Поразительно!
Посмотрите на последовательность OEIS A035795 (семёрки). В последовательности 4608 решений и только 4358-ое решение - минимальный симметричный кортеж

4358 1855418882807417

Интересно: есть ли симметричные кортежи в следующих решениях?

А с восьмёрками и вообще плохо: в последовательности A263205 нет ни одного симметричного кортежа!
Минимальный симметричный кортеж из 8 пар последовательных близнецов находится за пределами найденных решений.
Вот сейчас я проверяю этот интервал на не симметричные кортежи из восьмёрок, вдруг они имеются до первого симметричного.

Интересно посмотреть, что у нас с симметричными кортежами из 6 пар последовательных близнецов. Минимальный кортеж известен.
А дальше?

А с шестёрками выяснился интересный нюанс.
Это найденный мной минимальный симметричный кортеж из 6 пар последовательных близнецов

17479880417: 0, 2, 30, 32, 42, 44, 60, 62, 72, 74, 102, 104

Смотрите
https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_813.htm

Но! Этого кортежа нет в последовательности A035794, потому что он не удовлетворяет условию не пересечения: в кортеже оказалось 7 пар последовательных близнецов.
[В моей головоломке для симметричных кортежей из последовательных пар близнецов условия не пересечения нет.]
Этот кортеж находим в последовательности A035795 с семёрками

17479880399: 0, 2, 18, 20, 48, 50, 60, 62, 78, 80, 90, 92, 120, 122

Интересно: а какая же "чистая" минимальная симметричная шестёрка?

Пополнение шестёрочек в мелком и крупном интервалах, по две штучки в обоих.
В мелком интервале теперь имеются такие шестёрки

a(1994) - 9000597877631
a(1995) - 9000786859409
a(1996) - 9001459196687
a(1997) - 9002289715577
a(1998) – 9014182820387
a(1999) – 9014409858827

Ага, ещё одну найти и будет ровно 2000 штук :), можно внести в OEIS.

В крупном интервале такие шестёрки; обозначила первую шестёрку в этом интервале a(k), k неизвестно пока

a(k) - 1987873308378257
a(k+1) - 1987905779430167
a(k+2) - 1987939601647187
a(k+3) - 1987999792956641
a(k+4) - 1988019478996667
a(k+5) - 1988030840476661

Интервал от a(1999) до a(k) огромный, мне его не просчитать.
Требуется помощь!

If there is new, more important interval to search for symmetric tuples in, please let me know. I can send it with priority.

If there is new, more important interval to search for symmetric tuples in, please let me know. I can send it with priority.

Tomas Brada
большое спасибо за ваше предложение.
Дело в том, что все подзадачи, которыми я сейчас занимаюсь, требуют поиска не симметричных кортежей из последовательных простых чисел.
Смотрите
https://oeis.org/A035794
https://oeis.org/A035795
https://oeis.org/A263205

Ещё есть очень сложная задача поиска не симметричного кортежа k=25 из последовательных простых чисел для построения квадрата Стенли 5х5.
К сожалению, у меня нет исходного кода программы Белышева для этого поиска (Антимаг25).
Эту задачу начинали решать 5 лет назад на форуме dxdy.ru, но быстро все устали и бросили :)
Смотрите, например, сообщение М. Алексеева, занимавшегося этим поиском
https://dxdy.ru/post903861.html#p903861

Я написала программу проверки кортежей k=25 на квадрат Стенли 5х5, но у меня нет в программе генерации простых чисел.
Подробности в теме Pandiagonal magic squares of consecutive primes.

PS. Симметричные кортежи из последовательных пар простых чисел близнецов тоже интересны, но они будут найдены в процессе поиска симметричных кортежей естественным образом.
Пока не найден симметричный кортеж из 9 пар последовательных близнецов (18-tuple).
Я проверяю все найденные решения на близнецов.

И вот как раз сейчас проверила последний выпуск БД с 16-tuples, всего 35725 штук.
Новых ассоциативных квадратов Стенли 4х4 не найдено.

Найден первый в проекте Tomas Brada симметричный кортеж из 8 пар последовательных близнецов!

517426190585100089: 0 2 18 20 60 62 72 74 138 140 150 152 192 194 210 212

Красивый юноша, довольно стройный :)
Ура! Ура! Ура! Интересная находка!

Есть ли ещё такие кортежи после минимального кортежа, найденного Петуховым давно, я не знаю.
Результаты проекта Stop@home я не отслеживала, это делал Петухов.

Покажу ещё раз минимальный кортеж Петухова из 8 пар последовательных близнецов

2640138520272677: 0 2 12 14 30 32 54 56 90 92 114 116 132 134 144 146

Ещё есть такие кортежи, найденные Врублевским в конкурсе, но они из очень больших чисел; показаны выше.

Цитата

В крупном интервале такие шестёрки; обозначила первую шестёрку в этом интервале a(k), k неизвестно пока

a(k) - 1987873308378257
a(k+1) - 1987905779430167
a(k+2) - 1987939601647187
a(k+3) - 1987999792956641
a(k+4) - 1988019478996667
a(k+5) - 1988030840476661

Эх, а была раньше найдена ещё одна шестёрка 1987862319759551, пропустила как-то.
Тогда список шестёрок такой в крупном интервале

a(k) - 1987862319759551
a(k+1) - 1987873308378257
a(k+2) - 1987905779430167
a(k+3) - 1987939601647187
a(k+4) - 1987999792956641
a(k+5) - 1988019478996667
a(k+6) - 1988030840476661

Сегодня шестёрок пока не найдено, ищу в крупном интервале.

Проверила последний выпуск БД с 18-tuples, 1640 штук.
Ничего нового не найдено в этих кортежах.
20-tuples и 22-tuples позже проверю.

Пополнение шестёрок в крупном интервале, теперь их стало восемь

a(k) - 1987862319759551
a(k+1) - 1987873308378257
a(k+2) - 1987905779430167
a(k+3) - 1987939601647187
a(k+4) - 1987999792956641
a(k+5) - 1988019478996667
a(k+6) - 1988030840476661
a(k+7) - 1988051502946121

В мелком интервале не искала сегодня, сейчас запущу небольшую порцию, авось a(2000) найдётся :)
Эх, не нашёлся :(
Ладно, завтра с утра я его поищу.

Симметричные кортежи из 6 пар последовательных близнецов в проекте Tomas Brada не ищутся, потому что 12-tuples не входят в поиск.
Но можно матрёшек поискать :)
Эти кортежи надо искать в 16-tuples; и вот что я нашла в БД проекта на данный момент

503982480704545897: 0 6 40 42 82 84 94 96 190 192 202 204 244 246 280 286
512504969296035679: 0 28 52 54 88 90 172 174 208 210 292 294 328 330 354 382
517426190585100089: 0 2 18 20 60 62 72 74 138 140 150 152 192 194 210 212

Последний кортеж - это полное решение для 8 пар последовательных близнецов; два других 16-tuple не содержат 8 пар близнецов, а 6 пар содержат!
Вот такие у нас ещё есть шестёрочки. Очень хорошие.
Надо ещё проверить решения XAVER и мои решения. А ещё в архиве поискать, там много 16-tuples.

Дальше матрёшки (шестёрки пар близнецов) могут встретиться в 20-tuples, хотя маловероятно пока.
Проверю.

Среди решений XAVER найдена шестёрочка!

500423295288129497: 0 26 30 32 42 44 60 62 84 86 102 104 114 116 120 146
Отлично!

А это шестёрочки из архива

553710694696283: 0 18 36 38 48 50 66 68 258 260 276 278 288 290 308 326
1327784649892117: 0 16 82 84 112 114 124 126 160 162 172 174 202 204 270 286
2640138520272677: 0 2 12 14 30 32 54 56 90 92 114 116 132 134 144 146
3280895246297321: 0 32 78 80 120 122 168 170 198 200 246 248 288 290 336 368
30767216828606333: 0 50 54 56 78 80 96 98 186 188 204 206 228 230 234 284
51477335518549051: 0 18 28 30 70 72 100 102 226 228 256 258 298 300 310 328
57789199456995421: 0 16 28 30 46 48 70 72 106 108 130 132 148 150 162 178
59642707519096349: 0 8 42 44 72 74 90 92 180 182 198 200 228 230 264 272
61111185001490557: 0 22 40 42 94 96 124 126 160 162 190 192 244 246 264 286
61496572337804777: 0 12 60 62 90 92 120 122 162 164 192 194 222 224 272 284
72249747916090501: 0 40 58 60 70 72 100 102 106 108 136 138 148 150 168 208
74441008149832879: 0 48 58 60 100 102 112 114 118 120 130 132 172 174 184 232
74645028004901567: 0 30 42 44 54 56 90 92 174 176 210 212 222 224 236 266
Замечательные матрёшки из близнецов!

Ой, а свои решения ещё не проверила :)
Сейчас проверю.
У меня нет таких матрёшек.

Ну, и наконец, в симметричных 16-tuples из 8 пар последовательных близнецов, найденных Врублевским, тоже есть такие матрёшки.
Завтра покажу их.

Цитата

Интересны найденные Врублевским в конкурсе симметричные 16-tuples из последовательных простых чисел-близнецов

119 890 755 200 639 999: 0,2,42,44,78,80,90,92,120,122,132,134,168,170,210,212
1 025 519 173 619 653 079: 0,2,42,44,78,80,90,92,120,122,132,134,168,170,210,212
1 709 642 327 471 063 801: 0,2,30,32,60,62,90,92,96,98,126,128,156,158,186,188
1 759 943 151 645 258 947: 0,2,12,14,42,44,54,56,120,122,132,134,162,164,174,176
1 960 984 050 584 219 159: 0,2,30,32,42,44,48,50,72,74,78,80,90,92,120,122
3 808 061 696 393 625 101: 0,2,30,32,60,62,90,92,138,140,168,170,198,200,228,230
4 018 288 550 284 158 077: 0,2,12,14,42,44,54,56,90,92,102,104,132,134,144,146
5 512 467 165 717 387 017: 0,2,30,32,42,44,72,74,132,134,162,164,174,176,204,206
6 118 066 623 221 589 779: 0,2,30,32,42,44,72,74,78,80,108,110,120,122,150,152
6 868 687 010 299 798 889: 0,2,60,62,102,104,162,164,168,170,228,230,270,272,330,332
7 214 261 446 565 240 399: 0,2,48,50,120,122,132,134,168,170,180,182,252,254,300,302

Все они дали квадраты!

отсюда
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4564#4564
Здесь шестёрочки в восьмёрочках и выделять не надо, матрёшка из близнецов полная!
Прекрасные решения!
Вот как много шестёрочек я насобирала уже :)
Сейчас буду искать a(2000), ишь какой, не нашёлся вчера :)

Сегодня проверяла параллельно мелкий и крупный интервалы, в мелком найдено 4 шестёрки, в крупном - ни одной.
Теперь в мелком интервале имеются такие шестёрки

a(1994) - 9000597877631
a(1995) - 9000786859409
a(1996) - 9001459196687
a(1997) - 9002289715577
a(1998) – 9014182820387
a(1999) – 9014409858827
a(2000) – 9024312077327
a(2001) – 9026230199837
a(2002) – 9046585520309
a(2003) – 9050076599567

Ещё нашла симметричные шестёрки в рабочем файле, где я давно занималась поиском симметричных кортежей из близнецов

1856270841368519: 0 2 30 32 42 44 90 92 102 104 132 134 
1856513997898499: 0 2 90 92 120 122 210 212 240 242 330 332
1857050836177739: 0 2 12 14 42 44 138 140 168 170 180 182
1863526348114127: 0 2 12 14 30 32 114 116 132 134 144 146 
1864570703056067: 0 2 12 14 42 44 180 182 210 212 222 224 
1865306547706409: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122 
1867320780974177: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104 
1867979944479191: 0 2 48 50 90 92 96 98 138 140 186 188

Теперь надо все эти симметричные шестёрочки привести в порядок.

Посмотрим ещё раз на сообщение Петухова
http://dxdy.ru/post1050824.html#p1050824

n=4, 5: 0 2 6 8
n=6, 5: 0 2 6 8 12 14
n=8, 663569: 0 2 12 14 18 20 30 32
n=10, 3031329797: 0 2 12 14 42 44 72 74 84 86 (наименьшее)
n=10, 14168924459: 0 2 18 20 30 32 42 44 60 62
n=12, 17479880417: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104 (наименьшее)
n=10, 39713433671: 0 2 6 8 18 20 30 32 36 38 (минимальный диаметр)
n=12, 158074620437: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86
n=12, 5008751356547: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56 (минимальный диаметр)
n=16, 2640138520272677: 0 2 12 14 30 32 54 56 90 92 114 116 132 134 144 146 (наименьшее)

Минимальная шестёрка у него такая же, как у меня.
Всё правильно: не важно, что рядом оказалась ещё пара близнецов, симметричная шестёрка осталась симметричной шестёркой.
В сообщении мы видим ещё две шестёрки, помимо минимальной:

n=12, 158074620437: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86
n=12, 5008751356547: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56 (минимальный диаметр)

Первая, возможно, следующая за минимальной. Это можно проверить, хотя и не так быстро (на моём ПК): от 17479880417 до 158074620437.
Вторая - с минимальным диаметром.
Да, интересно собрать все найденные симметричные шестёрки вместе.
Последовательности они не составляют пока, потому что разрознены, но при желании можно заполнить пропуски.

Вот, например, решение Врублевского - симметричная восьмёрка

119 890 755 200 639 999: 0,2,42,44,78,80,90,92,120,122,132,134,168,170,210,212

В ней содержится только одна симметричная шестёрка из последовательных пар близнецов - эта

119890755200640041: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128

Если рассматривать не симметричные шестёрки из последовательных пар близнецов (точнее: всякие), то да - их будет три, и здесь важно условие не пересечения (but disjoint).

Переписала все решения Врублевского как симметричные шестёрки:

119890755200640041: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
1025519173619653121: 0 2 38 48 50 78 80 90 92 126 128
1709642327471063831: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
1759943151645258959: 0 2 30 32 42 44 108 110 120 122 150 152
1960984050584219189: 0 2 12 14 18 20 42 44 48 50 60 62
3808061696393625131: 0 2 30 32 60 62 108 110 138 140 168 170
4018288550284158089: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
5512467165717387047: 0 2 12 14 42 44 102 104 132 134 144 146
6118066623221589809: 0 2 12 14  42 44 48 50 78 80 90 92
6868687010299798949: 0 2 42 44 102 104 108 110 168 170 210 212
7214261446565240447: 0 2 72 74 84 86 120 122 132 134 204 206

То же самое сделала для шестёрок из архива и с проекта Tomas Brada, плюс одна шестёрка XAVER.
Теперь попробую их все записать по порядку.

Симметричные кортежи из шести пар последовательных простых чисел близнецов (12-tuples)

17479880417: 0 2 30 32 42 44 60 62 72 74 102 104 (минимальный; Natalia Makarova и Петухов независимо)
158074620437: 0 2 24 26 30 32 54 56 60 62 84 86 (Петухов)
5008751356547: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56 (с минимальным диаметром; Петухов)
решения из архива
553710694696319: 0 2 12 14 30 32 222 224 240 242 252 254
1327784649892199: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
1856270841368519: 0 2 30 32 42 44 90 92 102 104 132 134 
1856513997898499: 0 2 90 92 120 122 210 212 240 242 330 332
1857050836177739: 0 2 12 14 42 44 138 140 168 170 180 182
1863526348114127: 0 2 12 14 30 32 114 116 132 134 144 146 
1864570703056067: 0 2 12 14 42 44 180 182 210 212 222 224 
1865306547706409: 0 2 12 14 42 44 78 80 108 110 120 122 
1867320780974177: 0 2 12 14 42 44 60 62 90 92 102 104 
1867979944479191: 0 2 48 50 90 92 96 98 138 140 186 188
2640138520272689: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
3280895246297399: 0 2 42 44 90 92 120 122 168 170 210 212
30767216828606387: 0 2 24 26 42 44 132 134 150 152 174 176
51477335518549079: 0 2 42 44 72 74 198 200 228 230 270 272
57789199456995449: 0 2 18 20 42 44 78 80 102 104 120 122
59642707519096391: 0 2 30 32 48 50 138 140 156 158 186 188
61111185001490597: 0 2 54 56 80 82 120 122 150 152 204 206
61496572337804837: 0 2 30 32 60 62 102 104 132 134 162 164
72249747916090559: 0 2 12 14 42 44 48 50 78 80 90 92
74441008149832937: 0 2 42 44 54 56 60 62 72 74 114 116 
74645028004901609: 0 2 12 14 48 50 132 134 168 170 180 182
119890755200640041: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128 (Врублевский)
500423295288129527: 0 2 14 16 32 34 54 56 72 74 84 86 (XAVER)
решения с проекта Tomas Brada
503982480704545937: 0 2 42 44 54 56 150 152 162 164 204 206
512504969296035731: 0 2 36 38 120 122 156 158 240 242 276 278 
517426190585100107: 0 2 42 44 54 56 120 122 132 134 174 176
решения Врублевского 
1025519173619653121: 0 2 36 38 48 50 78 80 90 92 126 128
1709642327471063831: 0 2 30 32 60 62 66 68 96 98 126 128
1759943151645258959: 0 2 30 32 42 44 108 110 120 122 150 152
1960984050584219189: 0 2 12 14 18 20 42 44 48 50 60 62
3808061696393625131: 0 2 30 32 60 62 108 110 138 140 168 170
4018288550284158089: 0 2 30 32 42 44 78 80 90 92 120 122
5512467165717387047: 0 2 12 14 42 44 102 104 132 134 144 146
6118066623221589809: 0 2 12 14  42 44 48 50 78 80 90 92
6868687010299798949: 0 2 42 44 102 104 108 110 168 170 210 212
7214261446565240447: 0 2 72 74 84 86 120 122 132 134 204 206

Возможны опечатки, так как вынимала матрёшек (шестёрок) из восьмёрок вручную.

Да, много найдено симметричных шестёрок, но они сильно разрознены, промежутки между ними большие.
Последовательность для OEIS из этих шестёрок составить можно, но нужно много времени на проверку пропущенных интервалов.

Да, совсем забыла...
в этой последовательности OEIS https://oeis.org/A035794 нет ли симметричных шестёрок?
Что мы там с Даниловым насобирали? :)
Завтра проверю.

I can search for smaller symmetric tuples to find groups of 6 pairs. Could it be useful? Possibly the app can be extended to filter out those tuples that do not have the interesting pairs.
Similarly, I could also search for the asymmetric tuples, but I do not understand what they are.

I can search for smaller symmetric tuples to find groups of 6 pairs. Could it be useful? Possibly the app can be extended to filter out those tuples that do not have the interesting pairs.
Similarly, I could also search for the asymmetric tuples, but I do not understand what they are.

Все подзадачи одинаково полезны или бесполезны :)
Есть симметричные и не симметричные кортежи из 6 пар последовательных простых чисел близнецов.

Пример симметричного кортежа из 6 пар последовательных близнецов

503982480704545937: 0 2 42 44 54 56 150 152 162 164 204 206

(найден в вашем проекте, он содержится в 16-tuple).

Пример не симметричного кортежа из 6 пар последовательных близнецов

9050076599567: 0 2 84 86 120 122 180 182 222 224 234 236

(не все суммы симметрично расположенных элементов кортежа одинаковые)

Есть такие кортежи из 7, 8 и т. д. пар последовательных простых чисел близнецов, симметричные и не симметричные.
Симметричный кортеж из 8 пар последовательных близнецов был найден недавно в вашем проекте

517426190585100089: 0 2 18 20 60 62 72 74 138 140 150 152 192 194 210 212

Понятно, что из 8, 9 и т. д. пар симметричные кортежи найдутся в вашем проекте естественным образом.
Всё остальное можно искать, можно не искать :)
Подзадач очень много, для каждой создана своя последовательность в OEIS.

Если вы хотите попробовать поиск не симметричных кортежей, важна эта подзадача: интервал [1987799923250861, 2640138520272677] в последовательности OEIS https://oeis.org/A263205 (можно и дальше просчитать).
Я сейчас считаю в этом интервале, найденные мной решения

a(k) - 1987862319759551
a(k+1) - 1987873308378257
a(k+2) - 1987905779430167
a(k+3) - 1987939601647187
a(k+4) - 1987999792956641
a(k+5) - 1988019478996667
a(k+6) - 1988030840476661
a(k+7) – 1988051502946121

Это из 6 пар последовательных близнецов, попутные решения.
Для последовательности A263205 нужны кортежи из 8 пар последовательных близнецов, как симметричные, так и не симметричные, то есть всякие, лишь бы они состояли из 8 пар последовательных простых чисел близнецов (не пересекающихся, то есть точно 8 пар последовательных близнецов должно быть).
Из 8 пар близнецов мне пока кортежи не попались в этом интервале.
Но до конца интервала я не смогу просчитать на своём ПК.
Так что, можете попробовать этот интервал.
Думаю, вы теперь поняли, чем отличаются симметричные кортежи от не симметричных.

А попутные шестёрки годятся для последовательности OEIS https://oeis.org/A035794, о чём я писала в сообщении
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=49&postid=4895#4895
В этой последовательности тоже образовался большой интервал между известными решениями.
Можно заодно и этот интервал закрыть.
Попутными могут быть ещё и кортежи из 7 пар последовательных близнецов; сверяемся с последовательностью OEIS A035795, в этой последовательности решений много найдено.

Много написано, но тут всё очень просто, если вникнуть.
Вопросы, пожалуйста, задавайте, если что-то не понятно написано.
Я старалась объяснить подробнее, поэтому получилось много :)

Уф! Проект вернулся!
Спасибо Progger!

Я не прекращала свои исследования и расчёты.
Позже покажу новые результаты.

Проблему по симметричным шестёркам из близнецов запостила на форуме проекта Tomas Brada
https://boinc.tbrada.eu/forum_thread.php?id=3073
Может быть, там кто-нибудь заинтересуется.