Выше я собиралась проверить последовательность OEIS https://oeis.org/A035794 на симметричные шестёрки.
Проверила, нашла следующие симметричные шестёрки

158074620437: [0, 2, 24, 26, 30, 32, 54, 56, 60, 62, 84, 86]
1071796554401: [0, 2, 18, 20, 60, 62, 66, 68, 108, 110, 126, 128]
1087779101699: [0, 2, 42, 44, 90, 92, 120, 122, 168, 170, 210, 212]
1153782400787: [0, 2, 30, 32, 84, 86, 90, 92, 144, 146, 174, 176]
1628444511389: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 48, 50, 78, 80, 90, 92]
2066102452949: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 78, 80, 108, 110, 120, 122]
2083857437327: [0, 2, 12, 14, 30, 32, 54, 56, 72, 74, 84, 86]
3731086236287: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 102, 104, 132, 134, 144, 146]
3751571181929: [0, 2, 30, 32, 60, 62, 72, 74, 102, 104, 132, 134]
4158362831639: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 120, 122, 132, 134, 162, 164]
4878193583477: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 60, 62, 90, 92, 102, 104]
5008751356547: [0, 2, 12, 14, 24, 26, 30, 32, 42, 44, 54, 56]
5378606656847: [0, 2, 12, 14, 30, 32, 54, 56, 72, 74, 84, 86]
5531533689527: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 60, 62, 72, 74, 102, 104]
7020090738707: [0, 2, 12, 14, 54, 56, 60, 62, 102, 104, 114, 116]
7036216236989: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 78, 80, 90, 92, 120, 122]
7119676049567: [0, 2, 42, 44, 54, 56, 90, 92, 102, 104, 144, 146]
7291848886319: [0, 2, 18, 20, 30, 32, 60, 62, 72, 74, 90, 92]

Проверяла по программке на PARI/GP порциями, вполне могла пропустить решения.
Ну, это проверится, когда будем искать все симметричные шестёрки.
Главное: дополнительные решения из этой последовательности выудила.

Далее, начала проверку интервала между этими решениями

17479880417: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
158074620437: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86

Петухов привёл эти два решения в своём сообщении, но не уточнил, что это два первых решения.
Решила это проверить, благо интервал здесь небольшой.
Проверяю тоже программкой на PARI/GP.

Проверила последнюю версию БД проекта Tomas Brada с 16-tuples, 44451 шт.
Найдена новая симметричная восьмёрка из близнецов

519460320704755811: 0 2 6 8 78 80 96 98 120 122 138 140 210 212 216 218

Это уже вторая в проекте.

И ещё две симметричные шестёрки найдены (первая, понятно, из симметричной восьмёрки), показываю их в 16-tuples, не вынимала
519460320704755811: 0 2 6 8 78 80 96 98 120 122 138 140 210 212 216 218
519992015770104029: 0 38 60 62 78 80 102 104 138 140 162 164 180 182 204 242

Квадратов новых пока нет.

Проверка интервала [17479880417, 158074620437] завершена

? \r a6.txt
158074620437
[158074620437, 158074620439, 158074620461, 158074620463, 158074620467, 158074620469, 158074620491, 158074620493, 158074620497, 158074620499, 158074620521, 158074620523]
160724335787
160931242607
?

Это действительно второе решение.
Итак, последовательность симметричных шестёрок можно начинать:

a(1)=17479880417, a(2)=158074620437

Я не нашла в OEIS последовательности, начинающейся с таких чисел.
Для последовательности в OEIS нужно найти ещё как минимум два члена.
Дальше у Петухова следует решение с минимальным диаметром

5008751356547: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56

и ничего не сказано, есть ли в интервале [158074620437, 5008751356547] другие решения.
Так что, придётся проверять и этот интервал. Если в нём не окажется решений, перейдём в следующий интервал.
Однако интервал довольно большой и можно надеяться, что решения в нём есть.

Программка моя на PARI/GP для поиска шестёрок работает хорошо, только, к сожалению, очень медленно.
Поищу немножко, авось два члена удастся найти, можно будет и последовательность в OEIS создать.

Ой, совсем забыла!!
Эти симметричные шестёрки найдены среди решений последовательности OEIS A035794:

158074620437: [0, 2, 24, 26, 30, 32, 54, 56, 60, 62, 84, 86] – эта шестёрка Петухова, следующая за минимальной
1071796554401: [0, 2, 18, 20, 60, 62, 66, 68, 108, 110, 126, 128]
1087779101699: [0, 2, 42, 44, 90, 92, 120, 122, 168, 170, 210, 212]
1153782400787: [0, 2, 30, 32, 84, 86, 90, 92, 144, 146, 174, 176]
1628444511389: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 48, 50, 78, 80, 90, 92]
2066102452949: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 78, 80, 108, 110, 120, 122]
2083857437327: [0, 2, 12, 14, 30, 32, 54, 56, 72, 74, 84, 86]
3731086236287: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 102, 104, 132, 134, 144, 146]
3751571181929: [0, 2, 30, 32, 60, 62, 72, 74, 102, 104, 132, 134]
4158362831639: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 120, 122, 132, 134, 162, 164]
4878193583477: [0, 2, 12, 14, 42, 44, 60, 62, 90, 92, 102, 104]
5008751356547: [0, 2, 12, 14, 24, 26, 30, 32, 42, 44, 54, 56] – эта шестёрка Петухова с минимальным диаметром
5378606656847: [0, 2, 12, 14, 30, 32, 54, 56, 72, 74, 84, 86]
5531533689527: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 60, 62, 72, 74, 102, 104]
7020090738707: [0, 2, 12, 14, 54, 56, 60, 62, 102, 104, 114, 116]
7036216236989: [0, 2, 30, 32, 42, 44, 78, 80, 90, 92, 120, 122]
7119676049567: [0, 2, 42, 44, 54, 56, 90, 92, 102, 104, 144, 146]
7291848886319: [0, 2, 18, 20, 30, 32, 60, 62, 72, 74, 90, 92]

Следовательно, кандидат на a(3) - вот

1071796554401: 0, 2, 18, 20, 60, 62, 66, 68, 108, 110, 126, 128

а кандидат на a(4) - вот

1087779101699: 0, 2, 42, 44, 90, 92, 120, 122, 168, 170, 210, 212

Отлично!
Осталось проверить кандидатов. До них, правда, тоже не очень близко.
Ну, если бы была программа Белышева для решения данной задачи, это просчиталось бы очень быстро. Программа PARI/GP жутко медленная.
Но работает! И моя черепашка поползла по новому интервалу
[158074620437, 1071796554401].

Пока моя черепашка проползла небольшой отрезок пути

? \r a6.txt
163868216387
163868216429
166718744207
?

на помощь пришёл XAVER
https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3073&postid=3829#3829

Огромное спасибо, XAVER!
Стало намного веселее нам с черепашкой :)
Мы с ней теперь будем проверять интервал [1000000000000, 1087779101699].
Этот интервал нам попроще.

Ах, черепашка кричит: "Я нашла решение!" :)

? \r a8.txt
1069109207399
1069431300149
1071796554401
[1071796554401, 1071796554403, 1071796554419, 1071796554421, 1071796554461, 1071796554463, 1071796554467, 1071796554469, 1071796554509, 1071796554511, 1071796554527, 1071796554529]
?

Итак, в интервале [1000000000000, 1087779101699] это первая симметричная шестёрка.
До второй симметричной шестёрки (она на конце интервала) осталось совсем чуть-чуть проверить.
Завтра мы с черепашкой это проверим.

Интересно, что там у XAVER до 1000000000000.

Ну вот, и доползли :)

? \r a6.txt
1085802679307
1087779101699
[1087779101699, 1087779101701, 1087779101741, 1087779101743, 1087779101789, 1087779101791, 1087779101819, 1087779101821, 1087779101867, 1087779101869, 1087779101909, 1087779101911]

Теперь дело за результатами XAVER.
Если у него не будет решений, члены a(3) и a(4) подтверждены мной и последовательность OEIS можно создавать.

Кандидат на член a(5)

1153782400787: 0, 2, 30, 32, 84, 86, 90, 92, 144, 146, 174, 176

Пока черепашка ищет симметричные шестёрки, разберёмся с симметричными семёрками.
Минимальный кортеж (14-tuple) из 7 пар последовательных простых чисел близнецов найден Петуховым

1855418882807417: 0, 2, 12, 14, 30, 32, 72, 74, 114, 116, 132, 134, 144, 146

Смотрите http://dxdy.ru/post1070606.html#p1070606

Замечательно! А дальше? Известны ли следующие решения?
Я их не знаю. Возможно, они были найдены в проекте Stop@home.

Смотрим последовательность OEIS https://oeis.org/A035795.
Здесь всякие-разные семёрки: как симметричные, так и не симметричные.
В этой последовательности 4608 решений.
Если верить Петухову, минимальная симметричная семёрка в этой последовательности аж 4358-ая
. . . . . .
4352 1852379387199707
4353 1852540762779869
4354 1852825121222279
4355 1852987797539729
4356 1852992875821907
4357 1854544947323609
4358 1855418882807417
4359 1855624905594179
4360 1855747060576889
4361 1855849113922367
4362 1855956350979761
4363 1856139807424811
. . . . .
Хорошо, будем верить.
Тогда осталось проверить на симметричность всего (4608 - 4358 = 250) решений.
Ну, это не так много, я могу проверить с помощью программки на PARI/GP.
Однако не забываем условие "but disjoint" в последовательности A035795.
Если среди оставшихся решений симметричных семёрок нет, это ещё не значит, что их нет в данном интервале.
Интервал, начиная с минимальной семёрки, всё равно придётся проверить.

Цитата

Тогда осталось проверить на симметричность всего (4608 - 4358 = 250) решений.
Ну, это не так много, я могу проверить с помощью программки на PARI/GP.
Однако не забываем условие "but disjoint" в последовательности A035795.
Если среди оставшихся решений симметричных семёрок нет, это ещё не значит, что их нет в данном интервале.
Интервал, начиная с минимальной семёрки, всё равно придётся проверить.

Этот хвостик я проверила, среди решений последовательности A035795 (начиная от минимальной симметричной семёрки) симметричных семёрок не найдено.
Теперь надо написать программку поиска симметричных семёрок и начинать проверку интервала, начиная с минимальной семёрки, то есть интервал [1855418882807417, ...].
Однако симметричные семёрки встречаются гораздо реже, нежели симметричные шестёрки.
Найти три следующих решения (чтобы создать последовательность в OEIS) будет трудно; ну, разумеется, для моей черепашки трудно.
А для кого-то, может, и совсем даже не трудно.
Предлагаю начать поиск.
Ах да, программку завтра напишу.

Программку для поиска симметричных семёрок написала (попутно ищутся и не симметричные семёрки)

{v= vector(14); 
forprime(p=1855418882807417, 1855420000000000, v[1]=p; v[2]=nextprime(v[1]+1); 
if(v[2]-v[1]==2, v[3]=nextprime(v[2]+1); v[4]=nextprime(v[3]+1); 
if(v[4]-v[3]==2, v[5]=nextprime(v[4]+1); v[6]=nextprime(v[5]+1); 
if(v[6]-v[5]==2, v[7]=nextprime(v[6]+1); v[8]=nextprime(v[7]+1); 
if(v[8]-v[7]==2, v[9]=nextprime(v[8]+1); v[10]=nextprime(v[9]+1); 
if(v[10]-v[9]==2, v[11]=nextprime(v[10]+1); v[12]=nextprime(v[11]+1);
if(v[12]-v[11]==2, v[13]=nextprime(v[12]+1); v[14]=nextprime(v[13]+1); 
if (v[14]-v[13]==2, print(v[1]);
if (v[3]+v[12]==v[14]+v[1], if(v[5]+v[10]==v[14]+v[1], if(v[7]+v[8]==v[14]+v[1],  print(v); )))))))))))
}

Запустила, известное решение (минимальную симметричную семёрку) программа выдала, считает дальше в заданном интервале

? \r a4.txt
1855418882807417
[1855418882807417, 1855418882807419, 1855418882807429, 1855418882807431, 1855418882807447, 1855418882807449, 1855418882807489, 1855418882807491, 1855418882807531, 1855418882807533, 1855418882807549, 1855418882807551, 1855418882807561, 1855418882807563]

Все могут попробовать.
Интервал у меня в программке задан маленький. Вы можете задать побольше.
Кстати, программа подтвердит все решения последовательности A035795, начиная с минимальной симметричной семёрки.

Маленький интервальчик просчитался быстро, других решений в этом интервале нет (ни симметричных, ни не симметричных).
Дальше пока не считаю эту задачу.
У меня продолжается поиск симметричных шестёрок.
Хочу дойти до кандидата на a(5), немножко осталось.
Всё равно надо ждать результатов от XAVER.

Считает моя черепашка очень старательно :)

? \r a8.txt
1132007506307

Доползти надо до точки 1153782400787.

Ну вот и доползли до кандидата на a(5)

? \r a6.txt
1151236838837
1153337808869
1153782400787
[1153782400787, 1153782400789, 1153782400817, 1153782400819, 1153782400871, 1153782400873, 1153782400877, 1153782400879, 1153782400931, 1153782400933, 1153782400961, 1153782400963]
1154140396247

Что у нас там на a(6) претендует? Сейчас посмотрю.
Вот

1628444511389: 0, 2, 12, 14, 42, 44, 48, 50, 78, 80, 90, 92

Это далеко для нас с черепашкой.
Останавливаем эту задачу.

Завтра продолжу поиск не симметричных шестёрок для последовательности A035794.
На данный момент у меня найдены такие члены этой последовательности

a(1994) - 9000597877631
a(1995) - 9000786859409
a(1996) - 9001459196687
a(1997) - 9002289715577
a(1998) – 9014182820387
a(1999) – 9014409858827
a(2000) – 9024312077327
a(2001) – 9026230199837
a(2002) – 9046585520309
a(2003) – 9050076599567
a(2004) – 9060347329601
a(2005) – 9067633991231
a(2006) – 9075031461917
a(2007) – 9090736899707
a(2008) – 9093877464941
a(2009) – 9094692200681
a(2010) – 9107881171577
a(2011) – 9108173336369

Это в мелком интервале.
Есть ещё и продолжение - крупный интервал. Пока буду искать только в мелком интервале, во-первых, это подряд идут члены последовательности, во-вторых, поиск в мелком интервале идёт быстрее и решений больше.

Впрочем, симметричные шестёрки здесь тоже могут встретиться.

Сегодня найдено всего одно решение в мелком интервале
a(2012) – 9135643909289

Завтра продолжу поиск.

Ой, сегодня с утречка нам с черепашкой повезло, сразу два решения найдено в первой же порции

a(2013) – 9143150272889
a(2014) – 9143256816509

Ползём дальше :)

И ещё три решения найдены сегодня

a(2015) – 9153467051777
a(2016) – 9153772563839
a(2017) – 9162394240541

Отлично поработала черепашка!

Цитата

Ну вот и доползли до кандидата на a(5)

? \r a6.txt
1151236838837
1153337808869
1153782400787
[1153782400787, 1153782400789, 1153782400817, 1153782400819, 1153782400871, 1153782400873, 1153782400877, 1153782400879, 1153782400931, 1153782400933, 1153782400961, 1153782400963]
1154140396247

Что у нас там на a(6) претендует? Сейчас посмотрю.
Вот

1628444511389: 0, 2, 12, 14, 42, 44, 48, 50, 78, 80, 90, 92

Это далеко для нас с черепашкой.
Останавливаем эту задачу.

XAVER прислал подтверждение для a(6)

[1628444511389, 1628444511391, 1628444511401, 1628444511403, 1628444511431, 1628444511433, 1628444511437, 1628444511439, 1628444511467, 1628444511469, 1628444511479, 1628444511481]

Отлично!
Он просчитал весь интервал от минимальной симметричной шестёрки до решения a(6).
Итак, мы имеем 6 решений для новой последовательности OEIS, можно её создать.
Потом желающие просчитают дальше.

New findings

a(2018) 9175036784687
a(2019) 9180237862769
a(2020) 9188760984449
a(2021) 9188827397537
a(2022) 9190234978997
a(2023) 9200542557881
a(2024) 9206359843907
a(2025) 9206359843937
a(2026) 9206359843979
a(2027) 9208021925147

Hope they are all correct

XAVER
большое спасибо!
Я проверила ваши результаты.
Эти решения верные a(2018) - a(2023)

9175036784687
[9175036784687, 9175036784689, 9175036784759, 9175036784761, 9175036784801, 9175036784803, 9175036784819, 9175036784821, 9175036784861, 9175036784863, 9175036784867, 9175036784869]
9180237862769
[9180237862769, 9180237862771, 9180237862799, 9180237862801, 9180237862811, 9180237862813, 9180237862847, 9180237862849, 9180237862889, 9180237862891, 9180237862907, 9180237862909]
9188760984449
[9188760984449, 9188760984451, 9188760984461, 9188760984463, 9188760984497, 9188760984499, 9188760984509, 9188760984511, 9188760984521, 9188760984523, 9188760984581, 9188760984583]
9188827397537
[9188827397537, 9188827397539, 9188827397549, 9188827397551, 9188827397567, 9188827397569, 9188827397591, 9188827397593, 9188827397597, 9188827397599, 9188827397621, 9188827397623]
9190234978997
[9190234978997, 9190234978999, 9190234979039, 9190234979041, 9190234979069, 9190234979071, 9190234979087, 9190234979089, 9190234979111, 9190234979113, 9190234979141, 9190234979143]
9200542557881
[9200542557881, 9200542557883, 9200542557917, 9200542557919, 9200542557929, 9200542557931, 9200542557977, 9200542557979, 9200542558211, 9200542558213, 9200542558217, 9200542558219]

Это решения a(2024) - a(2026)

9206359843907
[9206359843907, 9206359843909, 9206359843937, 9206359843939, 9206359843979, 9206359843981, 9206359843997, 9206359843999, 9206359844039, 9206359844041, 9206359844081, 9206359844083]
9206359843937
[9206359843937, 9206359843939, 9206359843979, 9206359843981, 9206359843997, 9206359843999, 9206359844039, 9206359844041, 9206359844081, 9206359844083, 9206359844111, 9206359844113]
9206359843979
[9206359843979, 9206359843981, 9206359843997, 9206359843999, 9206359844039, 9206359844041, 9206359844081, 9206359844083, 9206359844111, 9206359844113, 9206359844177, 9206359844179]

Эти три решения образуют кортеж из 8 пар последовательных простых чисел близнецов.
Поэтому не выполняется условие "but disjoint".
Это решение вы увидите в последовательности OEIS
https://oeis.org/A263205
Решение выглядит так

9206359843907
[9206359843907, 9206359843909, 9206359843937, 9206359843939, 9206359843979, 9206359843981, 9206359843997, 9206359843999, 9206359844039, 9206359844041, 9206359844081, 9206359844083, 9206359844111, 9206359844113, 9206359844177, 9206359844179]

Решение a(2027) верное

9208021925147
[9208021925147, 9208021925149, 9208021925171, 9208021925173, 9208021925189, 9208021925191, 9208021925279, 9208021925281, 9208021925339, 9208021925341, 9208021925369, 9208021925371]

Итак, ваши решения для последовательности OEIS A035794 запишем

a(2018) 9175036784687
a(2019) 9180237862769
a(2020) 9188760984449
a(2021) 9188827397537
a(2022) 9190234978997
a(2023) 9200542557881
a(2024) 9208021925147

Вы писали мне в письме, что будете отдыхать (отпуск).
Если вы будете продолжать этот поиск (даже после отпуска), я займусь другой задачей.
Задач очень много у нас :)

Цитата

Программку для поиска симметричных семёрок написала (попутно ищутся и не симметричные семёрки)

{v= vector(14); 
forprime(p=1855418882807417, 1855420000000000, v[1]=p; v[2]=nextprime(v[1]+1); 
if(v[2]-v[1]==2, v[3]=nextprime(v[2]+1); v[4]=nextprime(v[3]+1); 
if(v[4]-v[3]==2, v[5]=nextprime(v[4]+1); v[6]=nextprime(v[5]+1); 
if(v[6]-v[5]==2, v[7]=nextprime(v[6]+1); v[8]=nextprime(v[7]+1); 
if(v[8]-v[7]==2, v[9]=nextprime(v[8]+1); v[10]=nextprime(v[9]+1); 
if(v[10]-v[9]==2, v[11]=nextprime(v[10]+1); v[12]=nextprime(v[11]+1);
if(v[12]-v[11]==2, v[13]=nextprime(v[12]+1); v[14]=nextprime(v[13]+1); 
if (v[14]-v[13]==2, print(v[1]);
if (v[3]+v[12]==v[14]+v[1], if(v[5]+v[10]==v[14]+v[1], if(v[7]+v[8]==v[14]+v[1],  print(v); )))))))))))
}

Запустила, известное решение (минимальную симметричную семёрку) программа выдала, считает дальше в заданном интервале

? \r a4.txt
1855418882807417
[1855418882807417, 1855418882807419, 1855418882807429, 1855418882807431, 1855418882807447, 1855418882807449, 1855418882807489, 1855418882807491, 1855418882807531, 1855418882807533, 1855418882807549, 1855418882807551, 1855418882807561, 1855418882807563]

Все могут попробовать.
Интервал у меня в программке задан маленький. Вы можете задать побольше.
Кстати, программа подтвердит все решения последовательности A035795, начиная с минимальной симметричной семёрки.

Попробую поискать симметричные семёрочки.
Ещё раз приглашаю все попробовать :)

Понятно, что симметричные семёрки могут содержаться в девятках, даже и не симметричных.
Проверила все имеющиеся у меня в архиве симметричные 18-tuples, ни одной симметричной семёрки в них не нашла.

Итак, мы с черепашкой поползли за симметричными семёрочками :)
Присоединяйтесь к нам!
Программа поиска в цитате.

Кстати, XAVER прислал мне ссылку для скачивания PARI/GP

You can download the latest stable 64-bit version of PARI/GP (for free)
at https://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html

Я не стала загружать эту версию, меня устраивает давнишняя версия.
Не думаю, что новая версия даст бОльшую скорость выполнения моей программы.
Может быть, ошибаюсь?

Все могут это загрузить и попробовать поиск по предложенной программке.
Вы можете также написать другую программу, возможно, более совершенную, чтоб побыстрее работала.