Что я пока поняла: квадрат V - это база. Обратите внимание на расположение раскрашенных подквадратов, они расположены точно по заданной квадратом V базе.

С подквадратами пока не разбиралась, как они строятся. Есть совсем одинаковые подквадраты, а есть похожие, но несколько разные по своей структуре. Вот понять, как составлены все подквадраты, - не совсем просто только по примеру.
Надо читать статью.

Коллеги молчат. Написала Чернову и Беляеву. Нет, не интересуют их больше квадраты. Жаль!

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Цитата

Q = 
 1  3  2  5  6  4 
 3  2  4  6  1  5 
 5  6  3  1  4  2 
 2  5  6  4  3  1 
 6  4  1  2  5  3 
 4  1  5  3  2  6 

Цитирую из статьи Чернова
http://alex-black.ru/article.php?content=125

Аналогично с ортогональными квадратами. Если в дополнение к уже названным условиям взять по паре ортогональных квадратов V, Q, P1, получим пару ортогональных дважды диагональных латинских квадратов.

Надежда рухнула: в примере для ДЛК 21-го порядка квадрат Q не имеет ортогонального соквадрата, так как это ЛК 6-го порядка.

Таким образом, получается, что не для любого одиночного ДЛК, построенного методом Линдера, можно тем же методом построить ортогональный ему ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это вспомогательные квадраты, выданные программой Чернова при построении ДЛК 33-го порядка методом Линдера

 V = 
 1  3  4  5  7  8  6  2 
 3  2  6  7  8  5  1  4 
 2  6  3  8  1  4  5  7 
 5  1  8  4  3  7  2  6 
 8  4  7  6  5  2  3  1 
 4  7  5  1  2  6  8  3 
 6  8  1  2  4  3  7  5 
 7  5  2  3  6  1  4  8
 
Q = 
 1  3  2  5  4 
 4  2  5  1  3 
 5  4  3  2  1 
 3  5  1  4  2 
 2  1  4  3  5
 
P1 = 
 3  5  4  2 
 4  2  3  5 
 2  4  5  3 
 5  3  2  4 

Здесь надежда есть: для всех трёх квадратов V, Q, P1 можно построить ортогональные квадраты.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Цитата

Здесь надежда есть: для всех трёх квадратов V, Q, P1 можно построить ортогональные квадраты.

Теоретически можно построить, однако ортогональный ДЛК к квадрату V программа Белышева ortogon_u не находит.
Плохой квадрат V построился.
И на ДЛК 33-го порядка надежда рухнула.
Может быть, я что-то не так понимаю во всём этом.

Конечно, есть ещё надежда найти ортогональный ДЛК к ДЛК Линдера другим методом.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Решила рассмотреть более простой пример в методе Линдера - для ДЛК 13-порядка.
Покажу оба ДЛК, первый построен в статье Чернова, второй построен мной на основе ДЛК, построенного Черновым.





ДЛК у меня получился.
Все вспомогательные квадраты (V, Q и P1) в этом примере хорошие, ортогональные соквадраты к ним легко строятся.
Метод Линдера сильно похож на метод составных квадратов.
Делала всё по своему опыту использования метода составных квадратов: на новую базу (ортогональную исходной) посадила ортогональные соквадраты для исходных подквадратов. База определяется квадратом V, по моему мнению.
Оба ДЛК показаны раскрашенными, хорошо видны все подквадраты и база.
Увы! Что-то я сделала не так, ортогональный ДЛК к ДЛК, построенному Черновым, у меня не получился.

Вот вам супер-задача: найдите ошибку в моих построениях.
Что я сделала не так? И как надо сделать правильно?

PS. Есть у меня такая версия: подквадраты надо брать в том же порядке, как в исходном ДЛК.
Попробую. Но сомневаюсь, что получится.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Проверила построенный мной ДЛК на ортогональные соквадраты программой Белышева ortogonal_u, первый диагональный соквадрат нашёлся довольно быстро, дальше не стала искать, прервала программу.
Вот какой ортогональный ДЛК нашёлся

0 8 1 9 A 3 2 5 B C 7 4 6
A 4 5 7 0 6 C 9 3 1 B 2 8
8 A B 4 7 C 6 1 2 0 9 5 3
3 C 0 8 6 A 1 B 9 5 4 7 2
5 B 6 2 9 4 8 7 0 A C 3 1
2 7 A 5 B 1 3 8 C 6 0 9 4
B 6 8 C 3 7 A 2 5 4 1 0 9
4 9 7 6 2 B 5 C 1 8 3 A 0
6 1 3 0 C 2 9 4 7 B 5 8 A
9 0 2 1 5 8 B A 4 3 6 C 7
C 5 4 A 8 9 0 3 6 7 2 1 B
1 3 9 B 4 5 7 0 A 2 8 6 C
7 2 C 3 1 0 4 6 8 9 A B 5

К ДЛК, построенному Черновым, тоже найден один ортогональный диагональный ДЛК, он показан выше.
Следовательно, ДЛК 13-го порядка, построенные методом Линдера, не "пустышки".
Однако методом Линдера построить ортогональную пару ДЛК данного порядка мне не удалось.
Ну, и дальше двигаться не буду (для порядков 21 и 33), так как надо разобраться с примером для ДЛК 13-го порядка.
Кто-нибудь когда-нибудь, возможно, разберётся.
Я пока ничего не понимаю, все свои идеи применила, но ничего не получилось с ортогональной парой.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Попробовала расположить подквадраты в другом порядке, получила ещё один ДЛК 13-го порядка

6 2 0 11 12 10 8 4 5 3 9 1 7
2 0 6 12 10 11 7 5 3 4 1 9 8
0 6 2 10 11 12 9 3 4 5 8 7 1
8 9 7 4 5 3 11 12 1 10 6 2 0
9 7 8 5 3 4 10 1 12 11 2 0 6
7 8 9 3 4 5 12 11 10 1 0 6 2
3 4 5 0 2 6 1 10 11 12 7 8 9
11 12 10 6 1 0 2 8 9 7 4 5 3
12 10 11 1 6 2 0 9 7 8 5 3 4
10 11 12 2 0 1 6 7 8 9 3 4 5
5 1 3 8 9 7 4 6 2 0 11 12 10
1 5 4 9 7 8 3 2 0 6 12 10 11
4 3 1 7 8 9 5 0 6 2 10 11 12

Увы, как я и предполагала, ортогональный ДЛК к исходному ДЛК из статьи Чернова опять не получился.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Выше был показан ДЛК 33-го порядка, построенный методом Линдера.
Показанный ДЛК был построен с применением командной строки

test 8 1 5

Мне удалось построить ещё один ДЛК 33-го порядка методом Линдера, теперь с применением следующей командной строки

test 4 1 9

Покажу вспомогательные квадраты, выданные программой в этом случае

V = 
 1  3  4  2 
 4  2  1  3 
 2  4  3  1 
 3  1  2  4 
Q = 
 1  3  2  5  4  7  6  9  8 
 3  2  1  6  7  8  9  4  5 
 2  1  3  7  6  9  8  5  4 
 5  6  8  4  9  1  2  3  7 
 4  7  9  8  5  2  1  6  3 
 7  4  5  9  8  6  3  1  2 
 9  8  4  1  3  5  7  2  6 
 6  9  7  3  2  4  5  8  1 
 8  5  6  2  1  3  4  7  9 
P1 = 
 3  4  5  7  6  8  9  2 
 2  5  4  8  7  6  3  9 
 5  2  3  9  8  4  6  7 
 4  3  6  2  5  9  7  8 
 7  9  2  6  3  5  8  4 
 8  6  7  3  9  2  4  5 
 6  8  9  4  2  7  5  3 
 9  7  8  5  4  3  2  6 

Построенный ДЛК 33-го порядка покажу далее раскрашенным.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

ДЛК 33-го порядка, построенный методом Линдера по программе Чернова



Возможно ли построить ортогональный диагональный соквадрат к этому ДЛК методом Линдера, я не знаю.
После неудачи с ортогональной парой ДЛК 13-го порядка, где все вспомогательные квадраты удобные, могу сказать, как сказал мудрец: "Я знаю только то, что ничего не знаю."

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Выше я приводила цитату с таблицей

В таблице приводятся значения Q(n) для n от 2 до 499. Я приведу небольшой фрагмент этой таблицы (рис. 1).

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Q(n) 1 2 3 4 1 6 7 8 2 10 5 12 3 4 15 16 3 18 4

Понятно, что здесь речь идёт о группах MOLS, то есть группах взаимно ортогональных ЛК.

А теперь будем рассматривать группы MODLS, то есть группы взаимно ортогональных ДЛК.
Обозначим QD(n) максимальное количество ОДЛК порядка n в группе MODLS.
Для порядков 2, 3, 6 положим QD(n)=1, по аналогии с показанной таблицей для групп MOLS.
[Для порядка n=3 не существует ортогональных ДЛК.]

Имеем следующие известные значения QD(n) для групп MODLS порядков 2 - 20
(Ссылки на рисунки в моей статье
ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin squares (MOLS)
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm.)
в первой колонке порядок квадрата, во второй колонке значение QD(n)

n – QD(n) 
2 – 1
3 – 1 (рис. 2)
4 – 2 (рис. 3)
5 – 2 (рис. 4)
6 – 1
7 – 4 (рис. 5)
8 – 6 (рис. 6)
9 – 6 (рис. 7)
10 – 2 (рис. 8 -10)
11 – 8
12 – ?
13 – 10
14 – ?
15 – 4
16 – 14
17 – 14
18 – ?
19 – 16
20 – ?

Можно предположить, что QD(10)>2, QD(15)>4.
Группу MODLS 15-го порядка, состоящую из четырёх взаимно ортогональных ДЛК я составила на основе известной группы MOLS данного порядка, о чём рассказано выше.
Можно ли составить группу MODLS 15-го порядка, содержащую больше четырёх взаимно ортогональных ДЛК?
Хороший вопрос!
Ну, о порядке 10 мы всё уже хорошо знаем: пар ОДЛК огромное множество, тройку MODLS данного порядка пока не нашли (насколько мне известно). Даже и тройку MOLS не нашли.
Для порядков 12, 14, 18 и 20, конечно, тоже можно предположить, что QD(n)>2.
Однако пока мы имеем только ортогональны пары ДЛК для данных порядков.

Вот хочу поискать группу MODLS 12-го порядка, содержащую больше двух взаимно ортогональных ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Напомню цитату из статьи
New Bounds For Pairwise Orthogonal Diagonal Latin Squares

Theorem 1.1
There exist five pairwise orthogonal diagonal Latin squares of every
order n where n > 164. Order 2 ≤ n ≤ 7 are impossible; the only orders for which
the existence is undecided are:

10 12 14 15 18 20 21 22 24 26
28 30 33 34 35 36 38 39 40 42
44 45 46 48 50 51 52 54 55 60
62 66 68 69 70 74 76 82 84 90
98 106 164

Как видим, для порядков 10, 12, 14, 15, 18 и 20 (указанные мной выше проблемные порядки) существование MODLS из пяти взаимно (попарно) ортогональных ДЛК не установлено.
Ну, и дальше здесь перечислены проблемные порядки до порядка n=164.

Может быть, на данный момент есть новости у математиков по этому вопросу.
Убедительная просьба: кто обнаружит эти новости, сообщите, пожалуйста.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот для этого красивого ДЛК 12-го порядка из статьи Чернова



программа Белышева ortogonal_u нашла 41644 ортогональных диагональных соквадратов.
Финал выполнения программы

Проверка ДЛК12 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 8760
Соквадратов:     41644
Время в сек:     106380

1 4 19 4 4 9  3

Для выхода нажмите любую клавишу:

В этой группе ОДЛК надо бы поискать группу MODLS 12-го порядка хотя бы из трёх взаимно ортогональных ДЛК.
Неужели из такого огромного количества ОДЛК не найдётся хотя бы трёх взаимно ортогональных?
Может, и не найдётся, чёрт их знает - эти квадраты :)
У Паркера был ещё более крутой облом: он нашёл ЛК 10-го порядка, у которого более 12 миллионов ортогональных соквадратов, и... ни одной тройки MOLS!

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Кстати, ссылка на мою тему "Латинские квадраты" на форуме dxdy.ru
https://dxdy.ru/topic15897.html
Тема была начата в те давние времена, когда я только начинала заниматься латинскими квадратами.
А привело меня к этому занятию построение магических квадратов с помощью ортогональных латинских квадратов.
Может быть, в этой теме начинающие найдут что-то полезное.

Это сообщение
https://boinc.progger.info/odlk/forum_thread.php?id=116&postid=3540
посмотрите.
Там картинка как раз из темы "Латинские квадраты"



Сообщение Макса Алексеева о знаменитой статье Брауна и Ко о первых ортогональных парах ДЛК 10-го порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Никак не доберусь до проверки огромной группы ОДЛК 12-го порядка.
Но у меня есть группа ОДЛК данного порядка поменьше. Эта группа ОДЛК получена от ДЛК, построенного методом Гергели, вот этого



У этого ДЛК имеется 2199 ортогональных диагональных соквадратов.
С этой группой можно поработать, она небольшая.
Я уже нормализовала все ОДЛК, приготовилась к проверке.
Покажу три первых нормализованных ОДЛК

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  9  0  8  7  6  5  4  3  11  2  1 
 11  2  8  1  6  7  4  5  10  3  9  0 
 9  5  3  4  10  0  11  1  7  8  6  2 
 2  11  6  10  3  4  7  8  1  5  0  9 
 8  7  5  9  1  11  0  10  2  6  4  3 
 3  10  7  5  11  9  2  0  6  4  1  8 
 4  3  1  11  5  2  9  6  0  10  8  7 
 7  8  9  6  0  1  10  11  5  2  3  4 
 6  0  10  7  9  3  8  2  4  1  11  5 
 5  4  11  2  8  10  1  3  9  0  7  6 
 1  6  4  0  2  8  3  9  11  7  5  10 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  9  0  8  7  6  5  4  3  11  2  1 
 11  2  8  1  6  4  7  5  10  3  9  0 
 9  5  3  7  10  0  11  1  4  8  6  2 
 2  11  6  10  3  7  4  8  1  5  0  9 
 8  4  5  9  1  11  0  10  2  6  7  3 
 3  10  7  5  11  9  2  0  6  4  1  8 
 7  3  1  11  5  2  9  6  0  10  8  4 
 4  8  9  6  0  1  10  11  5  2  3  7 
 6  0  10  4  9  3  8  2  7  1  11  5 
 5  7  11  2  8  10  1  3  9  0  4  6 
 1  6  4  0  2  8  3  9  11  7  5  10 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 10  8  7  5  0  2  9  11  6  4  3  1 
 2  3  11  6  10  4  7  1  5  0  8  9 
 1  2  6  7  8  0  11  3  4  5  9  10 
 11  5  8  10  9  7  4  2  1  3  6  0 
 9  6  3  4  11  1  10  0  7  8  5  2 
 8  10  4  0  6  9  2  5  11  7  1  3 
 7  0  10  2  5  8  3  6  9  1  11  4 
 4  9  0  8  1  6  5  10  3  11  2  7 
 5  11  1  9  7  3  8  4  2  10  0  6 
 3  7  5  1  2  11  0  9  10  6  4  8 
 6  4  9  11  3  10  1  8  0  2  7  5 

Однако я сильно сомневаюсь, что в этой группе ОДЛК найдётся тройка MODLS.
Ну а вдруг, чем чёрт не шутит :)

Итак, что нужно проверить?
Нужно проверить, есть ли в этой группе ОДЛК два ДЛК ортогональных друг другу.
Не забываем: все эти ОДЛК ортогональны ДЛК, построенному методом Гергели.
Задача предельно ясная, надо уже приступать к решению. Что-то я никак не раскачаюсь :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А между тем думаем о ДЛК и ОДЛК порядков n>50.
И первый же порядок в этом диапазоне проблемный.
Одиночный ДЛК 51-го порядка моментально построила программа Чернова, реализующая метод Линдера.
Использованная командная строка

test 10 1 6 >d51.txt

ДЛК 51-го порядка, построенный методом Линдера

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
 2 25  3  1  0  6  9  8  5  7 11 14 13 10 12 16 19 18 15 17 21 24 23 20 22  4 27 30 29 26 28 32 35 34 31 33 37 40 39 36 38 42 45 44 41 43 47 50 49 46 48 
 4  2  1 25  3  7  8  6  9  5 12 13 11 14 10 17 18 16 19 15 22 23 21 24 20  0 28 29 27 30 26 33 34 32 35 31 38 39 37 40 36 43 44 42 45 41 48 49 47 50 46 
 1  3  0  4 25  9  7  5  6  8 14 12 10 11 13 19 17 15 16 18 24 22 20 21 23  2 30 28 26 27 29 35 33 31 32 34 40 38 36 37 39 45 43 41 42 44 50 48 46 47 49 
 3  4 25  0  2  8  5  9  7  6 13 10 14 12 11 18 15 19 17 16 23 20 24 22 21  1 29 26 30 28 27 34 31 35 33 32 39 36 40 38 37 44 41 45 43 42 49 46 50 48 47 
 5  6  7  8  9 30 27 29  3 28 20 21 22 23 24 46 47 48 49 50 41 42 43 44 45 26 25  1  4  2  0 15 16 17 18 19 31 32 33 34 35 10 11 12 13 14 36 37 38 39 40 
 6  9  8  5  7 29 26  3 27 30 21 24 23 20 22 47 50 49 46 48 42 45 44 41 43 28  1  0  2 25  4 16 19 18 15 17 32 35 34 31 33 11 14 13 10 12 37 40 39 36 38 
 7  8  6  9  5 28 29 27 26  3 22 23 21 24 20 48 49 47 50 46 43 44 42 45 41 30  4  2  1  0 25 17 18 16 19 15 33 34 32 35 31 12 13 11 14 10 38 39 37 40 36 
 9  7  5  6  8 27  3 30 28 26 24 22 20 21 23 50 48 46 47 49 45 43 41 42 44 29  0  4 25  1  2 19 17 15 16 18 35 33 31 32 34 14 12 10 11 13 40 38 36 37 39 
 8  5  9  7  6  3 28 26 30 29 23 20 24 22 21 49 46 50 48 47 44 41 45 43 42 27  2 25  0  4  1 18 15 19 17 16 34 31 35 33 32 13 10 14 12 11 39 36 40 38 37 
20 21 22 23 24 15 16 17 18 19 50 47 49  3 48  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 46 36 37 38 39 40 26 27 28 29 30 25  1  4  2  0 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 
21 24 23 20 22 16 19 18 15 17 49 46  3 47 50  6  9  8  5  7 11 14 13 10 12 48 37 40 39 36 38 27 30 29 26 28  1  0  2 25  4 32 35 34 31 33 42 45 44 41 43 
22 23 21 24 20 17 18 16 19 15 48 49 47 46  3  7  8  6  9  5 12 13 11 14 10 50 38 39 37 40 36 28 29 27 30 26  4  2  1  0 25 33 34 32 35 31 43 44 42 45 41 
24 22 20 21 23 19 17 15 16 18 47  3 50 48 46  9  7  5  6  8 14 12 10 11 13 49 40 38 36 37 39 30 28 26 27 29  0  4 25  1  2 35 33 31 32 34 45 43 41 42 44 
23 20 24 22 21 18 15 19 17 16  3 48 46 50 49  8  5  9  7  6 13 10 14 12 11 47 39 36 40 38 37 29 26 30 28 27  2 25  0  4  1 34 31 35 33 32 44 41 45 43 42 
41 42 43 44 45 10 11 12 13 14 25  1  4  2  0 35 32 34  3 33 15 16 17 18 19 31 46 47 48 49 50 36 37 38 39 40 26 27 28 29 30  5  6  7  8  9 20 21 22 23 24 
42 45 44 41 43 11 14 13 10 12  1  0  2 25  4 34 31  3 32 35 16 19 18 15 17 33 47 50 49 46 48 37 40 39 36 38 27 30 29 26 28  6  9  8  5  7 21 24 23 20 22 
43 44 42 45 41 12 13 11 14 10  4  2  1  0 25 33 34 32 31  3 17 18 16 19 15 35 48 49 47 50 46 38 39 37 40 36 28 29 27 30 26  7  8  6  9  5 22 23 21 24 20 
45 43 41 42 44 14 12 10 11 13  0  4 25  1  2 32  3 35 33 31 19 17 15 16 18 34 50 48 46 47 49 40 38 36 37 39 30 28 26 27 29  9  7  5  6  8 24 22 20 21 23 
44 41 45 43 42 13 10 14 12 11  2 25  0  4  1  3 33 31 35 34 18 15 19 17 16 32 49 46 50 48 47 39 36 40 38 37 29 26 30 28 27  8  5  9  7  6 23 20 24 22 21 
15 16 17 18 19 41 42 43 44 45 26 27 28 29 30 25  1  4  2  0 40 37 39  3 38 36 31 32 33 34 35 10 11 12 13 14 46 47 48 49 50 20 21 22 23 24  5  6  7  8  9 
16 19 18 15 17 42 45 44 41 43 27 30 29 26 28  1  0  2 25  4 39 36  3 37 40 38 32 35 34 31 33 11 14 13 10 12 47 50 49 46 48 21 24 23 20 22  6  9  8  5  7 
17 18 16 19 15 43 44 42 45 41 28 29 27 30 26  4  2  1  0 25 38 39 37 36  3 40 33 34 32 35 31 12 13 11 14 10 48 49 47 50 46 22 23 21 24 20  7  8  6  9  5 
19 17 15 16 18 45 43 41 42 44 30 28 26 27 29  0  4 25  1  2 37  3 40 38 36 39 35 33 31 32 34 14 12 10 11 13 50 48 46 47 49 24 22 20 21 23  9  7  5  6  8 
18 15 19 17 16 44 41 45 43 42 29 26 30 28 27  2 25  0  4  1  3 38 36 40 39 37 34 31 35 33 32 13 10 14 12 11 49 46 50 48 47 23 20 24 22 21  8  5  9  7  6 
25  0  4  2  1 26 30 28 29 27 46 50 48 49 47 31 35 33 34 32 36 40 38 39 37  3 41 45 43 44 42  5  9  7  8  6 20 24 22 23 21 15 19 17 18 16 10 14 12 13 11 
10 11 12 13 14 46 47 48 49 50 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40  5  6  7  8  9 41 45 42 44  3 43 20 21 22 23 24 15 16 17 18 19 25  1  4  2  0 26 27 28 29 30 
11 14 13 10 12 47 50 49 46 48 32 35 34 31 33 37 40 39 36 38  6  9  8  5  7 43 44 41  3 42 45 21 24 23 20 22 16 19 18 15 17  1  0  2 25  4 27 30 29 26 28 
12 13 11 14 10 48 49 47 50 46 33 34 32 35 31 38 39 37 40 36  7  8  6  9  5 45 43 44 42 41  3 22 23 21 24 20 17 18 16 19 15  4  2  1  0 25 28 29 27 30 26 
14 12 10 11 13 50 48 46 47 49 35 33 31 32 34 40 38 36 37 39  9  7  5  6  8 44 42  3 45 43 41 24 22 20 21 23 19 17 15 16 18  0  4 25  1  2 30 28 26 27 29 
13 10 14 12 11 49 46 50 48 47 34 31 35 33 32 39 36 40 38 37  8  5  9  7  6 42  3 43 41 45 44 23 20 24 22 21 18 15 19 17 16  2 25  0  4  1 29 26 30 28 27 
46 47 48 49 50 25  1  4  2  0 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 31 32 33 34 35  5 20 21 22 23 24  9  6  8  3  7 10 11 12 13 14 26 27 28 29 30 15 16 17 18 19 
47 50 49 46 48  1  0  2 25  4 37 40 39 36 38 42 45 44 41 43 32 35 34 31 33  7 21 24 23 20 22  8  5  3  6  9 11 14 13 10 12 27 30 29 26 28 16 19 18 15 17 
48 49 47 50 46  4  2  1  0 25 38 39 37 40 36 43 44 42 45 41 33 34 32 35 31  9 22 23 21 24 20  7  8  6  5  3 12 13 11 14 10 28 29 27 30 26 17 18 16 19 15 
50 48 46 47 49  0  4 25  1  2 40 38 36 37 39 45 43 41 42 44 35 33 31 32 34  8 24 22 20 21 23  6  3  9  7  5 14 12 10 11 13 30 28 26 27 29 19 17 15 16 18 
49 46 50 48 47  2 25  0  4  1 39 36 40 38 37 44 41 45 43 42 34 31 35 33 32  6 23 20 24 22 21  3  7  5  9  8 13 10 14 12 11 29 26 30 28 27 18 15 19 17 16 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 26 27 28 29 30 20  5  6  7  8  9 41 42 43 44 45 24 21 23  3 22 46 47 48 49 50 25  1  4  2  0 
32 35 34 31 33 37 40 39 36 38 16 19 18 15 17 11 14 13 10 12 27 30 29 26 28 22  6  9  8  5  7 42 45 44 41 43 23 20  3 21 24 47 50 49 46 48  1  0  2 25  4 
33 34 32 35 31 38 39 37 40 36 17 18 16 19 15 12 13 11 14 10 28 29 27 30 26 24  7  8  6  9  5 43 44 42 45 41 22 23 21 20  3 48 49 47 50 46  4  2  1  0 25 
35 33 31 32 34 40 38 36 37 39 19 17 15 16 18 14 12 10 11 13 30 28 26 27 29 23  9  7  5  6  8 45 43 41 42 44 21  3 24 22 20 50 48 46 47 49  0  4 25  1  2 
34 31 35 33 32 39 36 40 38 37 18 15 19 17 16 13 10 14 12 11 29 26 30 28 27 21  8  5  9  7  6 44 41 45 43 42  3 22 20 24 23 49 46 50 48 47  2 25  0  4  1 
36 37 38 39 40 20 21 22 23 24  5  6  7  8  9 26 27 28 29 30 46 47 48 49 50 15 10 11 12 13 14 25  1  4  2  0 41 42 43 44 45 19 16 18  3 17 31 32 33 34 35 
37 40 39 36 38 21 24 23 20 22  6  9  8  5  7 27 30 29 26 28 47 50 49 46 48 17 11 14 13 10 12  1  0  2 25  4 42 45 44 41 43 18 15  3 16 19 32 35 34 31 33 
38 39 37 40 36 22 23 21 24 20  7  8  6  9  5 28 29 27 30 26 48 49 47 50 46 19 12 13 11 14 10  4  2  1  0 25 43 44 42 45 41 17 18 16 15  3 33 34 32 35 31 
40 38 36 37 39 24 22 20 21 23  9  7  5  6  8 30 28 26 27 29 50 48 46 47 49 18 14 12 10 11 13  0  4 25  1  2 45 43 41 42 44 16  3 19 17 15 35 33 31 32 34 
39 36 40 38 37 23 20 24 22 21  8  5  9  7  6 29 26 30 28 27 49 46 50 48 47 16 13 10 14 12 11  2 25  0  4  1 44 41 45 43 42  3 17 15 19 18 34 31 35 33 32 
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 41 42 43 44 45 20 21 22 23 24 25  1  4  2  0 10 15 16 17 18 19 46 47 48 49 50  5  6  7  8  9 36 37 38 39 40 14 11 13  3 12 
27 30 29 26 28 32 35 34 31 33 42 45 44 41 43 21 24 23 20 22  1  0  2 25  4 12 16 19 18 15 17 47 50 49 46 48  6  9  8  5  7 37 40 39 36 38 13 10  3 11 14 
28 29 27 30 26 33 34 32 35 31 43 44 42 45 41 22 23 21 24 20  4  2  1  0 25 14 17 18 16 19 15 48 49 47 50 46  7  8  6  9  5 38 39 37 40 36 12 13 11 10  3 
30 28 26 27 29 35 33 31 32 34 45 43 41 42 44 24 22 20 21 23  0  4 25  1  2 13 19 17 15 16 18 50 48 46 47 49  9  7  5  6  8 40 38 36 37 39 11  3 14 12 10 
29 26 30 28 27 34 31 35 33 32 44 41 45 43 42 23 20 24 22 21  2 25  0  4  1 11 18 15 19 17 16 49 46 50 48 47  8  5  9  7  6 39 36 40 38 37  3 12 10 14 13 

Вспомогательные квадраты. выданные программой

V = 
 1  3  4  6  7  5  8  9 10  2 
 3  2  5  7  4  8  6 10  1  9 
 2  1  3  8  6  9 10  4  5  7 
 5  6  1  4  9 10  3  2  7  8 
 4  8  2 10  5  7  9  1  3  6 
 7  9 10  1  8  6  2  5  4  3 
 6  4  9  5 10  2  7  3  8  1 
10  7  6  9  1  3  4  8  2  5 
 8 10  7  2  3  1  5  6  9  4 
 9  5  8  3  2  4  1  7  6 10 
Q = 
 1  3  2  5  6  4 
 3  2  4  6  1  5 
 5  6  3  1  4  2 
 2  5  6  4  3  1 
 6  4  1  2  5  3 
 4  1  5  3  2  6 
P1 = 
 3  4  5  6  2 
 4  2  6  3  5 
 5  6  4  2  3 
 2  5  3  4  6 
 6  3  2  5  4 

Сразу видно, что квадрат Q плохой, в том смысле, что не имеет ортогонального соквадрата.
Следовательно, данный расклад не годится для построения ортогональной пары ДЛК 51-го порядка методом Линдера, если правильно понимаю.
Ну, имеем хотя бы одиночный ДЛК, к которому можно поискать ортогональные ДЛК другими методами.
Утилита Harry White подтверждает, что построенный квадрат диагональный.

Замечу, что для построения ортогональной пары ЛК 51-го порядка нет преград, так как 51=3*17 и, следовательно, работает метод составных квадратов.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ох, тяжёлая это работа... :)
Долго думала, как мне быстро проверить группу ОДЛК 12-го порядка на наличие в этой группе хотя бы одной ортогональной пары.
У меня нет программы проверки ортогональности для такого случая, её надо соорудить.
Ну вот пришла мысль воспользоваться утилитой Hary White.
Но... тут я теряюсь в логике данной утилиты.

Сначала ввожу для проверки 2199 ОДЛК (без исходного ДЛК, построенного методом Гергели).
Внимание!
Утилита выдаёт следующий результат

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_4.txt

Counts
------
      2199 diagonal Latin
      2199 axial symmetric
      2199 nfr

То есть обнаружены все 2199 ДЛК, все они симметричные по Гергели/Брауну и все нормализованные.
Это всё так и есть.
И - в этой группе не обнаружено ни одной ортогональной пары!!

Проверка выполнена??? Ни у одного ДЛК этой группы нет ортогонального ДЛК в этой же группе.

А теперь ввожу для проверки все эти 2199 ДЛК и исходный ДЛК, построенный методом Гергели.
Внимание!
Утилита выдаёт следующий результат

Order? 12

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_2.txt

Counts
------
      2200 diagonal Latin
      2200 axial symmetric
      2199 nfr
         1 orthogonal pair

Теперь обнаружено 2200 ДЛК, все они симметричные по Гергели/Брауну, 2199 ДЛК нормализованные (исходный ДЛК я не нормализовала).
Это всё понятно, так оно и есть.
Но почему "1 orthogonal pair"???
Абсолютно не понимаю, какая тут логика.
Самый первый ДЛК введённой группы - исходный ДЛК, и все следующие 2199 ДЛК ему ортогональны.
Я проверила ортогональность всех 2199 ДЛК исходному.
Тогда почему утилита Harry сообщает только об одной ортогональной паре?
Ничего не понимаю :(

Ну, а в первом случае буду считать, что проверка группы из 2199 ДЛК на ортогональность между этими ДЛК выполнена, ни одной ортогональной пары не найдено в данной группе.

Проверила несколько первых ДЛК из 2199 на марьяжные ДЛК программой Белышева.
Они имеют ортогональные диагональные соквадраты! Но очень мало, 17, 22...
И тут возникает такой вопрос: не может ли группа MODLS появиться на этом втором уровне???
А почему бы и нет?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Hello Natalia!
I am trying my luck at programming for DLK n>10. And I made a multi-threaded program similar to ortogon_u (i do not have a source). I do not know if correct yet.
DLK 12 from message

square:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
4 2 6 0 3 10 1 8 11 5 9 7 
8 0 4 10 5 2 9 6 1 7 11 3 
10 3 0 5 9 4 7 2 6 11 8 1 
5 4 3 2 10 11 0 1 9 8 7 6 
2 5 10 7 0 3 8 11 4 1 6 9 
6 7 8 9 1 0 11 10 2 3 4 5 
1 8 11 6 2 7 4 9 5 0 3 10 
9 6 1 4 11 8 3 0 7 10 5 2 
7 9 5 11 8 1 10 3 0 6 2 4 
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 
3 11 7 1 6 9 2 5 10 4 0 8 
isLK: 1
isDLK: 1
width: 12                
init_trans(12) used 495 nodes
num_trans: 5718          
init_disjoint(12) used 145 heads and 68761 nodes
dance_mt: using 16 threads for 292 rows in column 42
l(1) 292 / 292   
isODLK: 2199 orthogonal mates
57 seconds

Appears to be OK!

DLK 11 No3 from message

width: 11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 
6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 
9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 
7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 
8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
isLK: 1
isDLK: 1
init_trans(11) used 420 nodes
num_trans: 4700
init_disjoint(11) used 122 heads and 51822 nodes
dance_mt: using 16 threads for 396 rows in column 7
l(1) 396 / 396                                                     
isODLK: 0 orthogonal mates
time: 3m 2s

Is this correct Where error?

Checking more squares...

Tomas
я очень рада, что вы заинтересовались этой темой.
Замечательно, что вы сделали программу аналогичную программе Белышева ortogon_u.
Программа Белышева работает с ДЛК 12-го порядка в таком виде

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
4 2 6 0 3 A 1 8 B 5 9 7
8 0 4 A 5 2 9 6 1 7 B 3
A 3 0 5 9 4 7 2 6 B 8 1
5 4 3 2 A B 0 1 9 8 7 6
2 5 A 7 0 3 8 B 4 1 6 9
6 7 8 9 1 0 B A 2 3 4 5
1 8 B 6 2 7 4 9 5 0 3 A
9 6 1 4 B 8 3 0 7 A 5 2
7 9 5 B 8 1 A 3 0 6 2 4
B A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 B 7 1 6 9 2 5 A 4 0 8

Вот протокол работы программы

Проверка ДЛК12 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 5718
Соквадратов:     2199
Время в сек:     1155

1 28 13 4  2   2

Для выхода нажмите любую клавишу:

Всё верно, этот ДЛК имеет 2199 ортогональных диагональных соквадратов.

Следующий ДЛК преобразован к виду

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A
3 4 5 6 7 8 9 A 0 1 2
6 7 8 9 A 0 1 2 3 4 5
9 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0
4 5 6 7 8 9 A 0 1 2 3
7 8 9 A 0 1 2 3 4 5 6
A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9 A 0 1
5 6 7 8 9 A 0 1 2 3 4
8 9 A 0 1 2 3 4 5 6 7

Протокол работы программы Белышева ortogonal_u

Проверка ДЛК11 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 4665
Соквадратов:     26914
Время в сек:     3535

1 83 24 8 4    1

Для выхода нажмите любую клавишу:

Этот ДЛК имеет 26914 ортогональных диагональных соквадратов.
У вас этот ДЛК имеет 0 ортогональных диагональных соквадратов?
Почему это не совпадает с результатом программы Белышева?

К сожалению, у меня нет источника программы Белышева.

PS.

num_trans: 4700

Это у вас количество трансверсалей в ДЛК?
Обратите внимание, что в программе Белышева находятся только диагональные трансверсали

Д-трансверсалей: 4665

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Я посмотрела в своём архиве все предыдущие версии программы Белышева ortogonal_u.
И нашла источники для версии ortogonal_u(2).
Я могу прислать вам это.

PS. Уже отправила.
Пожалуйста, дайте мне знать, получили ли архив (отправила только в один адрес).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Итак, идём дальше.
Порядок 52 не проблемный, так как 52=13*4.
Порядок 53 тоже не проблемный, так как 53 простое число к нашему удовольствию :)
Порядок 54 не проблемный для ортогональных пар ЛК, так как 54=3*18.
Для ортогональной пары ДЛК данного порядка работает метод Пелегрино-Ланселотти, реализованный программно Черновым.
У меня где-то была построена эта ортогональная пара ДЛК. Сейчас найду и выложу.

Порядки 55 и 56 не проблемные.
Порядок 57 не проблемный для ортогональных пар ЛК, так как 57=3*19.
А вот для ортогональных пар ДЛК этот порядок проблемный.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg