А это симметричные восьмёрки из кузенов да ещё и квадраты из них составляются

197328576729627247: 0,4,42,46,60,64,90,94,102,106,132,136,150,154,192,196
632878876266807217: 0,4,60,64,90,94,126,130,150,154,186,190,216,220,276,280
1684157406173732383: 0,4,24,28,60,64,84,88,150,154,174,178,210,214,234,238
3580535146422008413: 0,4,30,34,60,64,84,88,90,94,114,118,144,148,174,178
7002957165963385603: 0,4,60,64,84,88,126,130,144,148,186,190,210,214,270,274

Автор Я. Врублевский.

Поискала симметричные кортежи из последовательных пар сексуальных простых чисел (sexy primes).

n=2
23: 0 6 8 14
n=3
869413: 0 6 24 30 48 54
n=4
61637: 0 6 14 20 30 36 44 50
n=5
9032233531: 0 6 60 66 96 102 132 138 192 198
n=6 (это я давно нашла, когда искала различные структуры для 12-tuples)
244536073: 0 6 28 34 40 46 78 84 90 96 118 124

А семёрочки сексуальной и нет пока :)

Это симметричная сексуальная восьмёрка, найдена в проекте TBEG

5594800235853497: 0 6 26 32 56 62 104 110 126 132 174 180 204 210 230 236

Не уверена в минимальности решения (у меня проблемы с загрузкой БД проекта).
Ну, и дальше тоже нет решений у меня.
Девятка вообще тормозит: ни из близнецов, ни из кузенов, ни из сексуальных пар.
Итак, надо симметричную сексуальную семёрочку найти, ишь - спряталась :)

Интересная особенность: для n чётных решения находятся быстрее, нежели для n нечётных.
Вот семёрочка как раз из второй группы, девятка оттуда же.

Да, и симметричную сексуальную семёрку надо искать по всем 14-tuples в проекте, только как их все скачать?
Может быть, она уже и найдена, только я пока её не вижу.

Сейчас скачала 14-tuples с id=26400000, всего 53458 штук, мало, самый хвост БД (последний id=26460201).
Проверила, нашлась ещё одна семёрка из кузенов

3488875159133317: 0 4 6 10 42 46 66 70 90 94 126 130 132 136

Предыдущие были

888895528231807: 0 4 6 10 42 46 66 70 90 94 126 130 132 136
1346390969722159: 0 4 30 34 144 148 204 208 264 268 378 382 408 412
1939807184636677: 0 4 6 10 42 46 66 70 90 94 126 130 132 136
2054905758322603: 0 4 60 64 84 88 120 124 156 160 180 184 240 244
2068740148286083: 0 4 24 28 30 34 90 94 150 154 156 160 180 184

(три последние найдены мной).
Эти без сомнений идут подряд, XAVER проверил.

Следующее ли новое решение? И кто его знает...

Сексуальной семёрки в этой порции решений нет.

Тэк-с, посмотрим, что у нас с не симметричными кортежами из близнецов.

Скачала восьмёрки

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where kind = tpt
# where k = 8
1107819732821: 0 2 90 92 96 98 126 128 138 140 156 158 216 218 240
3735283249697: 0 2 24 26 30 32 42 44 150 152 234 236 240 242 264
4588646146631: 0 2 30 32 120 122 126 128 138 140 150 152 156 158 180
6340698579419: 0 2 12 14 42 44 78 80 120 122 150 152 162 164 198
8412649748537: 0 2 24 26 60 62 72 74 102 104 114 116 144 146 150
9206359843907: 0 2 30 32 72 74 90 92 132 134 174 176 204 206 270
9667145661911: 0 2 36 38 48 50 90 92 108 110 126 128 150 152 216
10261787848841: 0 2 48 50 60 62 138 140 156 158 168 170 198 200 270
. . . . . . . 
599517330472934021: 0 2 78 80 126 128 210 212 330 332 390 392 456 458 546
599549261485447121: 0 2 120 122 210 212 258 260 288 290 330 332 420 422 426
599617099705541849: 0 2 42 44 72 74 120 122 162 164 240 242 282 284 330
599787984502239101: 0 2 30 32 186 188 216 218 228 230 270 272 288 290 336
599797315625132921: 0 2 90 92 168 170 228 230 258 260 270 272 288 290 396
599812502422108889: 0 2 18 20 60 62 102 104 198 200 300 302 312 314 348
599871343101145937: 0 2 42 44 54 56 84 86 90 92 162 164 222 224 360
599963171951460599: 0 2 18 20 60 62 72 74 78 80 162 164 228 230 240
# last = 25276388 # count = 2186

Сравнила первые 167 решений с последовательностью OEIS https://oeis.org/A263205.
Полное совпадение! Отлично!

Не симметричные девятки из близнецов смотрим здесь
https://oeis.org/A259034

A259034 Start of a string of exactly 9 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
170669145704411, 597655503030737, 1209758169609917, 1529543606818727, 1980326398382819

Их тут всего 5 штук. Что-то плохо Петухов поработал над этой последовательностью :)

Скачала не симметричные девятки из близнецов с проекта TBEG

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where kind = tpt
# where k = 9
170669145704411: 0 2 90 92 96 98 180 182 228 230 258 260 336 338 396 398 408
597655503030737: 0 2 54 56 84 86 114 116 132 134 222 224 240 242 270 272 312
1209758169609917: 0 2 54 56 72 74 102 104 114 116 132 134 144 146 180 182 300
1529543606818727: 0 2 12 14 42 44 120 122 192 194 222 224 234 236 360 362 372
1980326398382819: 0 2 48 50 60 62 168 170 180 182 198 200 240 242 342 344 552
2752137854763287: 0 2 12 14 84 86 90 92 102 104 174 176 180 182 240 242 282
3748062700238369: 0 2 42 44 132 134 210 212 240 242 258 260 270 272 300 302 342
4071945430128767: 0 2 72 74 114 116 120 122 174 176 252 254 294 296 330 332 372
4518517172328671: 0 2 78 80 108 110 120 122 150 152 198 200 210 212 246 248 336
4662894516572177: 0 2 12 14 72 74 90 92 114 116 294 296 312 314 480 482 534
5979435335619701: 0 2 48 50 60 62 90 92 96 98 138 140 198 200 228 230 258
6264049608329957: 0 2 54 56 90 92 132 134 174 176 252 254 294 296 300 302 432
7609375387833677: 0 2 204 206 264 266 300 302 330 332 360 362 402 404 414 416 432
8064845880680819: 0 2 60 62 138 140 168 170 198 200 222 224 270 272 282 284 312
. . . . . . 
576790168452150197: 0 2 42 44 54 56 84 86 240 242 270 272 450 452 462 464 492
577658278079182829: 0 2 48 50 90 92 138 140 198 200 240 242 270 272 300 302 390
578712780135517829: 0 2 42 44 90 92 102 104 198 200 222 224 228 230 270 272 282
582023267749720961: 0 2 36 38 48 50 168 170 216 218 288 290 348 350 360 362 426
584675536228033331: 0 2 48 50 96 98 186 188 210 212 300 302 336 338 408 410 420
589156944283775429: 0 2 90 92 168 170 198 200 210 212 240 242 282 284 312 314 378
592216969768122077: 0 2 30 32 162 164 192 194 294 296 324 326 330 332 372 374 390
592304656014556757: 0 2 240 242 252 254 270 272 354 356 360 362 390 392 462 464 504
593415010219732079: 0 2 12 14 42 44 150 152 168 170 192 194 210 212 240 242 288
594176316424890929: 0 2 90 92 120 122 132 134 162 164 168 170 198 200 210 212 378
598530961051131737: 0 2 30 32 114 116 144 146 222 224 270 272 312 314 354 356 360
# last = 24419597 # count = 65

Уже 65 штук найдено.
Первые 5 штук совпадают с решениями из последовательности OEIS.
Замечательно!

Есть одна не симметричная десяточка из близнецов!

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where kind = tpt
# where k = 10
3324648277099157: 0 2 54 56 72 74 84 86 150 152 162 164 180 182 240 242 264 266 294
# last = 19473616 # count = 1

Класс!

Смотрим последовательность OEIS
https://oeis.org/A087641

A087641 Start of the first sequence of exactly n consecutive pairs of twin primes.
29, 101, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411, 3324648277099157, 789795449254776509

Всё верно: найдена минимальная не симметричная десятка из близнецов.

Примечание: кортеж полностью имеет вид

3324648277099157: 0 2 54 56 72 74 84 86 150 152 162 164 180 182 240 242 264 266 294 296

Видимо, Tomas Brada специально обрывает последнюю пару близнецов с какой-то своей целью.

Не симметричные семёрки из близнецов у меня не загружаются; наверное, их очень много.

Не симметричная 11-ка пока не найдена в проекте: в последовательности OEIS минимальная не симметричная 11-ка есть - 789795449254776509.
Ну, в проекте TBEG до таких чисел ещё не дошли.
Впрочем, этот диапазон проверялся в проекте Stop@home.

Кстати, смотрим запись в последовательности OEIS

a(11) found by Gabor Levai in October 2011 (see Rivera), added by Dmitry Kamenetsky, Dec 15 2018

Минимальная не симметричная 11-ка из близнецов была добавлена в OEIS в декабре 2018 г., а найдена она была в октябре 2011 года, видимо, в головоломке на сайте Carlos Rivera.

Скачала последнюю порцию 16-tuples с id=25480000, 51688 кортежей.
Сейчас гляну, что есть интересного среди этих кортежей.

Есть несколько новых решений - симметричные восьмёрки из сексуальных пар

1880689219377931: 0 6 72 78 96 102 112 118 210 216 226 232 250 256 322 328
2758889456313373: 0 6 34 40 54 60 70 76 138 144 154 160 174 180 208 214
3182329137731083: 0 6 30 36 40 46 114 120 124 130 198 204 208 214 238 244
3182721576482093: 0 6 38 44 78 84 98 104 150 156 170 176 210 216 248 254

Раньше я нашла в БД проекта TBTG такую симметричную сексуальную восьмёрку

5594800235853497: 0 6 26 32 56 62 104 110 126 132 174 180 204 210 230 236

Не была уверена в её минимальности, и правильно.
Теперь вот нашлись решения впереди.
Есть надежда, что это решение

1880689219377931: 0 6 72 78 96 102 112 118 210 216 226 232 250 256 322 328

минимальное.
Итак, с сексуальными симметричными восьмёрками уже продвигается дело.
А с сексуальной симметричной семёркой пока ничуть не продвигается.

Пропущенный в проекте Stop@home диапазон 5*10^17 - 6*10^17 окончательно просчитан в проекте TBEG.
Вот приготовила квадраты для ввода в последовательность OEIS A256234

57 2000622979399412508
58 2005823733722922300
59 2023006704392293560
60 2080843908954712440
61 2081320687399450200
62 2087921313381224100
63 2092892655381095400
64 2172185487157075104
65 2295454287301330500
66 2304780072117300756
67 2323835320543908252
68 2327965449088536768
69 2339903888179074840
70 2374424388904350300
71 2390046838342714980

Все квадраты из списка Врублевского в данном диапазоне подтверждены.
Кроме того, в проекте TBEG найдены два новых квадрата

#60
520210977238677833+
0  6  210  216 
104  110  314  320 
234  240  444  450 
338  344  548  554 
K= 554 S= 1108
S=2080843908954712440

#62
521980328345305811+
0  42  60  102 
56  98  116  158 
270  312  330  372 
326  368  386  428 
K= 428 S= 856
S=2087921313381224100

Сейчас приготовлю дальше, в диапазоне 6*10^17 - 9*10^17; квадраты все есть в этом диапазоне, надо просто посчитать магические константы квадратов.

Вот приготовила, первое число - номер квадрата в последовательности OEIS, второе число - магическая константа квадрата.

72 2417574528125446980
73 2420448055438845480
74 2531515505067229428
75 2626873536531352500
76 2803082225835397500
77 2899858483768457460
78 3161253119998860060
79 3185062057272253704
80 3288592647573978420
81 3304115445953813400
82 3359379721531049580
83 3419209300570699440
84 3432530505145828140
85 3526899465318238080

Здесь три квадрата найдены в проекте Stop@home (они показаны выше), остальные квадраты из списка Врублевского.

Надо ввести все новые квадраты (#57 - #85) в последовательность OEIS.
Кто-нибудь может это сделать?
Напишите мне предварительно, я уточню, как надо вводить.

В проекте TBEG запущена новая 65-я партия по поиску кортежей.

Господа!
Вы ещё не подключились к проекту TBEG?
Напрасно, пропустите всё самое интересное :)

В проекте TBEG поиск кортежей значительно расширен по сравнению с проектом Stop@home.
Например, ищутся кортежи из близнецов - симметричные и не симметричные.
Далее, ищется максимальный промежуток между двумя соседними близнецами.
Используя БД проекта, можно найти также кортежи из кузенов и из сексуальных пар простых чисел, чем я потихоньку занимаюсь.
Это небольшая постобработка с помощью специальных утилит.

Вчера нашла все симметричные шестёрки из последовательных сексуальных пар простых чисел (sexy primes) из двух порций полученных мной программой Белышева 12-tuples.
Их нашлось аж 524 штуки!
Вот несколько первых и последних

244536073: 0 6 28 34 40 46 78 84 90 96 118 124
327339491: 0 6 20 26 36 42 50 56 66 72 86 92
18776411233: 0 6 40 46 84 90 94 100 138 144 178 184
20110348451: 0 6 12 18 26 32 36 42 50 56 62 68
38412367703: 0 6 14 20 48 54 80 86 114 120 128 134
47846915741: 0 6 30 36 50 56 120 126 140 146 170 176
54019520651: 0 6 26 32 62 68 90 96 126 132 152 158
68372516263: 0 6 10 16 30 36 58 64 78 84 88 94
87347938241: 0 6 20 26 36 42 56 62 72 78 92 98
97996101893: 0 6 20 26 44 50 54 60 78 84 98 104
. . . . . . 
38568714923413: 0 6 30 36 58 64 120 126 148 154 178 184
38626222325777: 0 6 14 20 66 72 74 80 126 132 140 146
38751511833557: 0 6 14 20 26 32 84 90 96 102 110 116
38790501765773: 0 6 18 24 38 44 60 66 80 86 98 104
38837295257627: 0 6 14 20 26 32 54 60 66 72 80 86
38932613541917: 0 6 44 50 56 62 84 90 96 102 140 146
38954344779587: 0 6 24 30 80 86 144 150 200 206 224 230
39162525241243: 0 6 18 24 28 34 120 126 130 136 148 154
39533539374383: 0 6 74 80 90 96 104 110 120 126 194 200
39765572654713: 0 6 28 34 58 64 90 96 120 126 148 154

Прекрасные симметричные сексуальные шестёрочки!
Предположу, что это шестёрочки с минимальным диаметром

2803092353791: 0 6 10 16 22 28 30 36 42 48 52 58
23010234007441: 0 6 10 16 22 28 30 36 42 48 52 58

В моём списке решений это минимальный диаметр, но не знаю, минимальный ли он на самом деле.
А это текущий максимальный диаметр

8954408954633: 0 6 24 30 134 140 234 240 344 350 368 374

Можно выполнить аналогичный близнецам поиск максимального промежутка между двумя соседними сексуальными парами простых чисел.

В общем, эксперимент показал, что среди симметричных 12-tuples много кортежей из сексуальных пар простых чисел.
Благодатная почва для исследования подобных структур - не только из сексуальных пар, но и из пар с любой другой разностью в парах.
Я выполнила мини-исследование до разности в парах h=50, выше рассказано об этом исследовании.

Сексуальных шестёрок во как много!
А сексуальной семёрочки у меня ни одной нет.
Спряталась, надо долго её искать :)
А восьмёрочки сексуальные уже есть.
Как уже отмечено выше, семёрка из трудной группы с нечётным n.

Я очень надеюсь на БД всех симметричных 14-tuples в проекте TBEG.
Пока эта БД недоступна мне - не могу загрузить :(

У меня есть небольшая БД 14-tuples; я искала их в двух небольших интервалах по программе Белышева.
Всего 78700 кортежей.
Сейчас проверила их на различные структуры.
Из близнецов нет решений.
Из кузенов есть три решения

1939807184636677: 0 4 6 10 42 46 66 70 90 94 126 130 132 136
2054905758322603: 0 4 60 64 84 88 120 124 156 160 180 184 240 244
2068740148286083: 0 4 24 28 30 34 90 94 150 154 156 160 180 184

Из сексуальных пар нет решений.
И далее проверила до разности в парах h=30, нашлись только эти решения

h=10
2283394505920459: 0 10 18 28 42 52 120 130 198 208 222 232 240 250
h=16
1322250491743: 0 16 18 34 60 76 84 100 108 124 150 166 168 184

По сравнению с 12-tuples очень мало структур!

Это характеристики из моих результатов для 14-tuples.
Текущий максимальный диаметр

2292128743916251: 0 42 108 118 142 336 360 448 472 666 690 700 766 808

Текущее максимальное первое смещение

2285641258712561: 0 180 206 248 266 270 320 378 428 432 450 492 518 698

С самого начала ряда я проверила до точки 39926559754771, это последний найденный 12-tuple

39926559754771: 0 48 76 100 120 126 160 166 186 210 238 286

Вот до этой точки симметричной сексуальной семёрки точно нет.
Надо искать её дальше.

А в этом же интервале симметричных сексуальных шестёрок 524 штуки!

PS. Эта симметричная семёрка из кузенов обнаружена в БД 14-tuples проекта TBEG

888895528231807: 0 4 6 10 42 46 66 70 90 94 126 130 132 136

Если в проверяемой части БД были все кортежи с начала ряда без пропусков, то симметричной сексуальной семёрки нет до этой точки.

Решила поискать симметричные 10-tuples, состоящие из пар с одинаковой разностью, то есть пятёрочки.
Интересно, как ведут себя такие структуры, пятёрочки-то из трудной группы с нечётным n.
Плохо, что симметричные 10-tuples не ищет программа Белышева, она начинает искать с симметричных 12-tuples.
Поэтому здесь только программка на PARI/GP, которая работает чертовски медленно.
Ищу только минимальное (первое) решение.
Пока вот что у меня нашлось.

h=2 (близнецы)
3031329797: 0 2 12 14 42 44 72 74 84 86
h=4 (кузены)
1286220583: 0 4 36 40 60 64 84 88 120 124
h=6 (sexy primes)
9032233531: 0 6 60 66 96 102 132 138 192 198
h=8
13717236383: 0 8 36 44 48 56 60 68 96 104

Сейчас буду искать с разностью h=10.

PS. Минимальные симметричные пятёрочки из близнецов и из кузенов я нашла давно, смотрите мои головоломки на сайте Carlos Rivera
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_813.htm
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_841.htm
Обе головоломки можно продолжать решать, но никто не решает.

По этой программе на PARI/GP искала кортежи с разностью h=8

{v=vector(10,i,prime(i)); 
print(v);
forprime(p=v[10]+1, 14000000000, 
v = vector(10,i, if(i<10,v[i+1], p));
if(v[2]+v[9]==v[1]+v[10], if(v[3]+v[8]==v[1]+v[10], if(v[4]+v[7]==v[1]+v[10], if(v[5]+v[6]==v[1]+v[10],
if(v[2]-v[1]==8, if(v[4]-v[3]==8, if(v[6]-v[5]==8, print(v); ))))))))
}

Для поиска кортежей с разностью h=10 надо изменить в программке разность 8 на разность 10.
И т. д. для следующих разностей.
Да, и интервал для поиска, конечно, нужно будет увеличивать, в данном интервале следующие кортежи могут не оказаться.
Интервал задаётся здесь

forprime(p=v[10]+1, 14000000000, 

А с разностью h=10 с ходу несколько штук нашлось

[192631111, 192631121, 192631123, 192631133, 192631147, 192631157, 192631171, 192631181, 192631183, 192631193]
[356988649, 356988659, 356988673, 356988683, 356988703, 356988713, 356988733, 356988743, 356988757, 356988767]
[401531719, 401531729, 401531749, 401531759, 401531761, 401531771, 401531773, 401531783, 401531803, 401531813]
[494942803, 494942813, 494942839, 494942849, 494942863, 494942873, 494942887, 494942897, 494942923, 494942933]
[915453493, 915453503, 915453523, 915453533, 915453541, 915453551, 915453559, 915453569, 915453589, 915453599]
[946155979, 946155989, 946155997, 946156007, 946156009, 946156019, 946156021, 946156031, 946156039, 946156049]

Это говорит о большой частоте данной разности в парах простых чисел.
Остановила программу и сейчас буду искать дважды сексуальные симметричные пятёрочки, то есть с разностью h=12.
Судя по 12-tuples разность h=12 тоже часто встречается.

В связи с временной недоступностью проекта TBEG кортежи сильно заскучали :)
Я пока работаю с кортежами из пар с одинаковой разностью.
Довольно интересное получается исследование.
Вот для 10-tuples застряла на разности h=12 вопреки ожиданиям.
Всё ещё ищется этот кортеж.
Тем временем в голову залетела неплохая мысль: надо сделать программу так, чтобы она искала кортежи сразу для нескольких разностей.
Сделаю, когда кортеж с h=12 найдётся, наконец.
Да, по сравнению с 12-tuples у 10-tuples очень мало структур с одинаковой разностью в парах.
То же самое и для 14-tuples, что уже отмечено выше.

Наконец-то!
Нашлась симметричная пятёрочка из дважды сексуальных пар простых чисел (по-другому: пары с разностью h=12)

[130930724999, 130930725011, 130930725041, 130930725053, 130930725059, 130930725071, 130930725077, 130930725089, 130930725119, 130930725131]

Сейчас программу подкорректирую и буду дальше искать, хотя бы до h=20 включительно.