Итак, мы с Demis начинаем эксперимент по поиску "симметричных" решений, обладающих симметрией с кодом (4,31,31) по классификации Белышева.

В теме "Обобщённые симметрии - 2" я писала о классификации Белышева.
Как оказалось, данная симметрия происходит от определённого подмножества ассоциативных ЛК; это подмножество характеризуется определённым соответствием элементов в ассоциативных ЛК, а именно: 6 элементов соответствуют сами себе и две пары взаимно соответствующих элементов.

Пример
для основного ДЛК найденной в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК восьмёрки, обладающего симметрией (4,31,31), "прародитель", то есть представитель очевидной симметрии (по Белышеву), следующий ассоциативный ЛК

2 3 0 9 4 1 7 5 6 8
0 2 3 8 9 6 5 4 1 7
4 5 6 1 7 9 3 2 8 0
5 4 1 0 2 8 6 7 9 3
6 9 8 2 5 3 4 0 7 1
8 7 9 4 3 5 2 1 0 6
3 0 7 6 1 2 9 8 4 5
9 1 2 3 0 7 8 6 5 4
7 8 4 5 6 0 1 3 2 9
1 6 5 7 8 4 0 9 3 2

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК такое:

0 <--> 9
1 <--> 8
2 <--> 2
3 <--> 3
4 <--> 4
5 <--> 5
6 <--> 6
7 <--> 7

Таким образом, из огромного множества ассоциативных ЛК для симметрии (4,31,31) удалось выбрать подмножество, которое, естественно, меньше всего множества.

Далее, есть замечательная программа Harry White - генератор ассоциативных ЛК.
Выбираю нужные группы ЛК с помощью данной программы. Затем нужно эти ЛК канонизировать (программа Белышева kanonizator_lk), потому что очень много изоморфных ЛК. И наконец, полученную порцию КФ ЛК проверить на ОДЛК программой Белышева family_mar.
Вот такой алгоритм поиска решений, обладающих симметрией (4,31,31).
Всё реализовано, Demis справился с компиляцией исходных кодов под Юникс и уже запустил эксперимент.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Первые решения у Demis - 89 уникальных КФ ОДЛК, среди них 41 "симметричных"

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 89
Из них симметричных        : 41

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0.031 сек

Рикошетом получена одна тройка (при вторичной обработке), она никакая не "симметричная". Остальные решения однушки и двушки.

Я в данный момент этот эксперимент не выполняю. Немножко пробовала, о чём рассказано в теме "Обобщённые симметрии - 2".
Ну и потом при выборе ветви для Demis ещё чуть-чуть пробежалась по различным группам ассоциативных ЛК.
Посмотрим на результаты.
Как я уже отмечала, бич эксперимента - обилие изоморфных ЛК. Отсюда очень много одинаковых решений.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 47164
Из них симметричных        : 1518

Найдено различных симметрий: 8
Время работы               : 3.619 сек

Вот как сразу подпрыгнуло количество "симметричных" решений в части БД ручного проекта, благодаря результатам, полученным Demis.

При этом симметрия (4,31,31) имеет больше всего решений

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 47164
Введите код симметрии:
(4,31,31)
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 1335
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 3.12 сек

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В сообщении http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=91171#post91171 Белышев рассказывает, как найти все не изоморфные ЛК, обладающие симметрией (4,31,31)

whitefox;91171 wrote:

Перечислим все существенно различные ЛК, обладающие симметрией (4,31,31). Используем метод аналогичный использованному при перечислении ЛК, обладающих симметрией (2,31,31).
. . .
Зная имя семейства, легко перечислить все ЛК, принадлежащие ему.

К сожалению, я в этом описании ничего не поняла.
Поэтому в алгоритме поиска у меня фигурируют ассоциативные ЛК, обладающие симметрией (4,31,31).
Всё бы хорошо, но... проклятый изоморфизм сильно мешает.

В одной порции из миллиона сгенерированных ассоциативных ЛК мы избавляемся от изоморфов с помощью канонизации ЛК. Но! ЛК изоморфны в разных порциях.
Тогда надо бы так делать: генерировать сразу все ассоциативные ЛК в этой ветви и сразу все их канонизировать. Хорошо бы... если бы всех ЛК в выбранной ветви было не так много.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Новая порция решений от Demis - 74 уникальных КФ ОДЛК, из них 33 "симметричных"

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 74
Из них симметричных        : 33

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0.015 сек

У меня в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК тоже есть прибавления к решениям с симметрией (4,31,31).

И общий итог по "симметричным" решениям у нас такой:

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 47421
Из них симметричных        : 1555

Найдено различных симметрий: 8
Время работы               : 4.508 сек

Характерная особенность эксперимента по поиску решений с симметрией (4,31,31) - большой процент двушек среди найденных решений.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Цитата

Первый ассоциативный ЛК 10-го порядка получен!



Генератор ассоциативных ЛК готов, работает быстро. Правда, генерирует кучу изоморфных ЛК, просто переставляя в них строки.
Будут ли давать ОДЛК ассоциативные ЛК при обработке Канонизатором ЛК по ДК, пока неизвестно.
Надо экспериментировать.

Ассоциативные ЛК я начала рассматривать ещё в марте с. г. Смотрите приведённую цитату.
Уже тогда задалась вопросом: что будут давать ассоциативные ЛК при обработке Канонизатором ЛК по ДЛК.
А давать они должны! Слишком хороша структура этих ЛК.

И теперь мы видим результаты эксперимента - поиск симметрии (4,31,31). В данном эксперименте проверяется только одно подмножество ассоциативных ЛК.
А есть ещё несколько симметрий, которые происходят от ассоциативных ЛК, согласно классификации Белышева.
Далее я напомню все эти симметрии и приведу примеры.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Итак, симметрии, происходящие от ассоциативных ЛК.

Симметрия №1 - (1,31,31)
В ассоциативных ЛК, дающих эту симметрию, имеется полное само-соответствие элементов.

Пример (получен генератором Harry White)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 6 7 4 5 9 8
2 3 0 1 8 9 5 4 6 7
3 2 6 7 0 1 8 9 4 5
4 5 1 0 2 3 9 8 7 6
6 7 8 9 3 2 0 1 5 4
5 4 9 8 1 0 7 6 2 3
7 6 4 5 9 8 1 0 3 2
8 9 5 4 7 6 2 3 0 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Очевидно, что этот ЛК является "брауном" (все строки попарно инвертированы).
Все ассоциативные ЛК с полным само-соответствием элементов обладают этим свойством.
Интересно: данный ЛК обладает двумя симметриями: (1,31,31) и (16,31,31).

Цитата

Во второй части статьи о методах построения латинских квадратов приведён ещё один оригинальный ЛК



(см. в указанной статье рис. 4)

Преобразовала ЛК в традиционную форму - с числами 0, 1, ..., 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 5 7 9 0 2 4 6 8
2 5 8 0 3 6 9 1 4 7
3 7 0 4 8 1 5 9 2 6
4 9 3 8 2 7 1 6 0 5
5 0 6 1 7 2 8 3 9 4
6 2 9 5 1 8 4 0 7 3
7 4 1 9 6 3 0 8 5 2
8 6 4 2 0 9 7 5 3 1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Это ещё один красивый пример ассоциативного ЛК с полным само-соответствием элементов..
Этот ЛК обладает несколькими симметриями:

(1,1,1)
(1,31,31)
(1,41,41)
(1,42,42)
(16,16,16)
(16,31,31)
(21,21,21)
(21,36,36)
(31,41,42)
(41,41,41)
(41,42,42)

И ещё один замечательный пример - знаменитый "браун".
Цитата

Вспомним основной ДЛК Брауна
[привожу его в первозданном виде из статьи “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие)]

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

Переставим строки в этом ДЛК

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0

Получился ассоциативный ЛК!

Симметрии у этого знаменитого ЛК:

(1,1,1)
(1,31,31)
(16,16,16)
(16,31,31)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

2. Симметрия (2,31,31).

Данная симметрия происходит от ассоциативных ЛК, в которых 8 элементов соответствуют сами себе и одна пара взаимно соответствующих элементов.

Пример Белышева

2 0 9 3 4 1 7 6 8 5
1 2 8 0 3 9 5 4 7 6
0 1 2 6 9 8 4 3 5 7
3 6 1 2 5 7 0 9 4 8
9 3 5 1 2 6 8 7 0 4
4 9 7 8 6 2 1 5 3 0
8 4 0 9 7 5 2 1 6 3
7 5 3 4 8 0 6 2 1 9
6 7 4 5 0 3 9 8 2 1
5 8 6 7 1 4 3 0 9 2

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК следующее:

0 <-> 9
1 <-> 1
2 <-> 2
3 <-> 3
4 <-> 4
5 <-> 5
6 <-> 6
7 <-> 7
8 <-> 8

Ещё пример (ЛК получен генератором Harry White)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 6 4 5 8 9 7
2 3 5 0 8 9 7 1 6 4
6 4 0 1 2 7 9 3 5 8
5 2 6 4 1 0 8 9 7 3
4 7 9 8 0 1 3 6 2 5
8 5 4 9 7 2 1 0 3 6
3 6 1 7 9 8 0 5 4 2
7 9 8 5 3 6 2 4 0 1
9 8 7 6 5 3 4 2 1 0

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК:

0 <--> 0
1 <--> 1
2 <--> 2
3 <--> 4
5 <--> 5
6 <--> 6
7 <--> 7
8 <--> 8
9 <--> 9

PS. Следует отметить, что симметрия (2,31,31) происходит не только от ассоциативных ЛК, как показал Белышев.

Продолжение следует.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

3. Симметрия (4,31,31)

Об этой симметрии написано в первом посте темы. Там есть и пример.
Приведу ещё один пример. Это представитель очевидной симметрии ("прародитель") для основного ДЛК шестёрки, найденной мной в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК

2 0 9 7 8 4 5 3 6 1
4 2 0 9 5 8 1 6 3 7
0 4 2 3 6 7 9 8 1 5
1 9 8 2 0 3 4 5 7 6
9 5 7 1 2 0 6 4 8 3
3 1 4 6 9 2 8 7 5 0
6 7 5 4 3 9 2 1 0 8
5 8 1 0 7 6 3 2 4 9
7 3 6 8 1 5 0 9 2 4
8 6 3 5 4 1 7 0 9 2

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК следующее:

0 <--> 9
1 <--> 8
2 <--> 2
3 <--> 3
4 <--> 4
5 <--> 5
6 <--> 6
7 <--> 7

Поиску решений с симметрией (4,31,31) посвящена данная тема.
Эксперимент выполняет Demis.
Кроме того, решения, обладающие данной симметрией, находятся в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК, как приведённая выше шестёрка, к примеру.
И сейчас решения с симметрией (4,31,31) регулярно появляются в этом эксперименте, в основном это двушки. Были и четвёрки найдены (примерно штук 17 - 18), и шестёрка, и восьмёрка.
Так что, семейство симметрии (4,31,31) - богатое марьяжными ДЛК семейство.
Стоит в этом семействе поискать марьяжные ДЛК.

На данный момент мы имеем в БД ручного проекта 1373 марьяжных ДЛК, обладающих симметрией (4,31,31).

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 47456
Введите код симметрии:
(4,31,31)
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 1373
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 4.415 сек

Как сообщил Белышев на форуме boinc.ru, с симметрией (2,31,31) найдено 1008 марьяжных ДЛК, при этом только однушки и двушки; двушек всего 6 штук.
Семейство симметрии (1,31,31) тоже богатое.
Насколько я понимаю, все марьяжные ДЛК в данном семействе уже найдены, ибо это решения, принадлежащие семействам БС вида nx5.
Число марьяжных ДЛК во всех семействах БС вида nx5 Белышев приводил, я не помню это число.

PS. Проверка семейств БС вида nx5 выполнялась в два этапа.
Сначала был поиск в этих семействах симметричных по Гергели/Брауну решений.
Этот этап мы в BOINC-проекте тоже выполнили.
Второй этап - поиск не симметричных по Гергели/Брауну решений.
Этот этап в нашем проекте выполнен не полностью. Я выполняла его вручную, в BOINC-проекте этот поиск не выполнялся.
Алгоритмы и ПО обоих этапов поиска разработаны Белышевым.

Продолжение следует.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Выполняю мини-эксперимент по поиску решений с симметрией (4,31,31).
Выбрала ветку. Сгенерировала по миллиону ассоциативных ЛК три раза, каждую порцию канонизировала, затем собрала все КФ ЛК в один файл и снова канонизировала. Да! КФ ЛК стало меньше после последней канонизации. Значит, во всех трёх порциях были изоморфные ЛК.
Работает пакетный файл.

. . .
754469
785781
816999
848372
879506
910506
943172
975092
Найдено КФ ЛК: 124905
Время работы : 165.126 сек

Для выхода нажмите любую клавишу . . .
rez.txt
output.txt
Скопировано файлов:         1.
Скопировано файлов:         1.
Канонизатор ЛК10

Введено ЛК   : 375141
36476
65143
94240
123892
160019
188802
218453
248399
284064
312816
342554
372022
Найдено КФ ЛК: 373953
Время работы : 63.648 сек

Для выхода нажмите любую клавишу . . .
Скопировано файлов:         1.
Поиск марьяжных ДЛК (кроме симметричных) для семейства ЛК

Введено ЛК: 373953
. . .

В трёх порциях было 375141 КФ ЛК, после канонизации всех этих КФ ЛК вместе осталось 373953 КФ ЛК.
Сейчас эти КФ ЛК проверяются на ОДЛК программой family_mar.
Посмотрю, что в этой ветке найдётся.
Собственно, цель мини-эксперимента была - посмотреть, как много в разных порциях изоморфных ЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Мини-эксперимент завершён.
Найдено 16 уникальных КФ ОДЛК, из них 10 "симметричных"

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 16
Из них симметричных        : 10

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0.015 сек

Найдена очень интересная уникальная четвёрка

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 0 6 7 8 9 4 3 5
 4 3 9 0 6 1 8 5 2 7
 2 9 3 7 5 6 0 1 4 8
 6 4 5 1 8 7 2 9 0 3
 7 5 4 8 2 3 1 0 9 6
 3 7 8 4 9 0 5 2 6 1
 5 8 1 9 0 4 3 6 7 2
 9 6 7 5 3 2 4 8 1 0
 8 0 6 2 1 9 7 3 5 4

Основной ДЛК четвёрки не "симметричен", а все 4 ортогональных соквадрата "симметричные" [с симметрией (4,31,31), конечно].

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 5
Из них симметричных        : 4

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0.015 сек

Любопытно! Надо посмотреть внимательнее на эти "симметричные" ортогональки.
При этом четвёрка полновесная, даёт 5 уникальных КФ ОДЛК, то есть все её ортогональки уникальные.

Хорошая ветка попалась, с ходу найдена четвёрка, двушек много.
Итак, добавила в банк решений с симметрией (4,31,31) 10 новых решений.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Повторила мини-эксперимент по той же схеме.
Найдено 9 уникальных "симметричных" двушек!

Определитель симметрий

Введено ЛК                 : 18
Из них симметричных        : 9

Найдено различных симметрий: 2
Время работы               : 0 сек

Отличные результаты даёт эта ветвь.

Имеем на данный момент в БД ручного проекта 1403 марьяжных ДЛК, обладающих симметрией (4,31,31).

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 47584
Введите код симметрии:
(4,31,31)
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 1403
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 4.461 сек

Мини-эксперимент по описанной схеме выполняется на моём компьютере 5 часов. Долго! Можно бы и дальше поискать, но не могу - эксперимент с псевдоассоциативными ДЛК выполняется у меня, две ветви.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Цитата

Найдена очень интересная уникальная четвёрка

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 0 6 7 8 9 4 3 5
 4 3 9 0 6 1 8 5 2 7
 2 9 3 7 5 6 0 1 4 8
 6 4 5 1 8 7 2 9 0 3
 7 5 4 8 2 3 1 0 9 6
 3 7 8 4 9 0 5 2 6 1
 5 8 1 9 0 4 3 6 7 2
 9 6 7 5 3 2 4 8 1 0
 8 0 6 2 1 9 7 3 5 4

Основной ДЛК четвёрки не "симметричен", а все 4 ортогональных соквадрата "симметричные" [с симметрией (4,31,31), конечно].
. . .
Любопытно! Надо посмотреть внимательнее на эти "симметричные" ортогональки.
При этом четвёрка полновесная, даёт 5 уникальных КФ ОДЛК, то есть все её ортогональки уникальные.

Посмотрела на ортогональки этой четвёрки sqi. Все они - "симметричные" двушки.
Вот конфигурация



Это были бы четвёрки-близняшки, если бы квадраты А и В не были изоморфны.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Продолжаю рассказ о симметриях, происходящих от ассоциативных ЛК.

Я немножко искала решения с симметрией (2,31,31).
Цитата

У-р-р-р-а!

В следующей порции сразу две уникальные однушки нашлись

 0  5  7  8  6  9  2  3  4  1 
 4  1  8  5  9  3  0  6  2  7 
 3  9  2  4  5  8  1  0  7  6 
 1  7  5  3  2  6  4  8  9  0 
 8  2  9  0  4  7  5  1  6  3 
 9  3  0  6  8  5  7  2  1  4 
 7  8  1  9  3  4  6  5  0  2 
 6  4  3  2  0  1  9  7  5  8 
 2  6  4  7  1  0  3  9  8  5 
 5  0  6  1  7  2  8  4  3  9 
** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456987 7219865043 3890674512 -> (2,31,31)
 0  5  7  9  3  4  8  6  2  1 
 3  1  8  4  7  9  5  2  0  6 
 4  6  2  8  1  0  9  3  7  5 
 8  9  4  3  2  1  7  5  6  0 
 7  3  1  2  4  6  0  9  5  8 
 9  7  0  6  8  5  2  1  3  4 
 1  8  3  5  0  2  6  4  9  7 
 6  2  9  0  5  8  1  7  4  3 
 5  4  6  1  9  7  3  0  8  2 
 2  0  5  7  6  3  4  8  1  9 
** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 2705938164 0423156789 4576013298 -> (2,31,31)

Хорошее семейство оказалось, решения имеет. Интересно, что из солидных решений в нём есть.

Как видим, были найдены однушки.
По сообщению Белышева в семействе данной симметрии двушек-то всего чуть-чуть - 6 штук из 1008.

Ещё одна однушка с симметрией (2,31,31), найденная мной

0 4 8 6 3 9 2 5 7 1
7 1 5 4 0 8 3 9 2 6
5 6 2 1 8 3 7 0 9 4
6 8 9 3 5 1 4 2 0 7
8 9 3 0 4 7 5 6 1 2
2 3 1 7 9 5 0 4 6 8
9 7 0 8 2 4 6 1 5 3
4 0 6 9 1 2 8 7 3 5
1 5 4 2 7 6 9 3 8 0
3 2 7 5 6 0 1 8 4 9
** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 5361802947 0123756489 2804397615 -> (2,31,31)

И ещё нашла пару однушек с этой симметрией, они показаны в теме "Обобщённые симметрии - 2".
И в заключение поиска симметрии (2,31,31) я писала

Нет, не интересно, даже двушечки нет ни одной. Может, и будут дальше, кто их знает.
Но пока перевожу эту симметрию в список не ахти эффективных экспериментов.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот нашла важную цитату из сообщения Белышева; искала, как начинала эту тему, но сразу не нашла, сейчас попалась:

С учётом этого свойства, всякую симметрию вида (x,31,31), где x принадлежит {1,2,4,8,16,31}, можно называть центральной. При этом каждому значению x соответствует своё число элеменов переходящих сами в себя:

1  -> 10
2  -> 8
4  -> 6
8  -> 4
16 -> 2
31 -> 0

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=91033#post91033

Итак,
4. Симметрия (8,31,31).

Эту симметрию дают ассоциативные ЛК, в которых 4 элемента переходят сами в себя.

Пример (ассоциативный ЛК найден генератором Harry White)

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 
 1  0  3  2  5  6  4  8  9  7 
 2  3  0  1  6  8  7  9  4  5 
 4  2  1  5  0  9  8  3  7  6 
 5  7  4  0  1  2  9  6  3  8 
 9  5  7  8  2  1  0  4  6  3 
 7  6  5  9  8  0  3  1  2  4 
 3  4  8  6  9  7  1  0  5  2 
 6  8  9  4  7  3  2  5  0  1 
 8  9  6  7  3  4  5  2  1  0 

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК следующее:

0 <--> 0
1 <--> 1
2 <--> 2
3 <--> 5
4 <--> 4
6 <--> 7
8 <--> 9

Поиском решений с симметрией (8,31,31) тоже немножко занималась.
Какая-то одушечная симметрия: ни одной двушки не нашла, насколько помню. Ну, искала-то всего чуть-чуть.

Продолжение следует.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А тем временем эксперимент с псевдоассоциативными ДЛК подарил ещё три уникальные двушки, обладающие симметрией (4,31,31).

Сильно интересно: почему в этом эксперименте находятся в основном решения с симметрией (4,31,31)?

Жду результаты от Demis. Как-то там у него? Не попасть бы в полосу сплошных повторений.
Ну, ветвей у нас очень много, будем испытывать все по порядку.
Кстати, надо выяснить, сколько всего ветвей в генераторе Harry White дают симметрию (4,31,31).
20 ветвей я уже выбрала для данной симметрии.
А всего ветвей в генераторе Harry 5801.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Получила результаты от Demis.
Найдены 34 уникальные КФ ОДЛК, в том числе 17 "симметричных", в том числе одна "симметричная" четвёрка

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 1 2 3 0 5 7 8 9 4 6
 6 5 9 1 7 3 0 8 2 4
 9 8 7 6 1 2 3 4 5 0
 8 4 5 2 3 6 1 0 9 7
 4 9 0 8 2 1 7 6 3 5
 2 7 8 5 9 0 4 3 6 1
 3 6 1 7 8 4 9 5 0 2
 5 0 4 9 6 8 2 1 7 3
 7 3 6 4 0 9 5 2 1 8

Пока эксперимент идёт успешно.

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 47726
Введите код симметрии:
(4,31,31)
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 1424
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 4.493 сек

Это только в части БД ручного проекта. Большинство решений с симметрией (4,31,31) в этой части БД и содержится.
Кажется, в четвёртой части БД тоже есть немного, а может, даже и в третьей, ибо эксперимент с псевдоассоциативными ДЛК я начала в декабре прошлого года.

Вот четвёртая часть БД

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 500000
Введите код симметрии:
(4,31,31)
55299
111267
166202
221259
277619
332478
388228
443573
498652
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 200
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 45.256 сек

Хорошо: 200 марьяжных ДЛК с симметрией (4,31,31).

Это третья часть БД:

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 500000
Введите код симметрии:
(4,31,31)
54958
109456
164120
220529
276207
331450
387122
442105
497650
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 6
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 45.271 сек

Здесь мало, всего 6 решений.

Во второй части БД тоже есть:

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 500000
Введите код симметрии:
(4,31,31)
77394
155820
234424
313081
391835
470568
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 9
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 31.948 сек

И даже в первой части БД есть:

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 500000
Введите код симметрии:
(4,31,31)
78106
156853
235643
314435
393177
443237
491809
Квадратов с симметрией (4,31,31) найдено: 9
они записаны в файл symm_4_31_31.txt
Время поиска: 35.739 сек

Итого имеем на данный момент:
9 + 9 + 6 + 200 + 1424 =1648
решений с симметрией (4,31,31).

Вот как интересно: я и не знала, что у меня решения с симметрией (4,31,31) сами собой находятся :)
Это эксперимент с псевдоассоциативными ДЛК.
А сейчас ещё запущен эксперимент по специальному поиску этой симметрии.

PS. Не проверила решения с BOINC-проектов ODLK и ODLK1 за май - июль с. г. Но там вряд ли есть решения с симметрией (4,31,31).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

На всякий случай решила проверить решения с BOINC-проектов ODLK и ODLK1 за май - июль с. г. на симметрию (4,31,31).
Как и предполагала, решений с этой симметрией в данной части БД нет.

Это результаты с проекта ODLK (май - июль с. г.)

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 108358
Введите код симметрии:
(4,31,31)
43408
88169
Квадратов с симметрией (4,31,31) не найдено
Время поиска: 12.324 сек

Это результаты с проекта ODLK1 (май - июль с. г.)

Поиск чистых симметрий

Введено ЛК: 1340823
Введите код симметрии:
(4,31,31)
43428
87623
130990
174851
218904
264532
308360
353596
397551
441126
484948
529510
573955
616797
660845
703917
747580
792244
836880
881307
924722
968485
1011585
1054534
1098489
1141637
1186240
1231184
1276043
1320013
Квадратов с симметрией (4,31,31) не найдено
Время поиска: 153.504 сек

Итак, посчитанное выше количество решений с симметрией (4,31,31) верно.

Продолжаем поиск решений, обладающих симметрией (4,31,31).
В эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК поиск у меня автоматом продолжается :)
Жду новые результаты от Demis.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Возвращаюсь к рассказу о симметриях, происходящих от ассоциативных ЛК.
Я остановилась на симметрии (8,31,31).
Добавлю, что в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК решения, обладающие данной симметрией, изредка появляются.
Пример

0 9 5 2 8 4 7 6 3 1
3 1 6 8 5 0 9 4 2 7
5 8 2 7 0 9 4 3 1 6
4 7 8 3 6 1 0 5 9 2
2 0 1 9 4 6 3 8 7 5
9 2 4 0 7 5 8 1 6 3
1 3 0 5 9 7 6 2 4 8
6 5 9 1 3 8 2 7 0 4
7 4 3 6 1 2 5 9 8 0
8 6 7 4 2 3 1 0 5 9

Но почему-то только однушки.
Можно предположить, что в семействе данной симметрии двушек (и более солидных групп пар ОДЛК) очень мало, так же, как в семействе симметрии (2,31,31).

Далее расскажу о следующей симметрии - (16,31,31).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

5. Симметрия (16,31,31).

Данная симметрия происходит от ассоциативных ЛК, в которых два элемента соответствуют сами себе.

Пример 1
это основной ДЛК тройки Белышева и симметрии, которыми он обладает

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 7 0 9 8 5 4 6
4 0 9 6 3 7 1 8 2 5
9 6 8 4 5 1 3 0 7 2
5 9 6 8 7 0 2 4 3 1
3 4 5 9 2 8 0 6 1 7
8 7 0 1 6 3 5 2 9 4
2 3 7 5 9 6 4 1 0 8
7 5 1 2 8 4 9 3 6 0
6 8 4 0 1 2 7 9 5 3

(1,1,1)
(1,31,31)
(16,16,16)
(16,31,31)

Представитель очевидной симметрии (16,31,31) - этот ассоциативный ЛК

0 4 2 7 9 5 3 8 1 6
4 1 3 0 6 9 8 5 2 7
7 0 9 2 4 8 6 3 5 1
5 9 7 8 2 1 0 4 6 3
1 2 8 5 7 6 4 9 3 0
9 6 0 4 3 2 5 1 7 8
6 3 4 9 8 7 1 2 0 5
8 5 6 3 1 4 7 0 9 2
2 7 5 1 0 3 9 6 8 4
3 8 1 6 5 0 2 7 4 9

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК следующее:

0 <--> 9
1 <--> 8
2 <--> 7
3 <--> 6
4 <--> 4
5 <--> 5

Пример 2
ассоциативный ЛК, полученный моим генератором



Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК следующее:

0 <--> 8
1 <--> 9
2 <--> 6
3 <--> 7
4 <--> 4
5 <--> 5

Пример 3
ассоциативный ЛК, полученный генератором Harry White

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 1 5 3 8 9 4 6 7
4 3 0 6 7 9 8 1 2 5
6 5 7 8 9 0 1 2 4 3
8 9 4 7 6 2 0 5 3 1
9 7 5 0 8 4 3 6 1 2
7 6 8 9 0 1 2 3 5 4
5 8 9 2 1 3 4 0 7 6
3 4 6 1 2 7 5 9 0 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Соответствие элементов в этом ассоциативном ЛК:

Соответствие элементов в ассоциативных ЛК данной группы следующее:

0 <--> 0
1 <--> 9
2 <--> 8
3 <--> 7
4 <--> 6
5 <--> 5

Интересное соответствие! В каждой паре сумма чисел равна 0 (mod 10).
Эту ветвь генератора Harry я немножко проверяла, то есть искала решения с симметрией (16,31,31).

А это редкий случай - двушка, найденная в эксперименте с псевдоассоциативными ДЛК, обладающая симметрией (16,31,31)

0 2 4 6 8 9 7 5 3 1
3 1 6 4 5 7 9 8 2 0
1 8 2 0 9 4 5 3 6 7
9 7 5 3 6 2 4 0 1 8
7 9 8 2 4 6 3 1 0 5
4 3 1 8 7 5 0 2 9 6
2 4 0 5 1 8 6 9 7 3
6 5 9 1 3 0 8 7 4 2
5 0 7 9 2 3 1 6 8 4
8 6 3 7 0 1 2 4 5 9

Покажу "прародителя" этой двушки (представитель очевидной симметрии - ассоциативный ЛК)

0 4 3 6 9 8 7 1 2 5
6 1 0 5 8 9 4 2 3 7
3 2 4 8 6 5 9 7 0 1
4 5 9 3 7 6 2 8 1 0
7 3 6 1 2 4 0 5 9 8
1 0 5 9 4 7 8 3 6 2
9 8 1 7 3 2 6 0 5 4
8 9 2 0 5 3 1 4 7 6
2 6 7 4 0 1 5 9 8 3
5 7 8 2 1 0 3 6 4 9

Продолжение следует.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg