Кстати, читаем в статье последнюю фразу

Note that A is semisymmetric and A, B and C have the automorphism (0)(123)(456)(789).

Гугл переводит так:
"Заметим, что A полусимметрично и A, B и C имеют автоморфизм (0) (123) (456) (789)."

Вот и автоморфизм появился, который соответствует симметрии (27,27,27).
Оказывается, Белышев не оригинален в теории с автоморфизмами.
Просто он умеет литературу на английском читать; и не только умеет, но и читает!

PS. Интересно: что значит "A is semisymmetric"?
Почему "полусимметричный"? О какой "симметричности" речь?

Ссылку на статью с рекордной псевдотройкой иностранцев нашла
http://www.ams.org/journals/mcom/2016-85-298/S0025-5718-2015-03010-5/home.html

Статья у меня не открывается. Вот только Абстракт вижу

Abstract
We present the numbers of isotopy classes and main classes of Latin squares, and the numbers of isomorphism classes of quasigroups and loops, up to order 10. The best previous results were for Latin squares of order 8 (Kolesova, Lam, and Thiel, 1990), quasigroups of order 6 (Bower, 2000), and loops of order 7 (Brant and Mullen, 1985). The loops of order 8 have been independently found by “QSCGZ” and Guérin (unpublished, 2001).
We also report on the most extensive search so far for a triple of mutually orthogonal Latin squares (MOLS) of order 10.
Our computations show that any such triple must have only squares with trivial symmetry groups. © 2006 Wiley Periodicals, Inc. J Combin Designs

Гугл переводит так:

"Абстрактные
Мы представляем числа классов изотопии и основных классов латинских квадратов, и числа классов изоморфизма квазигруппах и петель, до порядка 10. Лучшие предыдущие результаты были для латинских квадратов порядка 8 (Колесова, Лам, и Thiel, 1990 ), квазигрупп порядка 6 (Бауэр, 2000), и петли порядка 7 (Брант и Маллен, 1985). Петли порядка 8 были найдены независимо друг от друга "QSCGZ" и Герена (неопубликованный, 2001).
Мы также сообщаем о наиболее обширный поиск до сих пор для тройки взаимно ортогональных латинских квадратов (Mols) порядка 10. Наши расчеты показывают, что любой такой тройке должен иметь только квадраты с тривиальными группами симметрии. © 2006 Wiley периодика, Inc. J Combin Designs"

И вот нашла символьное представление псевдотройки иностранцев здесь (не помню, откуда скопировала)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=266936#p266936

10 10 3 %% First in semisym form; all with automorph (0)(123)(456)(789)

aijhfgecdb
jbegchdiaf
hecfbdigja
igfdjcbaeh
gcbieajfhd
ejdchfabgi
fdhbaigjce
dfajiechbg
bhgadjfeic
caiegbhdfj

ahijbcdefg
jagbidcfeh
hcaedjbigf
ifdacbhgje
gjfdahecbi
ebhgfaijdc
fecijgadhb
dgbheifacj
biecgfjhad
cdjfhegbia

ahijbcdefg
gecijfbdha
ejfdchgabi
fbhgedijac
dcjahbfgie
badhgicfej
ciabdejhgf
jfecigabdh
hdgfajeicb
igbefahcjd

## Third LS is orthogonal to first, but only has 91 diff pairs with 2nd.

Here's another near mate for the first pair, but it doesn't complete
like the example above.

a```bcdefg
gechifbd`a
eifdcjgab`
fbjgedh`ac
dciahbfgje
badjgicfeh
chabdejigf
`fecjgabdi
`dgfahejcb
`gbefaichd

Интересна последняя фраза (в переводе Гугла):
"Вот еще одна ближайшая помощница для первой пары, но она не завершена как пример выше."

Я тогда что-то делала с этой "ближайшей помощницей" и выкладывала на форуме, но сейчас уже не помню; можно найти и посмотреть.

Итак, моя рекордная псевдотройка, найденная от ЛК с симметрией (27,27,27), с х. о. 88

А 
 0 2 3 1 8 9 7 5 6 4
 6 1 9 2 4 3 5 7 0 8
 4 3 2 7 6 5 1 9 8 0
 5 8 1 3 2 4 6 0 7 9
 1 4 6 9 7 0 3 8 2 5
 2 7 5 4 1 8 0 6 9 3
 3 5 8 6 0 2 9 1 4 7
 7 0 4 8 9 6 2 3 5 1
 8 9 0 5 3 7 4 2 1 6
 9 6 7 0 5 1 8 4 3 2

В
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 4 6 0 7 2 1 9 8 5 3
 5 8 4 0 7 3 2 1 9 6
 6 0 9 5 3 8 1 4 2 7
 8 3 6 9 1 7 4 5 0 2
 9 7 1 4 5 2 8 3 6 0
 7 5 8 2 9 6 3 0 1 4
 3 2 7 6 8 0 5 9 4 1
 1 4 3 8 6 9 0 2 7 5
 2 9 5 1 0 4 7 6 3 8

С
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 5 7 1 6 3 0 8 9 4 2
 6 4 8 2 9 1 0 3 7 5
 4 3 5 9 0 7 2 6 1 8
 1 8 3 4 7 2 5 0 9 6
 2 5 9 1 6 8 3 4 0 7
 3 2 6 7 1 4 9 8 5 0
 8 9 0 5 2 6 7 1 3 4
 9 6 7 0 8 3 4 5 2 1
 7 0 4 8 5 9 1 2 6 3

По-моему, это не только мой личный рекорд, но и рекорд российский.
Могу ошибаться. Если кому-то известен другой российский рекорд, сообщите, пожалуйста.

Преобразовала основной ЛК этой псевдотройки (квадрат А) к такому виду

(27,27,27)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 8 5 4 6 3 9 2 0 7
2 5 9 6 7 4 1 8 3 0
3 4 6 7 2 8 5 0 9 1
4 7 3 2 0 9 8 1 6 5
5 3 8 1 9 0 7 6 2 4
6 2 1 9 8 7 0 5 4 3
7 9 4 0 1 6 2 3 5 8
8 0 7 5 3 2 4 9 1 6
9 6 0 8 5 1 3 4 7 2

Последний этап преобразования - применение программы Белышева get_standard.
С этим основным ЛК псевдотройка такая получается (программа Беляева lat04):

(1,2) cm=88
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 8 5 4 6 3 9 2 0 7
 2 5 9 6 7 4 1 8 3 0
 3 4 6 7 2 8 5 0 9 1
 4 7 3 2 0 9 8 1 6 5
 5 3 8 1 9 0 7 6 2 4
 6 2 1 9 8 7 0 5 4 3
 7 9 4 0 1 6 2 3 5 8
 8 0 7 5 3 2 4 9 1 6
 9 6 0 8 5 1 3 4 7 2

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 5 4 7 1 2 0 8 9 6 3
 6 2 5 8 9 3 0 1 7 4
 4 9 3 6 0 7 1 5 2 8
 8 0 9 5 7 4 3 2 1 6
 9 6 0 7 1 8 5 4 3 2
 7 8 4 0 6 2 9 3 5 1
 1 7 6 2 3 9 4 8 0 5
 2 3 8 4 5 1 7 6 9 0
 3 5 1 9 8 6 2 0 4 7

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 3 9 1 5 7 4 0 8 2 6
 1 6 7 2 0 8 5 4 9 3
 2 3 4 8 6 0 9 1 5 7
 7 2 5 9 8 6 1 0 3 4
 8 7 3 6 2 9 4 5 0 1
 9 4 8 1 5 3 7 2 6 0
 5 8 0 4 9 1 3 6 7 2
 6 5 9 0 1 7 2 3 4 8
 4 0 6 7 3 2 8 9 1 5

Теперь представляю основной ЛК своей псевдотройки в символьном виде, аналогично представлению иностранцев

a b c d e f g h i j
b i f e g d j c a h
c f j g h e b i d a
d e g h c i f a j b
e h d c a j i b g f
f d i b j a h g c e
g c b j i h a f e d
h j e a b g c d f i
i a h f d c e j b g
j g a i f b d e h c

Два других ЛК псевдотройки тоже можно перевести в символьный вид в соответствии со значениями символов в основном ЛК.

Если я правильно понимаю смысл символьного представления псевдотройки иностранцев, то:
a=0;
(bcd) - любая циклическая перестановка в (123);
(efg) - любая циклическая перестановка в (456);
(hij) - любая циклическая перестановка в (789).

Можно проверить, задав другие значения символов.
Должен получиться ЛК с симметрией (27,27,27), который тоже имеет всего два ОЛК и даёт псевдотройку (единственную!) с х. о. 88.
Понятно, что все такие ЛК будут изоморфны.

Нашла интересный ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  0 
 2  0  9  5  6  3  8  1  4  7 
 3  7  6  8  9  1  2  5  0  4 
 4  6  0  2  8  7  1  9  3  5 
 5  9  8  6  0  4  3  2  7  1 
 6  8  5  0  7  9  4  3  1  2 
 7  3  4  1  2  8  9  0  5  6 
 8  5  7  9  1  2  0  4  6  3 
 9  4  1  7  3  0  5  6  2  8 
** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 3415209768 7436512809 7438906521 -> (27,27,27)
** 5240138796 8562143079 5982176034 -> (27,27,27)
R* 0963852741 7341289056 7341289056 -> (8,31,31)+
R* 3895601724 0219834576 5894321706 -> (26,26,28)+
R* 5680934712 5894321706 0219834576 -> (26,26,28)+

Он обладает симметрией (27,27,27) дважды!
А вот интересно: очевидных симметрий тоже будет выведено две?
Сейчас проверю.

Нет, очевидная симметрия выведена одна

(27,27,27)
0 2 3 1 8 9 7 5 6 4
6 1 9 2 4 3 5 7 0 8
4 3 2 7 6 5 1 9 8 0
5 8 1 3 2 4 6 0 7 9
1 4 6 9 7 0 3 8 2 5
2 7 5 4 1 8 0 6 9 3
3 5 8 6 0 2 9 1 4 7
7 0 4 8 9 6 2 3 5 1
8 9 0 5 3 7 4 2 1 6
9 6 7 0 5 1 8 4 3 2

Программа Беляева Lat05 (поиск псевдотроек с их х. о.) у меня пыхтит, проверила почти половину всех ЛК с симметрией (27,27,27) из тех, что у меня есть.
Пока нет ничего нового.
Интересно: по-прежнему много псевдотроек с х. о. 82 и 85, но нет промежуточных х. о. 83, 84. Нет также х. о. 86 и 87, хотя 88 уже есть.
Жду х. о. > 88. Может, и не дождусь :)
Х. о. 91 есть, но это известное решение иностранцев.
Итак, ряд такой выстраивается из х. о. от ЛК с симметрией (27,27,27):
..., 79, 82, 85, 88, 91, ...
Забавный ряд.
Дальше пока нету, нету...

А проблема с получением новых ЛК с симметрией (27,27,27) никак не решается, хотя пытаюсь её решать.
Ни одного нового ЛК в дополнение к 143264 ЛК не нашла!
И так, и эдак генерирую ЛК, а уникальные ЛК не появляются.
Однако... вряд ли ЛК с симметрией (27,27,27) всего 143264.
Но изоморфных ЛК с этой симметрией... о-о-о... вагон и маленькая тележка. И не знаю, как из этих изоморфов выбраться :(

Покажу иллюстрацию найденной мной рекордной псевдотройки с х. о. 88
(рекорд, конечно, только для меня; может быть, и для России, не знаю российский рекорд на сегодня, давно не слежу за псевдотройками)



Это красиво!
Напомню, в символьном представлении
a=0;
(bcd) - любая циклическая перестановка в (123);
(efg) - любая циклическая перестановка в (456);
(hij) - любая циклическая перестановка в (789).

По-моему, группы (bcd), (efg), (hij) переставляемы в группах (123), (456), (789), то есть может быть, например, так:

(bcd) - любая циклическая перестановка в (456);
(efg) - любая циклическая перестановка в (123);
(hij) - любая циклическая перестановка в (789).

Проверку сделала.
Взяла такой расклад символов

bcd – 456
efg – 231
hij – 978

ЛК получился следующий

0 4 5 6 2 3 1 9 7 8
4 7 3 2 1 6 8 5 0 9
5 3 8 1 9 2 4 7 6 0
6 2 1 9 5 7 3 0 8 4
2 9 6 5 0 8 7 4 1 3
3 6 7 4 8 0 9 1 5 2
1 5 4 8 7 9 0 3 2 6
9 8 2 0 4 1 5 6 3 7
7 0 9 3 6 5 2 8 4 1
8 1 0 7 3 4 6 2 9 5

ЛК обладает симметрией (27,27,27). И псевдотройку даёт тоже с х. о. 88, и имеет тоже всего два ОЛК

Name:a.txt
1 - only the diagonal
Max=1000
1
108 82 82 82 64 64 64 86 86 86 :804
 sq=2 88
 cm=88  cmm=88
END

Понятно, что этот ЛК изоморфен основному ЛК моей псевдотройки, показанному выше на иллюстрации.
И все другие ЛК, получающиеся при различных значениях символов, тоже будут изоморфны основному ЛК.

Пытаюсь генерировать ЛК с симметрией (27,27,27) другим способом (не программой-генератором).
Посмотрите, что происходит

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 182720
40386
81486
123060
164682
Из них симметричных        : 5496

Найдено различных симметрий: 12
Время работы               : 22.666 сек

Список симметрий

(1,1,1)
(8,8,8)
(10,10,10)
(16,16,16)
(19,19,19)
(21,21,21)
(21,36,36)
(22,22,22)
(22,37,37)
(27,27,27)
(28,28,28)
(30,30,30)

Симметрия (27,27,27) есть. Ищу её

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 182720
Введите код симметрии:
(27,27,27)
40866
83083
123994
165410
Квадратов с симметрией (27,27,27) найдено: 142
они записаны в файл symm_27_27_27.txt
Время поиска: 22.168 сек

Сверяю со своим банком ЛК с этой симметрией

Имя входного файла ИСТОЧНИК (без расширения):input
Имя входного файла ВЫЧИТАЕМОЕ (без расширения):prov
input.txt
Всего 142 квадратов (вход) в input.txt
prov.txt
Всего 143264 квадратов (вход) в prov.txt
Уникальных 0 квадратов (выход).
Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

Пусто! Уникальных ЛК не найдено.
И так много-много раз!
И где же раздобыть ещё ЛК с симметрией (27,27,27)?
В генераторе увязла с головой в изоморфных ЛК. Другой метод тоже ничего не даёт.
Все-то я не могу сгенерировать ЛК, их там миллиарды будут. Надо генерировать не все подряд, а только не изоморфные.
Увы, я не знаю, как это делать.

Цитата

Нашла интересный ЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  0 
 2  0  9  5  6  3  8  1  4  7 
 3  7  6  8  9  1  2  5  0  4 
 4  6  0  2  8  7  1  9  3  5 
 5  9  8  6  0  4  3  2  7  1 
 6  8  5  0  7  9  4  3  1  2 
 7  3  4  1  2  8  9  0  5  6 
 8  5  7  9  1  2  0  4  6  3 
 9  4  1  7  3  0  5  6  2  8 
** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 3415209768 7436512809 7438906521 -> (27,27,27)
** 5240138796 8562143079 5982176034 -> (27,27,27)
R* 0963852741 7341289056 7341289056 -> (8,31,31)+
R* 3895601724 0219834576 5894321706 -> (26,26,28)+
R* 5680934712 5894321706 0219834576 -> (26,26,28)+

Он обладает симметрией (27,27,27) дважды!

Просто не обратила раньше внимания: в моей статье "Новый алгоритм поиска ОДЛК" есть список автоморфизмов ЛК Лямзина.
Цитирую

Программа Белышева avtoizor выдаёт для ЛК Лямзина

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0234567891 0234567891 0912345678 -> (30,30,30)
** 0345678912 0345678912 0891234567 -> (30,30,30)
** 0456789123 0456789123 0789123456 -> (27,27,27)
** 0567891234 0567891234 0678912345 -> (30,30,30)
** 0678912345 0678912345 0567891234 -> (30,30,30)
** 0789123456 0789123456 0456789123 -> (27,27,27)
** 0891234567 0891234567 0345678912 -> (30,30,30)
** 0912345678 0912345678 0234567891 -> (30,30,30)
*T 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)+
*T 0234567891 0234567891 0912345678 -> (30,30,30)+
*T 0345678912 0345678912 0891234567 -> (30,30,30)+
*T 0456789123 0456789123 0789123456 -> (27,27,27)+
*T 0567891234 0567891234 0678912345 -> (30,30,30)+
*T 0678912345 0678912345 0567891234 -> (30,30,30)+
*T 0789123456 0789123456 0456789123 -> (27,27,27)+
*T 0891234567 0891234567 0345678912 -> (30,30,30)+
*T 0912345678 0912345678 0234567891 -> (30,30,30)+

У этого ЛК симметрия (27,27,27) тоже кратная (дважды), а симметрия (30,30,30) шестикратная! Это только без плюсов.

Как жаль, что с симметрией (27,27,27) пока не найдено ни одной двушки.
Проверила и первую часть нашей БД КФ ОДЛК, в этой части тоже есть ОДЛК с симметрией (27,27,27), но тоже все однушки.
Ну хоть бы одна двушечка!

Решила проверить ОДЛК с симметрией (27,27,27) на псевдотройки.
Понятно, что псевдотроек, состоящих только из ДЛК, нет.
С пристёгиванием ЛК получилась смешанная псевдотройка с максимальной х. о. 82, показываю её (программа Беляева lat04)

(1,3) cm=82
квадрат А - ДЛК
 0 4 7 6 8 9 3 5 2 1
 3 1 4 9 5 6 7 2 0 8
 5 0 2 4 9 8 1 3 7 6
 9 2 5 3 6 0 4 8 1 7
 7 8 6 1 4 2 0 9 3 5
 1 6 3 2 7 5 8 4 9 0
 4 9 1 8 3 7 6 0 5 2
 8 3 9 5 0 1 2 7 6 4
 2 5 0 7 1 4 9 6 8 3
 6 7 8 0 2 3 5 1 4 9

квадрат В - ДЛК
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 5 8 0 9 1 6 4 2 7 3
 9 4 3 8 6 7 5 0 1 2
 3 6 8 7 0 9 2 1 4 5
 7 0 9 1 5 4 3 8 2 6
 6 7 4 5 3 2 8 9 0 1
 4 2 7 6 9 8 1 5 3 0
 2 3 1 4 8 0 9 6 5 7
 1 5 6 0 2 3 7 4 9 8
 8 9 5 2 7 1 0 3 6 4

квадрат С - ЛК
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 4 2 5 0 6 7 1 3 9 8
 3 7 6 2 1 0 8 9 5 4
 7 0 4 5 8 1 9 2 3 6
 8 5 1 4 3 9 2 6 7 0
 5 6 0 1 9 2 7 8 4 3
 6 8 7 9 2 3 0 4 1 5
 1 3 9 8 5 6 4 0 2 7
 2 9 8 7 0 4 3 5 6 1
 9 4 3 6 7 8 5 1 0 2

Отличный результат! Только квадрат С не является ДЛК.
При этом все три квадрата псевдотройки обладают симметрией (27,27,27).

Максимальная х. о. псевдотройки, составленной только из ДЛК, равная 74, была найдена в марте 2016 г.
http://sat.isa.ru/pdsat/additional_solutions.php
Не знаю, улучшен ли этот результат. Доказано ли, что этот результат максимальный для псевдотроек такого типа?
А сделали псевдотройку смешанной (всего один ЛК в псевдотройке) и сразу х. о. увеличилась до 82.
Для смешанных псевдотроек типа ДЛК+ЛК+ЛК известна и х. о. 91, от ЛК иностранцев получается. Но здесь два ЛК в псевдотройке.
Например,

1342 cm=91
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 0 4 5 6 8 9 3 7
 4 7 3 0 6 8 9 5 2 1
 9 3 6 5 8 1 4 2 7 0
 6 4 8 2 7 0 5 1 9 3
 8 6 5 7 2 9 0 3 1 4
 5 9 7 6 3 4 1 8 0 2
 2 0 1 8 9 7 3 4 5 6
 3 8 4 9 1 2 7 0 6 5
 7 5 9 1 0 3 2 6 4 8

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 2 0 9 8 7 1 4 3 6 5
 3 6 1 7 8 2 0 9 5 4
 4 5 7 0 9 3 2 6 1 8
 5 9 3 4 0 6 1 8 2 7
 1 4 8 2 3 7 5 0 9 6
 6 8 4 9 2 0 7 5 3 1
 7 2 0 6 5 9 8 1 4 3
 9 7 5 1 6 8 3 4 0 2
 8 3 6 5 1 4 9 2 7 0

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 4 8 1 2 9 0 5 3 7 6
 5 9 8 6 1 3 0 2 4 7
 6 0 3 1 7 9 8 5 2 4
 7 3 6 9 8 2 4 0 1 5
 9 2 7 5 0 8 3 4 6 1
 8 5 0 4 6 7 2 1 9 3
 1 7 5 0 2 4 9 6 3 8
 2 4 9 7 3 6 1 8 5 0
 3 6 4 8 5 1 7 9 0 2

А вот нашла своё сообщение на форуме проекта Sat@home, тема "Разные типы псевдотроек"
http://sat.isa.ru/pdsat/forum_thread.php?id=547&nowrap=true#917

Цитата

Кажется, ещё не представлены смешанные псевдотройки типа (2 ДЛК + ЛК).
Пример псевдотройки такого типа

А
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 6 8 9 7 5
7 4 5 6 8 3 9 1 0 2
3 9 0 1 2 7 4 6 5 8
5 6 8 7 9 0 1 3 2 4
9 0 1 8 3 4 5 2 6 7
8 3 4 5 6 2 7 0 9 1
4 5 6 2 7 9 0 8 1 3
6 8 7 9 5 1 2 4 3 0
2 7 9 0 1 8 3 5 4 6

В
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 4 5 7 9 0 3 2 6 1
3 9 6 5 7 2 1 0 4 8
9 8 7 2 3 1 5 4 0 6
2 7 9 8 5 3 4 6 1 0
4 6 3 0 1 8 7 5 9 2
5 0 1 4 2 6 9 8 3 7
6 3 8 9 0 7 2 1 5 4
1 2 4 6 8 9 0 3 7 5
7 5 0 1 6 4 8 9 2 3

С
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 0 1 9 2 4 3 8 5 7
1 5 0 7 6 8 2 3 9 4
2 4 8 0 7 3 1 9 6 5
9 8 7 2 0 6 5 4 1 3
7 3 9 1 5 0 4 6 2 8
4 7 6 8 1 9 0 5 3 2
8 2 3 5 9 1 7 0 4 6
5 9 4 6 3 7 8 2 0 1
3 6 5 4 8 2 9 1 7 0

Характеристика ортогональности этой псевдотройки равна 74, довольно низкая.
В псевдотройке квадраты А и В являются ДЛК, а квадрат С - ЛК.
Квадрат А ортогонален квадрату В и квадрату С. Квадраты В и С частично ортогональны (в 74 ячейках из 100).

Вот такая была найдена первая смешанная псевдотройка типа (2 ДЛК+ЛК).
А сейчас найдена псевдотройка такого типа с х. о. 82.

Хм... похоже, я плохо тогда искала :)
Сейчас для этого квадратика запустила поиск псевдотроек (программа Беляева lat05)

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 3 4 0 6 8 9 7 5
 7 4 5 6 8 3 9 1 0 2
 3 9 0 1 2 7 4 6 5 8
 5 6 8 7 9 0 1 3 2 4
 9 0 1 8 3 4 5 2 6 7
 8 3 4 5 6 2 7 0 9 1
 4 5 6 2 7 9 0 8 1 3
 6 8 7 9 5 1 2 4 3 0
 2 7 9 0 1 8 3 5 4 6

Вот что получилось

Name:a
No control of the diagonals, cm_min=0

Max=30000
Min=0
1
464 416 416 416 464 464 416 416 416 464 :4352 fsq=0
 Time gen=2310.92 sec
 sq=30000 cm=80  cmm=80
Time search=744.44 sec

Это при ограничении для ОЛК - 30000.
У этого ДЛК куча ОЛК, видимо, больше миллиона.
Правда, я не смотрела, есть ли псевдотройки типа (2 ДЛК+ЛК).
Они уже не представляют интереса, так как максимальная х. о. всего 80 здесь.
Но если дальше поискать от этого ДЛК, возможно, и найдётся псевдотройка типа (2 ДЛК+ЛК) с х. о. > 82.
Только искать здесь долго придётся.

Посмотрела полученные псевдотройки, нет ни одной типа (2 ДЛК+ЛК) с х. о. > 74.
Может, и не плохо искала в прошлые времена :)

Выжимаю сок из своего генератора, только ничего не выжимается :(

Сочинила пакетный файл; непрерывно выполняется процесс "генерация-проверка", тотальная генерация ЛК с симметрией (27,27.27) (всё подряд) и проверка на уникальность с помощью программы Белышева kanonizator_lk.

. . . . . . 
prov.txt
Всего 143264 квадратов (вход) в prov.txt
Уникальных 0 квадратов (выход).
Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
prov.txt
output_SUB_prov.txt
Скопировано файлов:         1.
WWEDITE NOMER CIKLA K
6
Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 500000
58000
116251
174435
232720
290820
348658
406959
465237
Найдено КФ ЛК: 93503
Время работы : 44.101 сек

Для выхода нажмите любую клавишу . . .
Имя входного файла ИСТОЧНИК (без расширения):Имя входного файла ВЫЧИТАЕМОЕ (без
расширения):output.txt
Всего 93503 квадратов (вход) в output.txt
prov.txt
Всего 143264 квадратов (вход) в prov.txt
Уникальных 0 квадратов (выход).
Для продолжения нажмите любую клавишу . . .
prov.txt
output_SUB_prov.txt
Скопировано файлов:         1.
WWEDITE NOMER CIKLA K
7
. . . . . .

Ничего не понимаю! Вроде всё выполняется правильно, а уникальных ЛК нет и нет. Почему их нет?
Неужели их всего и есть только 143264??? Это кажется маловероятным.
Но пока кручу проверку.

Итак, я проверила на псевдотройки все имеющиеся у меня КФ ЛК с симметрией (27,27,27).
Таких КФ ЛК у меня имеется всего 143264 штуки.
Новых рекордных псевдотрек не найдено.
Найденная мной псевдотройка с х. о. 88 - единственная, не считая, конечно, тех, что получаются также от ЛК иностранцев.
И рекорд 91 пока не побит.

Все мои попытки найти новые КФ ЛК с симметрией (27,27,27) потерпели фиаско.
Либо таких КФ ЛК больше нет, либо я плохо ищу.

Столько всяких псевдотроек перелопатила!
Вот интересная псевдотройка (программа Беляева lat04)

1 cm=75
 0 2 9 4 6 8 3 5 7 1
 9 1 4 7 0 3 8 6 2 5
 1 0 2 9 8 7 5 3 4 6
 2 9 5 3 7 6 4 1 0 8
 6 3 1 8 4 0 7 9 5 2
 4 6 8 1 9 5 0 2 3 7
 7 4 0 5 2 1 6 8 9 3
 3 8 6 0 5 9 2 7 1 4
 5 7 3 6 1 2 9 4 8 0
 8 5 7 2 3 4 1 0 6 9

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 8 0 7 5 6 4 3 2 9 1
 6 4 0 1 7 2 8 9 5 3
 7 3 5 0 1 8 9 4 2 6
 1 7 3 2 0 9 4 5 6 8
 2 5 4 8 9 0 1 6 3 7
 3 6 8 9 5 7 0 1 4 2
 5 8 9 7 3 6 2 0 1 4
 4 9 1 6 2 3 7 8 0 5
 9 2 6 4 8 1 5 3 7 0

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 5 8 6 7 9 0 3 1 4 2
 1 5 7 6 2 9 4 3 0 8
 2 9 1 4 0 7 8 5 3 6
 6 7 3 8 5 2 1 4 9 0
 4 3 9 0 1 6 7 8 2 5
 3 2 8 5 6 4 9 0 7 1
 9 4 0 1 3 8 5 2 6 7
 8 6 5 2 7 3 0 9 1 4
 7 0 4 9 8 1 2 6 5 3

Это псевдотройка типа ДЛК+ЛК+ДЛК, хотя можно считать и так (2 ДЛК + ЛК).
Выше была показана псевдотройка такого типа с х. о. 82.
Здесь просто интересно получилось. Вот от этой однушки псевдотройка происходит (программа Беляева lat03)

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 5 8 6 7 9 0 3 1 4 2
 1 5 7 6 2 9 4 3 0 8
 2 9 1 4 0 7 8 5 3 6
 6 7 3 8 5 2 1 4 9 0
 4 3 9 0 1 6 7 8 2 5
 3 2 8 5 6 4 9 0 7 1
 9 4 0 1 3 8 5 2 6 7
 8 6 5 2 7 3 0 9 1 4
 7 0 4 9 8 1 2 6 5 3
sq1

Square:
 0 2 9 4 6 8 3 5 7 1
 9 1 4 7 0 3 8 6 2 5
 1 0 2 9 8 7 5 3 4 6
 2 9 5 3 7 6 4 1 0 8
 6 3 1 8 4 0 7 9 5 2
 4 6 8 1 9 5 0 2 3 7
 7 4 0 5 2 1 6 8 9 3
 3 8 6 0 5 9 2 7 1 4
 5 7 3 6 1 2 9 4 8 0
 8 5 7 2 3 4 1 0 6 9

Между основным ДЛК однушки (Square) и ортогональным соквадратом (sq1) вставился ЛК, интересненький такой: одна диагональ из нулей, вторая диагональ из девяток :)
И получилась псевдотройка с х. о. 75.

Интересно, для сравнения.
И ЛК иностранцев, и основной ЛК моей рекордной псевдотройки мульти-симметричны.
Вот посмотрите на симметрии, которыми они обладают.

Это ЛК иностранцев, х. о. 91

0 8 9 7 5 6 4 2 3 1
9 1 4 6 2 7 3 8 0 5
7 4 2 5 1 3 8 6 9 0
8 6 5 3 9 2 1 0 4 7
6 2 1 8 4 0 9 5 7 3
4 9 3 2 7 5 0 1 6 8
5 3 7 1 0 8 6 9 2 4
3 5 0 9 8 4 2 7 1 6
1 7 6 0 3 9 5 4 8 2
2 0 8 4 6 1 7 3 5 9

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)
** 0312645978 0312645978 0231564897 -> (27,27,27)
CT 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)++
CT 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)++
CT 0312645978 0312645978 0231564897 -> (27,27,27)++
RT 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)++
RT 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)++
RT 0312645978 0312645978 0231564897 -> (27,27,27)++

Это основной ЛК моей псевдотройки с х. о. 88

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 8 5 4 6 3 9 2 0 7
2 5 9 6 7 4 1 8 3 0
3 4 6 7 2 8 5 0 9 1
4 7 3 2 0 9 8 1 6 5
5 3 8 1 9 0 7 6 2 4
6 2 1 9 8 7 0 5 4 3
7 9 4 0 1 6 2 3 5 8
8 0 7 5 3 2 4 9 1 6
9 6 0 8 5 1 3 4 7 2

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)
** 0312645978 0312645978 0231564897 -> (27,27,27)
R* 0789645231 0312645978 0231564897 -> (27,27,28)+
R* 0897456312 0123456789 0123456789 -> (1,1,8)+
R* 0978564123 0231564897 0312645978 -> (27,27,28)+

У обоих ЛК симметрия (27,27,27) кратная. Остальные симметрии имеют код с плюсом или с двумя плюсами.
У ЛК иностранцев два плюса в кодах, а у моего ЛК один плюс, а вот сам код симметрии (до плюсов) разный: у иностранцев (27,27,27), а у меня (1,1,8) и (27,27,28). Ну, у иностранцев есть ещё (1,1,1)++, что, наверное, как-то связано с тождественной симметрией.
Я не понимаю ни йоты в симметриях, у которых коды с плюсами.
Интересно было бы узнать, какие ЛК имеют симметрию (27,27,27)++. Наверное, эти ЛК в чём-то подобны ЛК иностранцев. В чём именно?
Есть, вероятно, и симметрия (27,27,27)+. Это какие ЛК?
Надо бы их все прощупать, особенно на псевдотройки.

Например, симметрия с кодом

CT 0231564897 0231564897 0312645978 -> (27,27,27)++

Я так поняла из сообщений Белышева: сначала к ЛК применили инверсию столбцов, потом к полученному ЛК применили транспонирование, а потом ещё преобразования

0231564897 0231564897 0312645978 

И в результате всех этих преобразований получили исходный ЛК.

Может, это совершенно неправильное понимание. Ну, понимаю, как могу.
Я пыталась ранее выполнять инверсию строк и инверсию столбцов в ЛК, но это у меня ни черта не получилось.
Показал бы Белышев на форуме boinc.ru, что за инверсия такая (строк и столбцов).

Вообще, как я уже не раз замечала, изложение столь сложной теории необходимо сопровождать конкретными примерами.
Теория сложная не только для меня; я столкнулась с тем, что в этой теории так же плохо понимают С. Беляев и Harry White.
Я попросила Harry White написать генератор для симмерии (27,27,27), чтобы проверить свои результаты по ЛК с данной симметрией (их количество).
Дала ему ссылку на описание этой симметрии Белышевым. Но он в этом описании так и не разобрался, хотя я и пыталась ему помочь, давая своё собственное понимание. Всё оказалось бесполезно, генератор он так и не написал.
Вот возглас Harry аж с тремя восклицательными знаками

I cannot program it without knowing what to program!!!

(выделено в оригинале).
Я посоветовала ему обратиться за разъяснениями к автору теории Белышеву.
Да, и заметила ещё, что мне Белышев не даёт никаких разъяснений, хотя я и задаю ему вопросы по существу, в частности, задала один вопрос по симметрии (27,27,27). Этот вопрос был озвучен и в данной теме (в стартовом посте).

Беляев написал мне, что благодарен за мою статью, в которой хоть что-то стало ему понятно про обобщённые симметрии.

К Белышеву
конечно, вы можете не отвечать на мои вопросы по существу вашей теории.
Такое отношение к тем, кто трудится в той же области, я считаю некорректным.
Накидал теорий, а что до чьего-то там понимания, это фиолетово. Пусть понимают, если хотят. Разъяснять каждому не обязан.

Однако абсолютно все ошибаются.
И не обращать внимания на то, как вас понимают, - недопустимо.
Не всегда бывает так, что вас понимают неправильно, а вы непогрешимы.
Случай с французом помните?..