ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Mutually Orthogonal Latin squares (MOLS)
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm
Цитирую

Напомню, что группа из m латинских квадратов порядка n называется группой (или системой) взаимно (или попарно) ортогональных квадратов, если любые два квадрата этой группы ортогональны.
Известно, что для любого порядка n существует не больше чем n-1 взаимно ортогональных квадратов (см., например, М. Гарднер, “Математические досуги”, М.: Мир, 1972).
Далее доказано, что для любого порядка n, являющегося простым числом или степенью простого числа, существует ровно n-1 взаимно ортогональных квадратов. Такая группа, состоящая из n-1 попарно ортогональных латинских квадратов, называется полной.
Обозначим Q(n) максимальное количество взаимно ортогональных квадратов порядка n, которые удалось найти общими усилиями математиков. Поскольку для порядков 2 и 6 вообще не существует ортогональных латинских квадратов, будем считать Q(2) = Q(6) = 1. Так написано в таблице, фрагмент которой приводится ниже. Эту таблицу я нашла по следующей ссылке:

http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/10ce1596c3b6ce5e1c9b29593c2e2226.pdf

В таблице приводятся значения Q(n) для n от 2 до 499. Я приведу небольшой фрагмент этой таблицы (рис. 1).

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Q(n) 1 2 3 4 1 6 7 8 2 10 5 12 3 4 15 16 3 18 4

Ссылка на ресурс, где была таблица для Q(n), сейчас не работает.
Интересно: есть ли другой ресурс с этой таблицей.
Если кто найдёт, сообщите, пожалуйста. Может, что-то новое уже найдено математиками даже для порядков до n=20.

Обратите внимание на это

Далее доказано, что для любого порядка n, являющегося простым числом или степенью простого числа, существует ровно n-1 взаимно ортогональных квадратов.

Порядок 16 является степенью простого числа 2, значит, для него существует полная система MOLS, состоящая из 15 ЛК.
Вот и отлично.
Вы можете построить эту полную систему MOLS в матпакете Maple.
Здесь можете показать, если построите.
Я в те давние времена, когда занималась ЛК, построила одну ортогональную пару ДЛК 16-го порядка по аналогии с ортогональной парой ДЛК 8-го порядка. Позже покажу эту ортогональную пару.
А пока начну с ДЛК 16-го порядка, построенного методом Гергели.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Это ДЛК 16-го порядка, построенный методом Гергели в моей статье
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm



Проверка ДЛК утилитой Harry White

Tuesday 2020-06-09 19:05:41 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 16

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_1.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 axial symmetric

Отмечена симметричность по Гергели/Брауну.

Поиск ортогональных диагональных соквадратов к этому ДЛК не увенчался успехом; программа Белышева ругается, что слишком много диагональных трансверсалей

Число диагональных трансверсалей ДЛК16:

1 A 3 4 5 6 7 8 0 F E D C B 2 9
C 3 2 1 8 7 6 5 D E F 0 9 A B 4
7 8 5 E 3 4 1 2 A 9 C B 6 D 0 F
6 5 0 7 2 1 4 3 B C 9 A F 8 D E
2 1 4 3 6 D 8 7 F 0 5 E B C 9 A
3 4 1 2 F 8 5 6 E D 0 7 A 9 C B
8 7 6 5 4 3 2 9 1 A B C D E F 0
5 6 7 8 1 2 B 4 C 3 A 9 0 F E D
0 F E D C B A 1 9 2 3 4 5 6 7 8
D E F 0 9 A 3 C 4 B 2 1 8 7 6 5
A 9 C B E 5 0 F 7 8 D 6 3 4 1 2
B C 9 A 7 0 D E 6 5 8 F 2 1 4 3
F 0 D 6 B C 9 A 2 1 4 3 E 5 8 7
E D 8 F A 9 C B 3 4 1 2 7 0 5 6
9 2 B C D E F 0 8 7 6 5 4 3 A 1
4 B A 9 0 F E D 5 6 7 8 1 2 3 C

превышает максимум 2097152

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Как я уже писала, для порядка 16 существует полная система MOLS, состоящая из 15 ЛК.
Её можно построить в матпакете Maple.
Было бы интересно её увидеть здесь.
Если кто построит, пожалуйста, покажите.

В статье http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm показана ортогональная пара ДЛК 16-го порядка, построенная мной вручную по аналогии с ортогональной парой 8-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12
4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11 6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9
6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3
10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3 10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5
14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8
11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4 4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11
13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10 13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1

Проверка первого ДЛК из этой ортогональной парой утилитой Harry White

Tuesday 2020-06-09 20:24:14 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 16

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_1.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 double axial symmetric
         1 center symmetric
         1 nfr
         1 self-orthogonal

Очень симпатичный квадратик: дважды симметричный по Гергели/Брауну (вертикальная и горизонтальная симметрия), ассоциативный и self orthogonal.

Поискать программой Белышева ортогональные диагональные соквадраты к этому ДЛК тоже не удалось, программа ругается :)

Число диагональных трансверсалей ДЛК16:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 3 0 1 6 7 4 5 A B 8 9 E F C D
4 5 6 7 0 1 2 3 C D E F 8 9 A B
6 7 4 5 2 3 0 1 E F C D A B 8 9
8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7
A B 8 9 E F C D 2 3 0 1 6 7 4 5
C D E F 8 9 A B 4 5 6 7 0 1 2 3
E F C D A B 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1
9 8 B A D C F E 1 0 3 2 5 4 7 6
B A 9 8 F E D C 3 2 1 0 7 6 5 4
D C F E 9 8 B A 5 4 7 6 1 0 3 2
F E D C B A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 B A D C F E
3 2 1 0 7 6 5 4 B A 9 8 F E D C
5 4 7 6 1 0 3 2 D C F E 9 8 B A
7 6 5 4 3 2 1 0 F E D C B A 9 8

превышает максимум 2097152

PS. Ортогональная пара здесь слилась - пробелы исчезли.
Смотрите её в моей статье, там пробелы есть.
Заодно посмотрите там полную систему MOLS 8-го порядка, построенную в матпакете Maple, это мне прислал М. Алексеев (рис. 6).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

По аналогии с первым ЛК в полной системе MOLS 8-го порядка (смотрите эту систему в статье, указанной в предыдущем посте) я построила первый ЛК в полной системе MOLS 16-го порядка



Думаю, что это единственный ЛК, не являющийся ДЛК, как и в системе для порядка 8.
Обалденно гармоничный ЛК!
На иллюстрации раскраска (частичная) для ассоциативности.

Проверка утилитой Harry White выдаёт

Wednesday 2020-06-10 08:23:25 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 16

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail.txt

Counts
------
         1 Latin
         1 double axial symmetric
         1 center symmetric
         1 nfr
         1 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose

Сколько свойств у этого ЛК!

Было очень интересно строить этот ЛК вручную по аналогии с ЛК 8-го порядка.
Итак, я уже представила один ЛК и два ДЛК из полной системы MOLS 16-го порядка.
Осталось построить ещё 12 ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В статье http://www.natalimak1.narod.ru/dolk.htm, основываясь на методе из статьи Чернова, построена такая ортогональная пара ДЛК 16-го порядка

0 D C B A 11 8 7 5 3 4 2 6 9 10 1 
5 1 D C B A 9 8 6 4 3 7 10 11 2 0 
4 6 2 D C B 10 9 7 5 8 11 0 3 1 A 
9 5 7 3 D C 11 10 8 6 0 1 4 2 A B 
1 10 6 8 4 D 0 11 9 7 2 5 3 A B C 
3 2 11 7 9 5 1 0 10 8 6 4 A B C D 
11 0 1 2 3 4 B A D C 10 9 8 7 6 5 
10 11 0 1 2 3 C D A B 9 8 7 6 5 4 
8 9 10 11 0 1 A B C D 7 6 5 4 3 2 
2 3 4 5 6 7 D C B A 1 0 11 10 9 8 
D C B A 10 0 7 6 4 2 11 3 1 5 8 9 
C B A 9 11 8 6 5 3 1 D 10 2 0 4 7 
B A 8 10 7 6 5 4 2 0 C D 9 1 11 3 
A 7 9 6 5 2 4 3 1 11 B C D 8 0 10 
6 8 5 4 1 9 3 2 0 10 A B C D 7 11 
7 4 3 0 8 10 2 1 11 9 5 A B C D 6 

0 11 9 8 10 D 4 6 3 5 A 7 1 B C 2 
A 1 0 10 9 11 5 7 4 6 8 2 B C 3 D 
9 A 2 1 11 10 6 8 5 7 3 B C 4 D 0 
4 10 A 3 2 0 7 9 6 8 B C 5 D 1 11 
B 5 11 A 4 3 8 10 7 9 C 6 D 2 0 1 
C B 6 0 A 5 9 11 8 10 7 D 3 1 2 4 
3 4 5 6 7 8 C D A B 2 1 0 11 10 9 
1 2 3 4 5 6 A B C D 0 11 10 9 8 7 
2 3 4 5 6 7 B A D C 1 0 11 10 9 8 
11 0 1 2 3 4 D C B A 10 9 8 7 6 5 
10 8 7 9 D 1 3 5 2 4 11 A 6 0 B C 
7 6 8 D 0 C 2 4 1 3 9 10 A 5 11 B 
5 7 D 11 C B 1 3 0 2 6 8 9 A 4 10 
6 D 10 C B 9 0 2 11 1 4 5 7 8 A 3 
D 9 C B 8 2 11 1 10 0 5 3 4 6 7 A 
8 C B7 1 A 10 0 9 11 D 4 2 3 5 6

Здесь A, B, C, D – символьные переменные. которые могут принимать значения 12, 13, 14, 15 в разных комбинациях.

Первый ДЛК в числах выглядит так (при A=12, B=13, C=14, D=15)

0 15 14 13 12 11 8 7 5 3 4 2 6 9 10 1 
5 1 15 14 13 12 9 8 6 4 3 7 10 11 2 0 
4 6 2 15 14 13 10 9 7 5 8 11 0 3 1 12 
9 5 7 3 15 14 11 10 8 6 0 1 4 2 12 13 
1 10 6 8 4 15 0 11 9 7 2 5 3 12 13 14 
3 2 11 7 9 5 1 0 10 8 6 4 12 13 14 15 
11 0 1 2 3 4 13 12 15 14 10 9 8 7 6 5 
10 11 0 1 2 3 14 15 12 13 9 8 7 6 5 4 
8 9 10 11 0 1 12 13 14 15 7 6 5 4 3 2 
2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 1 0 11 10 9 8 
15 14 13 12 10 0 7 6 4 2 11 3 1 5 8 9 
14 13 12 9 11 8 6 5 3 1 15 10 2 0 4 7 
13 12 8 10 7 6 5 4 2 0 14 15 9 1 11 3 
12 7 9 6 5 2 4 3 1 11 13 14 15 8 0 10 
6 8 5 4 1 9 3 2 0 10 12 13 14 15 7 11 
7 4 3 0 8 10 2 1 11 9 5 12 13 14 15 6 

Попробовала поискать к этому ДЛК другие ортогональные диагональные соквадраты.
В этом случае программа Белышева не ругается, но найти мне ничего не удалось

Проверка ДЛК16 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 1879316
Соквадратов:     0
Время в сек:     5055

116138 47232 17897 6268 2036 254 22 19  5

Прервала программу.
Второй ДЛК ортогональной пары тоже пыталась проверить

Проверка ДЛК16 на марьяжность (ОДЛК)

Введено ДЛК:     1
Найдено ОДЛК:    0

Д-трансверсалей: 1875976
Соквадратов:     0
Время в сек:     6410

114253 47058 17883 6269 2000 412 120 2  1

Ну и, конечно, прервала, потому что долго нет ни одного соквадрата.
Вполне возможно, что они и будут, но дождаться этого здесь нереально.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ну вот, пока всё про ОДЛК 16-го порядка.

Перехожу к ОДЛК 17-го порядка.
Тут всё очень просто, потому что 17 - простое число.
Существует полная система MOLS данного порядка, состоящая из 16 ЛК.
Эту систему MOLS можно элементарно построить вручную методом циклического сдвига; я уже построила такие полные системы MOLS для порядков 11 и 13: для порядка 11 система показана выше.

Для примера покажу первый ЛК полной системы MOLS 17-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6
8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7
9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Что говорит об этом ЛК утилита Harry White? Сейчас посмотрим

Sunday 2020-06-14 10:22:34 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_2.txt

Counts
------
         1 Latin
         1 center symmetric
         1 nfr
         1 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose

Ассоциативный и диагонально-симметричный.
Это ЛК; в полной системе MOLS 17-го порядка есть ещё один ЛК, остальные все ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В статье "Построение ортогональных ДЛК методом L. Zhu"
http://www.natalimak1.narod.ru/dolk.htm
я использовала результаты, полученные Черновым по этому методу.
В статье представлена такая ортогональная пара 17-го порядка

0 16 15 14 12 9 11 6 5 2 4 7 3 13 8 10 1 
3 1 16 0 15 13 10 12 6 5 8 4 14 9 11 2 7 
6 4 2 16 1 0 14 11 7 9 5 15 10 12 3 8 13 
10 7 5 3 16 2 1 15 8 6 0 11 13 4 9 14 12 
7 11 8 6 4 16 3 2 9 1 12 14 5 10 15 13 0 
2 8 12 9 7 5 16 4 10 13 15 6 11 0 14 1 3 
14 3 9 13 10 8 6 16 11 0 7 12 1 15 2 4 5 
1 15 4 10 14 11 9 7 12 8 13 2 0 3 5 6 16 
12 13 14 15 0 1 2 3 16 11 10 9 8 7 6 5 4 
16 14 13 11 8 10 5 0 4 15 1 3 6 2 12 7 9 
13 12 10 7 9 4 15 8 3 16 14 0 2 5 1 11 6 
11 9 6 8 3 14 7 5 2 12 16 13 15 1 4 0 10 
8 5 7 2 13 6 4 9 1 10 11 16 12 14 0 3 15 
4 6 1 12 5 3 8 14 0 7 9 10 16 11 13 15 2 
5 0 11 4 2 7 13 1 15 3 6 8 9 16 10 12 14 
15 10 3 1 6 12 0 13 14 4 2 5 7 8 16 9 11 
9 2 0 5 11 15 12 10 13 14 3 1 4 6 7 16 8 

0 15 16 12 11 6 5 9 14 4 10 3 7 8 13 1 2 
5 1 0 16 13 12 7 6 15 11 4 8 9 14 2 3 10 
12 6 2 1 16 14 13 8 0 5 9 10 15 3 4 11 7 
6 13 7 3 2 16 15 14 1 10 11 0 4 5 12 8 9 
11 7 14 8 4 3 16 0 2 12 1 5 6 13 9 10 15 
13 12 8 15 9 5 4 16 3 2 6 7 14 10 11 0 1 
3 14 13 9 0 10 6 5 4 7 8 15 11 12 1 2 16 
8 4 15 14 10 1 11 7 5 9 0 12 13 2 3 16 6 
4 5 6 7 8 9 10 11 16 3 2 1 0 15 14 13 12 
14 16 11 10 5 4 8 1 13 15 3 9 2 6 7 12 0 
16 10 9 4 3 7 0 15 12 13 14 2 8 1 5 6 11 
9 8 3 2 6 15 14 10 11 16 12 13 1 7 0 4 5 
7 2 1 5 14 13 9 4 10 8 16 11 12 0 6 15 3 
1 0 4 13 12 8 3 2 9 6 7 16 10 11 15 5 14 
15 3 12 11 7 2 1 13 8 0 5 6 16 9 10 14 4 
2 11 10 6 1 0 12 3 7 14 15 4 5 16 8 9 13 
10 9 5 0 15 11 2 12 6 1 13 14 3 4 16 7 8

Утилита Harry White сообщает об этой паре ДЛК

Sunday 2020-06-14 10:52:58 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 17

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_3.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         2 center symmetric
         1 orthogonal pair

Оба ДЛК пары ассоциативные.
Попыталась проверить первый ДЛК пары программой Белышева ortogon_u, программа ругается

Число диагональных трансверсалей ДЛК17:

0 G F E C 9 B 6 5 2 4 7 3 D 8 A 1
3 1 G 0 F D A C 6 5 8 4 E 9 B 2 7
6 4 2 G 1 0 E B 7 9 5 F A C 3 8 D
A 7 5 3 G 2 1 F 8 6 0 B D 4 9 E C
7 B 8 6 4 G 3 2 9 1 C E 5 A F D 0
2 8 C 9 7 5 G 4 A D F 6 B 0 E 1 3
E 3 9 D A 8 6 G B 0 7 C 1 F 2 4 5
1 F 4 A E B 9 7 C 8 D 2 0 3 5 6 G
C D E F 0 1 2 3 G B A 9 8 7 6 5 4
G E D B 8 A 5 0 4 F 1 3 6 2 C 7 9
D C A 7 9 4 F 8 3 G E 0 2 5 1 B 6
B 9 6 8 3 E 7 5 2 C G D F 1 4 0 A
8 5 7 2 D 6 4 9 1 A B G C E 0 3 F
4 6 1 C 5 3 8 E 0 7 9 A G B D F 2
5 0 B 4 2 7 D 1 F 3 6 8 9 G A C E
F A 3 1 6 C 0 D E 4 2 5 7 8 G 9 B
9 2 0 5 B F C A D E 3 1 4 6 7 G 8

превышает максимум 2097152

Наверное, для таких больших порядков программа Белышева не будет работать.
Ну, ортогональную пару ДЛК 17-го порядка мы видим.
Ещё несколько ортогональных пар ДЛК данного порядка можно получить из полной системы MOLS.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Порядок 18 проблемный.
Расскажу про ОДЛК 18-го порядка далее.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Начну с ДЛК 18-го порядка, построенного методом Гергели



Порядок 18 был для меня сильно проблемным; даже в статье Гергели очень долго не могла с ним разобраться, но, в конце концов, разобралась и ДЛК построила.

Утилита Harry White отметила для этого ДЛК только симметричность по Гергели/Брауну

Sunday 2020-06-14 21:25:04 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 18

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 axial symmetric

Построить ортогональную пару с этим ДЛК не удаётся программой Белышева, опять слишком много диагональных трансверсалей

Число диагональных трансверсалей ДЛК18:

1 2 3 4 5 F 7 8 9 0 H G 6 E D C B A
4 5 6 7 8 9 1 2 3 C B A 0 H G F E D
7 8 9 A B 3 4 5 6 F E D C 2 1 0 H G
8 9 7 2 3 1 5 6 4 D F E A C B G 0 H
2 3 1 5 6 4 H 9 G 7 0 8 D F E A C B
5 6 4 8 9 7 2 C 1 A 3 B G 0 H D F E
6 D E 9 7 8 3 1 2 B A C H G 0 5 4 F
0 7 8 3 1 2 6 4 5 E D F B A C H G 9
3 1 2 6 4 5 9 7 8 H G 0 E D F B A C
H 0 A B C D E F 7 G 6 5 4 3 2 1 9 8
E F G H 0 A B 3 D 4 C 2 1 9 8 7 6 5
B C D E F G 8 0 A 1 9 H 7 6 5 4 3 2
D B C G E 6 A H 0 9 8 1 F 5 7 3 2 4
A H 0 D 2 C G E F 6 5 7 3 B 4 9 8 1
G E F 1 H 0 D B C 3 2 4 9 8 A 6 5 7
F G 5 0 A H C D B 2 4 3 8 1 9 E 7 6
C 4 B F G E 0 A H 8 1 9 5 7 6 2 D 3
9 A H C D B F G E 5 7 6 2 4 3 8 1 0

превышает максимум 2097152

Ну вот, диагональных трансверсалей очень много, не исключено, что и ортогональные ДЛК имеются.
А вот придумайте-ка способ найти хотя бы один ортогональный ДЛК для показанного ДЛК 18-го порядка без программы Белышева, основанной на трансверсальном поиске.
Кстати говоря, и трансверсальный поиск можно ведь несколько модифицировать, как мне кажется.
Не надо искать все диагональные трансверсали сразу, чтобы они не влезали все в программу; может быть, достаточно какого-то их количества, не превышающего указанный в программе максимум?
Задача для Белышева, и не только. Всем, кто серьёзно работает с ОДЛК разных порядков.

Ортогональную пару ДЛК 18-го порядка я построила другим методом (не для ДЛК Гергели), расскажу об этом далее.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Смотрим мою статью
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ДИАГОНАЛЬНЫЕ ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm

Сначала о двух статьях, которые я так и не смогла найти в момент написания статьи.
Цитирую

Назарок А. В. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. // Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г.
Заодно поищите статью: Heinrich K. and Hilton A. J. W. Doubly diagonal orthogonal Latin squares. // Discrete Math. Vol. 46. № 2. 1983.

Можно и сейчас поискать, вдруг обнаружатся.

Далее цитирую

Для построения пар ОДЛК 18-го порядка я взяла пару ОЛК из известной группы MOLS данного порядка, состоящей из трёх латинских квадратов. К сожалению, третий латинский квадрат этой группы не превращается в диагональный латинский квадрат. Построение группы MOLS 18-го порядка описано в статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols18.htm

На рис. 34-35 вы видите ортогональную пару ДЛК 18-го порядка.
Сейчас скопирую и покажу здесь.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Встречайте - построенная мной ортогональная пара ДЛК 18-го порядка



Интересно бы посмотреть на ортогональную пару ДЛК 18-го порядка, построенную в статье
Назарок А. В. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. // Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г.
Статья 1989 г., не такая уж и древняя, МГУ; должна бы быть в Сети, но я тогда не нашла.
Даже на форуме ПЕН писала об этой статье и просила помочь найти, безуспешно.
В статье рассматриваются ортогональные пары ДЛК проблемных порядков 15, 18 и 26.

Сейчас преобразую ДЛК из построенной мной ортогональной пары в традиционную форму и проверю их утилитой Harry White.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Преобразовала и проверила ДЛК ортогональной пары 18-го порядка утилитой Harry White

Monday 2020-06-15 06:01:31 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 18

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_1.txt

Counts
------
         2 diagonal Latin
         1 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

О-о-о! Self orthogonal!
Я и не зала о таком понятии в то время, когда писала статью и построила эту ортогональную пару.
Каждый ДЛК пары является self orthogonal, то есть мы имеем ещё две ортогональные пары.

Поискать новые ортогональные соквадраты к ДЛК этой ортогональной пары, конечно, не удалось

Число диагональных трансверсалей ДЛК18:

0 4 E F G H 1 D 3 C 2 6 B 9 7 5 A 8
7 1 5 E F G H 0 4 D 3 C A 8 6 B 9 2
D 8 2 6 E F G 1 5 0 4 B 9 7 C A 3 H
C 0 9 3 7 E F 2 6 1 5 A 8 D B 4 H G
B D 1 A 4 8 E 3 7 2 6 9 0 C 5 H G F
A C 0 2 B 5 9 4 8 3 7 1 D 6 H G F E
2 B D 1 3 C 6 5 9 4 8 0 7 H G F E A
8 9 A B C D 0 E F G H 7 6 5 4 3 2 1
5 6 7 8 9 A B H G F E 4 3 2 1 0 D C
4 5 6 7 8 9 A F E H G 3 2 1 0 D C B
6 7 8 9 A B C G H E F 5 4 3 2 1 0 D
3 E F G H 0 7 C 2 B 1 D 5 A 8 6 4 9
E F G H D 6 8 B 1 A 0 2 C 4 9 7 5 3
F G H C 5 7 2 A 0 9 D E 1 B 3 8 6 4
G H B 4 6 1 3 9 D 8 C F E 0 A 2 7 5
H A 3 5 0 2 4 8 C 7 B G F E D 9 1 6
9 2 4 D 1 3 5 7 B 6 A H G F E C 8 0
1 3 C 0 2 4 D 6 A 5 9 8 H G F E B 7

превышает максимум 2097152

В статье я строила другие подобные ортогональные пары, варьируя квази-разностную матрицу.
Но сильно подозреваю сейчас, что все эти пары будут изоморфные, хотя не факт. Надо доказать это или опровергнуть.
Программа, написанная в то время (варьирование квази-разностной матрицы), выдала 2880 подобных ортогональных пар. В статье показана 2880-я ортогональная пара.

Кажется, это всё у меня по ОДЛК 18-го порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Поискала две указанные выше статьи.

Для Назарок нашла его диссертацию, защищённую, как я поняла, в 1991 г.
Исследование ортогональных латинских квадратов и других комбинаторных конструкций

Диссертации по физике, математике и химии
http://fizmathim.com/issledovanie-ortogonalnyh-latinskih-kvadratov-i-drugih-kombinatornyh-konstruktsiy#ixzz6PP6vF0Q4
Назарок, Андрей Владимирович, автор

Статью
Назарок А. В. Пары ортогональных дважды диагональных латинских квадратов порядков 15, 18 и 26. // Комбинаторный анализ. Вып. 32. М.: МГУ, 1989 г.
не нашла.
А вот статью
Heinrich K. and Hilton A. J. W. Doubly diagonal orthogonal Latin squares
нашла!
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X83902509

Abstract
A pair of doubly diagonal orthogonal latin squares of order n, DDOLS(n), is a pair of orthogonal latin squares of order n with the property that each square has a transversal on both the front diagonal (the cells {(i, i):1<=i<=n}) and the back diagonal (the cells {(i, n + 1−i): 1<=i<=n}). We show that for all n except n = 2, 3, 6, 10, 12, 14, 15, 18 and 26, there exists a pair of DDOLS(n). Obbviously these do not exist when n = 2, 3 and 6.

Перевод в Google

Пара дважды диагональных ортогональных латинских квадратов порядка n, DDOLS (n), представляет собой пару ортогональных латинских квадратов порядка n со свойством того, что каждый квадрат имеет трансверсаль на передней диагонали (ячейки {(i, i) : 1 <= i <= n}) и обратная диагональ (ячейки {(i, n + 1 − i): 1 <= i <= n}). Покажем, что для всех n, кроме n = 2, 3, 6, 10, 12, 14, 15, 18 и 26, существует пара DDOLS (n). Очевидно, что они не существуют, когда n = 2, 3 и 6.

Эта статья 1983 г.
Позже были найдены ортогональные пары ДЛК для всех указанных в статье проблемных порядков: 10, 12, 14, 15, 18 и 26.
Статью можно посмотреть в PDF. Есть интересные теоремы.
Читайте!

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот сразу увидела такие две интересные теоремы.

Theorem 2.7. Given a pair of DDOLS(a ), and a pair of DDOLS(b), there exists a pair of DDOLS(ab).

Эту теорему я хорошо знала уже тогда, когда писала статьи. Применила её для построения ортогональных пар ДЛК 20-го порядка.
Дальше покажу эти пары.

Theorem 3A (Gergely [5]). There exists a pair of DDOLS(n) for n=p1^e1p2^e2…pk^ek, pi prime, ei a non-negative integer, and pi^ei≥4.

Эта теорема, как я понимаю, принадлежит Гергели.

По-английски я не чтец. Перевести бы эту статью на русский.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Тэк-с, следующий порядок у нас 19.
Хороший порядок :) 19 - простое число.
Существует полная система MOLS 19-го порядка, состоящая из 18 взаимно ортогональных ЛК.
В этой системе только два ЛК не являются ДЛК.

Как я уже сообщала, методом Гергели ДЛК 19-го порядка мне удалось построить только с помощью коллеги Чернова.
В статье
ПОСТРОЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
http://www.natalimak1.narod.ru/dlk.htm
этот ДЛК изображён на рис.36.
Показываю этот ДЛК

1 18 3 4 5 6 7 8 9 11 0 17 16 15 14 13 12 2 10
2 3 18 5 6 4 8 9 7 10 16 0 17 13 15 14 1 12 11
3 1 2 18 4 5 9 7 8 15 17 16 0 14 13 6 11 10 12
4 5 6 7 18 9 1 2 3 17 12 11 10 0 8 16 15 14 13
5 6 4 8 9 18 2 3 1 16 10 12 11 7 0 17 13 15 14
6 4 5 9 7 8 18 1 2 12 11 10 3 17 16 0 14 13 15
7 8 9 1 2 3 4 18 6 14 15 5 13 12 11 10 0 17 16
8 9 7 2 3 1 5 6 18 13 4 15 14 10 12 11 16 0 17
18 7 8 3 1 2 6 4 5 0 14 13 15 11 10 12 17 16 9
0 11 10 15 17 16 12 14 13 18 8 3 4 2 6 7 5 9 1
17 15 16 11 0 10 14 12 4 3 13 18 5 1 9 2 7 6 8
16 17 15 10 11 0 13 5 12 4 3 14 18 9 2 1 6 8 7
15 16 17 0 10 11 3 13 14 2 5 4 12 18 1 9 8 7 6
14 12 13 17 15 7 11 0 10 6 1 9 2 16 18 8 4 3 5
13 14 12 16 8 15 10 11 0 7 9 2 1 6 17 18 3 5 4
12 13 14 6 16 17 0 10 11 5 2 1 9 8 7 15 18 4 3
11 0 1 14 12 13 17 15 16 9 7 6 8 4 3 5 10 18 2
10 2 0 13 14 12 16 17 15 1 6 8 7 3 5 4 9 11 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 18 7 6 5 4 3 2 1 0

Утилита Harry White никаких свойств у этого ДЛК не обнаружила.
Имеет ли этот ДЛК ортогональные ДЛК?
Программа Белышева ругается :)

Число диагональных трансверсалей ДЛК19:

1 I 3 4 5 6 7 8 9 B 0 H G F E D C 2 A
2 3 I 5 6 4 8 9 7 A G 0 H D F E 1 C B
3 1 2 I 4 5 9 7 8 F H G 0 E D 6 B A C
4 5 6 7 I 9 1 2 3 H C B A 0 8 G F E D
5 6 4 8 9 I 2 3 1 G A C B 7 0 H D F E
6 4 5 9 7 8 I 1 2 C B A 3 H G 0 E D F
7 8 9 1 2 3 4 I 6 E F 5 D C B A 0 H G
8 9 7 2 3 1 5 6 I D 4 F E A C B G 0 H
I 7 8 3 1 2 6 4 5 0 E D F B A C H G 9
0 B A F H G C E D I 8 3 4 2 6 7 5 9 1
H F G B 0 A E C 4 3 D I 5 1 9 2 7 6 8
G H F A B 0 D 5 C 4 3 E I 9 2 1 6 8 7
F G H 0 A B 3 D E 2 5 4 C I 1 9 8 7 6
E C D H F 7 B 0 A 6 1 9 2 G I 8 4 3 5
D E C G 8 F A B 0 7 9 2 1 6 H I 3 5 4
C D E 6 G H 0 A B 5 2 1 9 8 7 F I 4 3
B 0 1 E C D H F G 9 7 6 8 4 3 5 A I 2
A 2 0 D E C G H F 1 6 8 7 3 5 4 9 B I
9 A B C D E F G H 8 I 7 6 5 4 3 2 1 0

превышает максимум 2097152

Есть несколько других способов построения ДЛК к заданному ДЛК (помимо трансверсального поиска).
Например, иногда достаточно исходный ДЛК повернуть на 90 градусов и ортогональный ДЛК готов.
Или ещё: иногда ортогональные ДЛК находятся перестановкой строк в заданном ДЛК.

Поиграйтесь, господа :)
Впрочем, ортогональные пары ДЛК 19-го порядка у нас имеются (из полной системы MOLS).

Следующий порядок у нас 20. Расскажу о нём далее.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Как всегда, начну с ДЛК 20-го порядка, построенного методом Гергели



Утилита Harry White отметила в этом ДЛК только симметричность по Гергели/Брауну.
Есть ли у этого ДЛК ортогональные ДЛК? А чёрт их знает.
Программа Белышева ругается

Число диагональных трансверсалей ДЛК20:

1 C 3 4 5 6 7 8 9 A 0 J I H G F E D 2 B
9 3 H 5 1 A 6 4 8 2 C I E G 0 B F 7 D J
3 4 5 0 9 2 1 6 7 8 I H G B C J A F E D
4 5 1 9 I 3 2 A 6 7 H G 0 C D 8 J B F E
G 1 9 3 4 7 8 2 A 5 F 0 C I H E D J B 6
7 6 A 2 3 8 J 1 5 4 E F B 9 I D C 0 G H
8 7 6 1 2 9 A F 4 3 D E 5 0 J C B G H I
2 8 4 6 A 1 5 7 D 9 J 3 H F B 0 G E I C
A 9 8 7 6 5 4 3 2 B 1 C D E F G H I J 0
5 A 2 8 7 E 3 9 1 6 G B J D 4 H I C 0 F
0 J I H G F E D C 1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 A
C I E G 0 B F H 3 J 9 D 7 5 1 A 6 4 8 2
I H G B C J 0 5 E D 3 4 F A 9 2 1 6 7 8
H G 0 C D I 9 B F E 4 5 1 J 8 3 2 A 6 7
F 0 C I H 4 D J B G 6 1 9 3 E 7 8 2 A 5
E F B J 8 D C 0 G H 7 6 A 2 3 I 9 1 5 4
D E F A J C B G H I 8 7 6 1 2 9 0 5 4 3
J D 7 F B 0 G E I C 2 8 4 6 A 1 5 H 3 9
B 2 D E F G H I J 0 A 9 8 7 6 5 4 3 C 1
6 B J D E H I C 0 F 5 A 2 8 7 4 3 9 1 G

превышает максимум 2097152

Неужели при таком огромном количестве диагональных трансверсалей не найдётся ни одного ортогонального диагонального соквадрата?
Ну вот, у ДЛК Гергели 20-го порядка ортогональной пары не имеем пока.
Может быть, кто-нибудь найдёт в будущем.
Например, Белышев модифицирует свою программу трансверсального поиска и найдёт.

Однако порядок 20 хорош тем, что 20=4*5, и для порядков 4 и 5 существуют ортогональные пары ДЛК.
Вот я и применила к этому порядку показанную выше теорему.
Расскажу об этом далее.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Метод построения ортогональных пар ЛК, основанный на теореме

Theorem 2.7. Given a pair of DDOLS(a ), and a pair of DDOLS(b), there exists a pair of DDOLS(ab).

я называю методом составных квадратов.

В статье
ГРУППЫ MOLS 20-го и 21-го ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols20_21.htm
на рис. 12-14 показана группа MOLS 20-го порядка, состоящая из трёх взаимно ортогональных ЛК, построенная методом составных квадратов.
Показываю эту группу

 №1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15
3 4 5 1 2 8 9 10 6 7 18 19 20 16 17 13 14 15 11 12
5 1 2 3 4 10 6 7 8 9 20 16 17 18 19 15 11 12 13 14
2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 17 18 19 20 16 12 13 14 15 11
4 5 1 2 3 9 10 6 7 8 19 20 16 17 18 14 15 11 12 13
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5
13 14 15 11 12 18 19 20 16 17 8 9 10 6 7 3 4 5 1 2
15 11 12 13 14 20 16 17 18 19 10 6 7 8 9 5 1 2 3 4
12 13 14 15 11 17 18 19 20 16 7 8 9 10 6 2 3 4 5 1
14 15 11 12 13 19 20 16 17 18 9 10 6 7 8 4 5 1 2 3
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 9 10 6 7 3 4 5 1 2 13 14 15 11 12 18 19 20 16 17
10 6 7 8 9 5 1 2 3 4 15 11 12 13 14 20 16 17 18 19
7 8 9 10 6 2 3 4 5 1 12 13 14 15 11 17 18 19 20 16
9 10 6 7 8 4 5 1 2 3 14 15 11 12 13 19 20 16 17 18
16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18 19 20 16 17 13 14 15 11 12 3 4 5 1 2 8 9 10 6 7
20 16 17 18 19 15 11 12 13 14 5 1 2 3 4 10 6 7 8 9
17 18 19 20 16 12 13 14 15 11 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6
19 20 16 17 18 14 15 11 12 13 4 5 1 2 3 9 10 6 7 8
 
№2
1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20
4 5 1 2 3 14 15 11 12 13 9 10 6 7 8 19 20 16 17 18
2 3 4 5 1 12 13 14 15 11 7 8 9 10 6 17 18 19 20 16
5 1 2 3 4 15 11 12 13 14 10 6 7 8 9 20 16 17 18 19
3 4 5 1 2 13 14 15 11 12 8 9 10 6 7 18 19 20 16 17
6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15
9 10 6 7 8 19 20 16 17 18 4 5 1 2 3 14 15 11 12 13
7 8 9 10 6 17 18 19 20 16 2 3 4 5 1 12 13 14 15 11
10 6 7 8 9 20 16 17 18 19 5 1 2 3 4 15 11 12 13 14
8 9 10 6 7 18 19 20 16 17 3 4 5 1 2 13 14 15 11 12
16 17 18 19 20 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5
19 20 16 17 18 9 10 6 7 8 14 15 11 12 13 4 5 1 2 3
17 18 19 20 16 7 8 9 10 6 12 13 14 15 11 2 3 4 5 1
20 16 17 18 19 10 6 7 8 9 15 11 12 13 14 5 1 2 3 4
18 19 20 16 17 8 9 10 6 7 13 14 15 11 12 3 4 5 1 2
11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10
14 15 11 12 13 4 5 1 2 3 19 20 16 17 18 9 10 6 7 8
12 13 14 15 11 2 3 4 5 1 17 18 19 20 16 7 8 9 10 6
15 11 12 13 14 5 1 2 3 4 20 16 17 18 19 10 6 7 8 9
13 14 15 11 12 3 4 5 1 2 18 19 20 16 17 8 9 10 6 7
 
№3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 12 13 14 15 11 17 18 19 20 16
3 4 5 1 2 8 9 10 6 7 13 14 15 11 12 18 19 20 16 17
4 5 1 2 3 9 10 6 7 8 14 15 11 12 13 19 20 16 17 18
5 1 2 3 4 10 6 7 8 9 15 11 12 13 14 20 16 17 18 19
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15
7 8 9 10 6 2 3 4 5 1 17 18 19 20 16 12 13 14 15 11
8 9 10 6 7 3 4 5 1 2 18 19 20 16 17 13 14 15 11 12
9 10 6 7 8 4 5 1 2 3 19 20 16 17 18 14 15 11 12 13
10 6 7 8 9 5 1 2 3 4 20 16 17 18 19 15 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12 13 14 15 11 17 18 19 20 16 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6
13 14 15 11 12 18 19 20 16 17 3 4 5 1 2 8 9 10 6 7
14 15 11 12 13 19 20 16 17 18 4 5 1 2 3 9 10 6 7 8
15 11 12 13 14 20 16 17 18 19 5 1 2 3 4 10 6 7 8 9
16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5
17 18 19 20 16 12 13 14 15 11 7 8 9 10 6 2 3 4 5 1
18 19 20 16 17 13 14 15 11 12 8 9 10 6 7 3 4 5 1 2
19 20 16 17 18 14 15 11 12 13 9 10 6 7 8 4 5 1 2 3
20 16 17 18 19 15 11 12 13 14 10 6 7 8 9 5 1 2 3 4

Понятно, что эта группа MOLS построена на основе групп MOLS 4-го и 5-го порядков.
ЛК №1 и №2 в этой группе MOLS 20-го порядка являются диагональными. Имеем одну ортогональную пару ДЛК 20-го порядка.
Сейчас преобразую ДЛК этой ортогональной пары в традиционную форму и проверю утилитой Harry White.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Проверила утилитой Harry White все три ЛК показанной группы MOLS 20-го порядка

Monday 2020-06-15 19:20:25 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 20

Enter the name of the squares file: INP
.. writing type information to file INPTypeDetail_2.txt

Counts
------
         1 Latin
         2 diagonal Latin
         3 center symmetric
         1 nfr
         1 nfc
         1 nfr nfc
         1 self-transpose
         2 orthogonal pair
         2 self-orthogonal

Интересные свойства!
Все три квадрата ассоциативные. Один квадрат диагонально-симметричный. Два квадрата self orthogonal.
Диагонально-симметричным является ЛК №3 (не диагональный).

Я не понимаю, как Harry считает ортогональные пары.
Почему в этой системе MOLS у него всего две ортогональные пары???
Ведь здесь же три ортогональные пары, потому что квадраты взаимно ортогональны.

PS. А, кажется понимаю.
У Harry третья ортогональная пара входит в пункт

2 self-orthogonal

Да, оба ДЛК в этой системе MOLS являются self orthogonal, и дают они как раз одну ортогональную пару.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В статье
ЕЩЁ ОДНА ГРУППА MOLS 20-го ПОРЯДКА
http://www.natalimak1.narod.ru/mols20a.htm
построена ещё одна группа MOLS 20-го порядка, состоящая из четырёх взаимно ортогональных ЛК.
При построении использовалась квази-разностная матрица, приведённая в статье
M. Wojtas, Discrete Mathematics 140 (1995) 291 - 294

Один ЛК в этой группе MOLS является диагональным, первый.
Показываю его



Интереснейший ДЛК! Своеобразная блочная структура. И блоки весьма своеобразные.
Сейчас проверю этот ДЛК утилитой Harry White.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот

Tuesday 2020-06-16 07:34:17 ╠юёъютёъюх тЁхь  (чшьр)

Order? 20

Enter the name of the squares file: inp
.. writing type information to file inpTypeDetail_4.txt

Counts
------
         1 diagonal Latin
         1 natural \diagonal
         1 self-orthogonal

О-о-о! Self orthogonal!
Таким образом, имеем ещё одну очень оригинальную ортогональную пару ДЛК 20-го порядка: показанный на иллюстрации в предыдущем посте ДЛК ортогонален своему транспонированному варианту.
Прекрасная ортогональная пара!
Вполне возможно, что у этого ДЛК есть и другие ортогональные диагональные соквадраты, но найти их проблематично.
Программа Белышева наверняка будет ругаться :)

Да, ругается

Число диагональных трансверсалей ДЛК20:

0 B 9 I H 6 5 E 3 C 1 A 8 J G 7 4 F 2 D
A 1 J 8 7 G F 4 D 2 B 0 I 9 6 H E 5 C 3
4 F 2 D B 0 J 8 7 G 5 E 3 C A 1 I 9 6 H
E 5 C 3 1 A 9 I H 6 F 4 D 2 0 B 8 J G 7
8 J 6 H 4 F D 2 1 A 9 I 7 G 5 E C 3 0 B
I 9 G 7 E 5 3 C B 0 J 8 H 6 F 4 2 D A 1
2 D A 1 8 J 6 H F 4 3 C B 0 9 I 7 G E 5
C 3 0 B I 9 G 7 5 E D 2 1 A J 8 H 6 4 F
G 7 4 F C 3 A 1 8 J H 6 5 E D 2 B 0 9 I
6 H E 5 2 D 0 B I 9 7 G F 4 3 C 1 A J 8
B 0 I 9 6 H E 5 C 3 A 1 J 8 7 G F 4 D 2
1 A 8 J G 7 4 F 2 D 0 B 9 I H 6 5 E 3 C
F 4 D 2 0 B 8 J G 7 E 5 C 3 1 A 9 I H 6
5 E 3 C A 1 I 9 6 H 4 F 2 D B 0 J 8 7 G
J 8 H 6 F 4 2 D A 1 I 9 G 7 E 5 3 C B 0
9 I 7 G 5 E C 3 0 B 8 J 6 H 4 F D 2 1 A
D 2 1 A J 8 H 6 4 F C 3 0 B I 9 G 7 5 E
3 C B 0 9 I 7 G E 5 2 D A 1 8 J 6 H F 4
7 G F 4 3 C 1 A J 8 6 H E 5 2 D 0 B I 9
H 6 5 E D 2 B 0 9 I G 7 4 F C 3 A 1 8 J

превышает максимум 2097152

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg