Смотрим последовательность в OEIS

Number of double symmetric diagonal Latin squares of order 2n with constant first string.
https://oeis.org/A287650

Есть тема на форуме Math Help Planet "Дважды симметричные ДЛК"
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=57&t=55425

Я написала программу полного перебора для получения дважды симметричных ДЛК 10-го порядка. Программа выполнилась, но ни одного решения не нашла.

А. Белышев доказал теоретически, что дважды симметричных ДЛК 10-го порядка не существует.
Доказательство здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89088#post89088

Цитата:

Видим, что критерию вертикальной симметричности удовлетворяют только линейки 1 и 6, а критерию горизонтальной симметричности не удовлетворяет ни одна. Из последнего, в частности, следует, что не существует дважды симметричных ДЛК10.

Для ДЛК 10-го порядка существуют только "брауны", которые квази-дважды-симметричные ДЛК :)

Однако дважды симметричные ЛК 10-го порядка существуют.



Верхний квадрат - неудавшаяся попытка построить дважды симметричный ДЛК 10-го порядка; нижний квадрат - дважды симметричный ЛК 10-го порядка, построен вручную.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Далее посмотрите, пожалуйста, сообщение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=309751#p309751

Суть: моя гипотеза о том, что дважды симметричные ДЛК существуют только для порядков n=4k, k=1,2,3,..., нашла некоторое подтверждение в исследованиях Э. Ватутина со товарищи.

Похоже на то, что данная гипотеза верна, хотя строгого доказательства гипотезы я пока не вижу.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это дважды симметричный ДЛК 12-го порядка, построенный по моей программе



Много таких квадратов :)
Посчитать их на моём ПК проблематично.

Progger
предлагаю подпроект по этой задаче :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ещё два красавца :)



Это дважды симметричные ДЛК 16-го порядка, да ещё и ортогональные.
[Не помню, откуда скопировала - из какой-то своей давней статьи.]

Понятно, что дважды симметричные ДЛК имеют больше шансов на ортогональные соквадраты.
Жалко, что для ДЛК 10-го порядка нет дважды симметричных ДЛК.
Но даже "брауны" дали очень хорошие результаты по ОДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Этот симметричный ДЛК 20-го порядка я получила из ДЛК, построенного методом Гергели



Если внимательно посмотреть на этот симметричный ДЛК, можно увидеть, что он аналогичен "браунам" 10-го порядка.
Дважды симметричный ДЛК 20-го порядка мне пока не удалось построить.
Кто умеет? :)

Кстати, Э. Ватутин со товарищи, наверное, получили дважды симметричный ДЛК 20-го порядка, потому что они выполнили "серию вычислительных экспериментов" для порядков N<=20.

Из этой статьи
"Ватутин Э.И., Кочемазов С.Е., Заикин О.С., Титов В.С. Исследование свойств симметричных диагональных латинских квадратов // Труды 10-й всероссийской мультиконференции по проблемам управления. Т. 3. Ростов-на-Дону, Таганрог: изд-во ЮФУ, 2017. С. 17–19."

цитирую:

Для ДЛК размерности N <= 20 была организована серия вычислительных экспериментов, в ходе которой было определено, что дважды симметричные ДЛК существуют только для размерностей N = 4n, ...

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А вот дважды симметричный ДЛК 32-го порядка, построен вручную методом составных квадратов



PS. Здесь обнаружила ошибку, это не ДЛК, а ЛК.
В качестве основного квадрата взят не ДЛК 8-го порядка, а ЛК.
Правильный нормализованный дважды симметричный ДЛК 32-го порядка смотрите далее; построен тоже методом составных квадратов по программе Harry White.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Progger
предлагаю подпроект по этой задаче :)

Можно попробовать.

---

Progger
подождём, когда наши учёные разберутся с определением дважды симметричных ДЛК :)

Смотрите пост Белышева
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89136#post89136

Цитирую:

Число же дважды симметричных ДЛК8 в A287650 завышено, я насчитал только 12288. Да и приведённый там пример дважды симметричным ДЛК не является, либо я чего-то не понимаю.

Да, мне тоже не понятен пример, приведённый в статье OEIS
https://oeis.org/A287650

0 1 2 3 4 5 6 7 
6 2 3 7 0 4 5 1 
4 5 1 0 7 6 2 3 
5 6 7 4 3 0 1 2 
7 3 6 2 5 1 4 0 
2 7 4 1 6 3 0 5 
3 0 5 6 1 2 7 4 
1 4 0 5 2 7 3 6 

В моём понимании нормализованный дважды симметричный ДЛК 8-го порядка может быть таким:

0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4
1 0 3 2 5 4 7 6

Я писала программы для построения дважды симметричных ДЛК в соответствии с определением, данным в статье OEIS. Хотя определения там и нет, а есть только пример.
Для порядка 10 моя программа не нашла ни одного дважды симметричного ДЛК.
Белышев доказал, что таких ДЛК не существует.
Для порядка 8 программа выдала то же количество, какое приведено в OEIS, - 15780.
Белышев пишет в указанном выше посте, что их должно быть 12288.

Для порядка 12 моя программа выдаёт очень много решений, шлёпает их мгновенно :)
И пока (первые решения) дважды симметричные в моём понимании. Пример показан выше.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Посмотрела массив решений, выданных моей программой для нормализованных дважды симметричных ДЛК 8-го порядка.
Напомню: программа составлена в соответствии с примером, приведённым в статье OEIS.
Покажу три первых решения, три решения из середины и три последних решения:

0  1  2  3  4  5  6  7 
2  3  0  1  6  7  4  5 
4  5  7  6  1  0  2  3 
6  7  5  4  3  2  0  1 
7  6  4  5  2  3  1  0 
5  4  6  7  0  1  3  2 
3  2  1  0  7  6  5  4 
1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 4  5  7  6  1  0  2  3 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 5  4  6  7  0  1  3  2 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 5  4  7  6  1  0  3  2 
 6  7  5  4  3  2  0  1 
 7  6  4  5  2  3  1  0 
 4  5  6  7  0  1  2  3 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 
. . . . . . . . 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  6  0  4  3  7  1  5 
 1  3  7  2  5  0  4  6 
 7  4  5  1  6  2  3  0 
 4  0  1  5  2  6  7  3 
 5  7  4  6  1  3  0  2 
 6  2  3  0  7  4  5  1 
 3  5  6  7  0  1  2  4 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  6  0  4  3  7  1  5 
 1  3  7  5  2  0  4  6 
 7  4  1  2  5  6  3  0 
 4  0  5  6  1  2  7  3 
 5  7  4  1  6  3  0  2 
 6  2  3  0  7  4  5  1 
 3  5  6  7  0  1  2  4 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  6  0  4  3  7  1  5 
 1  4  7  2  5  0  3  6 
 7  3  5  1  6  2  4  0 
 4  7  1  5  2  6  0  3 
 5  0  4  6  1  3  7  2 
 6  2  3  0  7  4  5  1 
 3  5  6  7  0  1  2  4
. . . . . . . . . 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  0  7  4  1  2 
 4  2  1  7  0  6  5  3 
 2  4  7  1  6  0  3  5 
 3  0  5  6  1  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  7  0  4  1  2 
 2  4  7  6  1  0  3  5 
 4  2  1  0  7  6  5  3 
 3  0  5  1  6  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  7  0  4  1  2 
 4  2  7  6  1  0  5  3 
 2  4  1  0  7  6  3  5 
 3  0  5  1  6  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

SGENERIROVANO KVADRATOV 15780 

Скачала программу Белышева пересчёта симметричных ДЛК 8-го порядка. Увы, она не выводит квадраты, а только их считает.
Вот группу дважды симметричных ДЛК очень не мешало бы вывести, она ведь маленькая - всего 12288 квадратов.
Чтобы все посмотрели на эти квадраты и поняли, какие бывают дважды симметричные ДЛК :)
А то Белышев их понимает по-своему, автор статьи OEIS - по-своему, я тоже по-своему. Сколько людей - столько и пониманий.
А чтобы понимание было одно, надо давать в таких случаях чёткое определение рассматриваемых объектов. Такого определения в статье OEIS, к сожалению, нет.

Кстати, я поднимала этот вопрос давно в своей теме "Дважды симметричные ДЛК" на форуме Math Help Planet.
Автор статьи OEIS Э. Ватутин участвует в этом форуме, но заглянуть в мою тему и дать ответы на вопросы не удосужился.
Вот теперь этот вопрос возник снова - уже на форуме boinc.ru
Ждём ответа.

P.S. Мы на форуме MHP с форумчанином Xmas прикидывали и так, и сяк - как можно понимать двойную симметричность ДЛК.
В конце концов, пришли к согласию: надо придерживаться данного в статье OEIS примера, пока нет ничего другого (в смысле определения).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Новое интересное сообщение от Белышева здесь
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89143#post89143

В части дважды симметричных ДЛК прокомментировала сообщение на форуме MHP
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=309927#p309927

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А чтобы понимание было одно, надо давать в таких случаях чёткое определение рассматриваемых объектов. Такого определения в статье OEIS, к сожалению, нет.

Впрочем, ссылка на определение дважды симметричных ЛК в статье OEIS есть, ссылаются на эту статью:
E. I. Vatutin, S. E. Kochemazov, O. S. Zaikin, Estimating of combinatorial characteristics for diagonal Latin squares, Recognition — 2017 (2017), pp. 98-100 (in Russian)

Открываем статью и видим там следующее определение:

Квадрат называется симметричным (для определенности, по вертикали), если элементы его столбцов с номерами 1,...,[N/2]
однозначно соответствуют элементам столбцов с номерами [N/2]+1,...,N (первый – последнему, второй – предпоследнему и т.д.). Квадрат будем называть дважды симметричным (по вертикали и горизонтали), если рассмотренное выше свойство симметрии выполняется как для строк, так и для столбцов.

Определение это не выдерживает никакой критики.
Начать с того, о каком вообще "квадрате" идёт речь? Каким может быть порядок квадрата N?
Выше (перед этим определением) речь шла о трансверсалях ЛК. Потом резкий переход к этому определению для каких-то "квадратов".
(Далее авторы пишут:

Интересной особенностью является тот факт, что симметричных ЛК нечетного порядка не существует (если не считать частного случая размерности 1), поэтому последовательность приведена лишь для N "принадлежащих" {2, 4, 6, 8, 10}.

Откуда сей факт возник?)

Дальше особой точности в определении я тоже не вижу.
И тут обязательно надо бы привести пример, который хоть что-то прояснил бы в этом определении. Но примера нет.

Прямо, как в поговорке: шапка есть - Ваньки нет, Ванька есть - шапки нет :)
В данной статье есть определение, нет примера; в статье OEIS есть пример, но нет определения.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Копирую сообщение на форуме MHP
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=310060#p310060
чтобы не ходить по ссылкам :)

Захотела переделать свою программу для дважды симметричных ДЛК 8-го порядка под новое определение.
Ну, переделать да ещё по-быстрому - это лучше заново программу написать :)
В общем, переделала...
Теперь у меня программа генерирует 4096 дважды симметричных ДЛК, то есть ровно в 3 раза меньше, чем у Белышева.
Ужос какой-то.

Вот последние три ДЛК в массиве решений, выданном программой:

. . . . . . . . 

0  1  2  3  4  5  6  7 
7  6  5  4  3  2  1  0 
6  7  4  2  5  3  0  1 
1  4  7  5  2  0  3  6 
2  0  3  6  1  4  7  5 
5  3  0  1  6  7  4  2 
3  5  6  0  7  1  2  4 
4  2  1  7  0  6  5  3 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 2  0  3  1  6  4  7  5 
 1  4  7  2  5  0  3  6 
 5  3  0  6  1  7  4  2 
 3  5  6  0  7  1  2  4 
 4  2  1  7  0  6  5  3 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 2  4  7  1  6  0  3  5 
 1  0  3  2  5  4  7  6 
 5  3  0  6  1  7  4  2 
 3  5  6  0  7  1  2  4 
 4  2  1  7  0  6  5  3 

SGENERIROVANO KVADRATOV 4096

Квадраты вроде правильные. Но почему их в 3 раза меньше? Где-то накосячила. Не могу найти косяк.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Кстати, я поднимала этот вопрос давно в своей теме "Дважды симметричные ДЛК" на форуме Math Help Planet.
Автор статьи OEIS Э. Ватутин участвует в этом форуме, но заглянуть в мою тему и дать ответы на вопросы не удосужился.
Вот теперь этот вопрос возник снова - уже на форуме boinc.ru
Ждём ответа.

Ждать, видимо, придётся долго. Что-то после сообщений Белышева повисло гробовое молчание.

Ответ Ватутина пока был только такой (22 сентября)

Надо будет посмотреть и перепроверить...

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89135#post89135

Проверяют, значит. Ждём.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Я повторюсь

Этот симметричный ДЛК 20-го порядка я получила из ДЛК, построенного методом Гергели



Если внимательно посмотреть на этот симметричный ДЛК, можно увидеть, что он аналогичен "браунам" 10-го порядка.
Дважды симметричный ДЛК 20-го порядка мне пока не удалось построить.
Кто умеет? :)

Кто-то же умеет писать хорошие программы :)
Написать программу просто. Но! У меня для каждого порядка отдельная программа (к сожалению, я не умею написать программу так, чтобы она работала для любого заданного порядка). Максимальный порядок, для которого я писала программу, N=12.
Для порядка 16 я нашла дважды симметричные ДЛК в какой-то своей давней статье, они ещё и ортогональные (показаны выше).

А вот для порядка 20 у меня загвоздка. Пока получился только "браун".
Кстати, интересно: ДЛК 10-го порядка, построенный методом Гергели, тоже "браун", вот он



P.S. Белышев мог бы помочь с задачей. Читает ли он этот форум?

Алексей, присоединяйтесь к нам! У нас интересно :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Моя статья о построении ДЛК методом Гергели
http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm

Посмотрите, пожалуйста, на рис.11 в этой статье. Вы увидите симметричный ДЛК 24-го порядка, построенный методом составных квадратов.
Цитата:

Теперь покажу метод составных квадратов. Этот метод уже был подробно описан в статье “Построение пар ортогональных диагональных латинских квадратов методом составных квадратов”
(http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm ).
Здесь покажу построение одиночного ДЛК 24-го порядка. В качестве базового квадрата возьмём диагональный латинский квадрат 4-го порядка, а в качестве основного – диагональный латинский квадрат 6-го порядка (см. рис. 1). Готовый ДЛК 24-го порядка показан на рис. 11.

Удивительно, но... этот ДЛК тоже "браун"!
А дважды симметричного ДЛК 24-го порядка у меня пока нет.
У кого есть - покажите, пожалуйста :)

Вот если бы существовал дважды симметричный ДЛК 6-го порядка, тогда построить дважды симметричный ДЛК 24-го порядка было бы очень просто - методом составных квадратов.
Я построила этим методом дважды симметричный ДЛК 32-го порядка (показан выше) и дважды симметричный ДЛК 48-го порядка.
А на дважды симметричный ДЛК 32-го порядка гляньте :)
Он тоже "браун"!

Тэк-с, следующий порядок у меня 28, тоже, наверное, проблемный.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Поискала в своих давних статьях и не нашла даже симметричного ДЛК 28-го порядка.
Надо строить.
Начала с симметричного ДЛК 14-го порядка, может, на его основе удастся построить симметричный ДЛК 28-го порядка.
В своей статье взяла ДЛК 14-го порядка, построенный методом Гергели (см. рис. 16) и нормализовала его.
Вот такой получился симметричный ДЛК 14-го порядка



И он тоже "браун"!
Но, конечно, не дважды симметричный, для порядка 14 дважды симметричных ДЛК не существует.
А вот теперь надо как-то перейти к ДЛК порядка 28. Ну хотя бы симметричный для начала построить.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Симметричный ДЛК 28-го порядка построила, используя симметричный ДЛК 14-го порядка, показанный выше



Этот ДЛК тоже "браун".
А теперь вопрос о дважды симметричном ДЛК 28-го порядка. Если он существует, как его построить?

Таким образом, для порядков 20, 24 и 28 я пока построила только симметричные ДЛК.
Вопрос о дважды симметричных ДЛК указанных порядков открыт.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Из той же статьи «Построение диагональных латинских квадратов»
интересный ДЛК 18-го порядка, построенный мной вручную на основе ДЛК 9-го порядка



Если этот ДЛК нормализовать, наверное, получится симметричный ДЛК и, возможно, «браун».
Сейчас попробую.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Да, получился нормализованный симметричный ДЛК 18-го порядка, но... не "браун"



Симпатичный квадратик :)
На основе этого ДЛК можно попытаться построить симметричный ДЛК 36-го порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Нашла статью на английском языке

On Some Features of Symmetric Diagonal Latin
Squares*

Eduard Vatutin1, Stepan Kochemazov2, and Oleg Zaikin2

1 Southwest State University, Kursk, Russia
2 Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk,
Russia
evatutin@rambler.ru, veinamond@gmail.com, zaikin.icc@gmail.com

Abstract. In this paper, we study the dependencies of the number of
symmetric and doubly symmetric diagonal Latin squares on the order N.
Using fast generator of diagonal Latin squares (augmented by symmetry
checker), we determined these dependencies for order at most 8. We also
found a number of doubly symmetric diagonal Latin squares of orders
12, 16 and 20.

Посмотрите, кому интересна данная тема.
Такой момент меня интересует: почему нет данных о том, где статья опубликована и когда? Или я в упор это не вижу что ли?

Ну и далее: в статье точь-в-точь повторен пример дважды симметричного ДЛК 8-го порядка из OEIS, который дважды симметричным ДЛК не является (см. Fig. 2)
[по моему мнению и по мнению Белышева].

В определении симметричных ЛК авторы говорят о взаимно-однозначном соответствии:

By symmetric LS we mean such LS, for which one-to-one correspondence occurs
between all pairs of elements...

В дважды симметричном ДЛК, показанном на Fig. 2, взаимно-однозначное соответствие пропало (в горизонтальной симметрии).
Если в паре элементов {0,1} 0 соответствует 1, то 1 должен соответствовать 0; тогда соответствие будет взаимно-однозначным.
Кстати, на Fig. 1 вертикально симметричный и горизонтально симметричный ДЛК показаны правильно, и со взаимно-однозначным соответствием всё в порядке.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg