Обобщённые латинские квадраты

Message boards : Science : Обобщённые латинские квадраты
Message board moderation

To post messages, you must log in.

AuthorMessage
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 6693
Credit: 0
RAC: 0
Message 1186 - Posted: 16 Dec 2017, 18:50:09 UTC
Last modified: 16 Dec 2017, 19:05:18 UTC

Посмотрела свою тему "Латинские квадраты" на форуме dxdy.ru
Тема открыта 22 августа 2008 года, более 9 лет назад! Интересно сейчас почитать :) yже история.

И в самом начале темы приведён вот такой обобщённый латинский квадрат 9-го порядка

2  0  4  5  3  7  8  6  1
4  5  3  7  8  6  1  2  0
3  7  8  6  1  2  0  4  5
7  8  0  1  2  3  4  5  6
0  1  2  3  4  5  6  7  8
2  3  4  5  6  7  8  0  1
3  4  8  6  7  2  0  1  5
8  6  7  2  0  1  5  3  4
7  2  0  1  5  3  4  8  6

К нему надо построить ортогональный соквадрат. Дальше я его построила и получила греко-латинский квадрат с изумительной симметрией

22  04  43  57  30  72  83  68  17
40  55  37  78  81  63  14  26  02
34  73  88  60  12  24  08  47  50
75  87  06  11  23  35  46  52  61
03  18  21  32  44  56  67  70  85
27  36  42  53  65  77  82  01  13
38  41  80  64  76  28  00  15  54
86  62  74  25  07  10  51  33  48
71  20  05  16  58  31  45  84  66

Из этого греко-латинского квадрата получила далее идеальный магический квадрат 9-го порядка.
Кстати, исходный ДЛК является SOLS, так как он ортогонален своему транспонированному. Именно транспонированием я и получила ортогональный соквадрат.

Ещё более интересным является то, что для обобщённых латинских квадратов 10-го порядка я составила тройку MOLS!
Эта тройка показана здесь http://dxdy.ru/post606992.html#p606992
Я её причешу немного и потом тут выложу.

В самом деле, что все зациклились на классических ЛК :)
Есть вот прекрасные обобщённые ЛК, которые даже для порядка 10 тройку MOLS образуют.

И заканчивается тема 2 ноября 2012 года таким сообщением:
В гостевой книге моего сайта появилось интересное сообщение:

Здравствуйте. Я научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, программист проекта SAT@home. Мы сейчас ищем пары ОДЛК порядка 10, один уже нашли. В одной из Вашей замечательной статье нашел упоминание, что известны 3 пары ОДЛК порядка 10. Подскажите пожалуйста, какие именно пары известны и откуда эта информация. И насколько будет значимо если найдутся ранее неизвестные пары ОДЛК порядка 10?
http://sat.isa.ru/pdsat/

Может быть, кто-нибудь пожелает присоединиться к проекту.

Сообщение в гостевой книге написал Олег Заикин. Тогда я и узнала о проекте Sat@home.
От этого момента до BOINC-проекта ODLK был длинный путь - почти 5 лет.
My new article "SOLS and SODLS"
in Russian
https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg
ID: 1186 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 6693
Credit: 0
RAC: 0
Message 1192 - Posted: 17 Dec 2017, 7:50:42 UTC
Last modified: 17 Dec 2017, 7:53:32 UTC

Определение обобщённого латинского квадрата я приведу из книги Ю. В. Чебракова «Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ», С.-Петербург, 1995.
В этой книге я впервые и встретила определение обобщённых ЛК.

Определение.
Обобщённым латинским квадратом порядка n назовём квадратную таблицу n*n, среди n*n элементов которой различными будут только n штук, и любой из n различных элементов встречается ровно n раз внутри этой таблицы.

Следует отметить, что в данном определении не сказано ничего конкретного об элементах, составляющих ЛК.
Мы будем рассматривать такие обобщённые ЛК порядка n, которые составляются из n последовательных чисел: 0, 1, …, n-1.
Из таких же чисел составляются классические ЛК, только там требования другие к расположению элементов в квадратной таблице.

Пример обобщённого латинского квадрата 9-го порядка

2  0  4  5  3  7  8  6  1
4  5  3  7  8  6  1  2  0
3  7  8  6  1  2  0  4  5
7  8  0  1  2  3  4  5  6
0  1  2  3  4  5  6  7  8
2  3  4  5  6  7  8  0  1
3  4  8  6  7  2  0  1  5
8  6  7  2  0  1  5  3  4
7  2  0  1  5  3  4  8  6

отсюда
http://dxdy.ru/post140041.html#p140041

Иногда обобщённые ЛК заполняется последовательными числами от 1 до n, как, впрочем, и классические ЛК.
Но эту форму легко свести к традиционной форме (заполнение числами от 0 до n-1), уменьшив все элементы ЛК на единицу.

Для обобщённых ЛК понятие ортогональных ЛК определяется точно так же, как для классических ЛК.
В книге Чебракова это определение выглядит так:
два обобщённых латинских квадрата n*n назовём ортогональными, если в результате их наложения друг на друга получается таблица n*n, содержащая в своих клетках n*n различных наборов элементов.

Так, ортогональным ЛК к приведённому выше обобщённому ЛК 9-го порядка будет следующий обобщённый ЛК:

2  4  3  7  0  2  3  8  7
0  5  7  8  1  3  4  6  2
4  3  8  0  2  4  8  7  0
5  7  6  1  3  5  6  2  1
3  8  1  2  4  6  7  0  5
7  6  2  3  5  7  2  1  3
8  1  0  4  6  8  0  5  4
6  2  4  5  7  0  1  3  8
1  0  5  6  8  1  5  4  6

Тут интересный случай: ортогональный ЛК является транспонированным исходным ЛК.

Ортогональные пары обобщённых ЛК очень часто используются при построении магических квадратов. В указанной книге Чебракова есть такие примеры построения магических квадратов.

Приведённая тут ортогональная пара обобщённых ЛК 9-го порядка тоже даёт магический квадрат.
My new article "SOLS and SODLS"
in Russian
https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg
ID: 1192 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 6693
Credit: 0
RAC: 0
Message 1193 - Posted: 17 Dec 2017, 8:50:09 UTC
Last modified: 17 Dec 2017, 8:53:33 UTC

А теперь показываю тройку MOLS для обобщённых ЛК 10-го порядка, которую я построила и показала на форуме dxdy.ru



Перевела ЛК в традиционную форму (заполнение числами от 0 до 9).

Может быть, можно из обобщённых ЛК 10-го порядка составить не только тройку MOLS, но и четвёрку, пятёрку и т.д. Надо попробовать.

Вопрос интересный: обобщённые ЛК 10-го порядка замечательно образуют тройку MOLS. Что мешает классическим ЛК 10-го порядка образовать такую тройку?
My new article "SOLS and SODLS"
in Russian
https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg
ID: 1193 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote
Profile Natalia Makarova
Project scientist
Avatar

Send message
Joined: 6 Apr 17
Posts: 6693
Credit: 0
RAC: 0
Message 5663 - Posted: 29 May 2020, 11:52:25 UTC
Last modified: 29 May 2020, 11:57:10 UTC

В своей статье "Сотовые магические квадраты" нашла сотовый магический квадрат 10-го порядка



Я построила его по алгоритму, изложенному тут
http://www.grogono.com/magic/10x10.php

Ещё одно подтверждение тесной связи магических и латинских квадратов.
Показанный магический квадрат элементарно раскладывается на два ортогональных обобщённых латинских квадрата, вот они

5 6 5 4 3 2 9 8 7 6
7 4 2 3 0 1 0 1 8 9
1 2 0 1 8 9 4 5 2 3
3 0 8 9 6 7 6 7 4 5
6 9 6 7 4 5 0 1 8 9
8 7 4 5 2 3 2 3 0 1
2 5 3 2 1 0 7 6 5 4
4 3 1 0 9 8 9 8 7 6
8 9 7 6 7 6 5 4 3 0
1 0 9 8 5 4 3 2 1 2

2 2 1 1 8 8 6 6 5 5
2 2 1 1 8 8 7 7 5 5
6 6 5 5 3 3 0 0 9 9
6 6 4 4 3 3 0 0 9 9
1 1 8 8 7 7 4 4 2 2
1 1 8 8 7 7 4 4 3 3
5 5 2 2 1 1 9 9 6 6
5 5 2 2 0 0 9 9 6 6
8 8 7 7 4 4 3 3 0 0
9 9 7 7 4 4 3 3 0 0

Может быть, один из этих обобщённых ЛК (или даже оба) имеет и другие ортогональные обобщённые ЛК.
My new article "SOLS and SODLS"
in Russian
https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg
ID: 5663 · Rating: 0 · rate: Rate + / Rate - Report as offensive     Reply Quote

Message boards : Science : Обобщённые латинские квадраты


©2021 (C) Progger