Дважды симметричными ЛК мы будем называть такие ЛК, которые вертикально симметричные (по Гергели/Брауну) и горизонтально симметричные, то есть остаются вертикально симметричными (по Гергели/Брауну) при повороте на 90 градусов.
В общем, в полной аналогии с дважды симметричными ДЛК, которым посвящена статья OEIS
Number of double symmetric diagonal Latin squares of order 2n with constant first string.
https://oeis.org/A287650

Белышев доказал, что дважды симметричных ДЛК 10-го порядка не существует.
А вот дважды симметричные ЛК 10-го порядка существуют.
Далее будем рассматривать дважды симметричные ЛК 10-го порядка, поэтому порядок уже не указывается.
Приведу несколько примеров дважды симметричных ЛК.
Этот дважды симметричный ЛК я обнаружила в одной из своих давних статей, построен он по какому-то древнему алгоритму.



Этот ЛК ещё и диагонально-симметричный.

Следующий дважды симметричный ЛК я построила вручную



О третьем дважды симметричном ЛК расскажу далее.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Этот дважды симметричный ЛК показал на форуме Math Help Planet С. Беляев



Обалденный ЛК! Он имеет огромную кучу ортогональных ДЛК; подозреваю, что эта куча примерно из 12 миллионов ДЛК (могу ошибаться).
У этого ДЛК 5504 диагональные трансверсали!
Вот идёт генерация ортогональных ДЛК к данному ЛК по программе Беляева lat02.exe

Name:a.txt
max=30000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 3 4 1 8 5 6 9 7
1 4 0 2 3 6 7 9 5 8
4 3 8 0 2 7 9 1 6 5
3 2 5 8 0 9 1 4 7 6
6 7 4 1 9 0 8 5 2 3
5 6 1 9 7 2 0 8 3 4
8 5 9 7 6 3 2 0 4 1
7 9 6 5 8 1 4 3 0 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
480 576 576 560 560 560 560 576 576 480 5504
100 0 486
200 0 489
300 0 491
400 0 497
500 0 498
600 0 499
700 0 505
800 0 511
900 0 514
1000 0 520
. . . . . . 

Я тут задала сгенерировать 30000 ортогональных ДЛК, они успешно сгенерировались.
С этой кучей ортогональных ДЛК тоже не мешало бы поработать как следует, в ней, вполне вероятно, что-то приличное можно раскопать.

Ну, а о дважды симметричных ЛК - само собой, вопрос: насколько велик этот класс ЛК?
И не может ли этот класс дать что-нибудь интересное, скажем, при обработке программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

По одному из ортогональных ДЛК, вот этому

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 7 6 9 4 8 5 3
5 0 1 4 7 3 8 2 9 6
9 6 5 8 3 0 1 4 7 2
8 9 6 2 5 4 7 3 1 0
2 4 8 9 0 7 3 1 6 5
7 5 3 6 2 8 9 0 4 1
4 3 7 5 9 1 0 6 2 8
6 8 4 0 1 2 5 9 3 7
3 7 9 1 8 6 2 5 0 4

сделала ТП-Д показанного в предыдущем посте ЛК



Ортогональный ДЛК из порции, найденной по программе Беляева lat02.exe.

Да, ещё интересный момент: этот ЛК при обработке программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК даёт 944 ДЛК и полный набор ОДЛК, полученный в своё время Белышевым от ЛК Паркера/Ванлесса/Брауна.

А вот другие дважды симметричные ЛК дадут ли что-нибудь интересное?
Хочу сделать генератор дважды симметричных ЛК, используя свою программу, которую я писала для поиска дважды симметричных ДЛК. В программе просто надо выбросить проверку диагональности. Может, быстрее получится, чем писать новую программу.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Генератор дважды симметричных ЛК 10-го порядка написала.
Если не наврала в программе, это первый дважды симметричный ЛК, полученный программой



Квадратик очень симпатичный :)
Начать с того, что он является ЛК блочной структуры.
Вот что выдаёт программа Интеркалятор для этого ЛК (показываю один срез)

срез #1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
2 3 0 4 1 8 5 9 6 7
3 2 1 5 0 9 4 8 7 6
4 6 8 0 7 2 9 1 3 5
5 7 9 1 6 3 8 0 2 4
6 4 7 8 9 0 1 2 5 3
7 5 6 9 8 1 0 3 4 2
8 9 4 6 2 7 3 5 0 1
9 8 5 7 3 6 2 4 1 0

{0,3} = 1 : (1,2,1,2) 
{1,2} = 1 : (0,3,1,2) 
{6,9} = 1 : (1,2,7,8) 
{7,8} = 1 : (0,3,7,8) 
{0,2} = 2 : (0,2,0,2) (7,9,6,9) 
{0,4} = 2 : (1,6,1,5) (5,9,7,9) 
{0,8} = 2 : (0,8,0,8) (1,9,1,9) 
{1,3} = 2 : (1,3,0,2) (6,8,6,9) 
{1,5} = 2 : (0,7,1,5) (4,8,7,9) 
{1,9} = 2 : (0,8,1,9) (1,9,0,8) 
{2,4} = 2 : (0,8,2,4) (5,7,8,9) 
{3,5} = 2 : (1,9,2,4) (4,6,8,9) 
{4,6} = 2 : (1,9,5,7) (4,6,0,1) 
{4,8} = 2 : (0,7,4,8) (4,8,0,2) 
{5,7} = 2 : (0,8,5,7) (5,7,0,1) 
{5,9} = 2 : (1,6,4,8) (5,9,0,2) 
{6,8} = 2 : (1,3,7,9) (6,8,0,3) 
{7,9} = 2 : (0,2,7,9) (7,9,0,3) 
{0,1} = 5 : (0,1,0,1) (2,3,2,4) (4,5,3,7) (6,7,5,6) (8,9,8,9) 
{0,9} = 5 : (0,9,0,9) (1,8,1,8) (2,5,2,7) (3,6,4,5) (4,7,3,6) 
{1,8} = 5 : (0,9,1,8) (1,8,0,9) (2,7,4,5) (3,4,2,7) (5,6,3,6) 
{2,3} = 5 : (0,1,2,3) (2,3,0,1) (4,5,5,8) (6,7,7,9) (8,9,4,6) 
{2,7} = 5 : (0,6,2,7) (1,9,3,6) (2,7,0,9) (3,5,1,8) (4,8,4,5) 
{3,6} = 5 : (0,8,3,6) (1,7,2,7) (2,4,1,8) (3,6,0,9) (5,9,4,5) 
{4,5} = 5 : (0,1,4,5) (2,3,3,6) (4,5,0,9) (6,7,1,8) (8,9,2,7) 
{6,7} = 5 : (0,1,6,7) (2,3,8,9) (4,5,1,4) (6,7,0,2) (8,9,3,5) 
{8,9} = 5 : (0,1,8,9) (2,3,5,7) (4,5,2,6) (6,7,3,4) (8,9,0,1) 

Отличная БС!
Ортогональных ДЛК данный ЛК не имеет, а ортогональные ЛК имеются.
Протокол работы программы Беляева lat04

Name:A.TXT
1 - only the diagonal
Max=1000
1
76 84 90 82 92 92 82 90 84 76 :848
 sq=12 65
 cm=65  cmm=65
END

Очень красиво (симметрично) расположились трансверсали. 12 ортогоналек.

К сожалению, обработка программой Канонизатор ЛК по ДЛК не дала ОДЛК, но выход ДЛК приличный:

Канонизатор ЛК10 по ДЛК

Введено ЛК:     1

Найдено КФ ЛК по ДЛК:   1
Всего найдено КФ ДЛК:   941
Время работы:           0.203 сек

Это только один представитель данного семейства БС. А сколько здесь будет не эквивалентных представителей?!
Думаю, что м-н-о-г-о. В общем, БС ждёт своей проверки, если она не эквивалентна тем БС, которые Белышев уже проверил.

Ну, а дальше я планирую эксперимент: массовая генерация дважды симметричных ЛК (моим генератором) и обработка их программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это цитата

Этот дважды симметричный ЛК я обнаружила в одной из своих давних статей, построен он по какому-то древнему алгоритму.



Этот ЛК ещё и диагонально-симметричный.

Проверяю этот ЛК программой Белышева avtoizor, программа находит 2400 автоморфизмов

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 1357902468 5061728394 -> (1,42,42)
** 0123456789 2580369147 3704815926 -> (1,41,41)
** 0123456789 3704815926 2580369147 -> (1,41,41)
** 0123456789 4938271605 8642097531 -> (1,41,41)
** 0123456789 5061728394 1357902468 -> (1,42,42)
** 0123456789 6295184073 7419630852 -> (1,42,42)
** 0123456789 7419630852 6295184073 -> (1,42,42)
** 0123456789 8642097531 4938271605 -> (1,41,41)
** 0123456789 9876543210 9876543210 -> (1,31,31)
** 0532817649 0532817649 0532817649 -> (16,16,16)
** 0532817649 1075634298 1075634298 -> (16,31,31)
** 0532817649 2608451937 2608451937 -> (16,16,16)
** 0532817649 3140279586 3140279586 -> (16,16,16)
** 0532817649 4783096125 4783096125 -> (16,16,16)
** 0532817649 5216903874 5216903874 -> (16,31,31)
** 0532817649 6859720413 6859720413 -> (16,31,31)
** 0532817649 7391548062 7391548062 -> (16,31,31)
** 0532817649 8924365701 8924365701 -> (16,16,16)
** 0532817649 9467182350 9467182350 -> (16,31,31)
. . . . . 

Коды (1,31, 31) и (16,31,31) имеются. Больше никаких кодов не знаю - по соответствию их каким-либо симметриям.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это цитата

Следующий дважды симметричный ЛК я построила вручную

Проверяю этот ЛК программой avtoizor, программа выдаёт всего 4 автоморфизма

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 9876543210 9876543210 -> (1,31,31)
** 9876543210 0123456789 3870549216 -> (1,31,31)
** 9876543210 9876543210 6129450783 -> (4,31,31)

Здесь появился код (4,31, 31). Какую симметрию определяет этот код?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это цитата

Этот дважды симметричный ЛК показал на форуме Math Help Planet С. Беляев

Проверяю этот ЛК программой avtoizor, программа выдаёт 48 автоморфизмов:

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 9876543210 9876543210 -> (1,31,31)
** 3570819246 2608451937 8946273501 -> (16,31,31)
** 3570819246 7391548062 1053726498 -> (16,31,31)
** 6429180753 2608451937 1053726498 -> (16,16,16)
** 6429180753 7391548062 8946273501 -> (16,31,31)
** 9876543210 0123456789 9876543210 -> (1,31,31)
** 9876543210 9876543210 0123456789 -> (1,31,31)
*T 1043276598 1043276598 0123456789 -> (1,16,16)+
*T 1043276598 8956723401 9876543210 -> (16,31,31)+
*T 3751908426 4619270835 8946273501 -> (31,41,42)+
*T 3751908426 5380729164 1053726498 -> (16,42,42)+
*T 6248091573 4619270835 1053726498 -> (16,41,41)+
*T 6248091573 5380729164 8946273501 -> (31,41,42)+
*T 8956723401 1043276598 9876543210 -> (16,31,31)+
*T 8956723401 8956723401 0123456789 -> (1,31,31)+
C* 2034185697 0123456789 2034185697 -> (1,41,41)+
C* 2034185697 9876543210 7965814302 -> (31,41,42)+
C* 4862907315 2608451937 4862907315 -> (16,36,36)+
C* 4862907315 7391548062 5137092684 -> (21,31,36)+
C* 5137092684 2608451937 5137092684 -> (16,21,21)+
C* 5137092684 7391548062 4862907315 -> (21,31,36)+
C* 7965814302 0123456789 7965814302 -> (1,42,42)+
C* 7965814302 9876543210 2034185697 -> (31,41,42)+
CT 1043276598 0214365879 2034185697 -> (16,16,41)++
CT 1043276598 9785634120 7965814302 -> (16,31,42)++
CT 3751908426 1507362948 4862907315 -> (36,41,42)++
CT 3751908426 8492637051 5137092684 -> (21,42,42)++
CT 6248091573 1507362948 5137092684 -> (21,41,41)++
CT 6248091573 8492637051 4862907315 -> (36,41,42)++
CT 8956723401 0214365879 7965814302 -> (16,31,42)++
CT 8956723401 9785634120 2034185697 -> (31,31,41)++
R* 0123456789 0214365879 0214365879 -> (1,16,16)+
R* 0123456789 9785634120 9785634120 -> (1,31,31)+
R* 3570819246 1507362948 8492637051 -> (31,41,42)+
R* 3570819246 8492637051 1507362948 -> (31,41,42)+
R* 6429180753 1507362948 1507362948 -> (16,41,41)+
R* 6429180753 8492637051 8492637051 -> (16,42,42)+
R* 9876543210 0214365879 9785634120 -> (16,31,31)+
R* 9876543210 9785634120 0214365879 -> (16,31,31)+
RT 2034185697 1043276598 0214365879 -> (16,16,41)++
RT 2034185697 8956723401 9785634120 -> (31,31,41)++
RT 4862907315 4619270835 8492637051 -> (36,41,42)++
RT 4862907315 5380729164 1507362948 -> (36,41,42)++
RT 5137092684 4619270835 1507362948 -> (21,41,41)++
RT 5137092684 5380729164 8492637051 -> (21,42,42)++
RT 7965814302 1043276598 9785634120 -> (16,31,42)++
RT 7965814302 8956723401 0214365879 -> (16,31,42)++

Кода (4,31,31) здесь нет.
Коды (1,31,31) и (16,31,31) присутствуют.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это цитата

Генератор дважды симметричных ЛК 10-го порядка написала.
Если не наврала в программе, это первый дважды симметричный ЛК, полученный программой

Проверяю этот дважды симметричный ЛК программой avtoizor, программа выдаёт 4 автоморфизма:

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 9876543210 9876543210 -> (1,31,31)
** 9876543210 0123456789 1032547698 -> (1,31,31)
** 9876543210 9876543210 8967452301 -> (16,31,31)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Наконец, ещё один дважды симметричный ЛК - ЛК Агриппы

0 9 1 8 2 7 3 6 4 5
9 0 8 1 7 2 6 3 5 4
7 8 6 9 5 0 4 1 3 2
8 7 9 6 0 5 1 4 2 3
2 1 3 0 4 9 5 8 6 7
1 2 0 3 9 4 8 5 7 6
5 6 4 7 3 8 2 9 1 0
6 5 7 4 8 3 9 2 0 1
4 3 5 2 6 1 7 0 8 9
3 4 2 5 1 6 0 7 9 8

Для этого ЛК программа avtoizor выдаёт 12000 автоморфизмов:

** 0123456789 0123456789 0123456789 -> (1,1,1)
** 0123456789 1045238967 9214365870 -> (1,31,31)
** 0123456789 2301674598 1032547698 -> (1,31,31)
** 0123456789 3267019845 2941638507 -> (1,41,41)
** 0123456789 4510892376 8305274961 -> (1,41,41)
** 0123456789 5489107623 7496183052 -> (1,31,31)
** 0123456789 6732980154 3850729416 -> (1,31,31)
** 0123456789 7698325401 4769810325 -> (1,41,41)
** 0123456789 8954761032 6587092143 -> (1,41,41)
** 0123456789 9876543210 5678901234 -> (1,31,31)
** 0154329876 0154329876 0785634129 -> (16,16,16)
** 0154329876 1032547698 9876543210 -> (16,31,31)
** 0154329876 2376108954 7058361492 -> (16,42,42)
** 0154329876 3210765489 8967452301 -> (16,16,16)
** 0154329876 4598016732 2503816947 -> (16,16,16)
** 0154329876 5401983267 1694725038 -> (16,42,42)
** 0154329876 6789234510 5230189674 -> (16,42,42)
** 0154329876 7623891045 6149270583 -> (16,16,16)
** 0154329876 8967452301 4321098765 -> (16,16,16)
** 0154329876 9845670123 3412907856 -> (16,42,42)
. . . . . . . . . . . 

Все три кода - (1,31,31), (16,31, 31), (4,31,31) - здесь есть.
Вот пример кода (4,31,31)

*T 1032547698 1032547698 0725436189 -> (4,31,31)+

Так и не поняла, какую симметрию определяет код (4,31,31).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg