Сначала немного истории.

Впервые я встретилась с ЛК блочной структуры при написании статьи
http://www.natalimak1.narod.ru/metod2.htm
Вот посмотрите иллюстрацию из этой статьи



На иллюстрации изображены ЛК блочной структуры.
Блоки - это подквадраты 2х2, составленные из двух одинаковых пар элементов. Отсюда и произошёл термин "блочная структура".

Теперь посмотрите это сообщение на форуме boinc.ru
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=81123#post81123
Цитирую

ЛК Паркера из книги Кнута

7 8 2 3 4 5 6 0 1 9
8 2 3 4 0 6 7 1 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 6 7 8 9 1 2 3 4 0
6 7 8 9 5 2 3 4 0 1
0 1 9 5 6 3 4 7 8 2
1 9 5 6 7 4 0 8 2 3
9 5 6 7 8 0 1 2 3 4

ЛК из статьи Wanless

5 6 2 3 4 0 1 7 8 9
6 2 3 4 0 1 7 8 9 5
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
0 1 7 8 9 5 6 2 3 4
1 7 8 9 5 6 2 3 4 0
7 8 9 5 6 2 3 4 0 1
8 9 5 6 7 3 4 0 1 2
9 5 6 7 8 4 0 1 2 3

Пропустив эти два ЛК через программу А. Белышева получения КФ ДЛК (просто ради любопытства пропустила), неожиданно получила очень интересные ЛК с блочной структурой.
Вот иллюстрация для ЛК из статьи Wanless



Для ЛК Паркера всё аналогично - такая же блочная структура.

Дальше был интереснейший эксперимент, выполненный А. Белышевым в ответ на мой вопрос в указанном сообщении (что за КФ я получила по его программе?).
Сообщение об этом эксперименте
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=263753#p263753

Прочтите внимательно. К двум показанным выше ЛК добавлен и основной ДЛК Брауна (как ЛК).
Всё строится на трёх китах – на трёх ЛК!

Такая интересная история открытия ЛК блочной структуры и важнейшего эксперимента, выполненного Белышевым.
Кстати, в этом эксперименте была найдена первая тройка.

Важно!
О результатах данного эксперимента Белышев сообщил здесь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=263776#p263776

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Посмотрите ещё раз внимательно на этот ЛК блочной структуры



Три блока в этом ЛК повёрнуты на 90 градусов (они выделены более тёмной раскраской).
Это и привело меня к мысли: а что если повернуть другие блоки? А что дадут все возможные комбинации повёрнутых блоков?
Идея оказалась очень эффективной. Поделилась идеей с Белышевым, и родился новый эксперимент с ЛК блочной структуры.
Этот эксперимент подробно описан Белышевым на форуме Math Help Planet.
Ссылку завтра найду.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Итак, вот ссылки на сообщения, в которых Белышев подробно описал наш эксперимент с семейством №1 ЛК блочной структуры
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=276832#p276832
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=276863#p276863
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=277544#p277544

В последнем сообщении он подвёл итог:

Итого первое семейство блочных ЛК позволяет найти 1715+1856+1=3572 КФ марьяжных ДЛК.

[Марьяжными Белышев называет ДЛК, имеющие ортогональные диагональные соквадраты.]

Это превосходный результат! Среди найденных в эксперименте решений есть: одна тройка, 95 четвёрок, 6 шестёрок и 2 восьмёрки.
Замечу, что все решения, найденные ранее в самостоятельном эксперименте Белышева, вошли в группу решений, найденных в нашем совместном эксперименте.

Выше показан ЛК блочной структуры, который является базовым ЛК первого семейства ЛК блочной структуры.
Как уже отмечалось, этот ЛК происходит от ЛК Брауна/Паркера/Wanless.

Определение: семейством ЛК блочной структуры будем называть множество всех не изоморфных ЛК, полученных преобразованием поворота блоков от базового ЛК блочной структуры.

Согласно классификации Белышева, семейство №1 содержит 23 ЛК блочной структуры, считая базовый ЛК.
Вот эти 23 не изоморфных ЛК блочной структуры и дали 3572 уникальных КФ ОДЛК.

Далее Белышев рассмотрел семейство №2 ЛК блочной структуры
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=277196#p277196
Это семейство не дало ни одной пары ОДЛК.

За всё время, прошедшее с нашего эксперимента, удалось пополнить БД следующими группами пар ОДЛК:

1. одна тройка;
2. 118 четвёрок;
3. две восьмёрки.

Тройка, обе восьмёрки и сколько-то четвёрок найдены в нашем BOINC-проекте ODLK.
Несколько четвёрок найдены в моём ручном проекте.
Двушек много найдено, не считала их.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

На этом семейства ЛК блочной структуры не закончились.
Смотрим это сообщение Белышева
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=280478#p280478
В этом сообщении Белышев рассказывает о ЛК иной блочной структуры.
И далее он приводит алгоритм проверки всех семейств ЛК блочной структуры:

Алгоритм такой:
1. генерируем очередную нормализованную блочную структуру (либо в лексикографическом порядке либо случайную, во втором случае нужно будет вести базу КФ уже проверенных блочных структур);
2. проверяем полученную на предыдущем шаге нормализованную блочную структуру на минимальность (т.е на каноничность), в большинстве случаев не потребуется выполнять все 3 686 400
3 686 400
эквивалентных преобразований, как только будет найдена нормализованная блочная структура меньшая исходной — делаем вывод, что исходная нормализованная блочная структура не минимальна, и возвращаемся на предыдущий шаг;
3. для найденной минимальной нормализованной блочной структуры находим все отвечающие ей существенно различные блочные ЛК (КФ ЛК), в худшем случае (когда группа автоморфизмов блочной структуры тривиальна) их будет 16 5 =1 048 576;
165=1 048 576;

4. для каждой найденной на предыдущем шаге КФ ЛК находим все существенно различные ДЛК (КФ ДЛК) принадлежащие тому же главному классу ЛК;
5. все найденные на предыдущем шаге КФ ДЛК проверяем на наличие соквадратов (на "марьяжность");
6. выполняем ортогональное замыкание множества "марьяжных" КФ ДЛК, построенного на предыдущем шаге;
7. все найденные на предыдущем шаге пары ортогональных ДЛК проверяем на возможность построения тройки MOLS;
8. возвращаемся к шагу 1.

Всё очень просто. Осталось найти все уникальные (не изоморфные) семейства ЛК блочной структуры. Затем для каждого семейства найти все его члены, то есть все не изоморфные ЛК, получающиеся из базового ЛК семейства преобразованием поворота блоков.
И наконец, все эти ЛК семейства проверить программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК на наличие ОДЛК.

Всё точь-в-точь было проделано с семейством №1.
Забегая вперёд скажу, что Белышев уже нашёл все не изоморфные семейства ЛК блочной структуры, их оказалось 1000 с хвостиком. Подробнее об этом далее.
Итак, алгоритм великолепный. Насколько мне известно, его ещё не реализовали.
Самая большая трудность для меня как раз в нахождении всех членов каждого семейства ЛК блочной структуры (все базовые ЛК семейств уже есть).
Я много экспериментировала с этим алгоритмом. У меня есть программа поворота блоков. Но! Получаемых этой программой ЛК многие миллионы и проверить их все проблематично. А вот все и не надо! Надо найти только не изоморфные ЛК, а их будет не так много. Вспомним, что в семействе №1 их всего 23. Ну, в других семействах будет и побольше, но не миллионы.

Итак, не знаю, как решить проблему нахождения всех членов каждого из 1000 (с хвостиком) семейств ЛК блочной структуры.
Последний шаг (проверка на ОДЛК) выполнить просто.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Покажу, как я строила ЛК иной блочной структуры по методике Белышева



В этих ЛК некоторые блоки разорваны, но это точно такие же блоки, которые можно поворачивать на 90 градусов, получая новые ЛК.
Таких базовых ЛК я настроила очень много. Некоторые из них проверяла на ОДЛК, но мне "не повезло", как написал Белышев тут.
Я не нашла от проверяемых семейств ни одной пары ОДЛК.
Ну, везение - дело наживное :) вчера не повезло - сегодня повезёт.
Главное - у меня есть большое желание реализовать данный алгоритм и довести дело до конца.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ещё раз о программе Белышева Интеркалятор.
Выше я упоминала об этой программе, она позволяет установить, имеет ли данный ЛК блочную структуру.
Рассмотрим пример.
Это КФ ДЛК двушки, найденной В. Чирковым в его экспериментах по методу перестановок элементов:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8
4 8 7 6 0 9 3 2 1 5
6 5 9 8 2 7 1 0 4 3
2 6 0 5 1 8 4 9 3 7
9 4 1 2 6 3 7 8 5 0
8 7 6 0 5 4 9 3 2 1
3 9 4 1 7 2 8 5 0 6
7 3 5 9 8 1 0 4 6 2
5 0 8 7 3 6 2 1 9 4

Вводим этот ДЛК в программу Интеркалятор, программа выдаёт (показываю один срез):

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8
2 6 0 5 1 8 4 9 3 7
3 9 4 1 7 2 8 5 0 6
4 8 7 6 0 9 3 2 1 5
5 0 8 7 3 6 2 1 9 4
6 5 9 8 2 7 1 0 4 3
7 3 5 9 8 1 0 4 6 2
8 7 6 0 5 4 9 3 2 1
9 4 1 2 6 3 7 8 5 0

{0,7} = 1 : (5,8,1,3) 
{2,4} = 1 : (1,9,1,3) 
{2,9} = 1 : (5,8,6,8) 
{5,7} = 1 : (1,9,6,8) 
{0,2} = 2 : (0,2,0,2) (4,6,4,7) 
{7,9} = 2 : (0,2,7,9) (4,6,2,5) 
{0,4} = 3 : (0,4,0,4) (1,8,3,5) (5,9,1,9) 
{5,9} = 3 : (0,4,5,9) (1,8,4,6) (5,9,0,8) 
{0,9} = 5 : (0,9,0,9) (1,4,4,5) (2,6,2,7) (3,5,1,8) (7,8,3,6) 
{1,8} = 5 : (0,4,1,8) (1,8,0,9) (2,7,4,5) (3,6,3,6) (5,9,2,7) 
{2,7} = 5 : (0,4,2,7) (1,8,1,8) (2,7,0,9) (3,6,4,5) (5,9,3,6) 
{3,6} = 5 : (0,4,3,6) (1,8,2,7) (2,7,1,8) (3,6,0,9) (5,9,4,5) 
{4,5} = 5 : (0,8,4,5) (1,2,3,6) (3,7,2,7) (4,5,0,9) (6,9,1,8) 

Тут длинная теория интеркалятов :)
Я долго не могла понять, что это за зверь такой. Оказалось, что это те же самые блоки или подквадраты 2х2, иногда и разорванные.
В протоколе программы указаны координаты интеркалятов. Последние пять строк - это пять наборов по пять непересекающихся интеркалятов, что и характеризует ЛК блочной структуры.

Вот такая двушка от семейства ЛК блочной структуры была найдена коллегой совсем другим методом. Кстати сказать, этот метод (перестановок элементов) не что иное как поворот блоков.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ещё один пример покажу.
Это основной ДЛК четвёрки

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 7 9 5 8
6 5 9 0 1 8 4 3 7 2
5 9 3 1 8 4 0 6 2 7
9 0 7 2 6 1 3 8 4 5
4 8 1 6 2 7 5 0 9 3
3 4 5 7 0 9 8 2 6 1
2 3 4 8 7 0 9 5 1 6
7 6 8 9 5 2 1 4 3 0
8 7 6 5 9 3 2 1 0 4

Вводим ДЛК в программу Интеркалятор, программа выдаёт (показываю один срез):

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 7 9 5 8
2 3 4 8 7 0 9 5 1 6
3 4 5 7 0 9 8 2 6 1
4 8 1 6 2 7 5 0 9 3
5 9 3 1 8 4 0 6 2 7
6 5 9 0 1 8 4 3 7 2
7 6 8 9 5 2 1 4 3 0
8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
9 0 7 2 6 1 3 8 4 5

{2,4} = 1 : (6,8,6,9) 
{2,9} = 1 : (0,6,2,9) 
{3,4} = 1 : (0,1,3,4) 
{4,6} = 1 : (2,8,2,9) 
{5,9} = 1 : (7,8,3,4) 
{6,9} = 1 : (0,2,6,9) 
{0,2} = 2 : (3,4,4,7) (5,8,6,8) 
{1,6} = 2 : (0,7,1,6) (2,3,8,9) 
{2,7} = 2 : (1,8,1,6) (5,6,8,9) 
{6,8} = 2 : (0,3,6,8) (5,9,4,7) 
{0,8} = 5 : (0,8,0,8) (1,7,2,9) (2,6,3,5) (3,5,4,6) (4,9,1,7) 
{1,7} = 5 : (0,8,1,7) (1,7,0,6) (2,6,4,8) (3,5,3,9) (4,9,2,5) 
{2,6} = 5 : (0,8,2,6) (1,7,1,5) (2,6,0,9) (3,5,7,8) (4,9,3,4) 
{3,5} = 5 : (0,8,3,5) (1,7,4,8) (2,6,1,7) (3,5,0,2) (4,9,6,9) 
{4,9} = 5 : (0,8,4,9) (1,7,3,7) (2,6,2,6) (3,5,1,5) (4,9,0,8) 

Блочная структура налицо.

Этой программой я и проверяла все четвёрки - какие из них происходят от ЛК блочной структуры.
Таких четвёрок в нашей БД оказалось 34 (конечно, не считая 95 четвёрок, найденных в давнем эксперименте с семейством №1 ЛК блочной структуры, и 80 четвёрок от симметричных ДЛК; все эти четвёрки тоже происходят от ЛК блочной структуры).
И только всего 4 четвёрки в нашей БД происходят не от ЛК блочной структуры. Редкие пока экземпляры.

Программа Белышева Интеркалятор была выложена для общего пользования, сейчас не помню - где (или на форуме MHP, или на форуме boinc.ru).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Для полноты картины - ещё два сообщения Белышева о ЛК блочной структуры на форуме boinc.ru
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=84997#post84997
и следующий пост.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Я пыталась сочинить ЛК нестандартной блочной структуры, было множество вариантов, покажу один из них



Программа Интеркалятор выдаёт для данного ЛК (показываю один срез)

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 9 8 2 3 4 5 7 6
2 3 5 4 6 7 8 9 0 1
3 2 4 5 7 6 1 0 9 8
4 5 6 7 8 9 0 1 3 2
5 4 7 6 1 0 9 8 2 3
6 7 1 0 9 8 3 2 4 5
7 6 8 9 0 1 2 3 5 4
8 9 0 1 3 2 5 4 6 7
9 8 3 2 5 4 7 6 1 0

{0,5} = 1 : (0,5,0,5) 
{1,4} = 1 : (0,5,1,4) 
{4,9} = 1 : (4,9,0,5) 
{5,8} = 1 : (4,9,1,4) 
{0,4} = 2 : (2,6,3,8) (3,8,2,7) 
{1,5} = 2 : (2,6,2,9) (3,8,3,6) 
{4,8} = 2 : (1,2,3,6) (3,7,2,9) 
{5,9} = 2 : (1,2,2,7) (3,7,3,8) 
{0,1} = 5 : (0,1,0,1) (2,9,8,9) (3,4,6,7) (5,7,4,5) (6,8,2,3) 
{0,9} = 5 : (0,9,0,9) (1,8,1,2) (2,3,7,8) (4,5,5,6) (6,7,3,4) 
{1,8} = 5 : (0,9,1,8) (1,8,0,3) (2,3,6,9) (4,5,4,7) (6,7,2,5) 
{2,3} = 5 : (0,9,2,3) (1,8,4,5) (2,3,0,1) (4,5,8,9) (6,7,6,7) 
{4,5} = 5 : (0,9,4,5) (1,8,6,7) (2,3,2,3) (4,5,0,1) (6,7,8,9) 
{6,7} = 5 : (0,9,6,7) (1,8,8,9) (2,3,4,5) (4,5,2,3) (6,7,0,1) 
{8,9} = 5 : (0,3,8,9) (1,7,2,3) (2,5,6,7) (4,6,4,5) (8,9,0,1) 

Обратите внимание: сколько здесь наборов по 5 непересекающихся интеркалятов!
Как я понимаю, можно составить два базовых ЛК блочной структуры для таких наборов:

1. {0,1}, {2,3}, {4,5}, {6,7}, {8,9}
2. {0,9}, {1,8}, {2,3}, {4,5}, {6,7}

В рабочем файле я построила базовые ЛК для обоих наборов.
Вот базовый ЛК для первого набора:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 8 9 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 2 5 4 7 6 0 1 9 8
4 5 6 7 8 9 1 0 2 3
5 4 7 6 0 1 9 8 3 2
6 7 0 1 9 8 2 3 4 5
7 6 9 8 1 0 3 2 5 4
8 9 3 2 5 4 7 6 1 0
9 8 1 0 3 2 5 4 7 6

и базовый ЛК для второго набора:

0 9 1 8 2 3 4 5 6 7
9 0 8 1 3 2 5 4 7 6
1 6 0 7 9 8 2 3 4 5
8 7 9 6 0 1 3 2 5 4
2 1 3 0 4 5 6 7 8 9
3 8 2 9 5 4 7 6 1 0
4 2 5 3 6 7 1 0 9 8
5 3 4 2 7 6 8 9 0 1
6 4 7 5 1 0 9 8 2 3
7 5 6 4 8 9 0 1 3 2

Далее по программе Белышева канонизации ЛК я нашла канонические формы этих двух базовых ЛК, у меня получилось так:
для первого базового ЛК

kanonicheskaya forma: 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 5 9 7 8
2 0 3 1 5 4 8 6 9 7
6 9 8 5 7 2 4 1 0 3
9 6 4 7 8 1 2 5 3 0
7 4 6 8 0 9 1 3 5 2
5 3 9 2 1 8 7 0 6 4
8 7 5 9 6 3 0 4 2 1
4 8 7 6 9 0 3 2 1 5
3 5 1 0 2 7 9 8 4 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 5 9 7 8
2 0 3 1 5 4 8 6 9 7
9 6 5 7 1 8 2 4 3 0
6 7 9 5 8 1 4 0 2 3
5 8 7 6 0 9 3 2 1 4
4 9 6 8 2 7 1 3 0 5
8 3 4 2 9 0 7 5 6 1
7 5 8 9 6 3 0 1 4 2
3 4 1 0 7 2 9 8 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 8 9 5 7
3 0 4 9 2 8 5 1 7 6
8 5 7 6 9 1 3 2 0 4
5 6 9 8 7 2 4 0 1 3
2 4 5 1 0 9 7 3 6 8
6 9 3 7 8 4 1 5 2 0
9 7 6 2 5 3 0 8 4 1
7 8 1 5 6 0 9 4 3 2
4 3 8 0 1 7 2 6 9 5
chislo razlichnyx srezov= 3

для второго базового ЛК

kanonicheskaya forma: 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 5 9 7 8
2 0 3 1 5 4 8 6 9 7
6 9 8 5 7 2 4 1 0 3
4 6 9 7 8 1 2 0 3 5
7 5 6 8 0 9 1 3 4 2
9 3 4 2 1 8 7 5 6 0
8 7 5 9 6 3 0 4 2 1
5 8 7 6 9 0 3 2 1 4
3 4 1 0 2 7 9 8 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 3 6 5 9 7 8
2 3 1 0 5 4 9 8 6 7
5 9 8 7 6 3 2 1 0 4
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
4 0 3 2 1 8 7 6 9 5
9 8 5 6 7 2 3 4 1 0
7 6 4 9 8 1 0 5 3 2
6 5 9 8 2 7 1 0 4 3
3 4 7 1 0 9 8 2 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 5 3 7 9 6 8
5 4 6 7 0 1 9 8 3 2
2 7 5 9 8 6 1 3 0 4
4 5 8 1 3 0 2 6 9 7
6 9 1 8 2 7 3 4 5 0
3 0 9 5 1 4 8 2 7 6
9 6 4 0 7 8 5 1 2 3
8 3 7 6 9 2 0 5 4 1
7 8 3 2 6 9 4 0 1 5
chislo razlichnyx srezov= 3

Вроде бы эти канонические формы не совпадают. Значит, построенные мной базовые ЛК блочной структуры не эквивалентны.
Ну, тут я могу и ошибаться. Главный эксперт в этом вопросе Белышев.
Тем не менее, попытка построить ЛК блочной структуры к чему-то привела :)
Осталось проверить найденные базовые ЛК блочной структуры - по приведённому выше алгоритму.

Покажу иллюстрацию - два базовых ЛК блочной структуры, которые получила от показанного выше ЛК нестандартной блочной структуры



Симпатичные квадратики :) и вроде бы не эквивалентные к тому же.
Что скажет Белышев? К сожалению, он пока здесь не выступает, хотя я его и приглашала.
А он ведь мог бы помочь довести этот эксперимент (со всеми найденными им не эквивалентными базовыми ЛК блочной структуры) до ума, то есть до полного завершения.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Итак, есть семейство №1 ЛК блочной структуры (23 не изоморфных ЛК, считая базовый ЛК), которое полностью проверено. Оно дало 3572 КФ ОДЛК.
Есть семейство №2 ЛК блочной структуры, которое тоже полностью проверено (не дало ортогональных ДЛК).

Далее, есть 1000 с хвостиком не эквивалентных семейств ЛК блочной структуры (стандартной), которые нашёл Белышев. Он выложил базовые ЛК этих семейств на форуме boinc.ru (ссылку надо искать), причём выложил их схематически. Я превратила эти схематические ЛК в полные (живые) ЛК (позже выложу).

Далее, есть у нас семейства ЛК блочной структуры, от которых происходят 34 четвёрки. Сильно подозреваю, что от этих семейств происходят и ещё пары ОДЛК. Их надо найти все.

Вот такой круг задач по ЛК блочной структуры. Работы много. Но беда не в том, что работы много, а в том, что я не знаю, как искать все не изоморфные ЛК каждого семейства.

Вот, например, первый базовый ЛК блочной структуры из списка, приведённого Белышевым:

0 1 2 3 4 9 8 7 6 5
9 8 7 6 5 0 1 2 3 4
1 0 3 4 2 8 9 6 5 7
8 9 6 5 7 1 0 3 4 2
2 3 4 0 1 7 6 5 9 8
7 6 5 1 0 2 3 4 8 9
3 4 0 2 8 6 5 9 7 1
6 5 1 7 9 3 4 8 2 0
4 2 9 8 3 5 7 0 1 6
5 7 8 9 6 4 2 1 0 3

Проверяем этот ЛК программой Интеркалятор (показываю один срез)

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 2 6 5 8 9 7
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 2 6 8 9 5 7 1
4 2 5 6 3 9 7 0 1 8
5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 5 8 9 7 1 0 3 4 2
7 8 9 1 0 2 3 4 6 5
8 9 1 7 5 3 4 6 2 0
9 7 6 5 8 4 2 1 0 3

{0,6} = 2 : (0,6,0,6) (1,5,1,5) 
{1,2} = 2 : (1,2,0,4) (5,9,6,7) 
{1,5} = 2 : (0,6,1,5) (1,5,0,6) 
{1,7} = 2 : (0,9,1,7) (2,6,4,5) 
{2,6} = 2 : (0,9,2,6) (2,6,0,9) 
{6,7} = 2 : (1,2,5,9) (5,9,1,2) 
{0,1} = 5 : (0,1,0,1) (2,7,3,4) (3,8,2,9) (4,9,7,8) (5,6,5,6) 
{0,5} = 5 : (0,5,0,5) (1,6,1,6) (2,9,3,8) (3,4,2,7) (7,8,4,9) 
{1,6} = 5 : (0,5,1,6) (1,6,0,5) (2,3,4,9) (4,7,3,8) (8,9,2,7) 
{2,7} = 5 : (0,5,2,7) (1,6,4,9) (2,7,0,5) (3,8,3,8) (4,9,1,6) 
{3,8} = 5 : (0,5,3,8) (1,6,2,7) (2,7,1,6) (3,8,0,5) (4,9,4,9) 
{4,9} = 5 : (0,5,4,9) (1,6,3,8) (2,7,2,7) (3,8,1,6) (4,9,0,5) 
{5,6} = 5 : (0,1,5,6) (2,7,8,9) (3,8,4,7) (4,9,2,3) (5,6,0,1) 

Всё замечательно.
Теперь запускаем преобразование поворота блоков в этом базовом ЛК и... получаем миллионы новых ЛК.
Как среди этих миллионов найти не изоморфные ЛК?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Тэк-с, ссылку нашла, где Белышев выложил 1029 не эквивалентных базовых ЛК блочной структуры, точнее их уполовиненные схемы.
Цитирую

Классов эквивалентности блочных структур вида 10 х 5 насчитывается 1031. Два из них это уже изученные первое и второе семейства. Наименьшие в лексикографическом порядке представители (КФ БС) остальных 1029 классов в архиве (для получения собственно БС столбцы нужно продублировать).

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=85136#post85136

На форуме MHP я писала, как превращала эти схематические половинки ЛК в "живые" ЛК
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=282175#p282175

Продублировать столбцы - это у меня получилось сразу.
А вот записать вместо схемы нужные числа - хоть застрелись :) Вручную-то запросто, а вот как машине это вдолбить... :)
Помог коллега Стефано. Но при отсылке ему полуфабрикатов я, кажется, хвост потеряла. В результате у меня в наличии (после преобразования, выполненного Стефано) оказалось 1019 ЛК вместо 1029. Но это не очень страшно, при необходимости можно восстановить и потерянные 10 ЛК.
Сейчас выложу этот массив из 1019 базовых ЛК блочной структуры.

Вот ссылка для скачивания (Яндекс.Диск), текстовый файл, сжимать не стала, файл маленький
https://yadi.sk/i/1pBEbdic3P5Qnq

В массиве квадраты без промежутков (пустых строк) между ними.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Progger
задачка ну очень хорошая. Предлагаю вам вникнуть :)
Всего 1029 заданий. Но вот как их выполнить... не знаю я. Точнее, не знаю один этап: поиск всех членов каждого из 1029 семейств ЛК блочной структуры.
В-о-т! :)
А семейства эти могут что-нибудь интересненькое дать, если их полностью проверить.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Кстати, все выложенные 1019 базовых ЛК я проверила программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК. Н-и-ч-е-г-о!
Следовательно, надо запускать преобразование - поворот блоков.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Э-э-э... и правильно ли я всё сделала при превращении этих схематических половинок ЛК в "живые" ЛК?
Вот, например, схематическая половинка

0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
1 0 3 4 2
1 0 3 4 2
2 3 4 0 1
2 3 4 1 0
3 4 0 2 1
3 4 1 2 0
4 2 0 1 3
4 2 1 0 3

Продублировала столбцы. Затем записала в полученном квадрате такие интеркаляты:
{0,9}, {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}

А почему именно такие? А какие же ещё? :)
Ну и вот результат:

0 1 2 3 4 9 8 7 6 5
9 8 7 6 5 0 1 2 3 4
1 0 3 4 2 8 9 6 5 7
8 9 6 5 7 1 0 3 4 2
2 3 4 0 1 7 6 5 9 8
7 6 5 1 0 2 3 4 8 9
3 4 0 2 8 6 5 9 7 1
6 5 1 7 9 3 4 8 2 0
4 2 9 8 3 5 7 0 1 6
5 7 8 9 6 4 2 1 0 3

Правильный или нет? Я там спрашивала, да ответа не получила.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Проверяю полученный ЛК

0 1 2 3 4 9 8 7 6 5
9 8 7 6 5 0 1 2 3 4
1 0 3 4 2 8 9 6 5 7
8 9 6 5 7 1 0 3 4 2
2 3 4 0 1 7 6 5 9 8
7 6 5 1 0 2 3 4 8 9
3 4 0 2 8 6 5 9 7 1
6 5 1 7 9 3 4 8 2 0
4 2 9 8 3 5 7 0 1 6
5 7 8 9 6 4 2 1 0 3

программой Интеркалятор. Программа выдаёт (показываю один срез):

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 3 4 2 6 5 8 9 7
2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 4 0 2 6 8 9 5 7 1
4 2 5 6 3 9 7 0 1 8
5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 5 8 9 7 1 0 3 4 2
7 8 9 1 0 2 3 4 6 5
8 9 1 7 5 3 4 6 2 0
9 7 6 5 8 4 2 1 0 3

{0,6} = 2 : (0,6,0,6) (1,5,1,5) 
{1,2} = 2 : (1,2,0,4) (5,9,6,7) 
{1,5} = 2 : (0,6,1,5) (1,5,0,6) 
{1,7} = 2 : (0,9,1,7) (2,6,4,5) 
{2,6} = 2 : (0,9,2,6) (2,6,0,9) 
{6,7} = 2 : (1,2,5,9) (5,9,1,2) 
{0,1} = 5 : (0,1,0,1) (2,7,3,4) (3,8,2,9) (4,9,7,8) (5,6,5,6) 
{0,5} = 5 : (0,5,0,5) (1,6,1,6) (2,9,3,8) (3,4,2,7) (7,8,4,9) 
{1,6} = 5 : (0,5,1,6) (1,6,0,5) (2,3,4,9) (4,7,3,8) (8,9,2,7) 
{2,7} = 5 : (0,5,2,7) (1,6,4,9) (2,7,0,5) (3,8,3,8) (4,9,1,6) 
{3,8} = 5 : (0,5,3,8) (1,6,2,7) (2,7,1,6) (3,8,0,5) (4,9,4,9) 
{4,9} = 5 : (0,5,4,9) (1,6,3,8) (2,7,2,7) (3,8,1,6) (4,9,0,5) 
{5,6} = 5 : (0,1,5,6) (2,7,8,9) (3,8,4,7) (4,9,2,3) (5,6,0,1)

Вроде бы вполне себе блочная структура.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Продублировала столбцы. Затем записала в полученном квадрате такие интеркаляты:
{0,9}, {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}

А почему именно такие? А какие же ещё? :)

Хм... Записала такие интеркаляты:

{0,1}, {2,3}, {4,5}, {6,7}, {8,9}

Получила такой ЛК блочной структуры:

0 2 4 6 8 1 3 5 7 9
1 3 5 7 9 0 2 4 6 8
2 0 6 8 4 3 1 7 9 5
3 1 7 9 5 2 0 6 8 4
4 6 8 0 2 5 7 9 1 3
5 7 9 2 0 4 6 8 3 1
6 8 0 4 3 7 9 1 5 2
7 9 2 5 1 6 8 3 4 0
8 4 1 3 6 9 5 0 2 7
9 5 3 1 7 8 4 2 0 6

Эквивалентный предыдущему, как показывает программа Интеркалятор.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Просматривала тему "Ортогональные латинские квадраты 10-го порядка" на форуме Math Help Planet.
Там столько ЛК блочной структуры я насочиняла :)
Покажу два примера.
Первый пример - ЛК, сочинённый по старинному алгоритму, смотрите здесь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=268849#p268849
Копирую иллюстрацию



Второй пример - ЛК, подобный ЛК Паркера, смотрите здесь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=268903#p268903
Копирую иллюстрацию



Оба эти ЛК принадлежат первому семейству ЛК блочной структуры, которое позже было тщательно исследовано Белышевым. Он нашёл в этом семействе только 23 не изоморфных ЛК, считая базовый ЛК. Возможно, показанные здесь ЛК, сочинённые мной, как раз из этих 23 ЛК. А может быть, изоморфные каким-то из этих 23 ЛК.
Вот так, фактически вслепую, я получала ЛК первого семейства, ничего не зная об изоморфности получаемых мной ЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Нашла в своей статье "Методы построения латинских квадратов" обалденный ЛК блочной структуры



Этот ЛК построен по старинному методу Агриппы.
Программа Белышева Интекалятор выдаёт для этого ЛК (показываю один срез):

срез #1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 9 8 7 6 5 4 3 2
2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 2 1 0 9 8 7 6 5 4
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 4 3 2 1 0 9 8 7 6
6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 6 5 4 3 2 1 0 9 8
8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

{0,1} = 5 : (0,1,0,1) (2,9,8,9) (3,8,2,3) (4,7,6,7) (5,6,4,5) 
{0,3} = 5 : (0,3,0,3) (1,2,1,8) (4,9,6,9) (5,8,2,5) (6,7,4,7) 
{0,5} = 5 : (0,5,0,5) (1,4,1,6) (2,3,3,8) (6,9,4,9) (7,8,2,7) 
{0,7} = 5 : (0,7,0,7) (1,6,1,4) (2,5,5,8) (3,4,3,6) (8,9,2,9) 
{0,9} = 5 : (0,9,0,9) (1,8,1,2) (2,7,7,8) (3,6,3,4) (4,5,5,6) 
{1,2} = 5 : (0,3,1,2) (1,2,0,9) (4,9,7,8) (5,8,3,4) (6,7,5,6) 
{1,4} = 5 : (0,5,1,4) (1,4,0,7) (2,3,2,9) (6,9,5,8) (7,8,3,6) 
{1,6} = 5 : (0,7,1,6) (1,6,0,5) (2,5,4,9) (3,4,2,7) (8,9,3,8) 
{1,8} = 5 : (0,9,1,8) (1,8,0,3) (2,7,6,9) (3,6,2,5) (4,5,4,7) 
{2,3} = 5 : (0,5,2,3) (1,4,8,9) (2,3,0,1) (6,9,6,7) (7,8,4,5) 
{2,5} = 5 : (0,7,2,5) (1,6,6,9) (2,5,0,3) (3,4,1,8) (8,9,4,7) 
{2,7} = 5 : (0,9,2,7) (1,8,4,9) (2,7,0,5) (3,6,1,6) (4,5,3,8) 
{2,9} = 5 : (0,1,2,9) (2,9,0,7) (3,8,1,4) (4,7,5,8) (5,6,3,6) 
{3,4} = 5 : (0,7,3,4) (1,6,7,8) (2,5,1,2) (3,4,0,9) (8,9,5,6) 
{3,6} = 5 : (0,9,3,6) (1,8,5,8) (2,7,1,4) (3,6,0,7) (4,5,2,9) 
{3,8} = 5 : (0,1,3,8) (2,9,1,6) (3,8,0,5) (4,7,4,9) (5,6,2,7) 
{4,5} = 5 : (0,9,4,5) (1,8,6,7) (2,7,2,3) (3,6,8,9) (4,5,0,1) 
{4,7} = 5 : (0,1,4,7) (2,9,2,5) (3,8,6,9) (4,7,0,3) (5,6,1,8) 
{4,9} = 5 : (0,3,4,9) (1,2,2,7) (4,9,0,5) (5,8,1,6) (6,7,3,8) 
{5,6} = 5 : (0,1,5,6) (2,9,3,4) (3,8,7,8) (4,7,1,2) (5,6,0,9) 
{5,8} = 5 : (0,3,5,8) (1,2,3,6) (4,9,1,4) (5,8,0,7) (6,7,2,9) 
{6,7} = 5 : (0,3,6,7) (1,2,4,5) (4,9,2,3) (5,8,8,9) (6,7,0,1) 
{6,9} = 5 : (0,5,6,9) (1,4,2,5) (2,3,4,7) (6,9,0,3) (7,8,1,8) 
{7,8} = 5 : (0,5,7,8) (1,4,3,4) (2,3,5,6) (6,9,1,2) (7,8,0,9) 
{8,9} = 5 : (0,7,8,9) (1,6,2,3) (2,5,6,7) (3,4,4,5) (8,9,0,1) 

Второй и третий срез точно такие же. 125 интеркалятов! Супер! Вот где можно разгуляться с поворотом блоков.
Интересно: при обработке этого ЛК программой Белышева Канонизатор ЛК по ДЛК не нашлось ни одного ДЛК.
Вот протокол работы программы

Введено ЛК:     1

Найдено КФ ЛК по ДЛК:   0
Всего найдено КФ ДЛК:   0
Время работы:           0.052 сек

Не мудрено: этот ЛК не имеет ни одной трансверсали.
Вот протокол работы программы С. Беляева:

Name:a.txt
1 - only the diagonal
Max=100
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :0
END

Но стоит повернуть в ЛК один-два блока и трансверсали появятся, а вместе с ними и ортогональные ЛК и ДЛК.

Интересный вопрос: сколько не изоморфных ЛК даст этот ЛК, если найти все варианты, получаемые поворотом блоков?
Входит ли этот ЛК блочной структуры в список Белышева не эквивалентных базовых ЛК блочной структуры? Если да, под каким номером?
У меня есть предположение, что этот ЛК входит в первое семейство ЛК блочной структуры, то есть он один из 23 (или изоморфен одному из 23) ЛК этого семейства.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Запустила для этого ЛК программу перестановки элементов коллеги В. Чиркова. Пока не густо

Имя входного файла (без расширения): a2
Вид преобразований (STR=1, SQ=2, STR&SQ=3): 2
1 -> 97

Всего 97 ДЛК найдено. Но! Эта программа ищет только преобразованные ДЛК. Понятно, что их мало получается.
Программа ещё работает.
Надо искать преобразованные ЛК, но их будет при перестановке элементов получаться очень много (миллионы).
Вот и опять та же самая проблема, о которой уже не раз писала: как выбрать из этих миллионов преобразованных ЛК не изоморфные?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Преобразовала и раскрасила ЛК блочной структуры Агриппы



Взяла такие 5 типов не пересекающихся интеркалятов:

{0,9}, {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}

Красивый квадратик получился :)
А теперь вращаем блоки!

ДЛК, полученные в программе Чиркова, не дали ничего. Правда, я прервала программу, потому что ДЛК находятся в час по чайной ложке.
Когда прервала, их было всего 105.

PS. Если мне не врут глаза, показанный ЛК дважды симметричный.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg