Покажу симметричные 15-tuples с минимальным диаметром 180, найденные Врублевским в конкурсе (первые элементы кортежей)

3112462738414697093
4225292559801943783
9477874766781063037
20879901417886238153
45122464887069617057
92398394894363184437
122018751571104888653
161697181069971764227
165951350650446500677
180815127210544074643
191419918136456539067
210694845835288508977
228937703463055807373
236504710108099752857
245340529236720495973
253159772512512542687
254620936702429450163
265148317057733186087
266748560317496784337
309024555891221159657
345430663810760557567
385142107142336699693
390222570453515405273
396600397606599145627
401108901182637662297
411678211916099185483
414768297613668172327
444234925484027160293
466812332573119105583
499307170303479682297
520424742374252591413
538430966112678085457
623639156922800985977
680812615086541293023
688602263075852692577
689064912313568963567
695515329887277806917
696468128964313566013
706060309356191671307
726757636190843628797
746912223092054552543
751820287324096136957
756844461160464505223
858618306653844941357
873414590100168716137
889518428679071439643
894740809898255144107
895543029115106271437
896092703373609584653
938392530806110464367
946874983049667151763
951654729173584139857
960841258854989011037
980844621116207965127
1025820667397557474253
1060974291024736855577
1139415686051135776093
1152507736918176109897
1188920610874838358527
1219863113245741109813
1265842897088063720093
2280715342801874531563
2702435978314970098627
2878089059264845472857

Теоретический паттерн для таких кортежей единственный

0 6 24 30 54 66 84 90 96 114 126 150 156 174 180

И столько решений! Конечно, 15-tuple искать полегче, но всё равно здорово.
Первое решение минимальное.
Смотрите последовательность OEIS https://oeis.org/A266512

Не помню, выкладывала ли я эти решения на dxdy.ru.
Сохраните, господа, для истории. Интереснейшие решения!

Отличная новость! Tomas Brada запустил модифицированное Приложение по кортежам.
Поиск симметричных кортежей из последовательных простых чисел продолжается!
Итак, господа, кортежи ждут вас :)
Найдите самый интересный кортеж, например, 19-tuple!

Посмотрела последнюю версию БД по 16-tuples.
Есть новости!
Во-первых, подтверждён очередной квадрат из списка Врублевского

#64

543046371789268681: 0,10,42,52,60,70,78,88,102,112,120,130,138,148,180,190 

543046371789268681+
0  10  60  70 
42  52  102  112 
78  88  138  148 
120  130  180  190 
K= 190 S= 380 
S=2172185487157075104

В пропущенном диапазоне осталось подтвердить следующие квадраты

573 863 571 825 332 491: 0,30,42,72,76,106,118,120,148,150,162,192,196,226,238,268
576 195 018 029 325 059: 0,18,60,78,80,98,102,120,140,158,162,180,182,200,242,260
580 958 830 135 976 893: 0,30,54,84,100,130,154,156,184,186,210,240,256,286,310,340
581 991 362 272 134 047: 0,24,60,80,84,104,126,140,150,164,186,206,210,230,266,290
584 975 972 044 768 607: 0,6,50,56,66,72,84,90,116,122,134,140,150,156,200,206
593 606 097 226 087 453: 0,18,40,58,60,78,100,118,126,144,166,184,186,204,226,244
597 511 709 585 678 627: 0,6,20,26,36,42,56,62,174,180,194,200,210,216,230,236

Может быть, новые квадраты найдутся.

Далее установлен новый рекорд минимального диаметра 16-tuples, предыдущий рекорд был 1072

537921941154802667: 0 180 224 306 332 372 422 530 546 654 704 744 770 852 896 1076

Восьмёрок из близнецов и кузенов не найдено; вот найдена парочка кортежей из пар сексуальных простых

539732308198822087: 0 6 84 90 94 100 136 142 144 150 186 192 196 202 280 286
541998182244232843: 0 6 24 30 70 76 84 90 160 166 174 180 220 226 244 250

Есть несколько шестёрок из близнецов, содержащихся в 16-tuples

532905152025296431: 0 16 106 108 160 162 166 168 190 192 196 198 250 252 342 358
533308875499369969: 0 10 28 30 52 54 58 60 82 84 88 90 112 114 132 142
541024702436824171: 0 12 16 18 46 48 130 132 166 168 250 252 280 282 286 298
541267134297120481: 0 6 46 48 76 78 118 120 178 180 220 222 250 252 292 298

Кажется, это все вкусности :)

Вернулась к первому варианту программы.
Немного модифицировала программку, теперь выводится реальный кортеж, в который отображается найденное приближённое решение.
Вот пример

970274560742931768691,
970274560742931768697,
970274560742931768703,
970274560742931768721,
970274560742931768733,
970274560742931768743,
970274560742931768749,
970274560742931768829,
970274560742931768851,
970274560742931768901,
970274560742931768913,
970274560742931768931,
970274560742931768937,
970274560742931768943,
[970274560742931768691, 970274560742931768697, 970274560742931768703, 970274560742931768721, 970274560742931768733, 970274560742931768763, 970274560742931768781, 970274560742931768787, 970274560742931768811, 970274560742931768817, 970274560742931768823, 970274560742931768847, 970274560742931768853, 970274560742931768871, 970274560742931768901, 970274560742931768913, 970274560742931768931, 970274560742931768937, 970274560742931768943]

Сначала идёт реальный кортеж, а затем (в квадратных скобках) приближённое решение.
Что мы имеем в реальном кортеже?
1. Пять элементов в начале и пять элементов в конце кортежа всегда соответствуют паттерну искомого 19-tuple

0 6 12 30 42 72 90 96 120 126 132 156 162 180 210 222 240 246 252

2. Кортеж составлен из последовательных простых чисел.
3. Диаметр кортежа всегда равен 252.
4. Кортеж имеет маленькую длину (как правило, она меньше 19); в идеале длина должна быть 19.

Что мы имеем в приближённом решении?
1. Пять элементов в начале и пять элементов в конце кортежа всегда правильные, то есть это последовательные простые числа, соответствующие паттерну искомого 19-tuple.
Остальные 9 элементов кортежа в общем случае не простые числа, а если и встречаются простые, они не последовательные.
Эти элементы вычисляются по паттерну.
2. Кортеж всегда имеет длину 19.
3. Кортеж всегда имеет диаметр 252.

Понятно, что когда найдётся правильное решение, реальный кортеж полностью совпадёт с приближением.
Я не знаю, даст ли разработанный мной алгоритм решение.
Пока решение не найдено, трудно что-либо сказать. Надо искать.

Замечу, что поиск 19-tuple с любым диаметром (не обязательно минимальным) автоматически идёт в BOINC-проекте TBEG.
Вспомним, что Врублевский нашёл 17-tuple с минимальным диаметром, но он не нашёл минимальный 17-tuple (по значениям элементов).
Этот кортеж был найден в BOINC-проекте Stop@home.
Почему Врублевский его не нашёл? Потому что неизвестно, какой паттерн будет у минимального кортежа. Теоретических паттернов много.
Для всех паттернов сразу искать невозможно.
Поэтому тут и действует алгоритм грубой силы.
Точно так же и для 19-tuple. С минимальным диаметром паттерн всего один. Этот кортеж можно искать уже сейчас.
Минимальный же кортеж должен быть найден в BOINC-проекте.

Новое приближение

970295448724171394191,
970295448724171394197,
970295448724171394203,
970295448724171394221,
970295448724171394233,
970295448724171394249,
970295448724171394263,
970295448724171394317,
970295448724171394339,
970295448724171394351,
970295448724171394369,
970295448724171394401,
970295448724171394413,
970295448724171394431,
970295448724171394437,
970295448724171394443,
[970295448724171394191, 970295448724171394197, 970295448724171394203, 970295448724171394221, 970295448724171394233, 970295448724171394263, 970295448724171394281, 970295448724171394287, 970295448724171394311, 970295448724171394317, 970295448724171394323, 970295448724171394347, 970295448724171394353, 970295448724171394371, 970295448724171394401, 970295448724171394413, 970295448724171394431, 970295448724171394437, 970295448724171394443]

Чем лучше? Реальный кортеж длиннее! Он уже имеет длину 16.
Самый длинный реальный кортеж (соответствующий приближённому решению) у меня был длины 18 (выше я его показывала).
Длины 19 пока не было.

I did not read this forum for a while now. Sorry. But the app is ready! So, good news. Let's go.
I need, parameters for the application to run. This includes the Interval and what to look for.
You mentioned some large primes here, unfortunately, the app is limited to 2^64-1 or 1.84E19.

Here are counts of various structures from batch 56:

kind   	k   	count(id)	
spt	13	628	
spt	15	7	
spt	16	31627	
spt	18	1457	
spt	20	85	
spt	22	7	
tpt	6	283894	
tpt	7	8201	
tpt	8	261	
tpt	9	7	
stpt	8	36271	
stpt	10	64	
stpt	12	4	

---

You mentioned some large primes here, unfortunately, the app is limited to 2^64-1 or 1.84E19.

Да, я знаю это.
Поиск 19-tuple с минимальным диаметром 252 по паттерну - это отдельная задача, которая не решается программой Белышева.
Я использую для этого алгоритма программу на PARI/GP.

I need, parameters for the application to run. This includes the Interval and what to look for.

Тут надо внимательно и по порядку.
Я пока увидела в результатах только близнецы для k=4 (8-tuple) и k=6 (12-tuple).
Для k=6 вот такие результаты я увидела
https://boinc.tbrada.eu/spt_list.php?k=12

. . . . . . .
999475912613: 0 26 38 66 68 96 110 138 140 168 180 206
999476523211: 0 12 18 22 36 52 96 112 126 130 136 148
999723054251: 0 6 26 36 48 60 98 110 122 132 152 158
999801043721: 0 2 12 32 72 78 110 116 156 176 186 188
999930089267: 0 2 20 32 44 54 62 72 84 96 114 116
999933514397: 0 12 30 60 110 114 152 156 206 236 254 266
999938914729: 0 10 24 60 82 84 100 102 124 160 174 184
999954513763: 0 18 58 60 76 148 168 240 256 258 298 316
999982936349: 0 14 18 50 68 78 80 90 108 140 144 158
532905152025296537: 0 2 54 56 60 62 84 86 90 92 144 146
533308875499369997: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86
541024702436824187: 0 2 30 32 114 116 150 152 234 236 264 266
541267134297120527: 0 2 30 32 72 74 132 134 174 176 204 206
# last = 331678 # count = 15036

А что в пропущенном интервале?

Не знаю, актуальны ли близнецы для k=4 (8-tuple). Надо искать последовательность в OEIS. Если её нет, надо создать.
Я уже писала, что не могу работать в OEIS, так как заблокирована.
Могу смотреть последовательности, но не могу редактировать и создавать.
Аналогично для близнецов k=5 (10-tuple).
Недавно по моей просьбе коллега М. Алексеев создал последовательность A330278.
Эта последовательность для близнецов k=6 (12-tuple).
В настоящий момент XAVER выполняет поиск результатов для этой последовательности.
Но это должно быть продолжено в проекте, вручную это очень долго считать.
Для близнецов k=7 (14-tuple) пока известно единственное решение.
Второе решение я долго искала и не нашла.
Это должна быть тоже новая последовательность в OEIS, аналогичная последовательности A330278.
Когда появятся результаты, последовательность надо создать.

Это пока всё о близнецах - симметричных.

Дальше вопрос: вы будете искать и не симметричные кортежи из близнецов?
Это другая ветвь, о ней надо говорить отдельно.

Третий вопрос - о промежутках между близнецами.
Думаю, что здесь всё понятно.
Я на вашем форуме писала, что последовательность такая в OEIS мной найдена, только в этой последовательности зачем-то поделили промежутки на 6
https://oeis.org/A329165
Но теперь уже поздно это изменять, будем продолжать эту последовательность, как есть.
Не нашла соответствующую последовательность с реальными простыми числами близнецами, между которыми указаны найденные промежутки.
Может быть, плохо искала.
Такую последовательность надо создать, реальные близнецы должны быть указаны.

PS. О поиске 19-tuple.
Я выше писала, что такой кортеж (с любым диаметром, не с минимальным) должен быть найден сам собой в проекте, если он встретится до 1,845*10^19.
19-tuple с минимальным диаметром 252 не встретится в данном диапазоне. Его надо искать другой программой.
Разумеется, искать можно и в диапазоне более 1,845*10^19. Только нужна другая программа.
Это отдельная нерешённая проблема.

Дублирую сообщение отсюда
https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3055&postid=3864#3864
Это несколько актуальных последоваельностей в OEIS.

OEIS evolving sequences of non-symmetric tuples from consecutive pairs of twin primes

1. Start of a string of exactly 7 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
https://oeis.org/A035795
2. Start of a string of exactly 8 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
https://oeis.org/A263205
3. Start of a string of exactly 9 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
https://oeis.org/A259034

And also for k>9, such sequences are not yet in OEIS.

OEIS evolving sequence of symmetric tuples from consecutive pairs of twin primes

Primes starting 12-tuples of consecutive primes that have symmetrical gaps about their mean and form 6 pairs of twin primes.
https://oeis.org/A330278

And also for k>12 (or k>6 pairs), such sequences are not yet in OEIS.

More than 10,000 members in the sequence are not required to be searched.
Of course, less is possible.

Для симметричных кортежей из близнецов смотрите последовательность в OEIS
https://oeis.org/A274792

3, 5, 5, 663569, 3031329797, 17479880417, 1855418882807417, 2640138520272677

Здесь указаны первые элементы минимальных симметричных кортежей из близнецов до k=8 включительно.

Это единственное известное решение для k=7

[1855418882807417, 1855418882807419, 1855418882807429, 1855418882807431, 1855418882807447, 1855418882807449, 1855418882807489, 1855418882807491, 
1855418882807531, 1855418882807533, 1855418882807549, 1855418882807551, 1855418882807561, 1855418882807563]

Второе решение я не нашла, хотя долго искала.

Минимальное решение для k=8

[2640138520272677, 2640138520272679, 2640138520272689, 2640138520272691, 2640138520272707, 2640138520272709, 2640138520272731, 2640138520272733, 
2640138520272767, 2640138520272769, 2640138520272791, 2640138520272793, 2640138520272809, 2640138520272811, 2640138520272821, 2640138520272823]

В проекте TBEG найдены две симметричные восьмёрки из близнецов

[517426190585100089, 517426190585100091, 517426190585100107, 517426190585100109, 517426190585100149, 517426190585100151, 517426190585100161, 517426190585100163, 517426190585100227, 517426190585100229, 517426190585100239, 517426190585100241, 517426190585100281, 517426190585100283, 517426190585100299, 517426190585100301]
[519460320704755811, 519460320704755813, 519460320704755817, 519460320704755819, 519460320704755889, 519460320704755891, 519460320704755907, 519460320704755909, 519460320704755931, 519460320704755933, 519460320704755949, 519460320704755951, 519460320704756021, 519460320704756023, 519460320704756027, 519460320704756029]

но, конечно, они могут быть не следом за минимальным решением.

Интересно: первая из этих двух восьмёрок продолжается до 9 пар близнецов, но кортеж не симметричный

[517426190585100089, 517426190585100091, 517426190585100107, 517426190585100109, 517426190585100149, 517426190585100151, 517426190585100161,517426190585100163, 517426190585100227, 517426190585100229, 517426190585100239, 517426190585100241, 517426190585100281, 517426190585100283, 517426190585100299, 517426190585100301, 517426190585100359, 517426190585100361]

Подтверждён ещё один квадрат из списка Врублевского, из этого кортежа

576195018029325059: 0,18,60,78,80,98,102,120,140,158,162,180,182,200,242,260

576195018029325059+
0  18  80  98 
60  78  140  158 
102  120  182  200 
162  180  242  260 
K= 260 S= 520
S=2304780072117300756

Хм... очень интересный кортеж: все пары с разностью 18.
А такие пары имеют специальное название?
Предлагаю назвать их 3-sexy primes :)

Ой, а какой интересный кортеж для предыдущего подтверждённого квадрата

543046371789268681: 0,10,42,52,60,70,78,88,102,112,120,130,138,148,180,190

Все пары с разностью 10.
Имеют ли такие пары специальное название? Я что-то не нашла в Википедии.

Проверила последнюю версию БД по 18-tuples, 4526 штук.
Установлен новый рекорд максимального диаметра 1028 (предыдущий был 982)

544867511233358921: 0 66 90 108 116 158 342 420 450 578 608 686 870 912 920 938 962 1028

В проекте TBEG подтверждён ещё один квадрат из списка Врублевского

#65

573863571825332491: 0,30,42,72,76,106,118,120,148,150,162,192,196,226,238,268

573863571825332491+
0  30  76  106 
42  72  118  148 
120  150  196  226 
162  192  238  268 
K= 268 S= 536 
S=2295454287301330500

Осталось подтвердить в пропущенном интервале квадраты из следующих кортежей

580 958 830 135 976 893: 0,30,54,84,100,130,154,156,184,186,210,240,256,286,310,340
581 991 362 272 134 047: 0,24,60,80,84,104,126,140,150,164,186,206,210,230,266,290
584 975 972 044 768 607: 0,6,50,56,66,72,84,90,116,122,134,140,150,156,200,206
593 606 097 226 087 453: 0,18,40,58,60,78,100,118,126,144,166,184,186,204,226,244
597 511 709 585 678 627: 0,6,20,26,36,42,56,62,174,180,194,200,210,216,230,236

Просчитано уже больше половины этого интервала, дело идёт к завершению.
Тогда будем считать интервал с 9*10^17.

О последовательности симметричных шестёрок из последовательных пар простых чисел близнецов

A330278 Primes starting 12-tuples of consecutive primes that have symmetrical gaps about their mean and form 6 pairs of twin primes.
17479880417, 158074620437, 1071796554401, 1087779101699, 1153782400787, 1628444511389, 2066102452949, 2083857437327, 2561560206377, 3731086236287, 3751571181929, 4158362831639, 4878193583477, 5008751356547, 5378606656847, 5531533689527, 7020090738707, 7036216236989

https://oeis.org/A330278
Эту последовательность в настоящий момент пополняет XAVER.
Он будет считать до стыковки с моими результатами; показываю их (частично, ибо много)

1856270841368519: 0 2 30 32 42 44 90 92 102 104 132 134 
1856513997898499: 0 2 90 92 120 122 210 212 240 242 330 332
1857050836177739: 0 2 12 14 42 44 138 140 168 170 180 182
1863526348114127: 0 2 12 14 30 32 114 116 132 134 144 146 
1864570703056067: 0 2 12 14 42 44 180 182 210 212 222 224 
1865306547706409: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122 
1867320780974177: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104 
1867979944479191: 0 2 48 50 90 92 96 98 138 140 186 188
1870626409411517: 0 2 30 32 60 62 102 104 132 134 162 164
1871971770130127: 0 2 24 26 84 86 120 122 180 182 204 206
1872170908055417: 0 2 12 14 30 32 114 116 132 134 144 146
1872898471234277: 0 2 42 44 54 56 90 92 102 104 144 146
1873315498719317: 0 2 30 32 72 74 90 92 132 134 162 164
1873839863922071: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
1880877967906277: 0 2 60 62 84 86 90 92 114 116 174 176
1881469781667557: 0 2 12 14 30 32 72 74 90 92 102 104
1881620312752109: 0 2 12 14 72 74 138 140 198 200 210 212
1882672640481497: 0 2 12 14 42 44 102 104 132 134 144 146
1886230619033741: 0 2 30 32 36 38 120 122 126 128 156 158
1889350541739629: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
1896714995838161: 0 2 48 50 78 80 90 92 120 122 168 170
1897089462446039: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
1905046905112049: 0 2 30 32 72 74 138 140 180 182 210 212
1908114914117177: 0 2 42 44 84 86 120 122 162 164 204 206
1909385902256849: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
1912268411973329: 0 2 12 14 18 20 42 44 48 50 60 62
1916138465294477: 0 2 12 14 90 92 132 134 210 212 222 224
1916942614849259: 0 2 18 20 30 32 60 62 72 74 90 92
1917523948175051: 0 2 30 32 60 62 108 110 138 140 168 170
1917569823477809: 0 2 18 20 42 44 48 50 72 74 90 92
1917917838227717: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
1920152553582671: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
1921398883784957: 0 2 24 26 42 44 132 134 150 152 174 176
. . . . . . . . . . . . 
2250902536172369: 0 2 78 80 102 104 228 230 252 254 330 332
2253076074315821: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
2254909164511187: 0 2 30 32 42 44 120 122 132 134 162 164
2255746430005709: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104
2259215904112961: 0 2 6 8 48 50 78 80 120 122 126 128
2259369208633169: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
2261157315466601: 0 2 30 32 60 62 126 128 156 158 186 188
2263338419203187: 0 2 30 32 42 44 132 134 144 146 174 176
2265454334615579: 0 2 30 32 48 50 72 74 90 92 120 122
2268309122504417: 0 2 12 14 42 44 150 152 180 182 192 194
2269039667333849: 0 2 42 44 180 182 210 212 348 350 390 392
2269274690822897: 0 2 30 32 42 44 90 92 102 104 132 134
2282234092667057: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104
2282784941341787: 0 2 24 26 42 44 192 194 210 212 234 236
2284440607144217: 0 2 30 32 84 86 90 92 144 146 174 176
2286473100260891: 0 2 66 68 120 122 126 128 180 182 246 248
2286723166959389: 0 2 12 14 90 92 132 134 210 212 222 224
2286737544031739: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
2288212501505309: 0 2 12 14 42 44 120 122 150 152 162 164
2288909632288157: 0 2 30 32 60 62 72 74 102 104 132 134
2290113274936217: 0 2 24 26 54 56 120 122 150 152 174 176
2291224343609351: 0 2 66 68 78 80 138 140 150 152 216 218
2292703477273607: 0 2 72 74 102 104 192 194 222 224 294 296
2293125966573119: 0 2 42 44 60 62 150 152 168 170 210 212
2297383023073511: 0 2 48 50 60 62 156 158 168 170 216 218

Если, конечно, проект TBEG не начнёт давать результаты для этой последовательности раньше, чем досчитает XAVER.
Я остановила поиск в своём интервале. Искала вообще-то вторую симметричную семёрку из близнецов (попутно собирая шестёрки), но так и не нашла.
После того, как XAVER досчитает до моего интервала, надо будет ввести мои результаты в последовательность.
А затем уже пойдут решения с проекта TBEG (планируется).

Ещё у нас есть несколько блоков симметричных шестёрок из последовательных пар близнецов.
Надо будет учесть решения из этих блоков в своё время.

Блок 1 (решения из архива)

553710694696319: 0 2 12 14 30 32 222 224 240 242 252 254
1327784649892199: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
1856270841368519: 0 2 30 32 42 44 90 92 102 104 132 134 
1856513997898499: 0 2 90 92 120 122 210 212 240 242 330 332
1857050836177739: 0 2 12 14 42 44 138 140 168 170 180 182
1863526348114127: 0 2 12 14 30 32 114 116 132 134 144 146 
1864570703056067: 0 2 12 14 42 44 180 182 210 212 222 224 
1865306547706409: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122 
1867320780974177: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104 
1867979944479191: 0 2 48 50 90 92 96 98 138 140 186 188
2640138520272689: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
3280895246297399: 0 2 42 44 90 92 120 122 168 170 210 212
30767216828606387: 0 2 24 26 42 44 132 134 150 152 174 176
51477335518549079: 0 2 42 44 72 74 198 200 228 230 270 272
57789199456995449: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
59642707519096391: 0 2 30 32 48 50 138 140 156 158 186 188
61111185001490597: 0 2 54 56 80 82 120 122 150 152 204 206
61496572337804837: 0 2 30 32 60 62 102 104 132 134 162 164
72249747916090559: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
74441008149832937: 0 2 42 44 54 56 60 62 72 74 114 116 
74645028004901609: 0 2 12 14 48 50 132 134 168 170 180 182
119890755200640041: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128 
500423295288129527: 0 2 14 16 32 34 54 56 72 74 84 86

Блок 2 (решения с проекта TBEG)

503982480704545937: 0 2 42 44 54 56 150 152 162 164 204 206
512504969296035731: 0 2 36 38 120 122 156 158 240 242 276 278 
517426190585100107: 0 2 42 44 54 56 120 122 132 134 174 176
519460320704755817: 0 2 72 74 90 92 114 116 132 134 204 206
519992015770104089: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
520705820428149689: 0 2 12 14 48 50 132 134 168 170 180 182
521771645036616509: 0 2 12 14 42 44 108 110 138 140 150 152
525725685315463739: 0 2 12 14 30 32 120 122 138 140 150 152
527429414970847967: 0 2 30 32 54 56 90 92 114 116 144 146
528735672273276449: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
529528572209967089: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104
532905152025296537: 0 2 54 56 60 62 84 86 90 92 144 146
533308875499369997: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86
541024702436824187: 0 2 30 32 114 116 150 152 234 236 264 266
541267134297120527: 0 2 30 32 72 74 132 134 174 176 204 206
561193495190201381: 0 2 60 62 138 140 258 260 336 338 396 398
563423342587953059: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
566501354009846531: 0 2 48 50 108 110 150 152 210 212 258 260
570804445737799067: 0 2 60 62 84 86 90 92 114 116 174 176
576278950458246251: 0 2 30 32 60 62 108 110 138 140 168 170

Блок 3 (решения от XAVER)

800021205300877499: 0 2 30 32 78 80 120 122 168 170 198 200
800027380369061021: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
800027511450489011: 0 2 18 20 30 32 126 128 138 140 156 158
800050471126381049: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800051925059700419: 0 2 42 44 72 74 138 140 168 170 210 212
800069649700586579: 0 2 30 32 42 44 228 230 240 242 270 272
800074344509116517: 0 2 42 44 84 86 150 152 192 194 234 236
800083053926103749: 0 2 48 50 90 92 138 140 180 182 228 230
800095371663620729: 0 2 30 32 132 134 138 140 240 242 270 272
800106139898532107: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104
800111176612798109: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
800126450573220479: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
800127542675833049: 0 2 18 20 72 74 138 140 192 194 210 212
800128846185638897: 0 2 12 14 42 44 72 74 102 104 114 116
800130523545923891: 0 2 60 62 168 170 228 230 336 338 396 398
800134021884005267: 0 2 30 32 54 56 60 62 84 86 114 116
800138001465936251: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
800161873780251779: 0 2 18 20 42 44 168 170 192 194 210 212
800165713780403387: 0 2 42 44 72 74 102 104 132 134 174 176
800171559967300019: 0 2 42 44 102 104 210 212 270 272 312 314
800185149251459969: 0 2 18 20 30 32 60 62 72 74 90 92
800185478297437649: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800185660177180559: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
800193932713860317: 0 2 12 14 84 86 90 92 162 164 174 176
800209149720272189: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800224692116845139: 0 2 18 20 102 104 138 140 222 224 240 242
800257383334344797: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56
800259623714476799: 0 2 18 20 42 44 198 200 222 224 240 242
800268311374227767: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56
800270751977847047: 0 2 42 44 72 74 132 134 162 164 204 206
800295934756076657: 0 2 54 56 84 86 90 92 120 122 174 176
800311999562361131: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
800315107573753067: 0 2 30 32 60 62 102 104 132 134 162 164
800318403591126359: 0 2 42 44 78 80 162 164 198 200 240 242
800320229331752741: 0 2 6 8 78 80 138 140 210 212 216 218
800320751711341907: 0 2 12 14 54 56 60 62 102 104 114 116
800326397551439459: 0 2 30 32 42 44 108 110 120 122 150 152
800336465605124387: 0 2 42 44 60 62 84 86 102 104 144 146
800336733358252589: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
800337793573895747: 0 2 30 32 42 44 132 134 144 146 174 176
800340090765841667: 0 2 42 44 54 56 60 62 72 74 114 116
800349323102253149: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800351753326106297: 0 2 54 56 114 116 180 182 240 242 294 296
800352219183648119: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800368509142775369: 0 2 12 14 42 44 168 170 198 200 210 212
800388936608556389: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800390364285544829: 0 2 18 20 30 32 210 212 222 224 240 242

Решений найдено много, надо все их сохранить и по мере продвижения вставлять в последовательность OEIS.
Тут было много трудов всех участников проекта по кортежам, начиная с самых первых, когда проект был только ручной.

16-tuples в проекте TBEG прибывают с огромной скоростью, не успеваю их проверять.
Сейчас проверила последнюю порцию.
Установлен рекорд максимального диаметра 1096, предыдущий был 1076

555854802511497217: 0 84 232 262 396 400 420 534 562 676 696 700 834 864 1012 1096

16-tuples по максимальному диаметру лидируют на данный момент, уже опередили 20-tuples, у которых текущий максимальный диаметр 1088.

Найдена ещё одна симметричная шестёрка из близнецов

562509278942967989: 0 2 12 14 78 80 252 254 318 320 330 332

Шестёрки я собираю в блок 2 (смотрите предыдущий пост).
Больше особых вкусностей нет.

Вот завела новую коллекцию :)

sexy primes

559615713873870293: 0 6 44 50 120 126 204 210 224 230 308 314 384 390 428 434
561352153488080777: 0 6 30 36 44 50 54 60 86 92 96 102 110 116 140 146
566403332513936521: 0 6 30 36 42 48 52 58 120 126 130 136 142 148 172 178
567671202648712691: 0 6 12 18 20 26 42 48 140 146 162 168 170 176 182 188
568596882819820033: 0 6 28 34 64 70 100 106 138 144 174 180 210 216 238 244
573164928073024993: 0 6 24 30 34 40 90 96 154 160 210 216 220 226 244 250
574459900707786781: 0 6 22 28 36 42 70 76 102 108 136 142 150 156 172 178

2-sexy primes

561898287755425001: 0 12 110 122 128 140 156 168 260 272 288 300 306 318 416 428
575452575161081407: 0 12 84 96 102 114 132 144 292 304 322 334 340 352 424 436

3-sexy primes

569680752798829051: 0 18 30 48 52 70 90 108 112 130 150 168 172 190 202 220
576195018029325059: 0 18 60 78 80 98 102 120 140 158 162 180 182 200 242 260

5-sexy primes

566802900849362041: 0 30 46 76 102 132 156 186 196 226 250 280 306 336 352 382

А что, интересные решения: дважды сексуальные, трижды сексуальные etc.

Цитата

Это единственное известное решение для k=7

[1855418882807417, 1855418882807419, 1855418882807429, 1855418882807431, 1855418882807447, 1855418882807449, 1855418882807489, 
1855418882807491, 1855418882807531, 1855418882807533, 1855418882807549, 1855418882807551, 1855418882807561, 1855418882807563]

Второе решение я не нашла, хотя долго искала.

Уже не единственная известна симметричная семёрка из последовательных близнецов.
В проекте TBEG найдены следующие решения

532776053645838599: 0 2 18 20 42 44 60 62 78 80 102 104 120 122
536741135488704191: 0 2 6 8 48 50 108 110 168 170 210 212 216 218
562904248804042889: 0 2 42 44 78 80 120 122 162 164 198 200 240 242
564084788143487981: 0 2 60 62 138 140 168 170 198 200 276 278 336 338
574185979371371531: 0 2 36 38 66 68 108 110 150 152 180 182 216 218

Класс!
Конечно, они пока далеко от минимальной семёрки, между ними наверняка ещё найдутся решения.
У меня вторая семёрка так и не нашлась, я проверила до 2297383023073511 (начинала от минимальной семёрки).
Теперь можно начать поиск с этой точки и до стыковки с найденными решениями. Конечно, интервал здесь большущий надо проверить.

А не симметричных семёрок из последовательных близнецов как много уже найдено в проекте!
Вот как расползлись близнецы

547203226925306291: 0 2 216 218 630 632 768 770 816 818 888 890 1008 1010

Супер!
И наибольшее расстояние между соседними близнецами тут приличное: 412.
Симпатичный кортеж из близнецов, мне очень нравится; жалко, что не симметричный.

В поиске симметричного 19-tuple с минимальным диаметром пока всё глухо.
Сделала программу для проверки сразу по трём первым формулам из имеющихся у меня шести формул.
Вот интересное приближение, найденное вчера

258413047183088421991,
258413047183088421997,
258413047183088422003,
258413047183088422021,
258413047183088422033,
258413047183088422073,
258413047183088422117,
258413047183088422189,
258413047183088422201,
258413047183088422213,
258413047183088422231,
258413047183088422237,
258413047183088422243,
[258413047183088421991, 258413047183088421997, 258413047183088422003, 258413047183088422021, 258413047183088422033, 258413047183088422063, 258413047183088422081, 258413047183088422087, 258413047183088422111, 258413047183088422117, 258413047183088422123, 258413047183088422147, 258413047183088422153, 258413047183088422171, 258413047183088422201, 258413047183088422213, 258413047183088422231, 258413047183088422237, 258413047183088422243]
В приближении оказался правильным центральный элемент кортежа.
Итого 11 правильных элементов из 19.
В реальном кортеже длины 13 только одна пара элементов не симметричная. Почти симметричный 13-tuple!

Ну, вот такие приближения находятся. Всё это очень далеко от точного решения :(

Кстати, из переписки с другом выяснила (как я и предполагала!), что формулы у меня далеко не все.
Получила только первые 6 формул, а их может быть... ох!... хоть тысяча штук.
И что с ними со всеми делать на моём ПК? :(

Формулы для этого кортежа я получила ещё в те давние времена, когда только начинала заниматься кортежами.
Тогда я пользовалась услугами Вольфрама. Сейчас эти услуги, говорят, стали платными.
На форуме dxdy.ru приведена соответствующая команда для PARI/GP

? lift(chinese([Mod(1,2),Mod(2,3),Mod(1,5),Mod(3,7)]))

Попробовала для своего примера

lift(chinese([Mod(1,2),Mod(2,3),Mod(2,5),Mod(4,7),Mod(4,11),Mod(3,13),Mod(1,17),Mod(17,19)]))

Да, всё верно, формулы получаются.
Получила по этой команде в PARI/GP ещё 42 формулы. Можно продолжить.
Если рассматривать остатки только до модуля 19 (как у меня и было раньше), то формул должно получиться 384.
Ух! Надо ещё придумать, как организовать поиск сразу по всем этим формулам.

У меня в рабочем файле сохранились первые шесть формул прямо из-под Вольфрама

ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,2},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
3297661+9699690n
ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,3},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
2787151+9699690n
ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,11},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
8402761+9699690n
ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,12},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
7892251+9699690n
ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,16},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
5850211+9699690n
ChineseRemainder[{1,1,1,3,4,3,1,17},{2,3,5,7,11,13,17,19}]
5339701+9699690n

Как хорошо, что сохранился рабочий файл.
По первым трём формулам у меня сейчас программа выполняет поиск приближений.
По последним трём формулам вчера тоже попробовала, в том же самом диапазоне; за целый день не получила ни одного приближения.
Ну, это, разумеется, ещё ни о чём не говорит.

Да, так вот, господа: надо накинуться на этот кортеж сразу по тысяче формул!
Кто готов?
Он найдётся, конечно, хорошо спрятался :)
Друг пишет: "Сидит этот кортеж где-нибудь в 30-значных числах и посмеивается".
Может быть, и в 30-значных сидит, а может, поближе чуток.

I will try to answer all questions:

А что в пропущенном интервале?

I am continuing the interval from Stop@home to look for symmetric prime tuples. The application, also looks for others structures (TPT >= 7 pairs, STPT >= 8 primes, gaps) and saves them into DB.
I am planning to scan the bottom interval as well, to extend other OEIS sequences. And take over the search XAVER is doing.

вы будете искать и не симметричные кортежи из близнецов?

Yes. First: as a byproduct of current search and then specifically to fill the gaps.

* About twin gaps:

Also searching for those, the data coming in, but it needs some post-processing. Everything is clear here.

В проекте TBEG найдены следующие решения3
574185979371371531: 0 2 36 38 66 68 108 110 150 152 180 182 216 218

This is worrying. This tuple appears in my database as TPT, but it it symmetric, 34 28 40 40 28 34. There must be error somewhere! I will look into it before starting next batch.

Tomas Brada
большое спасибо за ваши пояснения.
Я думаю, вы охватили весь спектр задач.

Подтверждён ещё один квадрат из списка Врублевского, из этого кортежа

597511709585678627: 0,6,20,26,36,42,56,62,174,180,194,200,210,216,230,236 

597511709585678627+
0  6  36  42 
20  26  56  62 
174  180  210  216 
194  200  230  236 
K= 236 S= 472
S=2390046838342714980

Хм... квадрат снова из сексуальных пар :)

Осталось подтвердить в пропущенном интервале всего 4 квадрата

580 958 830 135 976 893: 0,30,54,84,100,130,154,156,184,186,210,240,256,286,310,340
581 991 362 272 134 047: 0,24,60,80,84,104,126,140,150,164,186,206,210,230,266,290
584 975 972 044 768 607: 0,6,50,56,66,72,84,90,116,122,134,140,150,156,200,206
593 606 097 226 087 453: 0,18,40,58,60,78,100,118,126,144,166,184,186,204,226,244

Пропущенный интервал уже досчитывается, запущена последняя партия.

Итак, господа, объявляется тотальный натиск на симметричный 19-tuple с минимальным диаметром 252.
Повторю: для этого кортежа существует единственный паттерн

0 6 12 30 42 72 90 96 120 126 132 156 162 180 210 222 240 246 252

Так что штурм вести очень удобно, не надо разбрасывать усилия на разные паттерны.

Вчера искала формулы с помощью анализа элементов паттерна по остаткам для простых модулей 2, 3, 5, ..., 19.
Таких формул получила пока 42 (из 384 возможных). Можно получить и остальные.
Потом привлекла ещё модуль 23 (следующее простое число) просто для пробы.
Получила пока только 5 формул:

223092870n+108064037
223092870n+78964967
223092870n+185661557
223092870n+156562487
223092870n+205060937

Сделала программку на PARI/GP (это единственный язык, на котором я могу работать с большими простыми числами) для поиска сразу по всем 5 формулам, показываю программку

{w= vector(19); z= vector(5); 
z[1]=108064037;
z[2]=78964967;
z[3]=185661557;
z[4]=156562487;
z[5]=205060937;
for (k=1,5,
for (i=26640890000000,26640950000000,
v=223092870*i+z[k];
if(ispseudoprime(v), if(ispseudoprime(v+252), w[1]=v; w[2]=nextprime(w[1]+1); w[19]=v+252;
if(w[2]-w[1]==6, if(ispseudoprime(v+246), w[3]=nextprime(w[2]+1); w[18]=v+246;
if(nextprime(w[18]+1)==w[19], if(w[3]-w[1]==12, if(ispseudoprime(v+240), w[4]=nextprime(w[3]+1); w[17]=v+240;
if(nextprime(w[17]+1)==w[18], if(w[4]-w[1]==30, if(ispseudoprime(v+222), w[5]=nextprime(w[4]+1); w[16]=v+222;
if(nextprime(w[16]+1)==w[17], if(w[5]-w[1]==42, if(ispseudoprime(v+210), w[6]=v+72; w[15]=v+210;
w[7]=v+90; w[8]=v+96; w[9]=v+120; w[10]=v+126; w[11]=v+132; w[12]=v+156; w[13]=v+162; w[14]=v+180;
forprime(n=v, v+252, print(n,", ")); print(w); )))))))))))))))
}

Программка самая примитивная, но она работает. Правда, о-ч-е-н-ь медленно.
Мы с черепашкой ползём :)
Нет, конечно, мы не надеемся найти полное решение, у нас есть только приближения.
Приближения я описывала выше.
Роль приближений мне ясна; другие - как хотят, так пусть и относятся к приближениям.
По данным формулам сразу улетела в 22-значные числа (сохранив тот же самый параметр цикла i, с которым работала вчера).
Вот найденное сейчас приближение этой программой

5943375298442117982527,
5943375298442117982533,
5943375298442117982539,
5943375298442117982557,
5943375298442117982569,
5943375298442117982619,
5943375298442117982623,
5943375298442117982709,
5943375298442117982731,
5943375298442117982737,
5943375298442117982749,
5943375298442117982767,
5943375298442117982773,
5943375298442117982779,
[5943375298442117982527, 5943375298442117982533, 5943375298442117982539, 5943375298442117982557, 5943375298442117982569, 5943375298442117982599, 
5943375298442117982617, 5943375298442117982623, 5943375298442117982647, 5943375298442117982653, 5943375298442117982659, 5943375298442117982683, 5943375298442117982689, 5943375298442117982707, 5943375298442117982737, 5943375298442117982749, 5943375298442117982767, 5943375298442117982773, 5943375298442117982779]

Это пока единственное приближение от этой программы, я начала её тестировать сегодня утром.

Вы можете попробовать поискать этой программой.
Может, вы её оптимизируете, чтобы она побыстрее шевелилась :)
Понятно, что диапазон для поиска определяется параметром этого цикла

for (i=26640890000000,26640950000000,

Изменяя параметр этого цикла, вы можете гулять в разных диапазонах, хоть в 30-значных числах.

А другая программа у меня работает по 20 формулам (из 42 полученных); приближения есть, но пока не так много.
Она аналогична показанной программе.
Ничего особо интересного не появилось.
Но всё жутко медленно происходит.
Итак, "думайте сами, решайте сами" искать или не искать :)

PS. Вы можете определить, какая из 5 формул дала показанное приближение.
Это очень просто сделать по первому элементу приближённого кортежа, да хоть и реального кортежа, первые элементы у них одинаковые.

Сегодня заглянула на форум dxdy.ru и наткнулась там на ссылку на форум AoPS.
Вспомнила про этот форум, давненько там не была; вот сегодня запостила там проблему нашу интересную про симметричный 19-tuple с минимальным диаметром
https://artofproblemsolving.com/community/q1h1114450p13927809
Может, там кто-нибудь заинтересуется проблемой и решит её на суперкомпьютере :)

Да, конечно, времени на распространение проблем по различным форумам у меня не слишком много.
А на иностранных форумах вообще очень трудно писать по незнанию языка.
По-русски я бы быстро нашлёпала.