Кстати, преемственные паттерны
для 17-tuple с минимальным диаметром 240

0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240

и для 19-tuple с минимальным диаметром 252

0 6 12 30 42 72 90 96 120 126 132 156 162 180 210 222 240 246 252

Если мы найдём 17-tuple с минимальным диаметром 240, он может продолжиться до 19-tuple с минимальным диаметром 252, но может и не продолжиться.
Понятно, что наоборот всегда верно, то есть 19-tuple превращается в 17-tuple просто отбрасыванием двух крайних элементов.

Выше я показывала много 17-tuples с минимальным диаметром 240, найденных Врублевским в конкурсе.
Продолжение до 19-tuple, увы, не получилось.

Вот нашла часть симметричных 17-tuples с минимальным диаметром, найденных Врублевским (конечно, из последовательных простых чисел)

258406392900394343851: 0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240 
1006882292528806742267: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240 
3954328349097827424397: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
4896552110116770789773: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
6751407944109046348063: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
7768326730875185894807: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
19252814175273852997757: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
20278587540464136529199: 0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240
24300494153317939112651: 0,12,18,30,42,72,78,102,120,138,162,168,198,210,222,228,240
25651315879379564172971: 0,12,18,30,42,72,78,102,120,138,162,168,198,210,222,228,240
32686971428909208943211: 0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240

Обратите внимание, какие здесь огромные числа.
Так что, 19-tuple надо сразу искать в 22-значных или 23-значных простых числах.
А я всё ещё в 19-значных числах копаюсь. Здесь точно не будет искомого кортежа.

И вот пример кортежа с преемственным паттерном

1006882292528806742267: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240

Продолжение до 19-tuple можете посмотреть сами.
Я в своё время всё это проверила.
Да и сам Врублевский проверял каждый 17-tuple на продолжение.

Искусственно перескочила в диапазон покрупнее, это просто сделать: изменить параметр в формуле. Покрутила программу.
Получила интереснейшее приближение!
Наконец-то (в первый раз!), получился правильный шестой элемент кортежа.
Уже закрадывалась мысль, что в формуле ошибка, ну никак не получался шестой элемент правильным.
И вот получился! Более того: симметричный ему элемент тоже правильный.
Это приближение

[9756257703435988111, 9756257703435988117, 9756257703435988123, 9756257703435988141, 9756257703435988153, 9756257703435988183, 
9756257703435988201*, 9756257703435988207*, 9756257703435988231*, 9756257703435988237*, 9756257703435988243*, 9756257703435988267*,
9756257703435988273*, 9756257703435988291, 9756257703435988321, 9756257703435988333, 9756257703435988351, 9756257703435988357,
9756257703435988363]

Неправильные элементы помечены символом *.
12 элементов правильные! Шесть в начале кортежа и шесть в конце.

А посмотрите на реальный кортеж

[9756257703435988111, 9756257703435988117, 9756257703435988123, 9756257703435988141, 9756257703435988153, 9756257703435988183, 
9756257703435988291, 9756257703435988321, 9756257703435988333, 9756257703435988351, 9756257703435988357, 9756257703435988363]

Это симметричный 12-tuple из последовательных простых чисел!
В середину этого кортежа надо втолкать 7 последовательных простых чисел, но их нету :) закончились.
Пришлось втолкать 7 составных чисел в соответствии с паттерном.

Но теперь есть надежда, что формула у меня правильная. Получилось 12 правильных элементов кортежа и кортеж получился симметричный, только длина маловата :) последовательные простые числа кончились в этом интервале.

Интересно: проверила этот 12-tuple программой Белышева, получила такой кортеж

-8690486370273563505: 0 6 12 30 42 72 180 210 222 240 246 252

В общем, не всё так уж безнадёжно. Приближения хорошие получаются. Конечно, найти полное решение для меня вряд ли возможно, техника нужна помощнее.

Кстати, найденный по моей формуле симметричный 12-tuple из последовательных простых чисел самый большой на данный момент.
Кажется, в допустимый диапазон программы Белышева он не вписывается, поэтому такой странный первый элемент (отрицательное число); однако, программа всё-таки его нашла, и паттерн правильный.

О! Сколько результатов у Tomas Brada получено при тестировании, он выполнил тестирование в диапазоне 1-10^12.
Проверила все 12-tuples.
Интересны только шестёрки из близнецов, а также из кузенов и пар sexy primes.
Из близнецов всего два кортежа в этом диапазоне

17479880417: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
158074620437: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86

Это кортежи из кузенов, их побольше

178706126107: 0 4 6 10 36 40 90 94 120 124 126 130
249742722457: 0 4 12 16 30 34 42 46 60 64 72 76
470034578677: 0 4 6 10 30 34 42 46 66 70 72 76
541889522323: 0 4 6 10 24 28 66 70 84 88 90 94
928576765939: 0 4 54 58 60 64 78 82 84 88 138 142
997829995219: 0 4 24 28 54 58 150 154 180 184 204 208

Это из секусуальных пар

244536073: 0 6 28 34 40 46 78 84 90 96 118 124
327339491: 0 6 20 26 36 42 50 56 66 72 86 92
18776411233: 0 6 40 46 84 90 94 100 138 144 178 184
20110348451: 0 6 12 18 26 32 36 42 50 56 62 68
38412367703: 0 6 14 20 48 54 80 86 114 120 128 134
47846915741: 0 6 30 36 50 56 120 126 140 146 170 176
54019520651: 0 6 26 32 62 68 90 96 126 132 152 158
68372516263: 0 6 10 16 30 36 58 64 78 84 88 94
87347938241: 0 6 20 26 36 42 56 62 72 78 92 98
97996101893: 0 6 20 26 44 50 54 60 78 84 98 104
138385054393: 0 6 18 24 34 40 54 60 70 76 88 94
148510810027: 0 6 46 52 54 60 76 82 84 90 130 136
157451787323: 0 6 18 24 74 80 84 90 140 146 158 164
161927351123: 0 6 14 20 24 30 74 80 84 90 98 104
213154050127: 0 6 40 46 76 82 84 90 120 126 160 166
215990552207: 0 6 14 20 24 30 56 62 66 72 80 86
256675003373: 0 6 20 26 68 74 90 96 138 144 158 164
305990061211: 0 6 42 48 52 58 60 66 70 76 112 118
317673199973: 0 6 20 26 44 50 84 90 108 114 128 134
353399177893: 0 6 10 16 40 46 54 60 84 90 94 100
360752130443: 0 6 50 56 78 84 110 116 138 144 188 194
361262176853: 0 6 8 14 48 54 140 146 180 186 188 194
413752929767: 0 6 14 20 66 72 74 80 126 132 140 146
416941216513: 0 6 48 54 78 84 120 126 150 156 198 204
436172796841: 0 6 22 28 36 42 46 52 60 66 82 88
454958970773: 0 6 14 20 24 30 74 80 84 90 98 104
494606610593: 0 6 78 84 90 96 98 104 110 116 188 194
513185218571: 0 6 20 26 42 48 110 116 132 138 152 158
521375786203: 0 6 24 30 84 90 94 100 154 160 178 184
558604093997: 0 6 20 26 50 56 96 102 126 132 146 152
561292686727: 0 6 16 22 36 42 64 70 84 90 100 106
578292697057: 0 6 34 40 64 70 96 102 126 132 160 166
675382092871: 0 6 10 16 30 36 70 76 90 96 100 106
688438831453: 0 6 60 66 70 76 120 126 130 136 190 196
729297810407: 0 6 20 26 50 56 60 66 90 96 110 116
768778134161: 0 6 32 38 42 48 50 56 60 66 92 98
779011216981: 0 6 22 28 40 46 72 78 90 96 112 118
783844622153: 0 6 48 54 74 80 84 90 110 116 158 164
805906880393: 0 6 14 20 38 44 60 66 84 90 98 104
849797766127: 0 6 10 16 24 30 46 52 60 66 70 76
930491281277: 0 6 20 26 84 90 116 122 180 186 200 206
954189140447: 0 6 30 36 44 50 90 96 104 110 134 140
979649552807: 0 6 44 50 74 80 126 132 156 162 200 206

Интересно, что сексуальные пары чаще встречаются в кортежах. чем близнецы и кузены.

Думаю, что тестирование приближается к завершению. Скоро будет запуск нового Приложения.

А у меня программа выдала ещё одно приближение с правильным шестым элементом, а вот симметричный ему элемент неправильный

[9780689238581095201, 9780689238581095207, 9780689238581095213, 9780689238581095231, 9780689238581095243, 9780689238581095273, 9780689238581095291*, 9780689238581095297*, 9780689238581095321*, 9780689238581095327*, 9780689238581095333*, 9780689238581095357*, 9780689238581095363*, 9780689238581095381*, 
9780689238581095411, 9780689238581095423, 9780689238581095441, 9780689238581095447, 9780689238581095453]

11 правильных элементов из 19.
А это реальный кортеж, в который отображается данное приближение

[9780689238581095201, 9780689238581095207, 9780689238581095213, 9780689238581095231, 9780689238581095243, 9780689238581095273, 9780689238581095277,
 9780689238581095313, 9780689238581095339, 9780689238581095349, 9780689238581095363, 9780689238581095411, 9780689238581095423, 9780689238581095441, 9780689238581095447, 9780689238581095453]

Обратите внимание на длину реального кортежа, она равна 16. Кортеж стал чуть длиннее, хотя ещё и не в полную длину.

Tomas Brada показал 9-tuples в диапазоне 1-10^12.
Интересно!
Давно не строила магические квадраты 3х3 :)
Знаете ли вы, что симметричные 9-tuples из последовательных простых чисел дают нам магические квадраты 3х3 из последовательных простых чисел?
Очень давно, когда искали первый такой квадрат, М. Гарднер учредил приз за решение этой задачи.
Квадрат нашёл студент.
А сейчас с помощью кортежей построено очень много таких квадратов.
Смотрим последовательность в OEIS
https://oeis.org/A166113
A166113 Center element of a 3 X 3 magic square composed of consecutive primes.

Посмотрите комментарий:

# 759 entries up to 10^13.
# By BOINC project, http://stop.inferia.ru/, tested up to 10^16 and find 247405 entries total, last is 9999904583420009.

В последовательность введено 759 квадратов.
А потом сказано о проекте Stop@home.
Петухов отследил результаты проекта до 10^16.
Как я понимаю из комментария, было найдено всего 247405 магических квадратов 3х3. Впечатляет!
И указан центральный элемент последнего магического квадрата.

Эта последовательность OEIS https://oeis.org/A073519
посвящена минимальному магическому квадрату 3х3 из последовательных простых чисел.
Вот он

1480028201 1480028129 1480028183
1480028153 1480028171 1480028189
1480028159 1480028213 1480028141

Как видите, этот магический квадрат построен из элементов следующего симметричного 9-tuple

1480028129: 0 12 24 30 42 54 60 72 84

А это самый большой из известных на сегодня магических квадратов 3х3 из последовательных простых чисел

9999904583420039 9999904583419967 9999904583420021
9999904583419991 9999904583420009 9999904583420027
9999904583419997 9999904583420051 9999904583419979

(по последней записи в комментарии последовательности OEIS, см. предыдущий пост).

Квадрат построен из чисел следующего симметричного кортежа

9999904583419967, 9999904583419979, 9999904583419991, 9999904583419997, 9999904583420009, 9999904583420021, 
9999904583420027,9999904583420039, 9999904583420051

Магическая константа квадрата S=29999713750260027.

Ну, вообще-то результаты есть и дальше 10^16, просто за этой задачей уже никто не следит, квадратов много настроили.

А посмотрите на этого красавца :)

630134041802574490482213901 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 

Авторы: Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski
9 Feb 2011

Prime k-tuplets
Tony Forbes
http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm

Это 19-tuple с минимальным диаметром 76 из последовательных простых чисел, только не симметричный.
27 цифр!
Я не поняла, это минимальный по значению первого элемента или нет.
Красив!

Ах, не заметила там тривиальное решение для не симметричного 19-tuple с минимальным диаметром 76, вот оно

{37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113}

Как повезло :)

Интересная статистика расстояний между последовательными простыми числами приведена здесь
https://dxdy.ru/post1435863.html#p1435863

     2   134  13,40%
     4   118  11,80%
     6   208  20,80%
     8    76   7,60%
    10    98   9,80%
    12   107  10,70%
    14    40   4,00%
    16    35   3,50%
    18    60   6,00%
    20    27   2,70%
    22    32   3,20%
    24    11   1,10%
    26    11   1,10%
    28     6   0,60%
    30    17   1,70%
Others    20   2,00%

Правда, это для маленького набора простых чисел, всего 1000 шт.
Но, наверное, эта статистика проецируется и на бОльшие наборы простых чисел.

Посмотрим с этой точки зрения на паттерн для симметричного 19-tuple из последовательных простых чисел с минимальным диаметром 252

0 6 12 30 42 72 90 96 120 126 132 156 162 180 210 222 240 246 252

Разности между соседними простыми здесь такие:

6 6 18 12 30 18 6 24 6 6 24 6 18 30 12 18 6 6

Только две разности с маленькой частотой: 24 и 30.
Вот и объяснение, почему шестой элемент кортежа так редко бывает правильный (в поиске по моей программе): разность между шестым и пятым элементами кортежа равна 30.

Проверила последнюю версию БД с 16-tuples.
Ничего нового не нашла.
Поискала восьмёрки из близнецов, нет; поискала восьмёрки из кузенов, тоже нет.
Вот из пар сексуальных простых найдено три восьмёрки

520210977238677833: 0 6 104 110 210 216 234 240 314 320 338 344 444 450 548 554
524962504330113251: 0 6 30 36 62 68 72 78 140 146 150 156 182 188 212 218
529001762784228407: 0 6 44 50 60 66 114 120 170 176 224 230 240 246 284 290

Первый кортеж не только сексуальный :), он ещё и квадрат даёт, тоже сексуальный :)
Я этот квадрат уже показывала.

Я приближаюсь к 20-значным числам!
Последнее найденное приближённое решение

[9862625040126352861, 9862625040126352867, 9862625040126352873, 9862625040126352891, 9862625040126352903, 9862625040126352933, 
9862625040126352951*, 9862625040126352957*, 9862625040126352981*, 9862625040126352987*, 9862625040126352993*, 9862625040126353017*,
9862625040126353023*, 9862625040126353041*, 9862625040126353071, 9862625040126353083, 9862625040126353101, 9862625040126353107, 9862625040126353113]

Обратите внимание: шестой элемент кортежа правильный.
Вот они - пятый и шестой элементы
9862625040126352903, 9862625040126352933
с разностью 30.
Редко, но встречаются.
А вот симметричный шестому элемент здесь неправильный.
Завтра, может быть, доберусь до 20-значных чисел. Удручающе медленно работает моя программка на PARI/GP.
Надо бы что-нибудь побыстрее.

PS. Посмотрим на разности в паттерне ещё раз

6 6 18 12 30 18 6 24 6 6 24 6 18 30 12 18 6 6

шестой и седьмой элементы с разностью 18, вот седьмой элемент ещё ни разу правильный не появился.
Наверное, две разности подряд - 30, 18 - вообще редкость.
Хотя в конце кортежа были один раз правильные элементы симметричные шестому и седьмому элементам; они с такими же разностями, только в обратном порядке.
Всего только один раз такое случилось у меня.
Я показывала это приближение, дублирую

973622446478225911, 973622446478225917, 973622446478225923, 973622446478225941,
973622446478225953, 973622446478225983*, 973622446478226001*, 973622446478226007*, 973622446478226031*, 973622446478226037*, 973622446478226043*, 973622446478226067*, 973622446478226073, 973622446478226091, 973622446478226121, 973622446478226133, 973622446478226151, 973622446478226157, 973622446478226163

В общем, попасть на все элементы паттерна - это как выиграть миллиард :)
Никто не хочет выиграть миллиард? Конечно, только чисто символически.
Если бы у меня был миллиард...

Сегодня найдено интересное приближение: правильным оказался центральный элемент! Это первый случай.

[9922269101604814321, 9922269101604814327, 9922269101604814333, 9922269101604814351, 9922269101604814363, 9922269101604814393, 9922269101604814411, 09922269101604814417, 9922269101604814441, 9922269101604814447, 9922269101604814453, 9922269101604814477, 9922269101604814483, 9922269101604814501,
9922269101604814531, 9922269101604814543, 9922269101604814561, 9922269101604814567, 9922269101604814573]

Выделила неправильные элементы красным цветом, центральный элемент синий.

Это приближение отображается в следующий реальный кортеж

[9922269101604814321, 9922269101604814327, 9922269101604814333, 9922269101604814351, 9922269101604814363, 9922269101604814387, 9922269101604814399, 
9922269101604814447, 9922269101604814457, 9922269101604814523, 9922269101604814531, 9922269101604814543, 9922269101604814561, 9922269101604814567, 9922269101604814573]

Это не симметричный 15-tuple. Обратите внимание на центральный элемент этого кортежа.

Итак. в искомом 19-tuple (по одной из шести возможных формул) кроме 10 элементов, которые всегда правильные, ещё оказывались правильными 6-й, 10-й. 13-й и 14-й элементы.
На остальные пять элементов паттерна пока не удалось попасть ни разу.

До 20-значных чисел мы с черепашкой ещё не доползли.

20-tuples на сохранение

Собираю в кучу результаты.
Много потеряно из проекта Stop@home. Есть и моя вина в том, что не копировала результаты этого проекта.
Сейчас собрала все 20-tuples, которые имеются у меня на данный момент.
Вот эти кортежи из архива плюс найденные мной и XAVER в текущем ручном проекте

1797595814863: 0 10 34 58 76 78 88 114 148 150 154 156 190 216 226 228 246 270 294 304
2375065608481: 0 10 16 30 48 66 82 90 102 112 156 166 178 186 202 220 238 252 258 268
4465545586753: 0 6 54 84 88 160 174 184 186 210 214 238 240 250 264 336 340 370 418 424
21818228348093: 0 14 24 30 38 86 90 140 146 156 218 228 234 284 288 336 344 350 360 374
67696772430071: 0 78 80 98 116 140 158 168 170 176 192 198 200 210 228 252 270 288 290 368
82116093014611: 0 36 78 102 112 126 148 178 186 192 256 262 270 300 322 336 346 370 412 448
202619277419161: 0 10 12 30 58 66 78 96 126 186 232 292 322 340 352 360 388 406 408 418
285719200081877: 0 6 24 50 86 104 122 126 162 182 234 254 290 294 312 330 366 392 410 416
299828814652799: 0 20 38 50 92 102 104 108 150 168 224 242 284 288 290 300 342 354 372 392
314942862282899: 0 12 14 30 44 92 104 110 114 134 180 200 204 210 222 270 284 300 302 314
365706921997577: 0 12 26 32 56 102 110 116 132 140 186 194 210 216 224 270 294 300 314 326
384771163433807: 0 12 24 44 56 126 150 164 176 192 194 210 222 236 260 330 342 362 374 386
445754526770089: 0 12 64 70 82 88 130 132 144 162 220 238 250 252 294 300 312 318 370 382
528267459317417: 0 30 36 42 74 120 152 156 176 212 234 270 290 294 326 372 404 410 416 446
535026479880317: 0 6 60 74 96 122 132 200 206 252 284 330 336 404 414 440 462 476 530 536
644719753915207: 0 10 34 84 90 94 112 124 150 154 192 196 222 234 252 256 262 312 336 346
681963848006993: 0 6 26 48 66 80 116 140 164 168 206 210 234 258 294 308 326 348 368 374
688734437125247: 0 6 32 36 56 66 84 102 104 126 140 162 164 182 200 210 230 234 260 266
711682150202239: 0 42 60 72 108 144 150 214 270 280 282 292 348 412 418 454 490 502 520 562
737762636069383: 0 4 46 58 70 100 108 130 136 156 178 198 204 226 234 264 276 288 330 334
835974185044951: 0 12 30 36 42 52 60 96 112 130 288 306 322 358 366 376 382 388 406 418
155947272322087: 0 16 36 52 112 130 136 156 184 186 190 192 220 240 246 264 324 340 360 376
161980267642951: 0 10 36 58 66 102 120 160 168 172 216 220 228 268 286 322 330 352 378 388
169560139541641: 0 66 88 136 150 160 162 168 186 190 198 202 220 226 228 238 252 300 322 388
1020214889947189: 0 10 30 58 94 118 124 138 150 172 180 202 214 228 234 258 294 322 342 352
1044728673105727: 0 10 36 46 52 54 60 114 130 162 214 246 262 316 322 324 330 340 366 376
1049730442147159: 0 12 24 34 90 114 142 178 180 204 238 262 264 300 328 352 408 418 430 442
1098019472851057: 0 12 16 54 84 94 96 106 120 126 220 226 240 250 252 262 292 330 334 346
1107875780269303: 0 28 36 48 78 106 114 138 174 180 184 190 226 250 258 286 316 328 336 364
1116341133642227: 0 6 54 72 86 96 152 164 174 210 236 272 282 294 350 360 374 392 440 446
1157240255315057: 0 20 26 36 44 50 102 140 144 174 182 212 216 254 306 312 320 330 336 356
1253881247150789: 0 24 48 50 92 110 138 144 168 200 252 284 308 314 342 360 402 404 428 452
1316831393757701: 0 68 78 86 120 138 156 182 188 206 222 240 246 272 290 308 342 350 360 428
1376202791278409: 0 2 30 54 68 72 80 108 152 174 188 210 254 282 290 294 308 332 360 362
1439356977480701: 0 30 42 66 68 86 116 138 156 158 180 182 200 222 252 270 272 296 308 338
1483767087501653: 0 6 8 30 44 84 126 128 146 170 174 198 216 218 260 300 314 336 338 344
1568808837862759: 0 34 52 72 114 142 190 192 232 234 250 252 292 294 342 370 412 432 450 484
1660455322855687: 0 22 46 120 156 220 222 226 246 274 312 340 360 364 366 430 466 540 564 586
1712773697771867: 0 12 14 24 56 66 80 84 104 122 234 252 272 276 290 300 332 342 344 356
1773350631576127: 0 6 36 70 102 120 130 174 196 226 300 330 352 396 406 424 456 490 520 526
1845630900024473: 0 48 78 126 144 146 168 176 224 228 356 360 408 416 438 440 458 506 536 584
1889438861736221: 0 12 38 92 108 132 138 158 162 180 230 248 252 272 278 302 318 372 398 410
1894424780889673: 0 6 28 48 60 118 186 190 198 214 240 256 264 268 336 394 406 426 448 454
1973698361015473: 0 30 36 78 100 126 138 204 234 270 274 310 340 406 418 444 466 508 514 544
2013746461103269: 0 12 54 72 112 114 154 184 190 204 208 222 228 258 298 300 340 358 400 412
2143763003328493: 0 16 24 28 70 120 130 136 138 156 178 196 198 204 214 264 306 310 318 334
2189676930245621: 0 36 42 48 60 90 92 122 126 168 200 242 246 276 278 308 320 326 332 368
2193408742863439: 0 24 82 100 124 160 162 184 204 220 222 238 258 280 282 318 342 360 418 442
2235053194261793: 0 14 24 38 68 96 138 146 156 170 174 188 198 206 248 276 306 320 330 344
2321115532749721: 0 10 16 28 36 88 162 166 178 196 222 240 252 256 330 382 390 402 408 418
2381625961050433: 0 4 6 16 28 48 54 96 100 126 268 294 298 340 346 366 378 388 390 394
2618524660649213: 0 66 78 86 120 128 140 158 176 194 210 228 246 264 276 284 318 326 338 404
2619752574319943: 0 6 18 20 66 74 86 108 144 150 164 170 206 228 240 248 294 296 308 314
22930603692243347: 0 42 60 80 84 102 126 146 162 174 302 314 330 350 374 392 396 416 434 476
28043054883640579: 0 4 28 40 100 124 132 160 168 172 210 214 222 250 258 282 342 354 378 382
28075795788347617: 0 6 16 36 52 120 136 150 172 216 256 300 322 336 352 420 436 456 466 472
28128791241027047: 0 54 60 84 96 104 110 140 152 162 194 204 216 246 252 260 272 296 302 356
28157942615683129: 0 22 42 60 72 118 120 124 138 162 250 274 288 292 294 340 352 370 390 412
28164946885194437: 0 24 26 42 50 120 164 266 282 296 300 314 330 432 476 546 554 570 572 596
28224750239984713: 0 16 28 76 88 94 100 106 120 130 174 184 198 204 210 216 228 276 288 304
28468745291316157: 0 24 36 60 64 84 112 136 144 156 190 202 210 234 262 282 286 310 322 346
32306958558462557: 0 14 36 60 74 84 102 114 116 162 344 390 392 404 422 432 446 470 492 506
32477525539623089: 0 84 98 144 164 182 198 204 210 228 314 332 338 344 360 378 398 444 458 542
32613560349671251: 0 12 18 42 58 60 70 82 96 100 198 202 216 228 238 240 256 280 286 298
32791423745797337: 0 54 60 66 74 90 96 110 180 194 222 236 306 320 326 342 350 356 362 416
32971843000939217: 0 6 42 90 96 102 104 134 144 200 246 302 312 342 344 350 356 404 440 446
34984922852185349: 0 8 14 30 38 60 138 140 150 170 192 212 222 224 302 324 332 348 354 362
60960572612579807: 0 6 14 24 26 44 62 96 102 116 180 194 200 234 252 270 272 282 290 296
481408770994036001: 0 6 18 32 36 56 78 156 168 188 210 230 242 320 342 362 366 380 392 398
492720459594614809: 0 22 48 78 132 148 172 202 232 250 342 360 390 420 444 460 514 544 570 592
500208141770635411: 0 22 42 70 106 112 120 168 198 226 252 280 310 358 366 372 408 436 456 478 
500475981054185029: 0 12 54 82 84 90 178 192 234 304 318 388 430 444 532 538 540 568 610 622
500523924374778539: 0 8 14 134 144 170 228 278 294 300 308 314 330 380 438 464 474 594 600 608
500843057656046713: 0 4 18 24 28 58 66 70 90 100 144 154 174 178 186 216 220 226 240 244
675424273001524601: 0 2 36 48 86 102 128 132 162 176 282 296 326 330 356 372 410 422 456 458
678456599278876963: 0 30 34 90 94 156 166 178 238 264 340 366 426 438 448 510 514 570 574 604
775619025170381351: 0 110 260 318 378 402 428 432 450 458 630 638 656 660 686 710 770 828 978 1088
794297921067359003: 0 26 74 86 114 198 204 294 296 306 308 318 320 410 416 500 528 540 588 614
800163792460197359: 0 18 54 80 120 122 182 204 228 234 278 284 308 330 390 392 432 458 494 512
800305606921418399: 0 42 44 48 54 68 168 198 200 222 260 282 284 314 414 428 434 438 440 482

Самый первый кортеж минимальный, его нашёл Петухов, который самым первым начинал мой ручной проект по кортежам.
Несколько следующих решений нашёл тоже он.
Здесь наверняка есть пропуски.
Решения собирала из разных файлов, возможны повторения или следование кортежей не по порядку (ранжировала визуально).

Далее имеем 136 штук в проекте TBEG на данный момент
https://boinc.tbrada.eu/spt_list.php?k=20

И наконец, самый знаменитый 20-tuple с минимальным диаметром

824871967574850703732303: 0, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 34, 36, 46, 48, 58, 60, 66, 70, 76, 78, 84, 88, 94

Смотрите сообщение об этом кортеже
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4557#4557
Для этого кортежа не установлена минимальность (по значениям элементов).

Это пока всё, что у меня есть.
Господа!
Сохраните, пожалуйста, эти результаты.
Пришла пора собирать камни.

Проверила 20-tuples по разным пунктам.
Кортеж с текущим максимальным диаметром 1088

775619025170381351: 0 110 260 318 378 402 428 432 450 458 630 638 656 660 686 710 770 828 978 1088

Найден в проекте Stop@home.
В этом же кортеже текущее максимальное первое смещение равное 110.
Кортежей из близнецов, кузенов и сексуальных пар не найдено.

Сегодня дошли руки до программки формирования ядра 19-tuple.
Написала. Ядро - это 8 элементов в середине кортежа - формируется только из 8 правильных элементов, для большего количества приближения быстро не находятся.
Таким образом, имеется правильное ядро из 8 элементов, а концы кортежа - как получится.
Вот пример приближённого решения
[970220076991773292051, 970220076991773292057, 970220076991773292063, 970220076991773292081, 970220076991773292093, 970220076991773292123, 970220076991773292141, 970220076991773292147, 970220076991773292171, 970220076991773292177, 970220076991773292183, 970220076991773292207, 970220076991773292213, 970220076991773292231, 970220076991773292261, 970220076991773292273, 970220076991773292291, 970220076991773292297, 970220076991773292303]
Ядро выделено красным цветом, это 8 правильных элементов кортежа.
Остальные элементы вычислены в соответствии с паттерном, все они в этом кортеже неправильные.
Это приближение отображается в следующий реальный кортеж

[970220076991773291779, 970220076991773291809, 970220076991773291869, 970220076991773291961, 970220076991773291977, 970220076991773292123, 970220076991773292141, 970220076991773292147, 970220076991773292171, 970220076991773292177, 970220076991773292183, 970220076991773292207, 970220076991773292213, 970220076991773292247, 970220076991773292249, 970220076991773292261, 970220076991773292277, 970220076991773292283, 970220076991773292291]

Это настоящий не симметричный 19-tuple, диаметр у него равен 512.
Вот в этом и загвоздка - 19-tuple сильно расползается, втолкать его в диаметр 252 очень трудно.
А для не симметричных 19-tuple минимальный диаметр 76, выше показан кортеж с таким диаметром. Всё-таки втолкали :)
Но посмотрите, какие здесь числа!

630134041802574490482213901 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76

Вот теперь думаю: какой вариант программы лучше?
Первый, который формирует начало и конец кортежа (10 элементов), или второй, формирующий правильное ядро кортежа (8 элементов).
Ничего не могу придумать!
Числа надо увеличивать.
Я уже во втором варианте программы работаю с 21-значными числами.
Ещё надо увеличивать.
Это симметричный минимальный 17-tuple с минимальным диаметром (автор Врублевский)

258406392900394343851: 0,12,30,42,60,72,78,102,120,138,162,168,180,198,210,228,240 

Смотрите последовательность OEIS https://oeis.org/A266512
Понятно, что симметричный 19-tuple с минимальным диаметром 252 не может состоять из меньших чисел.

Сейчас запустила программу (второй вариант), выдались следующие приближённые решения

[970216141680260709601, 970216141680260709607, 970216141680260709613, 970216141680260709631, 970216141680260709643, 970216141680260709673, 970216141680260709691, 970216141680260709697, 970216141680260709721, 970216141680260709727, 970216141680260709733, 970216141680260709757, 970216141680260709763, 970216141680260709781, 970216141680260709811, 970216141680260709823, 970216141680260709841, 970216141680260709847, 970216141680260709853]

[970216430533459423681, 970216430533459423687, 970216430533459423693, 970216430533459423711, 970216430533459423723, 970216430533459423753, 970216430533459423771, 970216430533459423777, 970216430533459423801, 970216430533459423807, 970216430533459423813, 970216430533459423837, 970216430533459423843, 970216430533459423861, 970216430533459423891, 970216430533459423903, 970216430533459423921, 970216430533459423927, 970216430533459423933]

[970216944054602598721, 970216944054602598727, 970216944054602598733, 970216944054602598751, 970216944054602598763, 970216944054602598793, 970216944054602598811, 970216944054602598817, 970216944054602598841, 970216944054602598847, 970216944054602598853, 970216944054602598877, 970216944054602598883, 970216944054602598901, 970216944054602598931, 970216944054602598943, 970216944054602598961, 970216944054602598967, 970216944054602598973]

[970217085168651124171, 970217085168651124177, 970217085168651124183, 970217085168651124201, 970217085168651124213, 970217085168651124243, 970217085168651124261, 970217085168651124267, 970217085168651124291, 970217085168651124297, 970217085168651124303, 970217085168651124327, 970217085168651124333, 970217085168651124351, 970217085168651124381, 970217085168651124393, 970217085168651124411, 970217085168651124417, 970217085168651124423]

[970217640427376075101, 970217640427376075107, 970217640427376075113, 970217640427376075131, 970217640427376075143, 970217640427376075173, 970217640427376075191, 970217640427376075197, 970217640427376075221, 970217640427376075227, 970217640427376075233, 970217640427376075257, 970217640427376075263, 970217640427376075281, 970217640427376075311, 970217640427376075323, 970217640427376075341, 970217640427376075347, 970217640427376075353]

[970218265514470026421, 970218265514470026427, 970218265514470026433, 970218265514470026451, 970218265514470026463, 970218265514470026493, 970218265514470026511, 970218265514470026517, 970218265514470026541, 970218265514470026547, 970218265514470026553, 970218265514470026577, 970218265514470026583, 970218265514470026601, 970218265514470026631, 970218265514470026643, 970218265514470026661, 970218265514470026667, 970218265514470026673]

Хорошо формируются кортежи с ядром из 8 правильных элементов.
На вид можно их принять за правильные: все числа похожи на простые, диаметр равен 252, кортежи соответствуют нужному паттерну.
Всё замечательно :) но, увы, не все похожие на простые числа на самом деле простые; а те, которые простые (такие тоже есть), стоят не на своём месте.
Ещё не отобразила эти приближения в реальные кортежи.
Да, и реальные 19-tuple здесь получаются, что тоже хорошо.
Правда,
а) эти кортежи не симметричные
б) у них большой диаметр (намного больше нужного диаметра).

В общем, второй вариант программы мне больше нравится.
Но крутить можно оба варианта.
И не забываем, что есть ещё 6 вариантов формулы.

22-tuples на сохранение

Мало таких кортежей у нас.
Это из моего архива

633925574060671: 0 16 40 48 58 112 118 148 156 198 216 232 250 292 300 330 336 390 400 408 432 448
2235053194261739: 0 54 68 78 92 122 150 192 200 210 224 228 242 252 260 302 330 360 374 384 398 452
3693434256575461: 0 28 46 60 112 118 156 166 178 180 186 292 298 300 312 322 360 366 418 432 450 478
6244996197964523: 0 6 26 48 74 98 110 146 198 200 230 234 264 266 318 354 366 390 416 438 458 464
7312449941282693: 0 6 18 50 56 96 116 180 204 210 260 264 314 320 344 408 428 468 474 506 518 524
11768508587048027: 0 20 96 122 132 152 176 216 222 246 272 294 320 344 350 390 414 434 444 470 546 566
12241378636561883: 0 44 54 98 110 168 200 224 264 308 330 344 366 410 450 474 506 564 576 620 630 674
12696156429346387: 0 30 100 114 132 162 166 184 204 226 232 264 270 292 312 330 334 364 382 396 466 496
13388148635660387: 0 2 66 72 84 96 140 150 176 180 186 260 266 270 296 306 350 362 374 380 444 446
14052415423668901: 0 70 88 96 100 136 142 166 178 180 226 252 298 300 312 336 342 378 382 390 408 478
22930603692243341: 0 6 48 66 86 90 108 132 152 168 180 308 320 336 356 380 398 402 422 440 482 488
34984922852185309: 0 40 48 54 70 78 100 178 180 190 210 232 252 262 264 342 364 372 388 394 402 442
60960572612579779: 0 28 34 42 52 54 72 90 124 130 144 208 222 228 262 280 298 300 310 318 324 352
481408770994035967: 0 34 40 52 66 70 90 112 190 202 222 244 264 276 354 376 396 400 414 426 432 466
492720459594614807: 0 2 24 50 80 134 150 174 204 234 252 344 362 392 422 446 462 516 546 572 594 596
675424273001524589: 0 12 14 48 60 98 114 140 144 174 188 294 308 338 342 368 384 422 434 468 470 482
678456599278876939: 0 24 54 58 114 118 180 190 202 262 288 364 390 450 462 472 534 538 594 598 628 652
794297921067358997: 0 6 32 80 92 120 204 210 300 302 312 314 324 326 416 422 506 534 546 594 620 626

Возможны пропуски.
Первый кортеж минимальный, найден Петуховым.
Смотрите последовательность OEIS https://oeis.org/A081235

С проекта TBEG по состоянию на данный момент

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where k = 22
503650661762068811: 0 2 48 126 162 170 198 216 246 258 308 330 380 392 422 440 468 476 512 590 636 638
505310544710506351: 0 12 48 82 88 112 120 160 178 192 232 318 358 372 390 430 438 462 468 502 538 550
505335527455051861: 0 10 12 22 60 120 148 156 168 198 208 210 220 250 262 270 298 358 396 406 408 418
506079940686080939: 0 38 48 68 72 78 114 138 210 224 230 282 288 302 374 398 434 440 444 464 474 512
508213507140069559: 0 72 154 162 178 184 190 192 258 294 300 352 358 394 460 462 468 474 490 498 580 652
510412231691005099: 0 58 88 100 108 144 150 180 184 190 208 210 228 234 238 268 274 310 318 330 360 418
520598984995434161: 0 6 12 26 62 78 92 102 122 168 176 192 200 246 266 276 290 306 342 356 362 368
520798977286371439: 0 22 40 54 64 94 118 138 162 174 190 192 208 220 244 264 288 318 328 342 360 382
521459436777247621: 0 6 60 66 168 178 190 196 226 240 288 310 358 372 402 408 420 430 532 538 592 598
522602869695562907: 0 54 56 66 84 102 122 194 206 216 252 254 290 300 312 384 404 422 440 450 452 506
525619234491670951: 0 16 58 66 100 106 126 178 192 202 216 262 276 286 300 352 372 378 412 420 462 478
528050771271601321: 0 6 72 78 100 126 130 160 168 172 190 198 216 220 228 258 262 288 310 316 382 388
# last = 67119 # count = 12

Ну, здесь проверять программой ничего не надо, всё перед глазами.

По этому симметричному 17-tuple (автор Врублевский)

1006882292528806742267: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240

вывела формулу.
Запустила программу с этой формулой, второй вариант - формирует ядро 19-tuple.
Ядро сформировалось классное :) вся 17-ка в ядре.
Это выданное программой приближение
[1006882292528806742261, 1006882292528806742267, 1006882292528806742273, 1006882292528806742291, 1006882292528806742303, 1006882292528806742333,
1006882292528806742351, 1006882292528806742357, 1006882292528806742381, 1006882292528806742387,1006882292528806742393, 1006882292528806742417, 1006882292528806742423, 1006882292528806742441, 1006882292528806742471, 1006882292528806742483, 1006882292528806742501, 1006882292528806742507, 1006882292528806742513]
Неправильные элементы красные.

А это реальный кортеж!!

[1006882292528806742227, 1006882292528806742267, 1006882292528806742273, 1006882292528806742291, 1006882292528806742303, 1006882292528806742333, 1006882292528806742351, 1006882292528806742357,1006882292528806742381, 1006882292528806742387, 1006882292528806742393, 1006882292528806742417, 1006882292528806742423, 1006882292528806742441, 1006882292528806742471, 1006882292528806742483, 1006882292528806742501, 1006882292528806742507, 1006882292528806742567]
Все числа тут простые.
И ах!.. до симметричности чуть-чуть не хватило: последний элемент подпортил симметричность.

Это была проверка и формулы, и программы.
Формулы у меня другие - специально для 19-ки я их выводила.
Вроде бы всё нормально, формула для 17-ки прекрасно сработала.
Ну, а 19-ку найти чрезвычайно трудно. Даже Врублевскому эта задача не поддалась.
Тут необходим мощный натиск, типа BOINC-проекта.

PS. Рассмотренный 17-tuple имеет преемственный паттерн от 19-tuple с минимальным диаметром 252.

Посмотрите сообщение о симметричных 17-tuples с минимальным диаметром 240, найденных Врублевским в конкурсе
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4561#4561
Возможны три теоретических паттерна для таких кортежей, решения найдены со всеми тремя паттернами.
Это решения с паттерном, преемственным от 19-tuple с минимальным диаметром 252

1006882292528806742267: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240 
3954328349097827424397: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
4896552110116770789773: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
6751407944109046348063: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
7768326730875185894807: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240
19252814175273852997757: 0,6,24,36,66,84,90,114,120,126,150,156,174,204,216,234,240

Счастливый паттерн! Столько решений, и это 17-ка!
Выше рассмотрено первое из этих решений.
А вот симметричной 19-ки с минимальным диаметром 252 не найдено пока ни одной.
Очевидно, что все такие 19-ки будут содержать 17-ки с минимальным диаметром 240.
Будут, когда мы их найдём :)

Да, Врублевский, конечно, виртуоз! Не перестаю восхищаться.
Он один участвовал в организованном мной и итальянским коллегой конкурсе, но сколько найдено интереснейших решений!!