Problem 73. Minimal symmetric tuples from consecutive twin primes...
https://www.primepuzzles.net/problems/prob_073.htm

Не буду дублировать описание проблемы.
Это последнее из известных решений проблемы, найденное в проекте TBEG

k = 7
2485390773085247: 0 2 24 26 30 32 42 44 54 56 60 62 84 86
d = 86

Для k>7 решения неизвестны.

Приглашаю всех на интересный сайт головоломок Carlos Rivera.
Вы можете опубликовать на сайте ваши решения предложенной проблемы.
Удачи!

На сегодня в проекте TBEG найдены следующие симметричные восьмёрки из последовательных близнецов
(по ссылке https://boinc.tbrada.eu/spt_list_stpt.php?k=16)

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where k = 16
# where kind = stpt
2640138520272677: 0 2 12 14 30 32 54 56 90 92 114 116 132 134 144 146
119890755200639999: 0 2 42 44 78 80 90 92 120 122 132 134 168 170 210 212
156961225134536189: 0 2 12 14 48 50 120 122 180 182 252 254 288 290 300 302
# last = 17946980 # count = 3

Теоретический паттерн для решения с минимальным диаметром единственный

k = 8
0 2 30 32 42 44 54 56 60 62 72 74 84 86 114 116
d = 116

Дерзайте, господа!

О! Как интересно!
Посмотрите на эту минимальную симметричную шестёрку из близнецов с минимальным диаметром 56

5008751356547: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56

Посмотрели?
А теперь посмотрите на теоретический паттерн для симметричной восьмёрки из близнецов с минимальным диаметром 116

0 2 30 32 42 44 54 56 60 62 72 74 84 86 114 116

Преемственность паттернов!
Из показанной симметричной шестёрки можно получить такую симметричную восьмёрку, но, конечно, с неправильными крайними парами

5008751356517*, 5008751356519*, 5008751356547, 5008751356549, 5008751356559, 5008751356561, 5008751356571, 5008751356573, 5008751356577, 5008751356579, 5008751356589, 5008751356591, 5008751356601, 5008751356603, 5008751356631*, 5008751356633*

Это приближённое решение проблемы, содержит 4 неправильных элемента (эти элементы не являются простыми числами).

У нас есть много симметричных шестёрок из близнецов, найденных в проекте TBEG. Среди них есть немало решений с минимальным диаметром 56. Можно посмотреть все продолжения этих решений.
Вот сейчас скачала симметричные шестёрки из близнецов, хвост

. . . . . . 
599918267653467989: 0 2 18 20 42 44 48 50 72 74 90 92
599938179115662347: 0 2 42 44 72 74 102 104 132 134 174 176
599963870181948737: 0 2 24 26 84 86 150 152 210 212 234 236
599971843491803507: 0 2 60 62 72 74 102 104 114 116 174 176
599982139876536617: 0 2 12 14 30 32 72 74 90 92 102 104
599983020524334287: 0 2 12 14 42 44 120 122 150 152 162 164
599993645550279947: 0 2 30 32 72 74 150 152 192 194 222 224
599997555242651297: 0 2 84 86 114 116 180 182 210 212 294 296
# last = 26455642 # count = 35303

Программкой найду все решения с минимальным диаметром 56, потом все их продолжу до восьмёрок.

Ого! 788 симметричных шестёрок из близнецов с минимальным диаметром 56!
Чтобы все их продолжить до восьмёрки, надо программку написать, вручную столько не продолжишь.

Вчера продолжила 200 симметричных шестёрок (из 788) до симметричной восьмёрки в полуавтоматическом режиме.
Это приближённое решение, полученное из следующей симметричной шестёрки

222884439412277: 0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56

[222884439412247*, 222884439412249, 222884439412277, 222884439412279, 222884439412289, 222884439412291, 222884439412301, 222884439412303, 222884439412307, 222884439412309, 222884439412319, 222884439412321, 222884439412331, 222884439412333, 222884439412361, 222884439412363]

Всего один неправильный элемент (помечен символом *), этот элемент не является простым числом.
Синим цветом выделена исходная шестёрка.
Это лучшее приближение, которое получилось при продолжении.

Хм...
это симметричные шестёрки из последовательных близнецов с минимальным диаметром 56

5008751356547
41205774410807
42979385271257
58635327923957
65231197165217
71236828597367
73101393871367
98957272485077
151555346216357
196179041326547
216868204183637
222884439412277
241029443083577
246096232184237
334535590239647
351345937735577
375377634546557
420931114784417
453917956320767
460403615976947
472202199690227
563537597904287
641659821223427
764916172094717
821015254538417
933891119770547
947783529401297
948209566910117
1094050218870197
1104775954239677
. . . . . .
52052037248697557
52487789575582157
52695759651084257
52790550300598907
52810562749133897
52902204520361267
53168109366846347
53884156090972367
54179817585728267
54255162742936457
54448560255108167
54652008651105167
54780909888770927
54833501484093767
54900949026826337
54917218214303087
54981837032446967
55245516741686627
55334233943729537
55355068081678667
55433243633787167

Вы видите первые элементы шестёрок, не оканчивающиеся цифрой 7?
Я не вижу таких.
Это закономерность? Как обосновывается?

PS. Обосновывается легко!
Смотрим на паттерн

0 2 12 14 24 26 30 32 42 44 54 56

Таким образом, искомая симметричная восьмёрка из последовательных близнецов тоже начинается с простого числа, оканчивающегося цифрой 7.
Вот, уже уменьшили пространство поиска решения.
Посмотрела симметричные восьмёрки из последовательных близнецов, найденные Врублевским

119890755200639999: 0,2,42,44,78,80,90,92,120,122,132,134,168,170,210,212
1025519173619653079: 0,2,42,44,78,80,90,92,120,122,132,134,168,170,210,212
1709642327471063801: 0,2,30,32,60,62,90,92,96,98,126,128,156,158,186,188
1759943151645258947: 0,2,12,14,42,44,54,56,120,122,132,134,162,164,174,176
1960984050584219159: 0,2,30,32,42,44,48,50,72,74,78,80,90,92,120,122
3808061696393625101: 0,2,30,32,60,62,90,92,138,140,168,170,198,200,228,230
4018288550284158077: 0,2,12,14,42,44,54,56,90,92,102,104,132,134,144,146
5512467165717387017: 0,2,30,32,42,44,72,74,132,134,162,164,174,176,204,206
6118066623221589779: 0,2,30,32,42,44,72,74,78,80,108,110,120,122,150,152
6868687010299798889: 0,2,60,62,102,104,162,164,168,170,228,230,270,272,330,332
7214261446565240399: 0,2,48,50,120,122,132,134,168,170,180,182,252,254,300,302

Все эти кортежи дают пандиагональные квадраты 4х4.
Интересный здесь есть кортеж - с диаметром 122, близко к минимальному диаметру 116.

Итак, теоретический паттерн искомого решения с минимальным диаметром единственный; начинается искомое решение с простого числа, оканчивающегося цифрой 7; есть приближённое решение с одним неправильным элементом; есть решение с близким диаметром.
И-щ-е-м!
Не забудьте, что требуется найти минимальное решение с минимальным диаметром.

На сайте Carlos Rivera появилось сообщение, цитирую

I’m busy with this problem. Currently testing k=8 and k=12.

I wrote a routine to compute the associated Hardy Littlewood constants.

This routine broke down at k=3, for a good reason.

The displayed solution:

k = 3
5: 0 2 6 8 12 14
d = 14

Is fine. However the pattern [0,2,6,8,12,14] is not in general! The displayed pattern only works with p=5.
If p>5 then all residues modulo 5 are taken: [0,2,1,3,2,4] and we can’t choose p. (Except 5 that is).

В сообщении указывается на тривиальность решения для k = 3 (неповторяемость паттерна).
Ну, тривиальное решение тоже имеет право быть решением. В условии задачи не исключаются тривиальные решения.

Значит, есть ещё один вариант решения для k = 3, с общим паттерном, что, наверное, изменит и минимальный диаметр.
Какое это решение?

Нашла нетривиальное минимальное решение с минимальным диаметром для k = 3

4217: 0 2 12 14 24 26
d=26

Этот паттерн допустимый (повторяемый).

Написала ответ.

Carlos Rivera мой ответ до сих пор не опубликовал.
Жду.

Jan van Delden прислал мне обалденное исследование проблемы!
Он, наверное, опубликует его на сайте Carlos Rivera.
Следите!

В частности, исследуется вопрос получения формул для поиска по паттернам (на основе китайской теоремы об остатках).
И о гипотезе Харди-Литтлвуда есть, и подтверждены все найденные мной теоретические паттерны.
Очень интересное исследование!

Кстати, на форуме dxdy.ru есть тема "Точность гипотезы Харди-Литтлвуда о простых кортежах"
https://dxdy.ru/topic138873.html
Пыталась эту тему читать, ни черта не поняла :)

Jan van Delden опубликовал своё исследование по проблеме.

Смотрите, очень интересно!

Напомню ссылку
Problem 73. Minimal symmetric tuples from consecutive twin primes...
https://www.primepuzzles.net/problems/prob_073.htm

Запостила задачу на форуме AoPS в своём блоге

https://artofproblemsolving.com/community/c107286h2084930_minimal_symmetric_tuples_from_consecutive_twin_primes

Может быть, там кто-нибудь заинтересуется.

В проекте TBEG найдено уже шесть симметричных восьмёрок из близнецов (по состоянию на 2 мая с. г.)

# Copyright Tomas Brada, ask on forum about reuse or citation.
# where k = 16
# where kind = stpt
2640138520272677: 0 2 12 14 30 32 54 56 90 92 114 116 132 134 144 146
119890755200639999: 0 2 42 44 78 80 90 92 120 122 132 134 168 170 210 212
156961225134536189: 0 2 12 14 48 50 120 122 180 182 252 254 288 290 300 302
193609877401516181: 0 2 6 8 60 62 90 92 126 128 156 158 210 212 216 218
215315384130681929: 0 2 12 14 42 44 90 92 132 134 180 182 210 212 222 224
404072710417411769: 0 2 42 44 108 110 180 182 240 242 312 314 378 380 420 422
# last = 63023537 # count = 6

Однако до минимального диаметра пока далеко.
Последнее найденное решение с максимальным на данный момент диаметром 422.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg