Для начала цитирую сообщение Белышева о симметрии (27,27,27)

В общем случае, поиск стандартного представления для симметрии полезно начинать с минимальных представителей для соответствующих циклических структур. Такой выбор часто будет удачным, например, для симметрии (27,27,27) минимальный представитель циклической структуры №27 есть 0231564897. Поэтому добавим в файл standart.txt представление:

** 0231564897 0231564897 0312645978

(здесь 0312645978 есть перестановка обратная к 0231564897).

Запустим get_standard на ЛК:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 1 5 8 3 9 4 7 6
3 9 4 7 2 8 5 0 6 1
4 6 9 1 0 7 3 5 2 8
5 7 0 8 6 4 2 9 1 3
6 8 7 9 1 2 4 3 0 5
7 5 6 0 3 9 8 1 4 2
8 4 5 2 9 0 1 6 3 7
9 3 8 6 7 1 0 2 5 4

получим для (27,27,27):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 4 7 3 6 0 9 1 5
9 8 3 5 0 1 4 6 7 2
7 6 9 1 5 0 2 3 4 8
6 4 1 9 2 8 7 0 5 3
4 7 5 2 8 3 9 1 0 6
5 3 8 6 7 9 1 4 2 0
2 9 6 0 1 4 8 5 3 7
3 0 7 4 9 2 5 8 6 1
1 5 0 8 6 7 3 2 9 4

Симметрия состоит в следующем:
1) в левом верхнем углу стоит 0;
2) оставшиеся девять элементов первой строки составляют три секции по три элемента, одна из них является некоторым циклическим сдвигом строки 123, вторая — циклическим сдвигом строки 456, а третья — строки 789;
3) для первого столбце аналогично первой строке;
4) оставшиеся 81 элемент составляют 9 блоков 3x3:

2 4 7 3 6 0 9 1 5
8 3 5 0 1 4 6 7 2
6 9 1 5 0 2 3 4 8

4 1 9 2 8 7 0 5 3
7 5 2 8 3 9 1 0 6
3 8 6 7 9 1 4 2 0

9 6 0 1 4 8 5 3 7
0 7 4 9 2 5 8 6 1
5 0 8 6 7 3 2 9 4

прямые ломанные диагонали каждого блока могут иметь только один из следующих четырёх видов:
а) 000
б) циклический сдвиг строки 123
в) циклический сдвиг строки 456
г) циклический сдвиг строки 789

Причём все три ломанные диагонали одного блока принадлежат разным видам.

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=91102#post91102

Здесь у меня возник вопрос по поводу последнего утверждения: «Причём все три ломанные диагонали одного блока принадлежат разным видам.»
В блоке

2 8 7
8 3 9
7 9 1

это утверждение не выполняется. Или я что-то не так понимаю.

Далее рекомендую посмотреть недавно выложенную статью "Новый алгоритм поиска ОДЛК".
В статье немного написано о данной симметрии. Не буду тут дублировать этот фрагмент из статьи.

Симметрия интересна своим законом составления ЛК.
Начала писать генератор ЛК, обладающих этой симметрией. Очень интересно! Я поблочно ещё не составляла ЛК.
Пока только два блока запрограммировала, вот что получилось

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  0  4  3  6  5  0  0  0 
 2  5  3  0  6  1  4  0  0  0 
 3  0  6  1  5  4  2  0  0  0 
 4  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 5  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 6  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 7  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 8  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 9  0  0  0  0  0  0  0  0  0 

Вроде правильные блоки.
Продолжаю писать программу.

Кстати, в эксперименте мультисимметрия нашлись два ЛК, обладающие симметрией (27,27,27).
Стандарты записала, вот они:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 4 1 3 7 5 9 6 8
3 6 0 8 2 1 9 5 4 7
4 7 8 5 6 9 1 0 3 2
5 8 6 7 9 2 0 4 1 3
6 4 1 9 0 8 2 3 7 5
7 5 9 0 8 3 4 1 2 6
8 9 5 6 7 4 3 2 0 1
9 3 7 2 1 0 8 6 5 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 9 5 7 4 3 6 1 8
3 4 5 8 1 9 0 2 6 7
4 5 6 9 8 7 2 1 0 3
5 3 4 1 2 0 8 9 7 6
6 8 7 2 0 1 9 4 3 5
7 9 8 0 6 2 4 3 5 1
8 7 0 6 9 3 1 5 4 2
9 6 1 7 3 8 5 0 2 4

Например, для первого ЛК программа get_standard выводит следующую очевидную симметрию

(27,27,27)

0 2 3 1 5 6 4 8 9 7
8 1 9 2 4 7 5 0 6 3
9 3 2 7 6 5 8 1 0 4
7 8 1 3 9 4 6 5 2 0
3 4 6 5 7 0 1 9 8 2
1 6 5 4 2 8 0 3 7 9
2 5 4 6 0 3 9 7 1 8
6 7 0 8 1 9 2 4 3 5
4 9 8 0 3 2 7 6 5 1
5 0 7 9 8 1 3 2 4 6

Посмотрите, какой здесь есть блок

4 6 5
6 5 4
5 4 6

Здесь все три прямые ломаные диагонали принадлежат одному виду.

Неплохо было бы получить пояснение Белышева по данному вопросу.
Вопрос этот ему задан. Ссылка на мою статью отправлена.
Увы! Пояснений я не получила.

В программе пишу так, что диагонали блока могут принадлежат одному виду, даже все три, как в последнем примере.

Уф! Три блока сверстала

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  0  4  3  6  7  5  9  8 
 2  5  3  0  8  1  4  9  6  7 
 3  0  6  1  5  9  2  8  7  4 
 4  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 5  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 6  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 7  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 8  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 9  0  0  0  0  0  0  0  0  0 

Ошибок не вижу, вроде всё правильно в этих трёх блоках.
Непривычно блоками составлять ЛК. Зато интересно получить генератор ЛК с симметрией (27,27,27).

Генератор ЛК, обладающих симметрией (27,27,27), подвигается, ещё три блока сверстала

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  0  4  3  6  7  5  9  8 
 2  5  3  0  8  1  4  9  6  7 
 3  0  6  1  5  9  2  8  7  4 
 4  3  5  7  9  8  0  2  1  6 
 5  8  1  6  0  7  9  4  3  2 
 6  4  9  2  7  0  8  3  5  1 
 7  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 8  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 9  0  0  0  0  0  0  0  0  0 

Ошибок не вижу.
Ну, вот ещё три блока сделаю, тогда можно будет проверить полученный ЛК программой Белышева на симметрию. Очень надеюсь, что симметрия будет иметь место.

У-р-р-р-а-а-а!
Получилось!

Как волновалась, как волновалась...
Ну, генератор для ЛК с симметрией (16,16,16) у Harry White только с третьей попытки получился (я об этом рассказывала выше).
Мне повезло: у меня с первой попытки получилось.
Вот первый ЛК, выданный моим генератором

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  2  0  4  3  6  7  5  9  8 
 2  5  3  0  8  1  4  9  6  7 
 3  0  6  1  5  9  2  8  7  4 
 4  3  5  7  9  8  0  2  1  6 
 5  8  1  6  0  7  9  4  3  2 
 6  4  9  2  7  0  8  3  5  1 
 7  9  8  5  6  2  1  0  4  3 
 8  6  7  9  2  4  3  1  0  5 
 9  7  4  8  1  3  5  6  2  0

Было очень интересно составлять ЛК поблочно.
Проверила полученный ЛК на симметрию программой Белышева, всё в порядке - симметрией (27,27,27) ЛК обладает.
Программе get_standard этот ЛК вроде бы с очевидной симметрией не понравился и она сделала свою очевидную симметрию



Лепота!
Теперь можно массово генерировать ЛК с симметрией (27,27,27) и проверять их на ОДЛК.
Какие перспективы у данной симметрии в смысле ОДЛК? Надо пощупать :)
А ещё, как я написала в статье "Новый алгоритм поиска ОДЛК", у ЛК с данной симметрией должны быть неплохие результаты по псевдотройкам.
Известные в истории примеры представлены в статье - псевдотройки с х. о. 82 и 91.
А что если в этом семействе и тройка MOLS сидит :)

Кстати, о тройке MOLS. До сих пор так и не доказали существование/несуществование этой тройки для ЛК 10-го порядка???
И что это за нерасторопность такая в науке? :)
Вроде бы теорема соответствующая есть, я о ней не раз писала.
Эта теорема даёт необходимое и достаточное условие существования тройки MOLS любого порядка.
Что мешает проверить по этой теореме ЛК 10-го порядка???
Вроде бы австралийцы и проверять уже начали. И что? Всё проверили? Или только начали?
Кто-нибудь в курсе?

Цитата

А ещё, как я написала в статье "Новый алгоритм поиска ОДЛК", у ЛК с данной симметрией должны быть неплохие результаты по псевдотройкам.
Известные в истории примеры представлены в статье - псевдотройки с х. о. 82 и 91.
А что если в этом семействе и тройка MOLS сидит :)

Пофантазирую...
Ещё Avgust на форуме MHP заметил в своё время, что разность между х. о. псевдотройки, полученной от ЛК Лямзина, и х. о. псевдотройки, полученной от ЛК иностранцев, равна 9. И до... полной ортогональности не хватает тоже 9.

Предположу, что в псевдотройке, полученной от ЛК Лямзина, нет ортогональности в двух блоках 3х3, а в псевдотройке, полученной от ЛК иностранцев, нет ортогональности только в одном блоке 3х3.
Это лёгкая фантазия на тему :)

Однако... что-то всё-таки не так в моём генераторе...
Сгенерировала 1000 ЛК.
Канонизировала

Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 1000
Найдено КФ ЛК: 706
Время работы : 0.093 сек

Проверяю на симметрии

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 706
Из них симметричных        : 628

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0.093 сек

Из 706 КФ ЛК только 628 "симметричных" [симметрия у всех (27,27,27)].
Что в остальных ЛК не так? А шут их знает! Они ведь все по одному закону составляются.

Ну да ладно, буду проверять, что есть.

1. Кажется, поняла, что у меня не так в генераторе.
Исправлю, проверю.

2. Проверила эту порцию на ОДЛК, пусто: марьяжных ДЛК не найдено.

3. Теперь проверяю на псевдотройки.
Работает программа Беляева Lat05

. . . . . 
Time gen=1.47 sec
 sq=5 cm=62  cmm=82
Time search=0.01 sec
156
103 110 72 72 75 103 75 72 103 75 :860 fsq=0
 Time gen=1.47 sec
 sq=5 cm=64  cmm=82
Time search=0.01 sec
157
75 84 89 79 81 79 87 70 77 83 :804 fsq=0
 Time gen=1.14 sec
Time search=0.00 sec
158
111 120 94 94 75 94 111 75 111 75 :960 fsq=0
 Time gen=2.64 sec
 sq=1
Time search=0.01 sec
159
85 110 95 95 74 85 74 85 74 95 :872 fsq=0
 Time gen=1.88 sec
. . . . . . 

Итак, х. о. 82 легко, с ходу, в первой же малюсенькой порции ЛК!

Закончила программа работать, больше 82 х. о. не найдена.
В своё время я пыталась найти второй ЛК, дающий псевдотройку с х. о. 91, не изоморфный ЛК иностранцев. Это мне не удалось.
Может быть, в семействе с симметрией (27,27,27) есть такой ЛК.
Надо искать.

Я выудила из сгенерированной порции ЛК, который не "симметричен"

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 7 5 9 8
2 5 3 0 8 1 4 9 6 7
3 0 6 1 5 9 2 8 7 4
4 6 5 7 9 8 0 1 2 3
5 8 4 6 0 7 9 2 3 1
6 4 9 5 7 0 8 3 1 2
7 9 8 2 1 3 5 0 4 6
8 3 7 9 6 2 1 4 0 5
9 7 1 8 2 4 3 6 5 0

Догадайтесь, что в этом ЛК не так :)
У меня есть одна версия, надо проверить.

Псевдотройка с х. о. 82 найдена в проверенной порции (706 КФ ЛК) единственная.
Вот информация, выведенная программой Беляева Lat05

(1-4,4-36  tr=860) cm=82 sq=6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 0 1 5 9 7 8 3 6 4
3 8 9 6 0 4 1 5 7 2
4 5 8 0 6 1 9 2 3 7
5 6 0 8 7 9 3 4 2 1
6 4 5 7 8 2 0 9 1 3
7 9 4 1 3 0 2 6 5 8
8 7 6 9 2 3 4 1 0 5
9 3 7 2 1 8 5 0 4 6

Этот ЛК обладает симметрией (27,27,27).
Я проверила: ЛК не изоморфен ЛК Лямзина. Это уже хорошо.
Есть надежда найти ЛК не изоморфный ЛК иностранцев, дающий псевдотройку с х. о. 91.

Т-э-к-с, теперь займусь исправлением генератора. Надо, чтобы все сгенерированные ЛК обладали симметрией (27,27,27).
У меня пока не так.

Ох, нелёгкая это работа - программу исправлять :)
Почти всё исправила, но всё-таки ещё не всё

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 3000
Из них симметричных        : 2994

Найдено различных симметрий: 5
Время работы               : 0.421 сек

Где-то 6 "симметричных" ЛК потеряны.
А какой интересный список симметрий

(1,1,1)
(8,8,8)
(16,16,16)
(27,27,27)
(28,28,28)

И опять мультисимметрия!

Пойду дальше выискивать ошибки.

Есть!!!

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 3000
Из них симметричных        : 3000

Найдено различных симметрий: 5
Время работы               : 0.405 сек

Да, это было не просто. Логика в программе должна быть железная.
Ну, вроде всё нормально пока. Хотя ещё, может, и остались подводные камни, которые вылезут при более массовой генерации.

Эх! На 3000 ЛК всего 230 уникальных

Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 3000
Найдено КФ ЛК: 230
Время работы : 0.312 сек

Не густо. Сплошные изоморфы.

Ещё порция - 100000 ЛК.

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 100000
39880
80121
Из них симметричных        : 100000

Найдено различных симметрий: 10
Время работы               : 12.511 сек

Список симметрий

(1,1,1)
(8,8,8)
(10,10,10)
(16,16,16)
(19,19,19)
(21,21,21)
(22,22,22)
(27,27,27)
(28,28,28)
(30,30,30)

А интересные какие коды симметрий - все из одинаковых чисел состоят.

Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 100000
55006
Найдено КФ ЛК: 6968
Время работы : 9.094 сек

Марьяжных ДЛК не найдено.

С псевдотройками в этой порции глухо, программа постоянно зацикливается. Не могу понять причину.
Написала об этом тут
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=95&postid=2588#2588

А вот и первые марьяжные ДЛК с симметрией (27,27,27)!

0 2 4 8 7 3 9 6 5 1
9 1 6 4 2 7 8 5 0 3
8 0 2 1 6 9 5 3 4 7
6 5 1 3 9 8 4 0 7 2
2 3 5 0 4 6 7 1 9 8
1 6 7 9 8 5 2 4 3 0
7 9 3 2 5 0 6 8 1 4
3 8 9 6 0 4 1 7 2 5
4 7 0 5 1 2 3 9 8 6
5 4 8 7 3 1 0 2 6 9

0 2 5 4 7 8 9 6 3 1
3 1 6 7 9 2 4 5 0 8
1 9 2 8 6 0 5 3 4 7
8 0 9 3 5 7 2 1 6 4
9 3 7 5 4 6 0 8 1 2
4 6 1 0 8 5 7 9 2 3
7 4 8 9 3 1 6 2 5 0
2 5 4 1 0 3 8 7 9 6
6 7 0 2 1 9 3 4 8 5
5 8 3 6 2 4 1 0 7 9

Интересна первая однушка: она даёт всего одну КФ ОДЛК, то есть ортогональный соквадрат однушки изоморфен основному ДЛК.
Вторая однушка не менее интересна: она даёт две КФ ОДЛК и обе они с симметрией (27,27,27)!

Скачала программу Lat05 по ссылке, данной на форуме boinc.ru.
Эта версия нормально работает.
[До этого я работала по программе, присланной мне Сергеем в письме. Видимо, это разные версии.]

Последняя порция ЛК с симметрией (27,27,27) проверена, найдены две псевдотройки с х. о. 85, вот одна из них

(1-17,6-73  tr=972) cm=85 sq=8
  0 11 22 33 44 55 66 77 88 99
 15 26 30 49 53 61 78 82 94  7
 27  2 16 98 70 89 34 43 65 51
 38 97 75 56 81 24 13  9 42 60
 41 39 68  5 92 76 87 50 23 14
 54 45 83 71 67 90 29 18  6 32
 69 80  4 17 25 48 52 96 31 73
 72 63 59 84  8 37 95 21 10 46
 86 74 91 62 19  3 40 35 57 28
 93 58 47 20 36 12  1 64 79 85

  0 11 22 33 44 55 66 77 88 99
 19 23 35 42 56 68 70 81 97  4
 26  5 18 94 71 87 32 49 60 53
 37 98 74 51 89 20 15  6 43 62
 45 36 69  8 90 72 83 54 21 17
 58 47 80 76 65 93 24 12  9 31
 61 82  3 10 27 46 59 95 34 78
 73 64 57 85  2 39 91 28 16 40
 84 79 96 67 13  1 48 30 52 25
 92 50 41 29 38 14  7 63 75 86

Тут ЛК наложены друг на друга, я не выделила исходный ЛК, как в прошлый раз.
Сергей здесь решил оригинально выводить псевдотройки :)
Таким образом, от ЛК с симметрией (27,27,27) псевдотройки с х. о. 82 и с х. о. 85 получены с ходу, проверены две малюсенькие порции ЛК.
Ну, х. о. 91 в семействе ЛК с симметрией (27,27,27) сидит - это псевдотройка, получаемая от ЛК иностранцев, который обладает симметрией (27,27,27).
Есть ли ещё что-нибудь интересненькое в этом семействе?

Напомню, что от ЛК блочной структуры была найдена псевдотройка с максимальной х. о. 86.
Псевдотройка с х. о. 86 и мной была найдена (выложена на форуме Math Help Planet), и на форуме boinc.ru была найдена.
Больше данной х. о. мне известна х. о. только в псевдотройке иностранцев - 91.

Вот нашла на форуме Math Help Planet свою рекордную псевдотройку

(140465-30,476438-119) cm=86
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 3 4 0 6 8 9 7 5
 7 4 5 6 8 3 9 1 0 2
 3 9 0 1 2 7 4 6 5 8
 5 6 8 7 9 0 1 3 2 4
 9 0 1 8 3 4 5 2 6 7
 8 3 4 5 6 2 7 0 9 1
 4 5 6 2 7 9 0 8 1 3
 6 8 7 9 5 1 2 4 3 0
 2 7 9 0 1 8 3 5 4 6

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 7 0 9 6 3 4 5 8 2 1
 4 2 8 5 1 0 7 6 9 3
 2 4 5 9 6 1 8 3 7 0
 6 9 3 0 5 8 2 1 4 7
 3 6 4 2 7 9 0 5 1 8
 9 8 1 4 0 7 3 2 6 5
 5 3 7 8 9 2 1 4 0 6
 8 7 6 1 2 3 9 0 5 4
 1 5 0 7 8 6 4 9 3 2

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 2 5 4 0 7 8 9 1 3 6
 1 9 3 2 0 7 4 5 6 8
 6 0 5 8 3 2 7 9 1 4
 4 3 1 6 2 9 0 8 7 5
 3 8 7 5 9 1 2 6 4 0
 7 2 6 9 1 0 8 4 5 3
 8 7 0 4 5 6 3 2 9 1
 5 6 9 7 8 4 1 3 0 2
 9 4 8 1 6 3 5 0 2 7

отсюда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=268518#p268518

Тогда поиск псевдотроек выполнялся тоже по программе Беляева, но по другой.
Здесь формат вывода псевдотройки привычный.
Кстати, главный ЛК псевдотройки (является ДЛК) тоже "симметричный" - с симметрией (1,31,31).

Итак, пока х. о. 86 - рекорд у меня.

Программа поиска псевдотроек Lat05 опять зависла и к тому же врёт, уже нашла cm=97 :)



Сергей, ау!!!
Может быть, я не те параметры задаю в программе?
Программа запрашивает какие-то max и min. Я ввожу max=100000 (имея в виду максимальное количество ОЛК) и min=0 (ничего не имея в виду).
Может, это неправильно? И потому программа постоянно куда-то улетает.

Насчёт cm=97 - точно врёт

(89573-1880,99874-1880  tr=852) cm=97 sq=100000
  2 11 21 33 44 55 66 77 88 99
 14  6 38 47 59 67 74 86 95 24
 22 34 46 69 97 86 57  5 14 78
 35 56 63 18 25 79 49 94  7 86
 42 79 15 84  7 28 97 63 36 57
 52 97 87 25 16 39  8 45 75 64
 67 87 74  5 33 96 19 58 29 45
 76 27 193 230 68  4 85 19 40 30
 89 48 154 56 75 17 24 30 288 18
 98 65  9 88 145 40 37 26 54 13

  2 11 21 33 44 55 66 77 88 99
 16  5 38 47 59 67 78 86 95 24
 25 39 46 68 96 84 57  5 14 73
 37 54 69 15 25 76 49 98  7 86
 49 79 18 84  7 28 95 63 34 56
 58 97 87 26 16 39  4 45 79 64
 64 86 75  9 38 96 19 58 27 45
 72 28 193 97 68  4 89 14 46 35
 82 47 94 53 75 19 24 36 65  8
 92 65  6 74 85 48 37 29 54 17

Явно в программе сбой. Но почему?

Обидно, не могу псевдотройки проверить.
А старую программу я уже и забыла, по которой давно проверяли, ещё на MHP.
У меня сохранилась программа lat04, но она только для одного введённого ЛК ищет все псевдотройки и проверяет их. Это мне не подходит, потому что у меня много ЛК.

Ой, о программе lat04 зря написала, это я забыла, давняя программа-то.
Сейчас проверила, она считает для всех введённых ЛК, а не для одного.
Замечательно! Есть программа для проверки псевдотроек. Буду проверять понемногу.