Кстати, для информации, о минимальных симметричных кортежах (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром.

Смотрите последовательность OEIS
https://oeis.org/A266512

2, 3, 47, 5, 18713, 7, 12003179, 17, 1480028129, 13, 1542186111157, 41280160361347, 660287401247633, 10421030292115097, 3112462738414697093, 996689250471604163, 258406392900394343851

Здесь приведены решения до 17-ки включительно.

Далее смотрим комментарий

COMMENTS
A similar sequence that allows singular symmetric n-tuples is given in A266583.
a(18) <= 824871967574850703732309 (Jaroslaw Wroblewski)
a(20) <= 824871967574850703732303 (Natalia Makarova and Jaroslaw Wroblewski)

Для этих решений минимальность не установлена.

19-ки с минимальным диаметром пока нет никакой.
Конечно, речь идёт о симметричной 19-ке из последовательных простых чисел с минимальным диаметром 252.

wu 11 - end

wu 12 - end

Новый алгоритм даёт приближения и в диапазоне, который проверяется методом интервалов.

Пример

17511165606321921260456557: [0, 10, 16, 36, 46, 84, 90, 106, 120, 142, 154, 156, 204, 214, 220, 234, 240]
valids=8

При этом приближение, конечно, новое.
Это хорошо.

Вот как замечательно выстраиваются добавочки

. . . . . . . . .
17074264186239067819851667
17250872271465937713173953
17284265710764858885697837
17309692722214897531917217
17354072191772298235002577
17400990370624245957301663
17507114220344825950293247
17511165606321921260456557
17538304776091435529763397
17558785448603076856317967
17620306136467166479613353
17796048794147747821397527
17821578920256487392506317
17908957023876560888686267
17973663108854348868081937
17980882211998609722488497
18026181683921580344445097
. . . . . . . . 

Понятно, что это фрагмент диапазона, проверяемого в методе интервалов
(8252956221411564375266227, 62695619021093642178038117).

Показаны начальные элементы приближений, они же - добавки (на периоде 71# и не только!).

Для этого приближения

17511165606321921260456557: [0, 10, 16, 36, 46, 84, 90, 106, 120, 142, 154, 156, 204, 214, 220, 234, 240]
valids=8

покажу две формулы

17511165606321921260456557 = 1338491558 * 13082761331670030 + 8552748063849817
17511165606321921260456557 = 6889133 * 13082761331670030 + 17421036723500789311672567

Очень интересно!
Никак не могу проникнуть в тайный смысл этих формул.
Это должно иметь простое объяснение.
Ну, с первой формулой всё понятно.
А вот со второй не очень.

43# = 13082761331670030.

Кстати, есть и третья формула

17511165606321921260456557 = 0 * 557940830126698960967415390 + 17511165606321921260456557

71# = 557940830126698960967415390.

Может быть, и четвёртая формула есть, но я пока её не нашла.

Хотя почему не нашла?
Вот например

17511165606321921260456557  = 28478543 * 614889782588491410 + 492614917335640927

47# = 614889782588491410.

С третьей и с четвёртой формулами тоже всё понятно.
Загадочная вторая формула.

Формулы для первой известной ключевой 17-ки

1006882292528806742267 = 435879780315500754 * 2310 + 527 - на периоде 11#
1006882292528806742267 = 33529213870423134 * 30030 + 28247
1006882292528806742267 = 1972306698260184 * 510510 + 208427
1006882292528806742267 = 103805615697904 * 9699690 + 4292507
1006882292528806742267 = 4513287639039 * 223092870 + 72190337
1006882292528806742267 = 155630608242 * 6469693230 + 4757140607
1006882292528806742267 = 5020342201 * 200560490130 + 75923766137
1006882292528806742267 = 135684924 * 7420738134810 + 2683210137827
1006882292528806742267 = 3309388 * 304250263527210 + 121415020294787
1006882292528806742267 = 76962 * 13082761331670030 + 6814920817893407
1006882292528806742267 = 1637 * 614889782588491410 + 307718431446304097
1006882292528806742267 = 30 * 32589158477190044730 +  29207538213105400367
1006882292528806742267 = 0 *1922760350154212639070 + 1006882292528806742267 - на периоде 59#

Красиво, не правда ли?
С этими формулами тоже всё понятно.

А сейчас напишу формулы для ключевой 17-ки, которую я ищу на периоде 71#.

Обозначим начальный элемент этой ключевой 17-ки Х, npi - номер периода, di - добавка.

X = np1 * 2310 + d1 - на периоде 11#
X = np2 * 30030 + d2
X = np3 * 510510 + d3
X = np4 * 9699690 + d4
X = np5 * 223092870 + d5
X = np6 * 6469693230 + d6
X = np7 * 200560490130 + d7
X = np8 * 7420738134810 + d8
X = np9 * 304250263527210 + d9
X = np10 * 13082761331670030 + d10
X = np11 * 614889782588491410 + d11
X = np12 * 32589158477190044730 +  d12
X = np13 * 1922760350154212639070 + d13
X = np14 * 117288381359406970983270 + d14
X = np15 * 7858321551080267055879090 + d15
X = 0 * 557940830126698960967415390 + X - на периоде 71#

Хорошие формулы!
Осталось найти X :)

Ядряра писал

Почему же они не ищутся в интервале 0-67#, где их полным-полно, а ищутся выше?

Тэк-с, на 0-67# ключевых 17-к "полным-полно" :)
Ну, а на 0-71# (выше 67#) есть хоть одна ключевая 17-ка?
Ищут ведь на этом интервале 19-252, значит, надеются этот кортеж найти.
Ну, а в кортеже 19-252 сидит и ключевая 17-ка.
А помимо этой ключевой 17-ки, которая сидит в 19-252, могут быть и другие.

Ещё добавочки выстраиваются

. . . . . . . 
43122974497462223922557827
43141723148373419933803267
43181998391873439946277257
43248853762223282536553017
43650868761868525372575187
43870068235056068293117657
44054505389913291268555387
44054821943690108999908393
44060012626127387633537467
44083071817656469005347767
44244464599848826245787073
44630813092649038862306527
44969696924365556981476057
45275149302318750047423563
45280111923323559831398677
45299755228899072354648737
45303954106513770270332557
45333496406100415032469777
45342559338062776481469997
45360383765487991430650793
45563494916020372364883637
45643418153501270917334347
. . . . . . . 

Теперь сюда добавочки с двух разных программ поступают.

Заметьте, господа, что все добавки (они же - начальные элементы приближений к ключевой 17-ке) оканчиваются цифрами 3 и 7, причём подавляющее большинство оканчиваются цифрой 7.

Начальные элементы всех известных на данный момент ключевых 17-к точно так же оканчиваются

1006882292528806742267
3954328349097827424397
4896552110116770789773
6751407944109046348063
7768326730875185894807
19252814175273852997757
154787380396512840656507
901985248981556228168767

20-ая

7858322031229923082453297: [0,6,24,64,72,94,112,114,120,126,150,156,174,190,232,234,240]
valids=11

end

21-22 пустышки. Больше считать не будем. Успехов

Basil
как-то несерьёзно: то вы считаете, то не считаете.
Надеюсь, это окончательное решение.

Спасибо за помощь.

Приближение к ключевой 17-ке немножко в космосе

8292650526101758897593767473: [0, 24, 36, 46, 48, 58, 76, 114, 120, 136, 156, 160, 190, 204, 216, 234, 240]
valids=7
189378643118310503073846457: [0, 10, 16, 46, 66, 84, 100, 102, 106, 120, 150, 156, 174, 190, 204, 234, 240]
valids=8

Второе приближение не попадает в диапазон, который у меня проверяется методом интервалов, но попадает в диапазон поиска в данном проекте
(7858321551080267055879090, 557940830126698960967415390).

Это приближение из четвёртой части диапазона, в которой у меня найдены следующие приближения

173298011888432799712749947
173795664627204509572294153
174711690527605500780819527
176325679709722142763112777
176843635000761949468008133
178001900859259458245583707
178669816104732105926631077
180214528678749247547262617
180722921910500867560899323
181212835796707276911903227
182361605352178585858550567
182465728202860158978135587
182934366081884938629072337
185835193973079749020648553
186736794992293011975798677
188271322217841820975877533
188713366304314050785299387
189623708150541933136693043
190351010949259125880028333
190379411954552202618031183
190773071814433109892356293
191955810586294523017579703
192380822632815061757617493
193634349792553842670868303
193890024266526668063252657
194241477478639164121257097
194865556326456602903535893
196127975018786277136209473
196695043584515595320281013
197908609209600894792641827
198519448541072995892854517
200517826238225167519151237
200941082840870450564389837
202661168551480440730748647
203158431735594170115486293
203611433583673813116885553
204025737756137273005173517
204805004331101071991097223
207113575779673056194234467
207208707344635254045528113
208087936392052464256568887
209283619700990478434726323
209760700575254884646760557
211554128732489267619398177
212422900179158127290561557
212453490454173478878237697
212626867674702609426438073
213551975140084337403152593
215969503101877936066105823
215972925445448123295989033
216587542136068165426519543
216614475648741644625431107
216761621626240182331599847
217678283218489942400083073
217797332218084357773043837
219454949798418417322554857
219666818082602907980383247
219852274153264560833179373
220130482361977822249865077
220420965961675883819224637
222120378338747136070304023
224808127362170287485466003
225145474545325624549307267
225799592627682742377102613
226537342688135165338295317
226840166687964728033201153
226854587106140178831780067
227042333549255306337490777
227628957237167706033599327
227844172395466037157658453

Таким образом, новый алгоритм (космическая программа) даёт приближения и в диапазоне поиска данного проекта и за его пределами.

Хорошие добавочки выловлены (метод интервалов)

22244854077924630552559987: [0, 6, 24, 46, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 136, 150, 156, 196, 210, 234, 240]
valids=11
number form=35087118639

23056075132705474264054477: [0, 16, 24, 36, 64, 66, 90, 106, 114, 136, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240]
valids=11
number form=79323213588

Пока провайдер выполнял ремонтные работы (1,5 суток не было Интернета), мы с черепашкой выполняли эксперимент.

Взяла этот интервал из метода интервалов (это начальные элементы приближений к ключевой 17-ке)

. . . . . . . 
13626907835856555617857153
13629144327272333493922507
13649294951642904119401223
13656908485850866043837857
13663733617287960381605257
. . . . . . . .

и в этом интервале искала приближения к ключевой 17-ке.

Вот что нашлось, это только с valids>6

. . . . . . . .
13626907835856555617857153
13626907835901572823386603
13626907835970184875495463
13626907835990331942603763
13626907836030481117389637
13626907836052081164409903
13626907836154944022666193
13626907836175106563555853
13626907836219510253771177
13626907836225152812523113
13626907836234359695774133
13626907836297555674874673
13626907836796058051306887
13626907844051707367872537 
13626907844253076666653187
13626907845068649530899327
13626907860515514471496417 
13626907880687214850256347
13626907888775292354423007
13626907907723563895652037
13626907926515720195458927
13626907940257270875516127
13626907949739749498823817
13626907950297453408927157
13626907976372265192167377
13629144327272333493922507
13649294951642904119401223
13656908485850866043837857
13663733617287960381605257
. . . . . . . . 

Плотность приближений в начале интервала офигенная!

А если вставить приближения с низкими valids, вообще плотность зашкаливает.

Пока не знаю, о чём это говорит.
Может, ни о чём :)
Но не удивлюсь, если в этом интервале сидит ключевая 17-ка.
А если не сидит, тоже не удивлюсь :)

Эксперимент остановлен.
Там Ахиллесы столько насчитали!
Надо обрабатывать результаты.

Но этот интервальчик надо как-нибудь просчитать.
Ну, программа в миллион раз быстрее моей могла бы это сделать за часок или даже за 5 минут :)
Черепашке потребуется очень много времени на этот интервальчик.

Кстати, подобных интервалов у меня много.

Космическая программа нашла следующие приближения к ключевой 17-ке

13513136875012419049106301427: [0, 6, 10, 36, 84, 90, 102, 114, 120, 154, 174, 190, 192, 210, 214, 234, 240]
valids=7

13506166865741926062952194757: [0, 16, 24, 34, 36, 70, 100, 114, 120, 142, 172, 196, 204, 214, 216, 234, 240]
valids=7

822132703386037798998509395957: [0, 6, 24, 46, 66, 84, 102, 112, 120, 142, 150,154, 156, 190, 210, 234, 240]
valids=9

Где-то в космосе есть и ключевые 17-ки.
Конечно, не "полным-полно", но есть.

В последнем приближении начальный элемент 30-значный.
Великолепное приближение, только valids маловат.
Кстати, в нём содержится и приближение к центральной 15-ке.

Хорошие добавочки выловились в методе интервалов

10228524071925918807498277: [0, 16, 24, 36, 46, 90, 102, 112, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 214, 234, 240]
valids=11
number form=83495664267

10365127313224555066595227: [0, 6, 24, 46, 66, 76, 90, 102, 120, 126, 150, 154, 174, 204, 214, 220, 240]
valids=11
number form=78756300253

Уф!
Вроде обработала все результаты, накопившиеся за двое суток.

Черепашка хнычет: "Хочу считать." :)

Ладно, продолжаем считать интервальчик из сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=293&postid=15495

Всё-таки весьма интересна такая плотность приближений.
Может быть, в этом нет ничего удивительного, но я с такой плотностью ещё не встречалась.

Такой маленький начальный интервал, а сколько внутри него приближений!
И это ведь далеко не все, а только с valid>6.

Итак, немножко посчитаем этот интервал.
Считаю на периоде 37# по 11 периодов.
Однако первый проход был на периоде 43# (тоже 11 периодов), и я его не досчитала, потому что слишком долго.

Мы с черепашкой придерживаемся поговорки "Тише едешь - дальше будешь".
К тому же, мы никуда не торопимся.
У нас не скачки по перебору цифири (кто в миллион раз быстрее переберёт!), а эксперименты по выявлению закономерностей.

На 37# 11 периодов считаются 1,5 часа.
На компьютере побыстрее черепашки это будет считаться около часа или даже меньше часа.
Очень комфортный для нас с черепашкой режим.
В любой момент останавливаемся, а потом в любой момент продолжаем.
И никаких чекпоинтов не надо.

Вот черепашка считает

(05:16) gp > \r 17_43_int.txt
   logfile = "17_43_int_res.txt"
13626907836399761753333857: [0, 6, 24, 52, 60, 64, 70, 112, 120, 132, 150, 162,
174, 214, 220, 234, 240]
valids=8
13626907836372432223756067: [0, 6, 14, 26, 62, 90, 92, 96, 120, 126, 180, 182, 1
92, 204, 216, 230, 240]
valids=7
13626907836345919743839753: [0, 38, 66, 68, 84, 86, 90, 114, 120, 126, 150, 168,
 174, 194, 210, 218, 240]
valids=8
time = 1h, 34min, 58,124 ms.
(08:11) gp > \r 17_43_int.txt
   logfile = "17_43_int_res.txt"
13626907836485479280634277: [0, 6, 12, 36, 66, 84, 90, 112, 114, 120, 126, 156,
160, 180, 220, 222, 240]
valids=8

Кстати, интересный факт: приближение может быть найдено на периоде 37# и не найдено на периоде 43#.
Но есть и такие, которые находятся и там, и там.

Пример

13626907836219510253771177: [0, 10, 36, 46, 76, 84, 102, 112, 120, 144, 150, 156, 172, 190, 204, 234, 240]
valids=7

Разумеется, ключевая 17-ка, если она есть в этом интервале, найдётся на любом периоде.

Проверка

на периоде 37#
13626907836219510253771177 = 1836327813846 * 7420738134810 + 219321191917

на периоде 43#
13626907836219510253771177 = 1041592634 * 13082761331670030 + 771976087212157

А теперь смотрим, пожалуйста, сообщения
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=293&postid=15483
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=293&postid=15484

Добавлю ещё формулы для последней известной ключевой 17-ки

901985248981556228168767 = 390469804753920445094*2310 + 1627 – на периоде 11#
901985248981556228168767 = 30036138827224649622*30030 + 20107
901985248981556228168767 = 1766831695719097036*510510 + 320407
901985248981556228168767 = 92991141879952475*9699690   + 5936017
901985248981556228168767 = 4043093125215325*223092870 + 5936017
901985248981556228168767 = 139417004317769*6469693230 + 5360164897
901985248981556228168767 = 4497322719928*200560490130 + 11829858127
901985248981556228168767 = 121549262700*7420738134810 + 5627523581767
901985248981556228168767 = 2964616163*304250263527210 + 131780071873537
901985248981556228168767 = 68944561*13082761331670030 + 12301790612961937
901985248981556228168767 = 1466905*614889782588491410 + 352453585236382717
901985248981556228168767 = 27677*32589158477190044730 + 15109808367360176557
901985248981556228168767 = 469*1922760350154212639070 + 210644759230500444937
901985248981556228168767 = 7*117288381359406970983270 + 80966579465707431285877
901985248981556228168767 = 0*7858321551080267055879090 + 901985248981556228168767 –  на периоде 67#

Интересно: на периодах 19# и 23# одинаковые добавки.

Так вот, эта ключевая 17-ка в нулевом периоде периода 67#, где, по утверждению Ядряры, ключевых 17-к "полным-полно".
Не исключено, что перед показанной ключевой 17-ой есть ещё тоже на нулевом периоде периода 67#.
Другими словами, существует простое X<901985248981556228168767, для которого верны следующие формулы

X = np1*2310 + d1 – на периоде 11#
X = np2*30030 + d2
X = np3*510510 + d3
X = np4*9699690   + d4
X = np5*223092870 + d5
X = np6*6469693230 + d6
X = np7*200560490130 + d7
X = np8*7420738134810 + d8
X = np9*304250263527210 + d9
X = np10*13082761331670030 + d10
X = np11*614889782588491410 + d11
X = np12*32589158477190044730 + d12
X = np13*1922760350154212639070 + d13
X = np14*117288381359406970983270 + d14
X = 0*7858321551080267055879090 + X –  на периоде 67#

Отличные формулы!
Однако найти X из этой системы уравнений очень проблематично.

Может, кто умеет? :)

Мне кажется, что, сопоставляя формулы для X с формулами для последней известной ключевой 17-ки, вполне можно выработать стратегию поиска X.
Тем более что для нескольких начальных периодов все добавки могут быть предъявлены для вычислений, их немного.

Перекрестилась, всё равно кажется :)

Так например, на периоде 11# имеем всего 16 добавок, вот они

157, 373, 443, 527, 703, 773, 857, 1213, 1297, 1367, 1543, 1627, 1697, 1913, 2137, 2243

Разумеется, добавки вычисляются для паттерна ключевой 17-ки

0, 6, 24, 36, 66, 84, 90, 114, 120, 126, 150, 156, 174, 204, 216, 234, 240

Смотрим на первое уравнение

X = np1*2310 + d1

d1 - это одна из 16 показанных добавок.
Кроме того, при наших условиях
np1<390469804753920445094

Но вот насколько меньше, мы, конечно, не знаем.
На сотни миллиардов можно уменьшать, и перебор будет реальный.

Точно так же и для второго уравнения - на периоде 13#, и для третьего и т. д.
Однако с ростом периода количество добавок сильно увеличивается, и это затрудняет поиск.

Кстати, предыдущая известная ключевая 17-ка на периоде 11# имеет следующую формулу
154787380396512840656507 = 67007523981174389894 * 2310 + 1367

Делим интервал (67007523981174389894, 390469804753920445094) пополам и начинаем поиск около центра интервала.
Авось, повезёт.

Вот такая стратегия.

Можно попытаться на другом периоде, например, 19#
901985248981556228168767 = 92991141879952475*9699690 + 5936017
а
X = np4*9699690 + d4

Добавки тоже все можно предъявить для вычислений, их всего 1024 шт.

Предыдущая известная ключевая 17-ка на периоде 19# имеет следующую формулу
154787380396512840656507 = 15957971893587613 * 9699690 + 6716537

Космическая программа выдала приближение к ключевой 17-ке

1428580312350202294365951648607: [0, 6, 10, 24, 46, 70, 84, 90, 100, 102, 150, 172, 192, 204, 216, 234, 240]
valids=7

с 31-значным начальным элементом.

В приближении содержится приближение к центральной 15-ке.

Всё дальше вырываемся в космос.
Очень интересно: даст ли нам космос ключевую 17-ку.

Было бы побольше техники, можно бы запустить несколько потоков космической программы.
Ну что такое - один поток?!
Космос-то огромный, на него надо как минимум - кластер или суперкомпьютер.
Смешно выглядит один поток на весь космос :))