7 8 3 4 6
 3 5 9 0 1 6 4 2 7 8
 2 9 0 8 7 3 5 1 6 4
sq1

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 7 6 4 5 8 9 2 0 3 1
 1 2 5 4 6 3 0 8 9 7
 6 8 0 1 9 2 7 4 5 3
 5 7 8 9 2 4 3 6 1 0
 4 3 6 7 0 8 1 9 2 5
 8 4 7 6 3 1 9 5 0 2
 9 0 1 2 5 7 8 3 4 6
 3 5 9 0 1 6 4 2 7 8
 2 9 3 8 7 0 5 1 6 4
sq2

Square:
 0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
 9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
 1 8 2 0 9 6 5 3 4 7
 7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
 3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
 8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
 4 7 0 5 1 9 6 8 3 2
 5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
 2 9 7 1 6 4 3 5 8 0
 6 0 5 7 3 8 1 4 2 9

Вторая двушка

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 7 6 4 5 8 9 2 0 3 1
 1 2 5 4 6 0 3 8 9 7
 6 8 3 1 9 2 7 4 5 0
 5 7 8 9 2 4 0 6 1 3
 4 3 6 7 0 8 1 9 2 5
 8 4 7 6 3 1 9 5 0 2
 9 0 1 2 5 7 8 3 4 6
 3 5 9 0 1 6 4 2 7 8
 2 9 0 8 7 3 5 1 6 4
sq1

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 7 6 4 5 8 9 2 0 3 1
 1 2 5 4 6 3 0 8 9 7
 6 8 0 1 9 2 7 4 5 3
 5 7 8 9 2 4 3 6 1 0
 4 3 6 7 0 8 1 9 2 5
 8 4 7 6 3 1 9 5 0 2
 9 0 1 2 5 7 8 3 4 6
 3 5 9 0 1 6 4 2 7 8
 2 9 3 8 7 0 5 1 6 4
sq2

Square:
 0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
 9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
 1 8 2 7 9 6 5 3 4 0
 7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
 3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
 8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
 4 0 7 5 1 9 6 8 3 2
 5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
 2 9 0 1 6 4 3 5 8 7
 6 7 5 0 3 8 1 4 2 9

Ввожу все 6 ОДЛК в Канонизатор ДЛК Белышева, на выходе получаю две КФ

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 0 9 6 5 3 4 7
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 7 0 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 7 1 6 4 3 5 8 0
6 0 5 7 3 8 1 4 2 9

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 7 9 6 5 3 4 0
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 0 7 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 0 1 6 4 3 5 8 7
6 7 5 0 3 8 1 4 2 9

Это основные ДЛК двушек.

Вот такие интересные двушки!

И это ещё не всё! Эти двушки - родственницы имеют ещё родственниц :)
Они клонируются при обработке Канонизатором ЛК по ДЛК.
Вот хвост протокола скрипта zamyk.bat

. . . . . 
=================================================
Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 4
Найдено КФ ЛК: 2
Время работы : 0.015 сек

Поиск всех КФ марьяжных ДЛК для ЛК

Введено ЛК: 2

Проверено ДЛК           : 652
Найдено КФ марьяжных ДЛК: 4
Время работы в сек      : 0.25

Найдено марьяжных КФ:
count[2] = 4
Всего: 4
Найдено соквадратов: 8
КФ соквадратов: 4

В программу введён всего один ДЛК - основной ДЛК первой двушки.
Получилось 4 двушки, и при этом 4 уникальных КФ.
Чудесные двушки!

Покажу 4 полученные в Замыкании двушки

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 0 9 6 5 3 4 7
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 7 0 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 7 1 6 4 3 5 8 0
6 0 5 7 3 8 1 4 2 9

0 2 3 4 5 7 8 6 9 1
9 1 4 6 8 3 7 2 0 5
1 8 2 7 9 6 5 3 4 0
7 6 9 3 2 0 4 1 5 8
3 5 1 8 4 2 9 0 7 6
8 3 6 2 7 5 0 9 1 4
4 0 7 5 1 9 6 8 3 2
5 4 8 9 0 1 2 7 6 3
2 9 0 1 6 4 3 5 8 7
6 7 5 0 3 8 1 4 2 9

0 2 3 5 9 4 7 8 6 1
4 1 8 7 6 0 3 9 2 5
6 9 2 1 8 7 5 3 0 4
8 0 6 3 2 1 4 5 9 7
7 5 1 9 4 6 0 2 3 8
9 8 4 2 0 5 1 6 7 3
1 4 7 8 3 9 6 0 5 2
3 6 9 4 5 8 2 7 1 0
2 7 5 0 1 3 9 4 8 6
5 3 0 6 7 2 8 1 4 9

0 2 3 5 9 4 7 8 6 1
4 1 8 7 6 0 3 9 2 5
6 9 2 1 8 7 5 3 0 4
8 6 0 3 2 1 4 5 9 7
7 5 1 9 4 6 0 2 3 8
9 8 4 2 0 5 1 6 7 3
1 4 7 8 3 9 6 0 5 2
3 0 9 4 5 8 2 7 1 6
2 7 5 6 1 3 9 4 8 0
5 3 6 0 7 2 8 1 4 9