Симметричные кортежи из последовательных простых чисел, состоящие из сексуальных пар

Такой последовательности пока нет в OEIS.
Можно создать.

Я немного занималась поиском таких кортежей.

Приведу определение сексуальных пар простых чисел из Википедии.

Sexy prime
https://en.wikipedia.org/wiki/Sexy_prime

In number theory, sexy primes are prime numbers that differ from each other by 6. For example, the numbers 5 and 11 are both sexy primes, because both are prime and 11 − 5 = 6.

The term "sexy prime" is a pun stemming from the Latin word for six: sex.

Что называется: математики шутят :)
Всё-таки "шесть" это "six", а не "sex".

Вот что есть в моём рабочем файле.
k - длина кортежа, n - количество сексуальных пар.

k=2, n=1
{23, 29}
23: 0, 6

k=4, n=2
{23, 29, 31, 37}
23: 0, 6, 8, 14

k=6, n=3
{869413, 869419, 869437, 869443, 869461, 869467}
869413: 0 6 24 30 48 54

k=8, n=4
{61637, 61643, 61651, 61657, 61667, 61673, 61681, 61687}
61637: 0 6 14 20 30 36 44 50

k=10, n=5
{9032233531, 9032233537, 9032233591, 9032233597, 9032233627, 9032233633, 9032233663, 9032233669, 9032233723, 9032233729}
9032233531: 0 6 60 66 96 102 132 138 192 198

k=12, n=6
{244536073, 244536079, 244536101, 244536107, 244536113, 244536119, 244536151,
244536157, 244536163, 244536169, 244536191, 244536197}
244536073: 0 6 28 34 40 46 78 84 90 96 118 124

k=14, n=7
не найден

k=16, n=8
{1880689219377931, 1880689219377937, 1880689219378003, 1880689219378009,
1880689219378027, 1880689219378033, 1880689219378043, 1880689219378049,
1880689219378141, 1880689219378147, 1880689219378157, 1880689219378163,
1880689219378181, 1880689219378187, 1880689219378253, 1880689219378259}
1880689219377931: 0 6 72 78 96 102 112 118 210 216 226 232 250 256 322 328
кортеж найден в BOINC-проекте TBEG.

Все эти кортежи минимальные.
Надо найти сексуальную 14-ку. Чего это её нет???

Покажу ещё раз иллюстрацию - красивый симметричный кортеж длины 16 из сексуальных пар, из которого построен пандиагональный квадрат 4-го порядка; пропущен у Ярослава Врублевского и найден в BOINC-проекте TBEG.



Кортеж

520210977238677833: 0 6 104 110 210 216 234 240 314 320 338 344 444 450 548 554

Много симметричных сексуальных 16-ок нашёл Ярослав Врублевский в рамках конкурса по кортежам; они все у него пандиагональные квадраты 4-го порядка дают.

Покажу эти 16-ки, они у меня есть в рабочем файле

64357903328718397: 0,6,10,16,126,132,136,142,144,150,154,160,270,276,280,286
75219020808006217: 0,6,36,42,70,76,106,112,114,120,150,156,184,190,220,226
244890665002815107: 0,6,24,30,66,72,80,86,90,96,104,110,146,152,170,176
247107577536578131: 0,6,10,16,42,48,52,58,120,126,130,136,162,168,172,178
256734097976480057: 0,6,20,26,66,72,84,86,90,92,104,110,150,156,170,176
266628508388015611: 0,6,22,28,60,66,82,88,210,216,232,238,270,276,292,298
274205528562749933: 0,6,30,36,44,50,74,80,84,90,114,120,128,134,158,164
320572022166380833: 0,6,10,16,18,24,28,34,60,66,70,76,78,84,88,94 (этот квадрат, найден ещё до конкурса)
584975972044768607: 0,6,50,56,66,72,84,90,116,122,134,140,150,156,200,206
597511709585678627: 0,6,20,26,36,42,56,62,174,180,194,200,210,216,230,236
858132626286456923: 0,6,50,56,78,84,90,96,128,134,140,146,168,174,218,224
904317321628148641: 0,6,30,36,126,132,156,162,196,202,226,232,322,328,352,358
1133184478443607433: 0,6,20,26,78,84,98,104,210,216,230,236,288,294,308,314
1249673986036931797: 0,6,60,66,84,90,144,150,160,166,220,226,244,250,304,310
1464641505981883193: 0,6,20,26,48,54,68,74,90,96,110,116,138,144,158,164
1798875821147433863: 0,6,14,20,24,30,38,44,60,66,74,80,84,90,98,104
2104650358729544023: 0,6,34,40,60,66,84,90,94,100,118,124,144,150,178,184
2202676356250302461: 0,6,36,42,96,102,132,138,140,146,176,182,236,242,272,278
2618338000143236213: 0,6,8,14,30,36,38,44,90,96,98,104,120,126,128,134
2877019027302762913: 0,6,54,60,70,76,114,120,124,130,168,174,184,190,238,244
2998166279211456467: 0,6,30,36,50,56,80,86,126,132,156,162,176,182,206,212
3126035304223644013: 0,6,18,24,60,66,70,76,78,84,88,94,130,136,148,154
3699486792695636141: 0,6,30,36,50,56,80,86,132,138,162,168,182,188,212,218
3848563151802671563: 0,6,10,16,18,24,28,34,60,66,70,76,78,84,88,94 (повторяется паттерн самого первого квадрата Ярослава, это, кажется, минимальный диаметр)
3954044488109204897: 0,6,14,20,30,36,44,50,126,132,140,146,156,162,170,176
4072432651991186423: 0,6,14,20,30,36,44,50,174,180,188,194,204,210,218,224
4308119447085349781: 0,6,30,36,42,48,72,78,110,116,140,146,152,158,182,188
4372961435616492067: 0,6,24,30,70,76,94,100,150,156,174,180,220,226,244,250
4446407233901388037: 0,6,66,72,84,90,150,156,190,196,256,262,274,280,340,346
5030319683017841117: 0,6,14,20,66,72,80,86,90,96,104,110,156,162,170,176
5051144543625838907: 0,6,30,36,90,96,120,126,146,152,176,182,236,242,266,272
5075754267051808903: 0,6,30,36,84,90,114,120,154,160,184,190,238,244,268,274
5428670927917516177: 0,6,16,22,84,90,100,106,120,126,136,142,204,210,220,226
5908915623504697003: 0,6,30,36,48,54,70,76,78,84,100,106,118,124,148,154
5986294670848092703: 0,6,40,46,84,90,114,120,124,130,154,160,198,204,238,244
6326577705299871353: 0,6,20,26,48,54,68,74,90,96,110,116,138,144,158,164
6903481620265522931: 0,6,30,36,56,62,86,92,126,132,156,162,182,188,212,218

Вот она, попалась голубушка - минимальная сексуальная симметричная 14-ка из последовательных простых чисел

33181935987537061: 0 6 30 36 96 102 126 132 156 162 222 228 252 258

Аж на 17-ой странице результатов в БД BOINC-проекта TBEG
https://boinc.tbrada.eu/spt/tuples.php?spt=14&p=17

Итак, теперь надо искать сексуальную 18-ку.
Попробую поискать в результатах проекта TBEG.
18-ка из близнецов не найдена пока.
Но, может быть, сексуальная уже есть.

Увы!
Сексуальная 18-ка в результатах проекта TBEG не найдена.

Проверила и 18-ки, найденные в BOINC-проекте SPT; их найдено на данный момент 97842.
Сексуальная 18-ка не найдена.
На кузенов и близнецов тоже проверила.
Н-и-ч-е-г-о нет.
Вредные какие 18-ки :)

Последовательность минимальных сексуальных симметричных кортежей длины 2n из последовательных простых чисел получается такая

23, 23, 869413, 61637, 9032233531, 244536073, 33181935987537061, 1880689219377931

n = 1, 2, 3, ...

Ещё нашла последовательность в OEIS, связанную с симметричными кортежами из последовательных простых чисел.

17) https://oeis.org/A320874
A320874 Lexicographically first 4 X 4 pandiagonal magic square made of consecutive primes.

170693941183817, 170693941183933, 170693941183949, 170693941183981, 170693941183979, 170693941183951, 170693941183847, 170693941183903, 170693941183891, 170693941183859, 170693941184023, 170693941183907, 170693941183993, 170693941183937, 170693941183861, 170693941183889

AUTHOR
M. F. Hasler, Oct 22 2018

Смотрите последовательность https://oeis.org/A245721, созданную Максом Алексеевым.
По сути это одна и та же последовательность.
Ну, наверное, что-то новое сказал M. F. Hasler в своей статье.
Может, интересные ссылки добавил.
Ссылка на статью Макса указана

\\ The set of primes is A245721=MagicPrimes(682775764735680, 4)

Цитата

8) https://oeis.org/A055380
A055380 Central prime p in the smallest (2n+1)-tuple of consecutive primes that are symmetric with respect to p.

5, 18731, 683783, 98303927, 60335249959, 1169769749219, 3945769040699039, 159067808851610657

<...>
Эта последовательность ждёт минимальную 19-ку!
Уже шесть лет ждёт.
Дождётся ли?

Возможно, уже дождалась.
В BOINC-проекте SPT найдены уже две 19-ки, это меньшая

6919940122097246303: 0 48 78 138 198 204 210 264 288 294 300 324 378 384 390 450 510 540 588

Однако минимальность этой 19-ки ждёт подтверждения.

PS. Рискнула ввести решение в OEIS как верхнюю границу.
Посмотрим, утвердят или не утвердят.

Последовательность https://oeis.org/A055380 утвердили.
Верхняя граница для 19-ки зафиксирована.

А вот с 26-ой не повезло, про последовательность напрочь забыли.
Ввела изменения 6 декабря т. г.
И тишина ...
Редактор однажды заглянул в последовательность, что-то там изменил (я не поняла, что именно) и всё.
Больше никто ничего не написал.

Вот черновик
https://oeis.org/draft/A055382

Ну вот, последовательность
https://oeis.org/A055382
утвердил Макс.

Что-то в OEIS уснули :)

Наконец-то, мировой рекорд внесён в OEIS - самый длинный симметричный кортеж из последовательных простых чисел

5179852391836338871: 0 12 18 28 46 76 78 120 186 210 226 232 238 300 306 312 328 352 418 460 462 492 510 520 526 538

У Carlos Rivera тоже мировой рекорд внесён.

Problem 60. Symmetric primes on each side.
https://www.primepuzzles.net/problems/prob_060.htm

On Jan 6, 2024, Natalia Makarva wrote:
Two 26-tuples were found in the BOINC SPT project, possibly not minimal

5179852391836338871: 0 12 18 28 46 76 78 120 186 210 226 232 238 300 306 312 328 352 418 460 462 492 510 520 526 538
7331618973503379271: 0 22 30 36 40 52 58 72 120 160 190 192 220 348 376 378 408 448 496 510 516 528 532 538 546 568

Everyone can take part in the search for a minimum 26-tuple in the competition
https://primesmagicgames.altervista.org/wp/primes-k-tuple-2/

Хорошо, теперь не потеряется.

Вспомнилась что-то OEIS.

В частности последовательность
https://oeis.org/A081235

Я не вносила в эту последовательность 26-ку и 28-ку, найденные в BOINC-проекте SPT, потому что не было увкркнности в их минимальности.

Сейчас подумала, что надо бы внести, вроде Demis просчитал пропущенный пакет заданий и другие бракованные кортежи проверил, в чём ему как бы помогал г. Петухов.

Пошла в OEIS, чтобы внести, и... вижу, что г. Петухов уже подсуетился

a(13)-a(14) from SPT test project, added by Dmitry Petukhov, Mar 16 2025

То есть в марте т. г. он уже внёс минимальные 26-ку и 28-ку.

Покажу минимальный симметричный 28-tuplet

9648166508472058129: 0 12 118 132 150 160 168 184 210 234 252 268 288 300 352 364 384 400 418 442 468 484 492 502 520 534 640 652

https://boinc.termit.me/adsl/tuples.php?spt=28&p=1&ln

О как расползся!
Диаметр 652 !

А симметричных 26-tuplets в проекте SPT найдено аж три

5179852391836338871: 0 12 18 28 46 76 78 120 186 210 226 232 238 300 306 312 328 352 418 460 462 492 510 520 526 538
7331618973503379271: 0 22 30 36 40 52 58 72 120 160 190 192 220 348 376 378 408 448 496 510 516 528 532 538 546 568
9648166508472058141: 0 106 120 138 148 156 172 198 222 240 256 276 288 340 352 372 388 406 430 456 472 480 490 508 522 628

https://boinc.termit.me/adsl/tuples.php?spt=26&p=1&ln

Последний кортеж матрёшечный.
Красивые матрёшки!

В матрёшечной 26-ке ещё и расстояние между первыми двумя элементами (и соответственно между последними двумя элементами) очень большое, возможно, рекордное.
И все 26-ки тоже расползлись.

Наверное, г. Петухов и минимальный симметричный 19-tuplet тоже добавил в OEIS.
Сейчас гляну.

Примечание: посмотрите на теоретические паттерны с минимальным диаметром для симметричных 26- и 28-tuplets

a(26)
0 6 8 14 20 24 26 30 36 38 44 48 66 68 86 90 96 98 104 108 110 114 120 126 128 134
0 6 8 14 20 24 26 30 36 38 48 50 66 68 84 86 96 98 104 108 110 114 120 126 128 134
0 6 8 14 20 24 26 30 36 44 48 50 66 68 84 86 90 98 104 108 110 114 120 126 128 134
0 6 8 14 20 24 26 30 36 48 50 54 66 68 80 84 86 98 104 108 110 114 120 126 128 134
0 6 8 14 24 26 30 36 38 44 48 50 66 68 84 86 90 96 98 104 108 110 120 126 128 134
0 8 14 20 26 30 36 38 44 48 54 56 66 68 78 80 86 90 96 98 104 108 114 120 126 134

a(28)
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 42 48 52 70 72 90 94 100 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 42 52 54 70 72 88 90 100 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 48 52 54 70 72 88 90 94 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142
0 4 10 12 18 24 28 30 34 40 52 54 58 70 72 84 88 90 102 108 112 114 118 124 130 132 138 142
0 4 10 12 18 28 30 34 40 42 48 52 54 70 72 88 90 94 100 102 108 112 114 124 130 132 138 142

https://oeis.org/A266512/a266512_1.txt

Сравните с диаметрами найденных 26-к и 28-ки.
Втолкать кортеж в такие малюсенькие диаметры дьявольски сложно.

Ещё очень давно в конкурсе по кортежам Ярослав Врублевский нашёл симметричные 18-tuplets с минимальным диаметром, но не был уверен в минимальности.
Минимальность, кажется, подтвердил г. Петухов.

Один из 18-tuplets оказался матрёшечным.
Таким образом, симметричный 20-tuplet с минимальным диаметром тоже найден.

Насколько мне известно, на этом всё закончилось в смысле поиска кортежей чётной длины с минимальным диаметром.
Ещё одна важная подзадача.

Смотрим последовательность
https://oeis.org/A055380

Да, минимальный симметричный 19-tuplet
6919940122097246597
г. Петуховым внесён тогда же, в марте т. г.

Цитирую

a(8) from SPT project, added by Dmitry Petukhov, Apr 06 2017
a(9) from SPT project, added by Dmitry Petukhov, Mar 25 2025

А вот про минимальную 17-ку - дезинформация.
А 2017 году SPT project ещё не существовал!

И даже подтверждения минимальной 17-ки в этом проекте не было, потому что этот проект не работал в диапазоне, где была найдена минимальная 17-ка.
Подтверждена минимальная 17-ка была в проекте TBEG.

Кстати, раньше было ведь правильно написано

a(8) from BOINC project, added by Dmitry Petukhov, Apr 06 2017

Смотрите сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=259&postid=12671

И BOINC project назывался Stop@home.

Г. Петухову необходимо исправить дезинформацию!
Просто надо вернуть прежнюю запись, которая была правильная.
Если необходимо указать название BOINC-проекта, можно указать с уточнением: BOINC-проект закрыт.
Если необходимо дать ссылку, где можно посмотреть этот результат, можно дать ссылку на проект TBEG
https://boinc.tbrada.eu/spt/tuples.php?spt=17&p=1

Вообще лучше не лезть туда, где есть автор проекта, который может сам внести все результаты, найденные в инициированных им BOINC-проектах.

Вот они - все симметричные 17-tuplets, найденные в BOINC-проекте Tomas Brada Experimental Grid (TBEG)

# page= 1, [unstable]
# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where `start`>=0 and `start`<=9000000000000000000 and kind='spt' and k=17
159067808851610411: 0 42 60 96 102 186 210 240 246 252 282 306 390 396 432 450 492
589492143270716899: 0 24 54 114 120 192 204 210 222 234 240 252 324 330 390 420 444
1326033721182094741: 0 6 18 36 120 168 186 216 258 300 330 348 396 480 498 510 516
1724672488829630161: 0 6 42 66 90 96 162 180 276 372 390 456 462 486 510 546 552
1799009523793490033: 0 114 156 186 240 264 270 324 330 336 390 396 420 474 504 546 660
2627620801084662563: 0 108 174 228 264 294 318 384 474 564 630 654 684 720 774 840 948
2687119294463586293: 0 24 78 84 120 150 168 198 204 210 240 258 288 324 330 384 408
2711169519694856959: 0 18 60 78 84 114 138 180 204 228 270 294 324 330 348 390 408
3235522982693027633: 0 6 60 120 126 138 168 246 258 270 348 378 390 396 456 510 516
# [unstable]: new tuples may appear below
3591347413760604881: 0 6 36 42 60 120 132 180 216 252 300 312 372 390 396 426 432
3722181188133389911: 0 30 72 96 150 156 180 210 216 222 252 276 282 336 360 402 432
3813080216381215441: 0 18 30 126 156 186 210 228 288 348 366 390 420 450 546 558 576
4041538518591769421: 0 18 36 108 120 150 156 186 198 210 240 246 276 288 360 378 396
4465698745762332011: 0 30 66 90 156 168 180 216 258 300 336 348 360 426 450 486 516
4547730656923199497: 0 6 30 36 42 66 120 156 246 336 372 426 450 456 462 486 492
# count = 15

https://boinc.tbrada.eu/spt/tuples.php?spt=17&p=1

Первый из этих кортежей минимальный.

Пока БД в этом проекте доступна.
Спасибо Томашу!

А это все симметричные 17-tuplets, найденные в BOINC-проекте Symmetric Prime Tuples (SPT)

# Copyright boinc.termit.me Natalia Makarova & Alex Belyshev & Tomáš Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where `start`>0 and `start`< 1898337310272981169 and spt.kind='spt' AND spt.k=17 LIMIT 0,200000
4679308425291971279: 0 12 30 54 72 144 180 252 282 312 384 420 492 510 534 552 564
4787657908465021067: 0 36 90 156 216 240 246 294 330 366 414 420 444 504 570 624 660
6031294806199243111: 0 6 18 48 60 108 126 150 318 486 510 528 576 588 618 630 636
6239488505247755519: 0 12 42 60 102 138 198 210 240 270 282 342 378 420 438 468 480
6254294998011830071: 0 30 42 60 96 102 120 180 246 312 372 390 396 432 450 462 492
6561013649263688341: 0 30 42 60 90 156 210 270 276 282 342 396 462 492 510 522 552
6837359459759035391: 0 42 60 66 72 120 126 150 156 162 186 192 240 246 252 270 312
6884636766567609443: 0 18 60 66 78 120 150 168 198 228 246 276 318 330 336 378 396
6909503198005638941: 0 18 60 78 162 168 210 228 300 372 390 432 438 522 540 582 600
6919940122097246351: 0 30 90 150 156 162 216 240 246 252 276 330 336 342 402 462 492
7294058794134463997: 0 42 132 162 174 192 282 294 372 450 462 552 570 582 612 702 744
7325015925425379463: 0 24 84 120 126 144 156 210 240 270 324 336 354 360 396 456 480
7333241003025607627: 0 6 42 66 90 102 180 300 306 312 432 510 522 546 570 606 612
7759945853684521811: 0 72 222 252 270 282 300 312 366 420 432 450 462 480 510 660 732
7902083290948579129: 0 12 18 102 132 138 150 168 180 192 210 222 228 258 342 348 360
8053379680763235601: 0 18 48 60 102 132 138 150 180 210 222 228 258 300 312 342 360
8148416117716890971: 0 60 126 168 180 186 216 246 258 270 300 330 336 348 390 456 516
8261853227037762731: 0 18 30 36 66 108 120 186 198 210 276 288 330 360 366 378 396
8523231963019473211: 0 18 30 36 108 120 150 156 198 240 246 276 288 360 366 378 396
8771507551674540341: 0 42 48 102 138 180 198 210 240 270 282 300 342 378 432 438 480
9218260110780722429: 0 84 102 114 204 234 240 252 282 312 324 330 360 450 462 480 564
9718123691417033957: 0 72 102 120 150 162 192 252 282 312 372 402 414 444 462 492 564
9787874337938973109: 0 18 42 60 78 150 162 192 270 348 378 390 462 480 498 522 540
10422360134744623799: 0 12 24 60 84 180 222 240 252 264 282 324 420 444 480 492 504
11550659870329782031: 0 12 18 42 78 102 198 240 330 420 462 558 582 618 642 648 660
# page=1 count=25 

https://boinc.termit.me/adsl/tuples.php?spt=17&p=1

Как видим, здесь нет минимальной 17-ки.