Здесь я попытаюсь собрать статьи о латинских квадратах, которые разбросаны по всем темам

Статьи коллеги Алексея Чернова

1. "Метод Гергели построения диагональных латинских квадратов"
http://alex-black.ru/article.php?content=123
2. Совершенные латинские квадраты
http://alex-black.ru/article.php?content=122
3. ОДЛК. Метод Пелегрино-Ланселотти
http://alex-black.ru/article.php?content=124
4. ОДЛК. Метод Линдера
http://alex-black.ru/article.php?content=125
5. ОДЛК. Метод Ли Жу
http://alex-black.ru/article.php?content=126

Статьи очень ценные, так как к ним приложены программные реализации описанных алгоритмов.
Очень рекомендую!

Статьи, на которые ссылается Чернов

1. Ervin Gergely. A Simple Method for Constructing Doubly Diagonalized Latin Squares. 1972.
https://yadi.sk/i/reXszmOC3RFUQC (Яндекс.Диск)
2. L.Zhu. Orthogonal Diagonal Latin Squares of order fourteen. 1982
https://yadi.sk/i/vXQhLKYY3RFUYi (Яндекс.Диск)
3. K.Heinrich, K.Kim and V.K.Prasanna Kumar, Perfect latin squares, Discrete Applied Mathematics 37138 (1992) 281-286.
4. Consolato Pellegrino and Paola Lancellotti. A New Construction Of Doubly Diagonal Orthogonal Latin Squares.
5. Charles C.Linder. Construction Of Doubly Diagonalized Orthogonal Latin Squares. 1972

Первые две статьи загрузила на Яндекс.Диск.
На статью Гергели я тоже часто ссылалась. Не помню, выкладывала ли её раньше.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Эту статью представлю скриншотом, ссылку не нашла

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ещё англоязычные статьи

1. "Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)", авторы R. Julian R. Abel, Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz.
https://yadi.sk/i/x1w4tkQx3MsvHw (Яндекс.Диск)
2. Ian M. Wanless. "Transversals in Latin squares".
http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.244.6006&rank=17&q=Ian Wanless&osm=&ossid=
3. Miguel Angel Amela. "Franklinian Diagonal Latin Squares"
https://yadi.sk/i/4yQLEKfB3Qsjg2 (Яндекс.Диск)
4. “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие).
5. B. D. McKay, A. Meynert and W. Myrvold (2007), Small latin squares, quasigroups and loops, Journal of Combinatorial Designs, 15, 2, 98–119.

Буду добавлять, как вспомню другие статьи.

Добавлено
6. D. T. Todorov. “Three Mutually Orthogonal Latin Squares of Order 14” (Ars Combinatoria, 20 (1985), pp. 45-48)
Статья выложена на моём сайте
http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Алексей Белышев нашёл статью со всеми классами SOLS 10-го порядка

Вот здесь перечислены все 121642 представителя классов RC-paratopism SOLS10 (осторожно, почти 12 МБ).
http://www.vuuren.co.za/data/SOLS_Repository/SOLSNonRCParatopic10x10.txt

Из этого массива решений он получил 30534 SODLS, из них существенно различных 30502.
Смотрите сообщение об этом здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=87090#post87090

PS. К сожалению, эта ссылка сейчас недействительна.
Я где-то цитировала данное сообщение Белышева.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Мои статьи

1. ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin squares (MOLS)
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm
2. ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)
Часть II
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk1.htm
3. ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)
Часть III
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk2.htm
4. ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА
или
НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Часть VII
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk3.htm
5. ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА
или
НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Часть VIII
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk4.htm
6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty7.htm
7. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/metod2.htm
8. ЕЩЁ ДВА МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/metod3.htm
9. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm
10. ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ МЕТОДОМ СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/olk.htm
11. ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ МЕТОДОМ СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm
12. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПАР ОЛК ПОРЯДКА n = 6k + 4
http://www.natalimak1.narod.ru/metod.htm
13. ГРУППЫ MOLS ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols15.htm
14. О ГРУППАХ MOLS ВОСЕМНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols18.htm

Буду добавлять в этот список.
Но отмечу, что мои статьи можно посмотреть на сайте; список статей на странице
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Недавно мне прислал свои "Записки о латинских квадратах" коллега Сергей Беляев.
Я только немножко пока почитала, мало времени.
Сергей разрешил выложить "Записки" для всех. Это он сам загрузил на Яндекс.Диск и прислал мне ссылку
https://yadi.sk/d/ZmFQ-Vcw3RDX2k

Правда, он предупредил, что "Записки" черновые, будут дорабатываться и соответственно изменяться.
Но и с черновым вариантом интересно познакомиться.
Особо ценным считаю в "Записках" наличие кодов процедур по различным задачам, связанным с ЛК.

PS. Ссылка на статью Беляева изменилась
https://yadi.sk/i/gdiclXCZgPH-ug

(изменено 3 августа 2019 г.)

Сначала первоисточник:
D. T. Todorov.Three Mutually Orthogonal Latin Squares of Order 14 (Ars Combinatoria, 20 (1985), pp. 45-48).

Статья была выложена ещё в то время, когда я пыталась в ней разобраться (проверила, статья там лежит)
http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf

Теперь моя статья, написанная по данной статье Тодорова:
ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ ТРЁХ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ЧЕТЫРНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/zadacha.htm

Эта статья написана в 2009 году. Тогда я так и не поняла метод построения этой группы ортогональных пар ЛК 14-го порядка.
Уже позже узнала, что метод основан на квази-разностных матрицах. Суть этого метода мне объяснили на форуме dxdy.ru
После я написала несколько статей о квази-разностных матрицах и применении их к построению групп ортогональных пар ЛК.

Интересно в статье описаны мои попытки найти хотя бы пару ортогональных ЛК 14-го порядка.
Как только я ни сочиняла ЛК 14-го порядка: и по схеме Агриппы, и по придуманной мной схеме.
На рис. 6 изображён ЛК 10-го порядка, построенный по моей схеме

0 2 4 6 8 9 3 5 7 1
8 1 3 5 7 0 9 4 6 2
7 0 2 4 6 8 1 9 5 3
6 8 1 3 5 7 0 2 9 4
9 7 0 2 4 6 8 1 3 5
4 9 8 1 3 5 7 0 2 6
3 5 9 0 2 4 6 8 1 7
2 4 6 9 1 3 5 7 0 8
1 3 5 7 9 2 4 6 8 0
5 6 7 8 0 1 2 3 4 9

К этому ЛК я тоже не нашла ортогональный соквадрат.
Ну, сейчас программа Беляева с этим справляется элементарно, протокол работы программы

Name:a.txt
1 - only the diagonal
Max=1000
1
192 192 212 192 192 116 192 192 212 116 :1808
 sq=324 67 69 71 73
 cm=73  cmm=73
END

Не хилый квадратик, 1808 трансверсалей! И 324 ортогональных соквадрата.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот одна из статей о построении по квази-разностной матрице

ГРУППЫ MOLS ПЯТНАДЦАТОГО ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols15.htm

В статье я ссылаюсь на книгу “Handbook of Combinatorial Designs” (издание 2007 г.), из которой взята квази-разностная матрица для группы MOLS из 4-х ЛК 15-го порядка.
Квази-разностная матрица показана в статье на рис. 4, а на рис. 5 - 8 показаны 4 взаимно ортогональных ЛК 15-го порядка, построенные по данной квази-разностной матрице.
Копирую эту интересную группу MOLS

1 7 12 10 9 3 15 6 5 13 4 11 14 2 8
3 2 8 13 11 10 4 15 7 6 14 5 12 1 9
2 4 3 9 14 12 11 5 15 8 7 1 6 13 10
14 3 5 4 10 1 13 12 6 15 9 8 2 7 11
8 1 4 6 5 11 2 14 13 7 15 10 9 3 12
4 9 2 5 7 6 12 3 1 14 8 15 11 10 13
11 5 10 3 6 8 7 13 4 2 1 9 15 12 14
13 12 6 11 4 7 9 8 14 5 3 2 10 15 1
15 14 13 7 12 5 8 10 9 1 6 4 3 11 2
12 15 1 14 8 13 6 9 11 10 2 7 5 4 3
5 13 15 2 1 9 14 7 10 12 11 3 8 6 4
7 6 14 15 3 2 10 1 8 11 13 12 4 9 5
10 8 7 1 15 4 3 11 2 9 12 14 13 5 6
6 11 9 8 2 15 5 4 12 3 10 13 1 14 7
9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 15

1 11 8 3 6 12 9 4 13 15 5 10 2 7 14
8 2 12 9 4 7 13 10 5 14 15 6 11 3 1
4 9 3 13 10 5 8 14 11 6 1 15 7 12 2
13 5 10 4 14 11 6 9 1 12 7 2 15 8 3
9 14 6 11 5 1 12 7 10 2 13 8 3 15 4
15 10 1 7 12 6 2 13 8 11 3 14 9 4 5
5 15 11 2 8 13 7 3 14 9 12 4 1 10 6
11 6 15 12 3 9 14 8 4 1 10 13 5 2 7
3 12 7 15 13 4 10 1 9 5 2 11 14 6 8
7 4 13 8 15 14 5 11 2 10 6 3 12 1 9
2 8 5 14 9 15 1 6 12 3 11 7 4 13 10
14 3 9 6 1 10 15 2 7 13 4 12 8 5 11
6 1 4 10 7 2 11 15 3 8 14 5 13 9 12
10 7 2 5 11 8 3 12 15 4 9 1 6 14 13
12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15

1 9 7 13 3 2 12 10 6 11 14 4 15 8 5
9 2 10 8 14 4 3 13 11 7 12 1 5 15 6
15 10 3 11 9 1 5 4 14 12 8 13 2 6 7
7 15 11 4 12 10 2 6 5 1 13 9 14 3 8
4 8 15 12 5 13 11 3 7 6 2 14 10 1 9
2 5 9 15 13 6 14 12 4 8 7 3 1 11 10
12 3 6 10 15 14 7 1 13 5 9 8 4 2 11
3 13 4 7 11 15 1 8 2 14 6 10 9 5 12
6 4 14 5 8 12 15 2 9 3 1 7 11 10 13
11 7 5 1 6 9 13 15 3 10 4 2 8 12 14
13 12 8 6 2 7 10 14 15 4 11 5 3 9 1
10 14 13 9 7 3 8 11 1 15 5 12 6 4 2
5 11 1 14 10 8 4 9 12 2 15 6 13 7 3
8 6 12 2 1 11 9 5 10 13 3 15 7 14 4
14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15

1 6 13 7 12 5 8 14 11 4 2 15 10 9 3
10 2 7 14 8 13 6 9 1 12 5 3 15 11 4
12 11 3 8 1 9 14 7 10 2 13 6 4 15 5
15 13 12 4 9 2 10 1 8 11 3 14 7 5 6
6 15 14 13 5 10 3 11 2 9 12 4 1 8 7
9 7 15 1 14 6 11 4 12 3 10 13 5 2 8
3 10 8 15 2 1 7 12 5 13 4 11 14 6 9
7 4 11 9 15 3 2 8 13 6 14 5 12 1 10
2 8 5 12 10 15 4 3 9 14 7 1 6 13 11
14 3 9 6 13 11 15 5 4 10 1 8 2 7 12
8 1 4 10 7 14 12 15 6 5 11 2 9 3 13
4 9 2 5 11 8 1 13 15 7 6 12 3 10 14
11 5 10 3 6 12 9 2 14 15 8 7 13 4 1
5 12 6 11 4 7 13 10 3 1 15 9 8 14 2
13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15

Замечание: ЛК записаны в нетрадиционной форме, для перехода в традиционную форму надо уменьшить все элементы ЛК на единицу.

У этой статьи есть интересное продолжение, где я превращаю эту группу MOLS 15-го порядка в группу MODLS, используя один известный алгоритм. Далее представлю эту статью.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm

В этой статье сначала строится пара ОДЛК 14-го порядка по статье
ORTOGONAL DIAGONAL LATIN SQUARES OF ORDER FOURTEEN (L. Zhu, 1982 г.)
(статья выложена на Яндекс.Диск выше)
В этом построении тоже используется квази-разностная матрица.

Затем смотрите пункт
ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ПОПАРНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ 15-го ПОРЯДКА

Основываясь на методе построения ортогональной пары ДЛК 14-го порядка из статьи L. Zhu, я превращаю известную группу MOLS из 4-х ЛК 15-го порядка в группу MODLS.
На рис. 22 - 25 показана полученная группа MODLS. Копирую её

1 7 12 10 9 3 15 8 2 14 11 4 13 5 6
3 2 8 13 11 10 4 9 1 12 5 14 6 7 15
2 4 3 9 14 12 11 10 13 6 1 7 8 15 5
14 3 5 4 10 1 13 11 7 2 8 9 15 6 12
8 1 4 6 5 11 2 12 3 9 10 15 7 13 14
4 9 2 5 7 6 12 13 10 11 15 8 14 1 3
11 5 10 3 6 8 7 14 12 15 9 1 2 4 13
9 10 11 12 13 14 1 15 8 7 6 5 4 3 2
6 11 9 8 2 15 5 7 14 1 13 10 3 12 4
10 8 7 1 15 4 3 6 5 13 14 12 9 2 11
7 6 14 15 3 2 10 5 9 4 12 13 11 8 1
5 13 15 2 1 9 14 4 6 8 3 11 12 10 7
12 15 1 14 8 13 6 3 4 5 7 2 10 11 9
15 14 13 7 12 5 8 2 11 3 4 6 1 9 10
13 12 6 11 4 7 9 1 15 10 2 3 5 14 8

1 11 8 3 6 12 9 14 7 2 10 5 15 13 4
8 2 12 9 4 7 13 1 3 11 6 15 14 5 10
4 9 3 13 10 5 8 2 12 7 15 1 6 11 14
13 5 10 4 14 11 6 3 8 15 2 7 12 1 9
9 14 6 11 5 1 12 4 15 3 8 13 2 10 7
15 10 1 7 12 6 2 5 4 9 14 3 11 8 13
5 15 11 2 8 13 7 6 10 1 4 12 9 14 3
12 13 14 1 2 3 4 15 11 10 9 8 7 6 5
10 7 2 5 11 8 3 13 14 6 1 9 4 15 12
6 1 4 10 7 2 11 12 9 13 5 14 8 3 15
14 3 9 6 1 10 15 11 5 8 12 4 13 7 2
2 8 5 14 9 15 1 10 13 4 7 11 3 12 6
7 4 13 8 15 14 5 9 1 12 3 6 10 2 11
3 12 7 15 13 4 10 8 6 14 11 2 5 9 1
11 6 15 12 3 9 14 7 2 5 13 10 1 4 8
 
1 9 7 13 3 2 12 5 8 15 4 14 11 6 10
9 2 10 8 14 4 3 6 15 5 1 12 7 11 13
15 10 3 11 9 1 5 7 6 2 13 8 12 14 4
7 15 11 4 12 10 2 8 3 14 9 13 1 5 6
4 8 15 12 5 13 11 9 1 10 14 2 6 7 3
2 5 9 15 13 6 14 10 11 1 3 7 8 4 12
12 3 6 10 15 14 7 11 2 4 8 9 5 13 1
14 1 2 3 4 5 6 15 13 12 11 10 9 8 7
8 6 12 2 1 11 9 4 14 7 15 3 13 10 5
5 11 1 14 10 8 4 3 7 13 6 15 2 12 9
10 14 13 9 7 3 8 2 4 6 12 5 15 1 11
13 12 8 6 2 7 10 1 9 3 5 11 4 15 14
11 7 5 1 6 9 13 14 12 8 2 4 10 3 15
6 4 14 5 8 12 15 13 10 11 7 1 3 9 2
3 13 4 7 11 15 1 12 5 9 10 6 14 2 8

1 6 13 7 12 5 8 3 9 10 15 2 4 11 14
10 2 7 14 8 13 6 4 11 15 3 5 12 1 9
12 11 3 8 1 9 14 5 15 4 6 13 2 10 7
15 13 12 4 9 2 10 6 5 7 14 3 11 8 1
6 15 14 13 5 10 3 7 8 1 4 12 9 2 11
9 7 15 1 14 6 11 8 2 5 13 10 3 12 4
3 10 8 15 2 1 7 9 6 14 11 4 13 5 12
13 14 1 2 3 4 5 15 12 11 10 9 8 7 6
5 12 6 11 4 7 13 2 14 8 9 15 1 3 10
11 5 10 3 6 12 9 1 4 13 7 8 15 14 2
4 9 2 5 11 8 1 14 10 3 12 6 7 15 13
8 1 4 10 7 14 12 13 3 9 2 11 5 6 15
14 3 9 6 13 11 15 12 7 2 8 1 10 4 5
2 8 5 12 10 15 4 11 13 6 1 7 14 9 3
7 4 11 9 15 3 2 10 1 12 5 14 6 13 8

Замечание: ДЛК записаны в нетрадиционной форме, для перехода в традиционную форму надо уменьшить все элементы ДЛК на единицу.

Думаю, что ортогональность ДЛК я в момент написания статьи проверила.
Можно проверить и сейчас, но для этого надо немного модифицировать программу проверки ортогональности двух заданных ДЛК (у меня сейчас эта программа работает для порядков 9 и 10).

А вот с поиском ортогональных ДЛК к приведённым ДЛК 15-го порядка по программе Белышева Ортогон_У меня постигла неудача.
Нет, количество диагональных трансверсалей у этих ДЛК не запредельное, но решения долго не находятся.
Я вводила каждый из 4-х ДЛК в программу, крутила примерно час, но решений так и не нашла.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот, например, для первого ДЛК группы MODLS 15-го порядка

1 7 12 10 9 3 15 8 2 14 11 4 13 5 6
3 2 8 13 11 10 4 9 1 12 5 14 6 7 15
2 4 3 9 14 12 11 10 13 6 1 7 8 15 5
14 3 5 4 10 1 13 11 7 2 8 9 15 6 12
8 1 4 6 5 11 2 12 3 9 10 15 7 13 14
4 9 2 5 7 6 12 13 10 11 15 8 14 1 3
11 5 10 3 6 8 7 14 12 15 9 1 2 4 13
9 10 11 12 13 14 1 15 8 7 6 5 4 3 2
6 11 9 8 2 15 5 7 14 1 13 10 3 12 4
10 8 7 1 15 4 3 6 5 13 14 12 9 2 11
7 6 14 15 3 2 10 5 9 4 12 13 11 8 1
5 13 15 2 1 9 14 4 6 8 3 11 12 10 7
12 15 1 14 8 13 6 3 4 5 7 2 10 11 9
15 14 13 7 12 5 8 2 11 3 4 6 1 9 10
13 12 6 11 4 7 9 1 15 10 2 3 5 14 8

традиционная форма записи ДЛК

0 6 11 9 8 2 14 7 1 13 10 3 12 4 5 
2 1 7 12 10 9 3 8 0 11 4 13 5 6 14 
1 3 2 8 13 11 10 9 12 5 0 6 7 14 4 
13 2 4 3 9 0 12 10 6 1 7 8 14 5 11 
7 0 3 5 4 10 1 11 2 8 9 14 6 12 13 
3 8 1 4 6 5 11 12 9 10 14 7 13 0 2 
10 4 9 2 5 7 6 13 11 14 8 0 1 3 12 
8 9 10 11 12 13 0 14 7 6 5 4 3 2 1 
5 10 8 7 1 14 4 6 13 0 12 9 2 11 3 
9 7 6 0 14 3 2 5 4 12 13 11 8 1 10 
6 5 13 14 2 1 9 4 8 3 11 12 10 7 0 
4 12 14 1 0 8 13 3 5 7 2 10 11 9 6 
11 14 0 13 7 12 5 2 3 4 6 1 9 10 8 
14 13 12 6 11 4 7 1 10 2 3 5 0 8 9 
12 11 5 10 3 6 8 0 14 9 1 2 4 13 7

перекодировано в 15-ричную систему

0 6 B 9 8 2 E 7 1 D A 3 C 4 5
2 1 7 C A 9 3 8 0 B 4 D 5 6 E
1 3 2 8 D B A 9 C 5 0 6 7 E 4
D 2 4 3 9 0 C A 6 1 7 8 E 5 B
7 0 3 5 4 A 1 B 2 8 9 E 6 C D
3 8 1 4 6 5 B C 9 A E 7 D 0 2
A 4 9 2 5 7 6 D B E 8 0 1 3 C
8 9 A B C D 0 E 7 6 5 4 3 2 1
5 A 8 7 1 E 4 6 D 0 C 9 2 B 3
9 7 6 0 E 3 2 5 4 C D B 8 1 A
6 5 D E 2 1 9 4 8 3 B C A 7 0
4 C E 1 0 8 D 3 5 7 2 A B 9 6
B E 0 D 7 C 5 2 3 4 6 1 9 A 8
E D C 6 B 4 7 1 A 2 3 5 0 8 9
C B 5 A 3 6 8 0 E 9 1 2 4 D 7

Запустила программу Белышева Ортогон_У

Проверка ДЛК15 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 306605
Соквадратов:     0
Время в сек:     30

20174 8165 3125 1091 202 89 19

Диагональных трансверсалей много - 306605. Но есть ли другие ортогональные ДЛК, кроме трёх известных?
Интересный вопрос, но найти ответ сложно.

PS. Покрутила 4 часа, бесполезно...

Проверка ДЛК15 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 306605
Соквадратов:     0
Время в сек:     14705

20174 8165 3125 899 6 56 1 4 1

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Сергей Беляев написал на форуме boinc.ru

После длительного перерыва опять вернулся к квадратам. Возможно и не в тему - решайте сами.
Lat05
Латинские квадраты

Как я понимаю, выложена статья "Латинские квадраты" (выше я давала ссылку на предварительный вариант этой статьи) и программа Lat05.
Я пока ничего не смотрела.

Ссылки в цитируемом сообщении.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Выкладываю первую часть своей статьи "Новый алгоритм поиска ОДЛК"
https://cloud.mail.ru/public/6iPV/mAXRhFuEs

В первой части статьи подводятся итоги большого пути. Показывается предыстория возникновения нового алгоритма.
Статья не претендует на научные исследования, потому что есть много моментов в теории Белышева, которые я не понимаю.
Показывается осмысление этой теории и применение её в поиске ОДЛК, а также пересечение этой теории с разработанным мной ранее алгоритмом, основанным на применении псевдоассоциативных ДЛК.
На основе всего описанного в первой части и появилась идея нового алгоритма, названного мной "мультисимметрия".
Об этом собираюсь написать во второй части статьи.

Критика по существу приветствуется.
Очень хотелось бы увидеть замечания создателя теории о "обобщённых симметриях" Белышева.

Статья пока в формате doc, не стала переводить в формат pdf, потому что статья не завершена.

Отправила ссылку на статью коллегам.
Жду отзывов :)
Просмотрела статью ещё раз; кроме двух малозначительных опечаток ошибок не заметила.

Вторая часть статьи дозревает в голове :)
Как дозреет, начну писать.

https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-030-05807-4_49

Enumeration of Isotopy Classes of Diagonal Latin Squares of Small Order Using Volunteer Computing
Eduard Vatutin, Alexey Belyshev, Stepan Kochemazov, Oleg Zaikin, Natalia Nikitina

Abstract
The paper is devoted to discovering new features of diagonal Latin squares of small order. We present an algorithm, based on a special kind of transformations, that constructs a canonical form of a given diagonal Latin square. Each canonical form corresponds to one isotopy class of diagonal Latin squares. The algorithm was implemented and used to enumerate the isotopy classes of diagonal Latin squares of order at most 8. For order 8 the computational experiment was conducted in a volunteer computing project. The algorithm was also used to estimate how long it would take to enumerate the isotopy classes of diagonal Latin squares of order 9 in the same volunteer computing project.

В этой работе, кажется, впервые появился термин каноническая форма ДЛК.
Термин принадлежит Алексею Белышеву. Он же разработал алгоритм получения канонической формы ДЛК и реализовал его программно для порядков n<=10.

http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_rus.pdf

Ватутин Э.И., Манзюк М.О., Заикин О.С., Кочемазов С.Е., Белышев А.Д., Никитина Н.Н.,
Цитерров И.И.

СПИСОК КОМБИНАТОРНЫХ СТРУКТУР ИЗ ДЛК ПОРЯДКА 10 НА
МНОЖЕСТВЕ ОТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ

07.11.2018 – 07.08.2019

Занятно.
Кажется, тут бабушка ситерра тоже выступила; может, ошибаюсь, но слишком уж фамилия похожа.
Растёт бабушка ситерра, вот уже статьи пишет :)

Не буду писать много замечаний по статье, но одно всё же напишу.
Вот об этой комбинаторной структуре

22. Дедал-10

ДЛК, входящие в состав комбинаторной структуры:
ДЛК 1: 01234567891204537968946238517045186920373986741205275981034678302
69514867590342163910748525047128693 (ДЛК A, КФ 1);
ДЛК 2: 01234567898756092341639487105292457138602430185976598726410330716
28495486953021715029476387618309524 (ДЛК B, КФ 2);
ДЛК 3: 01234567898756092341639417805292457831602430815976591726480330786
21495486953021715029476387681309524 (ДЛК C, КФ 3);
ДЛК 4: 01234567898756092341239487105696457138206430185972598726410330716
28495486953021715029476387218309564 (ДЛК D, КФ 4);
ДЛК 5: 01234567898756092341239417805696457831206430815972591726480330786
21495486953021715029476387281309564 (ДЛК E, КФ 5);
ДЛК 6: 01234567891204537968976238514075186920343986741205245981037648302
69517867590342163910748525047128693 (ДЛК F, КФ 6);
ДЛК 7: 01234567898756092341639417805292457031682430815976591726480330786
21495486953021715829476307601389524 (ДЛК G, КФ 7);
ДЛК 8: 01234567898756092143639417805292457013682410835976593726480110786
23495486951023735829476107601389524 (ДЛК H, КФ 8);
ДЛК 9: 01234567898756092143639417805292457813602410835976593726480110786
23495486951023735029476187681309524 (ДЛК I, КФ 9);
ДЛК 10: 0123456789875609234123941780569645703128643081597259172648033078
621495486953021715829476307201389564 (ДЛК J, КФ 10);
ДЛК 11: 0123456789875609214323941780569645701328641083597259372648011078
623495486951023735829476107201389564 (ДЛК K, КФ 11);
ДЛК 12: 0123456789875609214323941780569645781320641083597259372648011078
623495486951023735029476187281309564 (ДЛК L, КФ 12).

Напомню господину Ватутину его статью в OEIS

Maximum number of orthogonal diagonal Latin squares for one diagonal Latin square of order n.
https://oeis.org/A287695
AUTHOR Eduard I. Vatutin, May 30 2017

В этой статье присутствует ссылка
N. Makarova, Diagonal Latin square with 10 orthogonal squares
которая показывает, что решение a(10)=10 найдено мной.
Решение было найдено на моём ПК (25 апреля 2018 г.) по разработанному мной алгоритму "поиск от псевдоассоциативных ДЛК" (декабрь 2017 г.).
Программа генерации псевдоассоциативных ДЛК тоже написана мной.
В алгоритме используется программа Белышева проверки ДЛК на ОДЛК (family_mar).

И вот она - конфигурация, порождаемая этой десяткой (следующий за ссылкой пост)

Изучаю десяточку с разных сторон.
Интересную она даёт конфигурацию пар ОДЛК.

Вместо термина комбинаторная структура я использую термин конфигурация, он кажется мне более соответствующим данным объектам (группам пар ОДЛК).

Считаю, что авторам статьи "СПИСОК КОМБИНАТОРНЫХ СТРУКТУР ИЗ ДЛК ПОРЯДКА 10 НА МНОЖЕСТВЕ ОТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ" необходимо исправить это противоречие со статьёй OEIS.
По их статье получается, что данное решение принадлежит им, потому что никаких ссылок на автора решения не указано.

Статья в OEIS
https://oeis.org/A329685

Цитирую

EXTENSIONS a(9) from Eduard I. Vatutin, Mar 12 2020

Вот только вчера Э. Ватутин нашёл число главных классов SODLS 9-го порядка.
И оперативно обновил статью в OEIS, как он пишет на форуме boinc.ru.

Я не буду это КОММЕНТИРОВАТЬ, потому что у меня нет слов.
Опубликую письмо француза Francis Gaspalou от 5 декабря 2017 г.

Self Orthogonal Diagonal Latin Squares of order 9
Когда: 05 декабря 2017 в 16:10

Dear friends,

I have already announced the number of 470 essentially different SODLS of order 9 (cf email hereafter).
Today I inform you that the Russian Alex Belyshev found recently the same number.
This number of 470, found by two different programs, can then be considered as established.

I remind that the 224,832 SODLS of order 9 are coming from a limited number of “essentially different SODLS” when applying the group of the 1,536 geometric transformations and the group of the 9! permutations.
For the low orders, we have

Order Nb of SODLS Nb of ess. diff. SODLS

4 2 1
5 4 1
6 0 0
7 64 2
8 1,152 8
9 224,832 470

You will find in attachment a list of these 470 SODLS.
I can give also a list of the 382 singly and a list of the 88 doubly to anyone who is interested (these lists were found also in June 2016)

Best regards
Francis

BTW: Alex confirmed also the number of 8 ess. diff. SODLS of order 8 I found in October 2010

Пожалуйста, читайте внимательно. В письме сообщается, что "Alex Belyshev found recently the same number".
И это происходило на форуме boinc.ru в 2017 году!
И Ватутин не мог этого не знать!

Всё, дальше не буду комментировать.
Я за один подобный комментарий вылетела из OEIS (тогда дело было связано с содранной Ватутиным на сайте Harry White последовательностью).
Если бы могла, обязательно выступила бы в OEIS по поводу последовательности https://oeis.org/A329685, но, увы, не могу: блокировку с меня до сих пор не сняли.

PS. Письмо Francis Gaspalou адресовано сообществу исследователей магических и латинских квадратов.

Francis Gaspalou написал:

Please note also that all SODLS of order 4, 5, 7 and 8 are doubly SODLS and it is only for the order 9 that we can make the difference between singly SODLS and doubly SODLS.

Далее, я спросила у него: доказано ли, что doubly SODLS 10-го порядка не существует?
Он ответил:

Yes it is proven. See
Lu, Runming, Sheng Liu and Jian Zhang
"Searching for Doubly Self-orthogonal Latin Squares", 2011
http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-23786-7_41#page-1

Abstract
A Doubly Self Orthogonal Latin Square (DSOLS) is a Latin square which is orthogonal to its transpose to the diagonal and its transpose to the back diagonal. It is challenging to find a non-trivial DSOLS. For the orders n = 2 (mod 4), the existence of DSOLS(n) is unknown except for n = 2, 6. We propose an efficient approach and data structure based on a set system and exact cover, with which we obtained a new result, i.e., the non-existence of DSOLS(10).

Как я поняла, это из следующей книги
Principles and Practice of Constraint Programming – CP 2011
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-23786-7

Для порядка 9 doubly SODLS мне давно прислал Francis Gaspalou. Таких ДЛК 88 штук, они у меня есть.
Если кому интересны эти ДЛК, пишите, я выложу.
Не помню, занимался ли Белышев doubly SODLS 9-го порядка.
И на форуме boinc.ru это теперь не посмотришь, потому что старый форум сдох, а на новом этого уже нет.

Последовательность для doubly SODLS (до порядка 10 включительно)
1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 8, 88, 0
Напоминаю: все результаты, кроме последнего, получены Francis Gaspalou.

Относительно следующего члена в этой последовательности OEIS https://oeis.org/A329685...

Как известно, Белышев нашёл 30502 КФ SODLS 10-го порядка.
Он выложил их на форуме boinc.ru, но сейчас там этого уже нет.
У меня эти ДЛК есть, если кому надо, пишите, выложу
(смотрите ссылку на файл Белышева на Яндекс.Диске в следующем посте).

Вопрос: это все SODLS 10-го порядка (существенно различные)?
Я думаю, что ответ на этот вопрос положительный.
Francis Gaspalou ответ на этот вопрос не знает.
Он ответил на него так

I don't know ; it is the first time I see this Belyshev's result.
As it is surely a computer result, it has to be confirmed by a second enumeration by another person and by a different program.

Да, конечно, результат Белышева - компьютерный результат, но алгоритм совершенно особенный.
Интересно бы узнать мнение Белышева по данному вопросу.

Цитирую сообщение из темы SOLS(10) и SODLS(10)

И здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=87090#post87090
потрясающий финал!

whitefox;87090 wrote:

Написал программу. Было найдено 30534 SODLS, из них существенно различных 30502. Время работы 4 секунды.

З0502 КФ SODLS были найдены за 4 секунды!
Ну, плюс ещё время написания программы. Не думаю, что это время очень большое.

PS. В цитате "зашиты" ссылки.

Ссылка на Яндекс.Диск сохранилась, где Белышев выложил 30502 КФ SODLS 10-го порядка!
Вот она
https://yadi.sk/d/OiKwfw2b3Gan9x
Да, это действительно был потрясающий результат! Гениальный!

Пишу статью о SOLS и SODLS.
Цитирую

Теперь посмотрим последовательность в OEIS https://oeis.org/A287761

A287761 Number of self-orthogonal diagonal Latin squares of order n with ordered first string.
1, 0, 0, 2, 4, 0, 64, 1152, 224832, 234501120

В последовательности указаны количества нормализованных SODLS для порядков 1 – 10.
В письме Francis Gaspalou как раз говорится о «224,832 SODLS of order 9».
Этот же результат мы видим на сайте Harry White
http://budshaw.ca/SODLS.html

Как я понимаю из последовательности OEIS, для порядка 10 имеется 234,501,120 нормализованных SODLS.
Подтверждение этого результата в других источниках я не встречала.
Интересно: а что даёт канонизатор для этих 234,501,120 нормализованных SODLS 10-го порядка?
Выше приведены все КФ SODLS 10-го порядка, найденные Белышевым (30502 КФ).
Вот и надо проверить. Если 234,501,120 нормализованных SODLS 10-го порядка – это правильно найдено, то канонизация этих ДЛК должна дать 30502 КФ SODLS.
Если это не получится именно так, то: либо количество SODLS 234,501,120 неправильное, либо 30502 КФ SODLS – не все.
К сожалению, проверить это по данным последовательности невозможно, потому что есть количество, но нет самих SODLS.

Может быть, я просто не вижу эти SODLS (?)
Интересно бы проверить.

PS. Статья пока ещё пишется, до конца далеко.