Примеры

Для р=3 имеем
1! + 2! = 3
делится на 3.
А дальше все факториалы содержат число 3 (как множитель).

Для р=11 имеем
1! + 2! + ... + 10! = 4037913
делится на 11.
А дальше все факториалы содержат число 11 (как множитель).

Удивительное свойство!
Да-с.

Цитата

Красиво!
Все члены, начиная с а(4), оканчиваются на цифру 3.
Это будет верно для всех членов вообще?

Более того: все члены последовательности, начиная с а(9)= 409113, оканчиваются на 13.
ВотЪ!
Дьявольская последовательность :)

Сумма от 1! до 9! оканчивается на 13.
А дальше все факториалы оканчиваются на два нуля, так как содержат множители: 2, 5 и 10.
Потом, начиная с 20! содержат ещё и множитель 20.
Ой!
Без пол-литра не разберёшься, как мама говорила :)

Что-то Ядряра забыл про этот вопрос

Да потому что таким темпом вполне можно искать двадцать тысяч лет и всё равно не найти. А откуда я взял такой временной отрезок? С потолка?

Да, я думаю, что именно с потолка.

Потому что точно посчитать, сколько тысяч лет в BOINC-проекте ODLK2025 будут искать симметричный 21-tuplet, невозможно.
Всё непредсказуемо!
Кортеж может найтись завтра, а может не найтись и 10 лет.

Симметричный 19-tuplet искали почти 10 лет, но нашли, и не один.
И в BOINC-проектах искали, и в ручных проектах искали; и в BOINC-проекте (третьем по счёту) как раз и нашли.
Алгоритм там был - брутфорс, то есть тотальный перебор.
Ну вот попались они при тотальном переборе, потому их и нашли.
А не попались бы, то и не нашли бы до сих пор.

Цитата

Если p шлемоблещущее простое число, то
sum_{n=1..p-1}n! делится на p.

Вчера пообщалась с Алисой.
Написала ей определение, которое в цитате, и спросила, может ли она написать программу поиска таких простых чисел на PARI/GP.
Она сразу же написала программу.
Кроме того, сказала, что таких чисел пока известно всего два: 3 и 11.
Это, якобы. открытая проблема в теории чисел.

Ну, вот программка Алисы

{start=2; end=100;
 forprime(p = start, end,
 my(fact = 1, sum = 0);
 for(n = 1, p-1,
 fact = (fact * n) % p;
 sum = (sum + fact) % p
 );
 if(sum == 0,
 print("p = ", p)
 )
 )
}

Привожу, как она написала, ничего не изменяла.

Запускаю эту программу и получаю

? \r alisa.txt
p = 3
p = 11

Работает? :)

Можно проверять для простых чисел в любом интервале, это я так её попросила.

А потом мы с ней общались несколько часов подряд по другому вопросу. - очень сложному.
Мне нравится эта неограниченность во времени и в вопросах.
Она с готовностью отвечает на любые вопросы.
И сразу бросается выполнять запрос, хотя, конечно, не всегда всё делает правильно.
Я делаю замечания, она сразу же признаёт ошибки и пытается их исправить.
В общем, с ней приятно общаться.

P. S. Кстати, если сумма факториалов до какого-то n уже посчитана, можно её использовать, а не считать заново эту сумму.
Потом, после проверки очередного интервала, опять использовать уже посчитанную сумму факториалов.
Конечно, тогда придётся эти суммы хранить, причём не по модулю каких-то простых, а настоящие значения.

Организовала проверку для одного из результатов gris, вот этого
k=212, p=1303

{start=1250; end=1350;
s=4756137296759039716662154561026181570299584239081422977982183361989343657475678356551084823755618454706653515821085882226326150863922255464437239686581845691637811659669184816595208775499645896255793317790720492420481566480153623236834199269904453313019338360945073775287631245136988948143642171312099948832526577519236128773580568002865221077174357058621107994804323593105039052556442336528920420940313;
 forprime(p = start, end,
 print1(p,",",(s)%p,"; ");
 );
}

Запускаю, получаю

1259,1011; 1277,353; 1279,246; 1283,671; 1289,779; 1291,146; 1297,902; 1301,1007; 1303,0; 1307,193; 1319,1153; 1321,1147; 1327,1237;

(простое число, остаток от деления)

Сумму факториалов взяла в OEIS, там как раз до k=212 посчитано.

Трудно даже представить какие длинные суммы дальше будут.
В кортежах мы такие не считаем :)
gris прям расстроился, что ему "девятки" и дальше уже "не по силам".

На мой непросвещённый взгляд, считать такие числа - извращение.
Но математикам и особенно программистам это нравится.
Чтобы миллионно-значные числа были :)

А можно, конечно, всё сразу по модулю считать, как один форумчанин написал

На всякий случай, я сразу делал все по модулю, это позволяет иметь дело только с маленькими числами и ни черта не хранить. По крайней мере, при поиске шлемоблещущих

https://dxdy.ru/post1701208.html#p1701208

Этот же форумчанин писал

...первооткрыватель двух шлемоблещущих чисел - gris конечно, мне же хотелось попробовать найти третье. Ведь... вот есть даже девятки - т.е. нулевой остаток в этих суммах встречается и не раз, да только не на своем месте. Рано или поздно мог бы и на нужном нолик выпасть

https://dxdy.ru/post1701352.html#p1701352

Кстати, термин "шлемоблещущие" этот форумчанин придумал.

Ой, скачала программу г. Петухова по его ссылке.
https://cloud.mail.ru/public/BedN/BTw4Y4Wib

Попробовала девятку найти

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 5171293
[569974,1175400,1281722,1587966,2246209,3850593,3932647,4346646,4792742]
Time: 0.048s

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>pause
Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

Даже секунду не ищет.
Супер!

А чего же тогда gris расстроился?
Вот же программа прекрасно работает, пусть ищет девятки и десятки :)

Ещё три результата протестировала программой г. Петухова, вот эти

73739857: [6235359, 6414028, 20707256, 29077216, 42789242, 48187907, 50455742, 59049130, 71542857]
78527249: [1309012, 1314912, 10538320, 24564045, 24937373, 32475313, 42528008, 48110782, 70855513]
98449157: [21143860, 23027419, 33619199, 48486686, 51781066, 53999947, 57086251, 64851692, 82766190]

https://dxdy.ru/post1701397.html#p1701397

У меня получилось

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 73739857
[6235359,6414028,20707256,29077216,42789242,48187907,50455742,59049130,71542857]

Time: 0.750s

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 78527249
[1309012,1314912,10538320,24564045,24937373,32475313,42528008,48110782,70855513]

Time: 0.797s

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 98449157
[21143860,23027419,33619199,48486686,51781066,53999947,57086251,64851692,82766190]
Time: 1.015s

Результаты совпадают.
Как я понимаю, проверяется одно простое число, которое введено при запуске программы.
Надо бы сделать, чтобы работало для всех введённых простых, в каком-то интервале, например.

Последняя выложенная девятка

150036223: [24363564, 39953214, 50425127, 68163059, 83537136, 86980045, 108542657, 112341436, 139766002]

https://dxdy.ru/post1701529.html#p1701529

Проверяю

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 150036223
[24363564,39953214,50425127,68163059,83537136,86980045,108542657,112341436,139766002]
Time: 1.546s

Всё совпадает.

Полторы секунды на девятку!

Запускаю пакетный файл

fsumn.exe 300000137
pause
fsumn.exe 300000149
pause
fsumn.exe 300000167
pause
fsumn.exe 300000251
pause
fsumn.exe 300000277
pause
fsumn.exe 300000317
pause
fsumn.exe 300000319
pause
fsumn.exe 300000353
pause
fsumn.exe 300000383
pause
fsumn.exe 300000397
pause
fsumn.exe 300000413
pause
fsumn.exe 300000419
pause
fsumn.exe 300000451
pause
fsumn.exe 300000461
pause
fsumn.exe 300000497
pause
fsumn.exe 300000517
pause
fsumn.exe 300000521
pause
fsumn.exe 300000529
pause

Самое большое, кажется, четвёрка.

Интересны вот эти находки, один раз сумма делится

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 300000251
[203550579]
Time: 3.168s

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 300000383
[265714795]
Time: 3.168s

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 300000497
[239599052]
Time: 3.183s

Где-то рядом со шлемоблещущими :)

Вот если бы, скажем, в первом примере было не 203550579, а 300000250, то это был бы шлемоблещущий.
Правильно понимаю?

Надо пойти у Алисы спросить :)

Десятка, как я понимаю, ещё не найдена?

А если ввести в программе шлемоблещущее число 11, то будет бесконечное число делений выдаваться?

Ещё выполнила один пакетный файл.

Вот четвёрка нашлась

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 300000667
[39373954,109471683,142396752,146374478]
Time: 3.184s

Ну, вводить вручную простые числа, это не дело, конечно.
Надо задавать не одно простое число, а некоторый интервал.
И пусть простые числа генерируются в программе и проверяются.

Можно в пакетном файле и не делать паузу.

Работает нормально и быстрее.

Тэк-с, сейчас сгенерирую ещё простых и попробую дальше поискать.

Сгенерировала 108 следующих простых чисел и проверила их пакетным файлом.

Вот пятёрка нашлась

C:\Users\Admin\Downloads\Pari64-2-13-4\Рабочая папка>fsumn.exe 300001523
[43244424,212289272,224413009,229542991,278930425]
Time: 3.152s

Ещё порцию проверила, до простого 300009991.
Нашлась пятёрочка всего-навсего.

Программа работает довольно быстро, пока 3 секунды с хвостиком на одно простое.

Перенаправила вывод результатов в файл.

Это начало миллиарда

[160765196,247329077]
[344629108,956060693]
[]
[]
[197315867,728381977]
[405902677]
[]
[495344993,678797680,785383744]
[]
[468508907,578451344,935914507,965422740]
[]
[182427004]
[109457514]
[408902634]
[826648396]
[]
[]
[]
[955681299]
[]
[]
[]
[596019945]
[965675850]
[72874526,639501773]
[695133088]
[777097053]
[558368146]
[]
[192666952,431474240,468722658]
[488502652,743860851]
[204230939]
[806711005]
[988527719]
[712879402,948340773]
[]
[]
[158803759,181258825]
[]
[77292347]
[470400376]
[525681596]
[]
[]
[]
[963514571]
[67814599,185746542]
[237579800,285255290,628407164]

Непонятно, для какого простого результат.

Здесь одно простое проверяется 11 секунд с хвостиком на моей черепашке.

В общем, поискала бы, да программа как-то не совсем хорошо сделана.
Ни ввода для нескольких простых (из заданного интервала), ни вывода результатов.
Это надо всё время смотреть на консоль что ли?
Вдруг десятка найдётся.

Ну, для меня г. Петухов программу не будет делать :)

Посмотрела там (после ссылки на исполняемую программу) приписочку г. Петухова

Использование в PARI для получения строк выше:
fs=extern(strexpand("fsumn.exe ",p," 2>nul"));
#fs>5 && print(p,": ",fs,", len=",#fs);

да призадумалась, а сыр во рту держала :)

Ну, конечно, гениям сразу понятно, что сия приписочка означает.
А глупой Макаровой не сразу понятно.

После некоторых размышлений предположила, что в PARI/GP будет работать такой код

{forprime(p=1000000993, 1000003000,
fs=extern(strexpand("fsumn.exe ",p," 2>nul"));
#fs>2 && print(p,": ",fs,", len=",#fs);
);
}

Запустила, вроде и правда работает :)

> \r petuh.txt
1000001311: [201142617, 283526555, 308754735], len=3
1000001647: [332365753, 547141757, 977143209], len=3
1000001791: [25007104, 720576003, 944883768], len=3

Разинув рот, смотрю на экран, сыр выпал изо рта :)))

gris,
ау, вы почему не хотите поискать десяточку?
У вас тоже это будет работать, только помедленнее, наверное, чуть-чуть.

Ой, вот что ещё нашлось

> \r petuh.txt
1000001311: [201142617, 283526555, 308754735], len=3
1000001647: [332365753, 547141757, 977143209], len=3
1000001791: [25007104, 720576003, 944883768], len=3
1000002449: [209434913, 236462320, 272672647, 872082747, 937943256], len=5
1000002499: [139836041, 719732890, 798762149], len=3
1000002607: [71078249, 816398206, 926635117], len=3
1000002823: [185594634, 584672287, 836721343, 855005686], len=4

Ну, больше пятёрочки пока нету после миллиарда.

Сейчас добавлю в программу вывод времени и вывод результатов в файл.
И совсем всё будет чудесно.

Ещё один небольшой интервальчик проверила

   log = 1 (on)
   [logfile is "petuh_res.txt"]
1000008277: [133605776, 223239142, 807866713, 856647962, 939861506], len=5
1000008671: [58062914, 198919289, 715197995, 792857049], len=4
1000009609: [212609077, 459153690, 912822275, 917050747, 967754387], len=5
1000010801: [49770760, 90151002, 149092230, 664464829], len=4
1000011559: [17063652, 153120069, 569879459, 958034027], len=4
time = 47 ms.

Пока больше пятёрок нет.
Тройки я убрала из вывода, можно и четвёрки убрать.

Что-то время подозрительно маленькое.
Проверялся интервал (1000007000, 1000012000).
Может быть, в этой гибридной программе неправильно замеряется время средствами PARI/GP?

Ну вот, опять gris расстроился

Неужели негодицца моё решение? :(

Так ведь - обычная манера Ксюши: ничего не говорить, годится - не годится.
Пора привыкнуть.

Годится, только знак факториала слишком маленький.
Ну, такой дали - одна спичка :)

Забросила интервальчик на ночь на Ахиллес-3: (1000012000, 1000050000).

Посмотрим, как Ахиллес-3 справится.
Он у меня медленнее черепашки считает.
Зато на нём потоков много.

Заглянула на Ахиллес-3, а он уже справился и ругается :)
Запустила новый интервал: (1000050000, 1000150000).
Ждём-с.

А с миллиарда никто не считает?

У меня всё про время сомнения.
Что-то слишком быстро.
Может, пропускается чего-то?
Код-то дописала сама, может неправильно.

Ой, вот дошло!
Как до утки - на третьи сутки :)
На Ахиллесе-то точно брак.
Я же туда исполняемую программу не положила.
И результатов вообще не выдалось.
Пойду исправлять.

Исправила, снова запустила интервал (1000012000 - 1000050000).
Ждём-с.

Ну, мы с черепашкой будем спать пока.
Завтра утром посмотрим, что там Ахиллес-3 найдёт.

Так, а шлемоблещущие этой программой не пропустятся? :)
А что будет, если шлемоблещущий найдётся?

Заглянула на Ахиллес-3, теперь результаты пошли

1000012297: [11103883, 44848686, 82833031, 829535246], len=4
1000012747: [572048348, 601767252, 637315154, 722200683, 811975826], len=5

Очень хорошо.
Можно идти спать :)

Ого!
mihaild нашёл 11-ку

584668927 [21583183, 25896278, 35614361, 94138602, 115628945, 206989991, 215763337, 219474256, 301755522, 332978957, 353826731]

https://dxdy.ru/post1701757.html#p1701757

Замечательно!
Как я понимаю, он уже досчитал до миллиарда.
Если дальше будет считать, нужна координация.

А это у меня Ахиллес-3 нашёл
программа г. Петухова, как я сообщила выше

1000012297: [11103883, 44848686, 82833031, 829535246], len=4
1000012747: [572048348, 601767252, 637315154, 722200683, 811975826], len=5
1000013039: [191912839, 727727668, 963212442, 978007060], len=4
1000013323: [25087158, 488001216, 597875092, 751944767, 800862135], len=5
1000015651: [90867005, 138425049, 239713906, 250194966, 713129492], len=5
1000015693: [105936117, 613675604, 665203504, 835869004, 942411072], len=5
1000015747: [76863596, 762521848, 836223940, 879469904], len=4
1000017199: [358527323, 401662757, 563893271, 902816540], len=4
1000017541: [29904883, 93420909, 761683682, 903908180], len=4
1000017659: [73981935, 176527175, 268495396, 661389784], len=4
1000019819: [285642034, 756759769, 888697912, 960646223], len=4
1000022173: [757636415, 760966379, 780892364, 788911390], len=4
1000023967: [319413813, 553124301, 666093860, 861507661], len=4
1000027471: [41554342, 70249184, 739304231, 984790909], len=4
1000028947: [80459529, 194124718, 203502169, 580734896, 772880768], len=5
1000029463: [151712672, 548064124, 626814978, 711263265, 815329472], len=5
1000030393: [89036490, 89561956, 470798260, 513561021, 755081565], len=5
1000031677: [246538480, 507610823, 653564133, 991054105], len=4
1000032043: [55891526, 257737341, 366826558, 430883058, 493055521, 496731559, 857949827], len=7
1000032739: [233266418, 560664353, 624994686, 702095294], len=4
1000036201: [141431382, 767997331, 794752968, 841929573], len=4
1000036789: [339180788, 666357377, 827293314, 868685415, 922758363], len=5
1000037039: [178224715, 474887803, 514218604, 985791439], len=4
1000037119: [411942280, 479496366, 625671980, 776149248], len=4
1000037957: [133234125, 550710049, 563566928, 734619524], len=4
1000041233: [385689356, 444027746, 515369174, 610666285], len=4
1000043557: [6899124, 95304669, 518599266, 574394439], len=4
1000043893: [136927597, 157905492, 315204182, 422056251, 515420137, 832498012], len=6
1000046807: [191840347, 342317945, 597792812, 991759960], len=4
1000047949: [821383443, 913911468, 963528127, 982784397], len=4
1000048199: [60982761, 194620766, 915403404, 971450276], len=4

Самая большая - семёрка.
Даже восьмёрок пока нет.
А теперь актуальна 12-ка.

Запустила следующий интервал.
Выбросила вывод четвёрок, их много находится.

Как бы мне связаться с mihaild, чтобы разделить поиск?
Не хочется одно и то же считать.
Может быть, он сейчас не будет продолжать?
Писал, что зимой будет считать до 10 миллиардов.

У него, как я понимаю, на GPU считается, ещё быстрее, чем программой г. Петухова.
Но сильно шумит и греется :)
У меня не шумит и не греется, всё очень тихо, потому что CPU.

P. S. Значит, шлемоблещущего нет пока?