Побродила по Интернету. Увы, я не читаю по-английски.
Вот здесь посмотрела
https://stackoverflow.com/questions/28491080/calculating-the-gap-between-pairs-of-twin-primes-in-python
По-моему, программка там приводится для определения максимального промежутка между парами близнецов.
Но пример рассматривается для близнецов не из последовательных простых чисел.
Сами пары близнецов - да, последовательные, но между ними есть другие простые числа.
Впрочем, для программы это не имеет значения: какие рассматриваются близнецы, насколько я поняла.

Ну, программа у меня тоже есть. Просто мне для проверки этой программой нужны развёрнутые кортежи.

Поиск интересных кортежей из последовательных простых чисел продолжается!

Проект TBEG продолжает дело проекта Stop@home, остановившегося в конце 2017 года.
Кроме того, Tomas Brada хочет добавить новое Приложение по поиску кортежей (симметричных и не симметричных) из последовательных простых чисел близнецов.
Мы с XAVER давно занимаемся поиском таких кортежей в ручном подпроекте.
Создана новая последовательность в OEIS A330278, которую сейчас пополняет XAVER.

Присоединяйтесь к проекту TBEG, дорогие друзья всех наших проектов!

С Новым Годом!

I can add check for largest distance between twins to the application. It is trivial.

Очень хорошо.

Just to clarify the task here.
The application has access to endless sequence of consecutive primes, and derived from those, a sequence of consecutive twin primes.
Let p, p+2, q, q+2 be prime such that p+2<q and there are no primes between p+2 and q.
The task is to find p, such that q-(p+2) is the largest.
Are there other requirements for the primes? Like being part of larger symmetric prime tuple for example?

---

Just to clarify the task here.
The application has access to endless sequence of consecutive primes, and derived from those, a sequence of consecutive twin primes.
Let p, p+2, q, q+2 be prime such that p+2 The task is to find p, such that q-(p+2) is the largest.
Are there other requirements for the primes? Like being part of larger symmetric prime tuple for example?

I have no other requirements.
I'm only interested in the largest distance between two neighboring twins of consecutive primes.

In this problem, two approaches are possible.
1. Checked only pairs of neighboring twins in the found tuples for k>5 (k is the number of pairs of twins).
2. Checked any two adjacent pairs of consecutive twins that do not necessarily form tuples for k>5.

Can you implement both approaches?

Tomas Brada начал тестировать Приложение для поиска кортежей из последовательных простых близнецов.
Уже найден новый рекорд промежутка между соседними близнецами

largest_twin_gap: 525725689650797957 490

https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3055&postid=3892#3892

Здорово! Хороший промежуток.

Посмотрела статью о последовательных простых числах близнецах
https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;6a849ab3.9811

Цитата из статьи

First six 7-twin_prime clusters found:
678771479(10,58,4,58,28,10) decade: 678771551
17479880399(16,28,10,16,10,28)
17830729991(88,4,28,10,40,16) decade: 17830730081
(no six clusters occur between these previous two)
23799917819(40,28,76,40,16,16)
70455134039(10,64,28,10,10,34)
79453842029(16,22,28,4,10,40) decade: 79453842101

(no others found less than 10^11)

Сравним с последовательностью OEIS
https://oeis.org/A035795
A035795 Start of a string of exactly 7 consecutive (but disjoint) pairs of twin primes.
678771479, 17479880399, 17830729991, 23799917819, 70455134039, 79453842029, 108108566471, 150411604619, 163868216387, 256385651969, 444790621787, 446688503687, 496081268777, 502910801927, 688735396829, 711503536589, 712407842477, 793957831409, 808316366171, 881191407827, 891108993767, 896804723201

Первые шесть членов совпадают с теми, что в статье приведены.
Но абсолютно не понимаю, что такое

decade: 678771551

и дальше аналогичные примечания.
А также это примечание

(no six clusters occur between these previous two)

В статье ещё не были найдены первые (минимальные) не симметричные восьмёрки и девятки из последовательных близнецов.
Сейчас они найдены, смотрите последовательность OEIS A087641.

У Tomas Brada новый рекорд промежутка между соседними близнецами

New record: 500306885940569681 724

Супер!
Развернула в PARI/GP

500306885940569681, 500306885940569683, 500306885940570407, 500306885940570409

Всё правильно, промежуток между двумя соседними близнецами равен 724.

Тэк-с, это, наверное, не предел. Скоро будет найден промежуток 1000 :) а потом и больше.

Пока ещё идёт тестирование нового Приложения.
Жду с нетерпением запуска.

Пишу о своих исследованиях на форуме проекта TBEG.
Здесь писать невозможно :(

https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3055&postid=3904#3904

Дублирую сообщение с проекта TBEG, спроектировала последовательности для OEIS.

A sequence similar to A113274 can be called “Rising gaps between of consecutive twin primes”.
This sequence has the form

2, 6, 12, 18, 30, 36, 54, 72, 102, 108, 126, 132, 138, 150, 186, 198, 210, 240, 246, 252, 282, 288, 294, 306, 312, 318, 342, 348, 372

I think it’s not worth creating a sequence similar to A036063, because these are the essence of the reduced by 2 members of the previous sequence

0, 4, 10, 16, 28, 34, 52, 70, 100, 106, 124, 130, 136, 148, 184, 196, 208, 238, 244, 250, 280, 286, 292, 304, 310, 316, 340, 346, 370

A sequence similar to A113275 is, of course, needed.
This sequence has the following form

3, 5, 137, 1931, 2969, 20441, 48677, 173357, 838247, 4297091, 14982551,  30781187, 34570661, 43891037, 79167731, 875971469, 1209266801,
2505898931, 3399081821, 5002002407, 13600912607, 28261373771, 31120423097, 31153871741, 44725020167, 59120474339, 70906853447, 143334302009, 
209241428699

https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3055&postid=3913#3913

Напишу, пока вроде открывается тема.

Нашла последовательность в OEIS
https://oeis.org/A329165
A329165 Let P1, P2, P3, P4 be consecutive primes with P2-P1=P4-P3=2. a(n)=(P3-P1)/6 when the length of the gap with no primes between the two pairs of twin primes sets a record.

1, 2, 3, 5, 6, 9, 12, 17, 18, 21, 22, 23, 25, 31, 33, 35, 40, 41, 42, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 57

Мудрено было её найти, зачем-то все промежутки между последовательными близнецами разделили на 6.

Сравните с полученной мной последовательностью

2, 6, 12, 18, 30, 36, 54, 72, 102, 108, 126, 132, 138, 150, 186, 198, 210, 240, 246, 252, 282, 288, 294, 306, 312, 318, 342, 348, 372

Отсутствует только первый член. потому что близнецы (3,5) и (5,7) пересекаются.
Все остальные члены те же самые с точностью до деления на 6 и кроме последних двух членов, которых в последовательности OEIS пока нет.

Ладно, пусть будут промежутки, делённые на 6.
Создавать новую последовательность, умножив промежутки на 6, вряд ли имеет смысл.
Будем продолжать имеющуюся последовательность.

А вот соответствующую промежуткам последовательность

5, 137, 1931, 2969, 20441, 48677, 173357, 838247, 4297091, 14982551,  30781187, 34570661, 43891037, 79167731, 875971469, 1209266801, 2505898931,  3399081821, 5002002407, 13600912607, 28261373771, 31120423097, 31153871741, 44725020167, 59120474339, 70906853447, 143334302009, 209241428699

не нашла в OEIS.
Может быть, тоже есть, под каким-нибудь другим соусом :)
Попробуй-ка найди!

Наконец-то я разработала алгоритм поиска кортежа по паттерну.
Много раз писала об этом выше.
Виртуозно владеет этим поиском Я. Врублевский.
Во время конкурса он нашёл этим методом очень много интересных решений.

Ну, я начинаю с симметричного 19-tuple из последовательных простых чисел с минимальным диаметром 252.
Паттерн для такого кортежа единственный

0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

Это очень хорошо.
Но! Найти этот кортеж чрезвычайно трудно. Врублевский его не нашёл во время конкурса, хотя активно искал.
Ну, я просто немножко попробую, а вдруг повезёт.
Интересно было сделать программку.
Программка у меня пока не полностью записана, хотя алгоритм, конечно, полный. Просто не всё проверяю.
Посмотрю сначала на приближённые решения.
Приближённое решение программа выводит в таком виде

[906020060538697471, 906020060538697477, 906020060538697483, 906020060538697501, 906020060538697513, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
906020060538697681, 906020060538697693, 906020060538697711, 906020060538697717, 906020060538697723]

Те элементы, которые нули, программа ещё не проверяет.
Таким образом, есть уже 10 правильных элементов из 19. Неплохо.
Не проверенные элементы можно вычислить по паттерну, но они, конечно, окажутся неправильными.
Вот так:

[906020060538697471, 906020060538697477, 906020060538697483, 906020060538697501, 906020060538697513, 906020060538697543*, 906020060538697561*, 906020060538697567*, 906020060538697591*, 906020060538697597*, 906020060538697603*, 906020060538697627*, 906020060538697633*, 906020060538697651*, 906020060538697681, 906020060538697693, 906020060538697711, 906020060538697717, 906020060538697723]

Элементы, помеченные символом *, неправильные. Даже если среди них есть простые числа, они не последовательные.
Таких приближений находится довольно много.
Особая сложность задачи - маленький диаметр. Начало и конец кортежа находятся легко, а вот правильно заполнить оставшиеся элементы в середине кортежа очень трудно: не влезают последовательные простые в этот маленький интервал.
Если искать с диаметром побольше, будет легче найти решение. Но для таких диаметров паттернов много.

Разработка алгоритма была очень интересной. Даже если решение не найду, всё равно сделано большое дело: программа написана для поиска.
Кстати, напомню, что симметричного 19-tuple из последовательных простых чисел пока не найдено ни одного, хоть с каким-нибудь диаметром, хоть с каким-нибудь первым элементом.

Не помню, показывала или нет этот кортеж

[1006882292528806742207*, 1006882292528806742267, 1006882292528806742273, 1006882292528806742291, 1006882292528806742303, 1006882292528806742333, 1006882292528806742351, 1006882292528806742357, 1006882292528806742381, 1006882292528806742387,
1006882292528806742393, 1006882292528806742417, 1006882292528806742423, 1006882292528806742441, 1006882292528806742471, 1006882292528806742483, 
1006882292528806742501, 1006882292528806742507, 1006882292528806742567]

Это почти 19-tuple, симметричный из последовательных простых чисел.
Только один элемент неправильный - первый (помечен символом *). Этот число не простое.

Обалденное продолжение одного из найденных Врублевским в конкурсе 17-tuple.
Но в этом кортеже диаметр побольше - 360, это паттерн

0, 60, 66, 84, 96, 126, 144, 150, 174, 180, 186, 210, 216, 234, 264, 276, 294, 300, 360

Вот по этому паттерну поискать решение, больше шансов найти, чем решение с минимальным диаметром 252.

А между тем программа выдала ещё одно приближённое решение

[935437687951671271, 935437687951671277, 935437687951671283, 935437687951671301,
935437687951671313, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 935437687951671481, 935437687951671493, 935437687951671511, 935437687951671517,
935437687951671523]

Программа на PARI/GP у меня написана, медленно работает.
Программа Белышева работает быстрее, но кортежи длины 19 она пока не нашла. Они где-то очень далеко.
Кстати, я начала поиск с 9*10^17, предположив, что в проекте Stop@home 19-tuple не был найден.
Да, и обратите внимание, как много я уже пробежала.
Дело в том, что при поиске по паттерну не проверяются все простые числа подряд. Тут работает формула.

Из найденного XAVER в диапазоне от 8*10^17.
Шестёрки из последовательных близнецов (47 штук)

800021205300877499: 0 2 30 32 78 80 120 122 168 170 198 200
800027380369061021: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
800027511450489011: 0 2 18 20 30 32 126 128 138 140 156 158
800050471126381049: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800051925059700419: 0 2 42 44 72 74 138 140 168 170 210 212
800069649700586579: 0 2 30 32 42 44 228 230 240 242 270 272
800074344509116517: 0 2 42 44 84 86 150 152 192 194 234 236
800083053926103749: 0 2 48 50 90 92 138 140 180 182 228 230
800095371663620729: 0 2 30 32 132 134 138 140 240 242 270 272
800106139898532107: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104
800111176612798109: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
800126450573220479: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
800127542675833049: 0 2 18 20 72 74 138 140 192 194 210 212
800128846185638897: 0 2 12 14 42 44 72 74 102 104 114 116
800130523545923891: 0 2 60 62 168 170 228 230 336 338 396 398
800134021884005267: 0 2 30 32 54 56 60 62 84 86 114 116
800138001465936251: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
800161873780251779: 0 2 18 20 42 44 168 170 192 194 210 212
800165713780403387: 0 2 42 44 72 74 102 104 132 134 174 176
800171559967300019: 0 2 42 44 102 104 210 212 270 272 312 314
800185149251459969: 0 2 18 20 30 32 60 62 72 74 90 92
800185478297437649: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800185660177180559: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
800193932713860317: 0 2 12 14 84 86 90 92 162 164 174 176
800209149720272189: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800224692116845139: 0 2 18 20 102 104 138 140 222 224 240 242
800257383334344797: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56
800259623714476799: 0 2 18 20 42 44 198 200 222 224 240 242
800268311374227767: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56
800270751977847047: 0 2 42 44 72 74 132 134 162 164 204 206
800295934756076657: 0 2 54 56 84 86 90 92 120 122 174 176
800311999562361131: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
800315107573753067: 0 2 30 32 60 62 102 104 132 134 162 164
800318403591126359: 0 2 42 44 78 80 162 164 198 200 240 242
800320229331752741: 0 2 6 8 78 80 138 140 210 212 216 218
800320751711341907: 0 2 12 14 54 56 60 62 102 104 114 116
800326397551439459: 0 2 30 32 42 44 108 110 120 122 150 152
800336465605124387: 0 2 42 44 60 62 84 86 102 104 144 146
800336733358252589: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
800337793573895747: 0 2 30 32 42 44 132 134 144 146 174 176
800340090765841667: 0 2 42 44 54 56 60 62 72 74 114 116
800349323102253149: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800351753326106297: 0 2 54 56 114 116 180 182 240 242 294 296
800352219183648119: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104
800368509142775369: 0 2 12 14 42 44 168 170 198 200 210 212
800388936608556389: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122
800390364285544829: 0 2 18 20 30 32 210 212 222 224 240 242

Есть две шестёрки с минимальным диаметром

800257383334344797: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56
800268311374227767: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56

Установлены рекорды максимального диаметра и максимального первого смещения для 12-tuples.
Текущий максимальный диаметр - 938

800209141248704219: 0 44 140 264 278 344 594 660 674 798 894 938

Текущее максимальное первое смещение - 260

800241515260062881: 0 260 278 288 300 308 348 356 368 378 396 656

Шестёрочки пригодятся для последовательности OEIS A330278, когда дойдут в ней до этого диапазона.

Визуально: текущий максимальный диаметр у шестёрок

800130523545923891: 0 2 60 62 168 170 228 230 336 338 396 398

13-tuples у XAVER мало

800030621246141543: 0 60 66 84 144 174 180 186 216 276 294 300 360
800036473353940327: 0 60 66 72 96 102 126 150 156 180 186 192 252
800164376932006663: 0 30 36 54 126 150 180 210 234 306 324 330 360
800287002236358239: 0 30 78 84 144 198 204 210 264 324 330 378 408
800299692819437143: 0 36 78 120 138 156 168 180 198 216 258 300 336
800326562689648117: 0 12 60 102 126 132 156 180 186 210 252 300 312
800339986873491347: 0 6 30 54 66 84 90 96 114 126 150 174 180
800344123814520557: 0 30 42 60 132 174 192 210 252 324 342 354 384
800362014673846699: 0 54 90 120 138 144 174 204 210 228 258 294 348
800368201897343059: 0 18 84 120 138 198 204 210 270 288 324 390 408
800387621833935407: 0 6 30 42 60 132 156 180 252 270 282 306 312

Покажу и найденные мной 13-tuples

1857439592045431: 0 30 42 60 72 102 150 198 228 240 258 270 300
1875536652154691: 0 30 36 78 96 108 138 168 180 198 240 246 276
1904931588334013: 0 18 24 30 84 108 114 120 144 198 204 210 228
1905626880482693: 0 30 54 60 84 96 120 144 156 180 186 210 240
1925515570572311: 0 60 90 120 126 210 216 222 306 312 342 372 432
1939125217549831: 0 6 12 36 42 120 126 132 210 216 240 246 252
1941248177833201: 0 6 30 96 102 132 156 180 210 216 282 306 312
1980287953378807: 0 30 90 132 210 216 246 276 282 360 402 462 492
1991847368990191: 0 18 30 42 60 102 150 198 240 258 270 282 300
1992305540076323: 0 6 24 66 84 90 120 150 156 174 216 234 240
1996101001560637: 0 12 90 102 126 132 156 180 186 210 222 300 312
2018006550302833: 0 6 18 60 90 126 138 150 186 216 258 270 276
2033313379581371: 0 6 42 72 90 132 156 180 222 240 270 306 312
2045930384690147: 0 60 90 102 126 156 186 216 246 270 282 312 372
2047237310775523: 0 6 48 60 66 126 138 150 210 216 228 270 276
2052576057072727: 0 54 60 90 114 156 240 324 366 390 420 426 480
2081149150324637: 0 42 66 96 120 126 186 246 252 276 306 330 372
2148605845551713: 0 6 30 60 84 114 150 186 216 240 270 294 300
2151722820032921: 0 18 36 48 66 150 168 186 270 288 300 318 336
2189790483803449: 0 18 48 72 102 132 150 168 198 228 252 282 300
2195260540396909: 0 18 60 108 150 174 234 294 318 360 408 450 468
2197599381220099: 0 24 54 84 90 150 174 198 258 264 294 324 348
2215478092826059: 0 12 42 48 90 138 180 222 270 312 318 348 360
2234527411273007: 0 30 36 54 60 96 120 144 180 186 204 210 240
2237286040813643: 0 24 54 66 114 150 210 270 306 354 366 396 420
2240946455081167: 0 30 42 72 114 120 162 204 210 252 282 294 324
2252583257191427: 0 24 42 84 90 114 132 150 174 180 222 240 264
2270107958472251: 0 30 60 78 120 156 198 240 276 318 336 366 396
2294511554156551: 0 6 30 42 60 162 186 210 312 330 342 366 372
2300907605719699: 0 60 78 84 144 168 204 240 264 324 330 348 408

Чем дальше в лес, тем меньше 13-tuples :)

Визуально: текущий максимальный диаметр - 492

1980287953378807: 0 30 90 132 210 216 246 276 282 360 402 462 492

текущее максимальное первое смещение - 60

1925515570572311: 0 60 90 120 126 210 216 222 306 312 342 372 432

Ой, а у меня интересные приближения для 19-tuples с минимальным диаметром.
Вот самое хорошее по протяжённости кортежа

[944773342727358511, 944773342727358517, 944773342727358523, 944773342727358541,
944773342727358553, 944773342727358583*, 944773342727358601*, 944773342727358607*, 944773342727358631*, 944773342727358637*, 944773342727358643*, 944773342727358667*, 944773342727358673*, 944773342727358691*, 944773342727358721, 944773342727358733, 944773342727358751, 944773342727358757, 944773342727358763]

Сравните с реальным кортежем, длина 18, чуть-чуть не один в один по длине!

[944773342727358511, 944773342727358517, 944773342727358523, 944773342727358541,
944773342727358553, 944773342727358577, 944773342727358581, 944773342727358623,
944773342727358653, 944773342727358671, 944773342727358673, 944773342727358691,
944773342727358707, 944773342727358721, 944773342727358733, 944773342727358751,
944773342727358757, 944773342727358763]

Вообще чрезвычайно интересно смотреть на приближения. Мне они очень помогают в сложных задачах.
Когда искала магические квадраты и кубы, приближённые решения играли большую роль.

14-tuples XAVER найдено 17999 шт.
К сожалению, семёрки из близнецов нет.
Есть рекорды максимального диаметра и максимального первого смещения.

Текущий максимальный диаметр - 904

800395906434037099: 0 4 42 114 160 270 280 624 634 744 790 862 900 904

Текущее максимальное первое смещение - 208

800097360819692743: 0 208 220 264 288 330 360 364 394 436 460 504 516 724

16-tuples найдено 800 штук, 18-tuples - 33 штуки; ничего интересного в этих кортежах не увидела.

Найден кортеж, в котором 12 элементов из 19 правильные!

973622446478225911, 973622446478225917, 973622446478225923, 973622446478225941,
973622446478225953, 973622446478225983*, 973622446478226001*, 973622446478226007*, 973622446478226031*, 973622446478226037*, 973622446478226043*, 973622446478226067*, 973622446478226073, 973622446478226091, 973622446478226121, 973622446478226133, 973622446478226151, 973622446478226157, 973622446478226163

Неправильные элементы помечены символом *.
Уже небольшой прогресс.
Решение с 7 "дырками", как я называю приближённые решения.
Но до правильного решения ещё очень далеко. 7 "дырок" закрыть очень сложно.

А формул, между прочим, 6 штук у меня имеется.
У меня работает один вариант. Для другой формулы тоже попробовала, приближения аналогичные находятся.
Можно либо затолкать все 6 формул в одну программу (что сильно уменьшит скорость), либо сделать 6 вариантов программы, но было бы где их выполнять.

Господа, а вам не хочется ли найти кортеж пока неизвестный науке? :)
Если хочется и можется, пишите мне.
Нужна техника и ничего более. Даже никакого времени не надо: запустил программу и забыл про неё. Пусть считает до победы.
Я дам вам все формулы и свою программку на PARI/GP. Посмотрите, подумаете, как это лучше всего реализовать: в одной программе или в отдельных программах.

Жаль, что проверить формулы не на чем, нет ни одного известного решения для 19-tuple.
Но аналогичные формулы для кортежей длин 15 и 17 я проверяла, всё получается.

Офигенно! Я уже дошла до 10^18.
Вот последнее приближение, только что выданное программой
[1005901405726351501, 1005901405726351507, 1005901405726351513, 1005901405726351531, 1005901405726351543, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1005901405726351711, 1005901405726351723, 1005901405726351741, 1005901405726351747, 1005901405726351753]
В реальный кортеж ещё не отобразила это решение.

В-о-о-о-т, уже 19-значные числа пошли.
Разумеется, это не значит, что раньше 19-tuple нет.
Во-первых я сейчас ищу кортеж с минимальным диаметром, а такой кортеж обычно бывает в заоблачной выси.
Во-вторых, я использую в поиске только одну формулу из шести возможных.

В проекте Stop@home тоже дошли до 10^18, о чём администратор сообщал.
Однако результаты были выложены только до 9*10^17.
Всё остальное пропало.

PS. А сейчас пришла идея попробовать формировать кортеж, начиная с центра, то есть середину, которая как раз наиболее сложная.
А потом уже продолжать концы кортежа.
Надо изменить программку и опробовать эту идею.

Кстати, Врублевский писал мне, что он ищет 17-tuple, а потом продолжает их до 19-tuple.
17-tuple он нашёл довольно много, но ни один из них не продолжился до 19-tuple.
Выше я показала одно из таких продолжений с одним неправильным элементом.