Я спросила R. Gerbisz, уверен ли он в том, что шлемоблещущих (кроме 3 и 11) не существует до 2^40.

Вот его ответ

I have not read their codes, so not sure, but assuming that these two article's search+your search is correct then there is no more solution up to 2^40.

https://www.mersenneforum.org/node/1087708?p=1087943#post1087943

Значит, он не уверен.

Поэтому я продолжаю проверку во втором миллиарде.
Запустила следующий интервал: (1000250000, 1000300000).

В информации от R. Gerbisz надо разбираться.
Решение какой задачи он имел в виду - до 2^40?
Может быть, это совсем не о шлемоблещущих.

Ну, всего один поток у меня работает, мне это не мешает.

Открываю статью по ссылке R. Gerbicz
https://arxiv.org/pdf/1904.09196

Гугл переводит:

Аннотация.

Мы представляем улучшенные алгоритмы вычисления вычетов левых факториалов
!p = 0! + 1! + • • • + (p − 1)! mod p. Мы используем эти алгоритмы для
вычисления вычетов !p mod p для всех простых чисел p до 2^40. Наши результаты
подтверждают, что гипотеза Курепы о левом факториале всё ещё остаётся открытой проблемой, поскольку они
показывают, что не существует нечётных простых чисел p < 2^40, таких, что p делит !p. Кроме того,
мы подтверждаем, что не существует простых чисел p, для которых 5 < p < 2^40.

Но тут используется другая сумма факториалов, которая начинается с 0!
Соответственно, это другая задача.

Что означает фраза

Кроме того, мы подтверждаем, что не существует простых чисел p, для которых 5 < p < 2^40.

я вообще не понимаю.

В оригинале

Additionally, we confirm that there are no socialist primes p with 5 < p < 2^40.

Перевод части этой фразы: "...нет социалистических простых чисел...".
Каких это "социалистических простых чисел"?

Надо посмотреть, в чём заключается гипотеза Курепы.

Спросила Алису про гипотезу Курепы.

Она дала подробный ответ.
Вот заключительные строки

Особенности гипотезы в теории чисел:
• Остаётся нерешённой проблемой уже более 50 лет.
• Доказано, что гипотеза верна для простых чисел меньше 2^40 (исследования Владики Андреича, А. Бостана и М. Татаревича).
• Было несколько попыток доказательства, но многие из них оказались ошибочными.
• Упоминается в книгах Гая (задача B44), Конинка–Мерсье (задача 37), а также в работах Шандора–Кристичи.

Она ссылается на ту самую статью, о которой я написала выше.

Посмотрела статью о гипотезе Курепы по диагонали.

Вот интересный момент

Thus, we might expect that the probability
to find a counterexample in an interval (2^m, 2^n) is approximately 1 − m/n, and the
expected number of primes p with |rp| < ℓ is approximately (2ℓ − 1) log(n/m) [2].

Перевод Гугла

Таким образом, можно ожидать, что вероятность
нахождения контрпримера в интервале (2^m, 2^n) приблизительно равна 1 − m/n, а
ожидаемое количество простых чисел p с |rp| < ℓ приблизительно равно (2ℓ − 1) log(n/m) [2].

Как я понимаю, для шлемоблещущих rp=1.

Интересно: нашли ли авторы статьи до 2^40 простые числа с rp=1, кроме простых чисел 3 и 11.
Авторы пишут, что все rp вычислили и сохранили.

Имеем:

0! + 1! + 2! = 4 ≡ 1 (mod 3)
0! + 1! + 2! + ... +10! = 4037914 ≡ 1 (mod 11)

Может быть, у авторов статьи есть и третье шлемоблещущее, и четвёртое...
А может, и нет ни одного!

А тем временем завершилась проверка очередного интервала.

Это интервал (1000250000, 1000300000).
В интервале 2483 простых числа.

Кажется, я пропустила один интервал: (1000200000, 1000250000).
Запустила его сейчас.

В проверенном интервале нет даже ни одной шестёрки и пятёрок мало.
Чем дальше, тем хуже.

На шлемоблещущие сейчас проверю.

Проверила, шлемоблещущих простых не найдено.

Задала вопрос на форуме mersenneforum.org
https://www.mersenneforum.org/node/1087708?p=1088037#post1088037

Как-то ведь, наверное, можно, связаться с авторами статьи?
Они так много вычислили, вдруг у них есть нужные нам результаты.

Жду ответ от R. Gerbicz.

Смотрю вторую статью (от 2014 года, фактически она первая) по ссылке
https://arxiv.org/pdf/1409.0800

Abstract. Kurepa’s conjecture states that there is no odd prime p that divides !p = 0!+1!+• • •+(p−1)!. We search for a counterexample to this conjecture for all p < 2^34. We introduce new optimization techniques and perform
the computation using graphics processing units. Additionally, we consider the
generalized Kurepa’s left factorial given by !kn = (0!)k+(1!)k+• • •+((n−1)!)k,
and show that for all integers 1 < k < 100 there exists an odd prime p such
that p |!kp.

Задача та же самая - о гипотезе Курепы, только до 2^34.

Г. Петухов писал в сообщении
https://dxdy.ru/post1702827.html#p1702827

Оказывается исходный вопрос проверили ещё шесть лет назад до 2^40 и решений не найдено (кроме 3 и 11). Две статьи в архиве, одна 2014г с 144\times10^6 до 2^34, вторая 2019г дальше до 2^40.

Оказывается-то оказывается, а ничего, что в этих двух статьях решали совсем другую задачу?
Всё-таки сумма факториалов, начинающаяся с 0! совсем не равна сумме факториалов, начинающейся с 1!.

И для шлемоблещущих, которые определены на форуме dxdy.ru, сумма факториалов начинается с 1!, а не с 0!.

И далее г. Петухов пишет:

А ещё сразу публикуют самые близкие к нулю ($|r_p|<100$) найденные результаты,

Да, я видела эту табличку для 24 простых чисел.
Но не увидела, что это самые близкие к нулю rp из всего проверенного интервала от 2 до 2^40.
Может, там это и написано, но я не читаю по английски, а перевожу выборочно.

Да, теперь г. Петухов сказал о значении rp=1.

А ещё он не сказал, откуда эти ссылки, сам нашёл или на mersenneforum,org в моей теме слямзил?
Ну, пусть все думают, что сам нашёл.
Он же Супермен.
Вот захотел и сразу нашёл, а в самом начале темы почему-то не искал :)
Вот и спасибо получил за ссылки.
Всё правильно :)

Цитата из первой статьи

It is easy to see that the statement above is equivalent to the statement that !n is not divisible by n > 2, which can be reduced to primes. Thus, Kurepa’s conjecture states that there is no odd prime p such that p divides !p. There have been numerous attempts to solve this problem, mostly by searching for a counterexample. The results of these attempts are listed in the accompanying table.

Upper Bound Author Year p < 3 • 10^5 Z. Mijajlovi´c [16] ˇ 1990 p < 10^6 G. Gogi´c [9] 1991 p < 3 • 10^6 B. Maleˇsevi´c [15] 1998 p < 2^23 M. Zivkovi´c [21] ˇ 1999 p < 2^26 Y. Gallot [8] 2000 p < 1.44 • 10^8 P. Jobling [13] 2004

Вот ещё цитата из второй статьи

Результаты для |rp| < 100 представлены в таблице 1.

Под таблицей 1 такая подпись:

“Table 1. The 24 primes in the interval (2^34, 2^40) such that |rp| < 100.»

То есть выбрали результаты из всего интервала (2^34, 2^40), для которых |rp| < 100.

В таблице есть простое число, для которого rp=5.
Уже близко к 1.
Кстати, число это 576 365 852 729.
И программой г. Петухова оно не проверяется.
Сейчас ещё раз попробую.

А данные о rp в интервале (2, 2^34) имеются (в первой или во второй статье)?
Вдруг там есть результаты с rp=1.

Вот об этом я и задала вопрос на mersenneforum.org.
Ответа на форуме пока нет.

Запускаю программу г. Петухова для нескольких простых чисел (пакетный файл)

fsumn.exe 576365852729 >> out.txt
fsumn.exe 576365852749 >> out.txt
fsumn.exe 576365852759 >> out.txt
fsumn.exe 576365852789 >> out.txt
fsumn.exe 576365852809 >> out.txt
fsumn.exe 2000130007 >> out.txt
fsumn.exe 2000130043 >> out.txt

Получаю

-1
-1
-1
-1
-1
[294539944]
[1004469673]

Простые числа меньше обрабатываются и результаты выдаются.

Кстати, о птичках...

Ещё раз цитирую г. Петухова

Оказывается исходный вопрос проверили ещё шесть лет назад до $2^{40}$ и решений не найдено (кроме $3$ и $11$). Две статьи в архиве, одна 2014г с $144\times10^6$ до $2^{34}$, вторая 2019г дальше до $2^{40}$.

Очень странно, но у меня первая статья датирована 2015 годом, а вторая статья - 17 декабря 2020 года.

Вот скриншот первой статьи



Ясно видно дату.

Ссылки у г Петухова те же самые, что дал R. Gerbicz на форуме.

Это ссылка на первую статью
https://arxiv.org/pdf/1409.0800
а это ссылка на вторую статью
https://arxiv.org/pdf/1904.09196

Так почему у г. Петухова смещение на год для каждой статьи?
У него летосчисление другое?

Может, г. Петухов указал даты написания статей, а не даты их опубликования?
А где указаны даты написания?
Минус один по умолчанию что ли?

О-о-о!
Увидела адрес
E-mail address: milos.tatarevic@gmail.com

Надо написать письмо.
Может, ответит.

Вот и R. Gerbicz ответил

https://www.mersenneforum.org/node/1087708?p=1088061#post1088061

Он ссылается на эту таблицу

Table 1. The 24 primes in the interval (2^34, 2^40) such that |rp| < 100.

Но в этой таблице только результаты в интервале (2^34, 2^40).
А в предыдущем интервале (2, 2^34) есть результаты?

VAL писал

Но можно поискать простаивающие мощности.

Это ещё более малоперспективное дело!
Я уже 10 лет ищу :)
Пока нашла только не то что бы простаивающие, а просто коллега собрал их из старых компьютеров и подарил мне (в удалёнке).

Ну, ещё BOINC-проект, тоже вариант.
Однако там не всё так просто (это только для критиков всё вообще тривиально).
У Hugo, например, не получилось.

Ой, R. Gerbicz дал-таки ответ.

В первой статье результаты тоже есть, они в самом конце, на странице 7, я просто до них не дошла.

Да, очень интересно: простое число 6855730873 имеет rp=2.
Почти шлемоблещущее!

Однако!
Где гарантия достоверности всех вычислений?
Нету её.
Конечно, перепроверять вычисления до 2^40 никто не будет.
Значит, независимой проверки нет.
Только до миллиарда перепроверено.
Я немножко проверила во втором и третьем миллиардах.
Ну, это крохи, конечно.

Жаль, что поиск шлемоблещущих придётся сворачивать.
Всё "не нашли" до нас :))

Во втором и третьем миллиардах программа хорошо работает.
А для чисел больше 2^40 она вообще не работает.

Было интересно разобраться досконально с теорией и практикой вычислений.
Алиса вывела меня на mersenneforum.org, где всё разъяснили.
Хотя это у неё была галлюцинация, но очень полезная :)
Даже R. Gerbicz оказался на месте.

Даже такое сравнительно небольшое простое число 6855730873 программа г. Петухова не проверяет.

Мгновенно выдаётся -1.

Ахиллес-3 проверил очередной интервал.

Это был интервал (1000200000, 1000250000).
В интервале 2404 простых числа.
Найдены две шестёрки

1854. Обрабатывается число: 1000238119 
[19225571,556062195,779032122,790226921,873244517,916719156]
2059. Обрабатывается число: 1000242647 
[379661209,402593042,491247962,551579636,637740157,754441693]

Шлемоблещущих простых в этом интервале не найдено.

Всё, остановила этот поиск.
Как уже сказала, было интересно разобраться в теории и практике вычислений.
Ну, а вычислений у меня и без этого поиска хватает.
Ахиллесы загружены полностью.

Кстати, Алиса выдала мне якобы программу R. Gerbicz; как я понимаю, это она сама написала.
Ай-да хитрющая какая!
Обставила свою галлюцинацию, что комар носа не поддточит.

Я проверила эту программку, она работает.
Сейчас запустила её на Ахиллесе-3 для проверки одного простого числа: 6855730873.
У этого числа авторы статьи нашли rp=2.
Интересно, потянет или нет?
Как долго будет проверять?
Число-то не так уж и большое.
Но программка на PARI/GP.

Вот код R. Gerbicz

default(timer,1);
{p=11;
  my(s = 1, f = 1);
  for(k = 1, p-1,
    f = (f * k) % p;  \\ вычисляем k! по модулю p
    s = (s + f) % p   \\ накапливаем сумму по модулю p
  );
  print(s);
}

Я его подкорректировала под то, что считали авторы статей.

Так вот, для p=11 программа мгновенно выдаёт

\r gerbicz_var.txt
1

То есть rp=1, как и должно быть.

А сейчас попробую этот код для простого числа 1000238119.
Интересно, какой у него rp.
И справится ли программа за приемлемое время.
Всего одно число, не сильно большое.

Вот программа выдала

? \r gerbicz_var.txt
553514373
time = 6min, 58,878 ms.

Справилась программа довольно быстро.
Огромное значение rp.

Подождём, что выдаст программа на Ахиллесе-3, там проверяется число 6855730873.
Это может быть в разы дольше, если вообще вырулит.
Результат должен быть: rp=2.

Напомню, что программа г. Петухова для этого числа мгновенно выдаёт -1.
Что сие означает, я без понятия.

Простое число 6855730873 программой R. Gerbicz, точнее - Алисы, проверилось!

Результат

? \r gerbicz.txt
2
time = 1h, 18min, 2,063 ms.
Как и должно быть: rp=2.

Замечательно!
Время: час с хвостиком.

Эх, чуть-чуть не повезло, всего на единицу больше rp.

Ну вот, протестировала один результат из статьи.