Нашла в своём архиве документ doc, не помню, для какого форума писала сообщение.
Но это очень интересно!
Вот сейчас мы ищем симметричные кортежи из последовательных простых чисел.
Кортежи длины 16 годятся для построения пандиагональных магических квадратов 4-го порядка; не все, конечно, годятся, а только некоторые из них.
Вот с этого и начинались у меня кортежи!
Они у меня сначала даже и не назывались кортежами, а назывались КПППЧ (Комплементарные Пары Последовательных Простых Чисел).
В общем, опубликую этот интересный документ.
______

n=4 (minimal, author Max Alekseyev)

170693941183817: 0, 30, 42, 44, 72, 74, 86, 90, 116, 120, 132, 134, 162, 164, 176, 206

170693941183817 170693941183933 170693941183949 170693941183981
170693941183979 170693941183951 170693941183847 170693941183903
170693941183891 170693941183859 170693941184023 170693941183907
170693941183993 170693941183937 170693941183861 170693941183889

S=682775764735680

See http://oeis.org/A245721
http://dxdy.ru/post891839.html#p891839

n=5, solution is unknown.

This is my solution with 5 errors:

{13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113}

13 47 111* 89 53
79 107 29 43 55*
59 51* 23 97 83
41 73 113 67 19
121* 35* 37 17 103

S=313

n=6 (minimal)

{67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251}

67 193 71 251 109 239
139 233 113 181 157 107 
241 97 191 89 163 149
73 167 131 229 151 179
199 103 227 101 127 173
211 137 197 79 223 83

S=930

See http://oeis.org/A073523

n=7, solution is unknown.

I tried to solve this problem for the next array of consecutive primes:

{7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239}

This is my solution with 5 errors:

97 167 233 179 11 103 7
59 19 71 163 101 211 173
157 137 89 181 23 83 127
113 131 139 109 121* 123* 61
191 67 53 17 229 47 193
-17* 197 227 107 239 31 13
197* 79 -15* 41 73 199 223

S=797
______
Недавно перечитывала темы на форуме dxdy.ru.
Там есть о том, как мы искали пандиагональный квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел.
О! Мы его долго и упорно искали. И... не нашли!
Программа Белышева у меня в архиве сохранилась - Поиск антимага25.
Крутила её очень долго. Нет решения!
Макс Алексеев тоже долго искал этот квадрат.
А ещё... Prоgger искал! :)
В-о-о-о-т история какая богатая у нас :)
А антимаг25 так и не найден!

Progger
а не запустить ли вам подпроект по поиску анимага25? :)

Для пандиагонального квадрата 5-го порядка не нужен симметричный кортеж длины 25, а нужен просто кортеж из 25 последовательных простых чисел, но чтобы из чисел этого кортежа составился антимагический квадрат Стенли 5-го порядка (отсюда название программы Белышева).
Из антимагического квадрата Стенли (5-го порядка) автоматически составляется пандиагональный квадрат.
Но вот найти такой кортеж из последовательных простых чисел не удалось.
В опубликованном документе вы видите моё решение с 5 ошибками.
У меня было ещё много решений с ошибками, кажется, и с 4 ошибками были.
Сейчас поищу.
Нет, с 4 ошибками не было квадрата.
С 5 ошибками самое лучшее приближение к решению.

А посмотрите на пандиагональный квадрат 6-го порядка!
Давным-давно построен.
Кортеж из последовательных простых чисел здесь тоже не симметричный, конечно.
Но вот квадрат составился!
А квадрат 5-го порядка никак не хочет составляться.

Progger
это ведь вы писали :)

Сделал возможность распределённого поиска и запустил поиск квадратов Стенли 4х4 на 22 ядрах (клиент однопоточный, я запустил 22 экземпляра). За ~12 часов удалось проверить до 2,4*10^14. Первые числа найденных квадратов можно посмотреть тут.
Если там ничего не пропущено, то можно запустить для поиска квадратов 5х5, но я могу искать на таком количестве компов разве что по выходным. Может у кого если лишний суперкомпьютер или кластер?

https://dxdy.ru/post904931.html#p904931

Вот когда заявку делали на суперкомпьютер или кластер :)
Ни у кого не оказалось лишнего.

А я вам отвечала тут
https://dxdy.ru/post904988.html#p904988

Отличный результат по квадратам Стенли 4-го порядка.
Скорость хорошая. Можно пробовать поиск квадратов Стенли 5-го порядка.

Если кто-нибудь готов предоставить вычислительные ресурсы для поиска, напишите, пожалуйста, здесь или в личку (или в теме ).

Ну, как? Поищем антимаг25? :)

Вот здесь http://dxdy.ru/post903861.html#p903861
последний кортеж из 25 последовательных простых чисел, выложенный Максом Алексеевым

531511414105079: 0 18 30 42 48 90 102 132 144 150 182 200 212 272 282 290 302 314 332 338 422 440 464 470 524

Вот до каких пор он просчитал!
Этот кортеж прошёл у него все предпроверки, но ... решения не дал.

Вот отсюда можно и продолжить поиск.

Запустила программу Белышева по поиску антимага25, работает!



Можно искать :)
Ох и трудно искать чёрную кошку в тёмной комнате, особенно если её там нет :)
Но... где-то же должен быть этот дьявольский квадрат 5х5 из последовательных простых чисел!
Дьявольский - это синоним к пандиагональный :) (кто не в курсе)

Цитата

n=6 (minimal)

{67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251}

67 193 71 251 109 239
139 233 113 181 157 107 
241 97 191 89 163 149
73 167 131 229 151 179
199 103 227 101 127 173
211 137 197 79 223 83

S=930

See http://oeis.org/A073523

Об этом замечательном дьявольском квадрате добавлю.
Как уже сообщалось, этот квадрат найден очень давно.
Мне очень хотелось построить хотя бы ещё один такой квадрат. Но... увы!
Проверила очень много потенциальных (подходящих) кортежей из 36 последовательных простых чисел, квадрат так и не сложился.
Не может быть, чтобы не было второго такого квадрата, и не только второго.
Однако найти не удалось пока.

Итак, что мы имеем на сегодня?
1. Дьявольских квадратов 4-го порядка из последовательных простых чисел уже много найдено (56 штук подряд записаны в OEIS; будет больше, когда проверим пропущенный интервал; Врублевский нашёл в конкурсе 334 таких квадрата).
2. Дьявольский квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел не найден (насколько мне известно).
3. И для порядка 6 имеем всего один такой квадрат.

Для минимального дьявольского квадрата 4-го порядка из последовательных простых чисел покажу иллюстрацию



Вот такой он красавец! :)
Очень долго его искали. Спасибо Максу Алексееву за упорство в достижении цели!
http://dxdy.ru/post891839.html#p891839

А после этого - первого - квадрата и с началом моего проекта по симметричным кортежам из последовательных простых чисел поиск дьявольских квадратов 4х4 пошёл намного веселее.
Смотрите статью в OEIS
http://oeis.org/A256234

Эх, ну как не хватает антимага 25! :)
Была бы великолепная троица, которую можно было бы и в OEIS поместить.

Дьявольский 6х6 тоже надо нарисовать.
А антимаг25 надо найти! Он, конечно, существует (так мне подсказывает интуиция).
Жалко, что Макс остановил поиск этого квадрата.
Это я перестала поддерживать его энтузиазм :)
Progger тоже ведь бросил задачу! А хорошо начинал.

Вот он - такой симпатяга



Статья в OEIS об этом квадрате
A073523 The set of 36 consecutive primes that form a 6 X 6 pandiagonal magic square with the smallest magic constant (930).
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251
была написана основателем OEIS N. J. A. Sloane в 2002 г., а кто нашёл этот квадрат, я не поняла.
Статью дважды редактировали (2009, 2018 гг.)

AUTHOR N. J. A. Sloane, Aug 29 2002
EXTENSIONS Edited by Max Alekseyev, Sep 24 2009
Edited by M. F. Hasler, Oct 29 2018

Поистине замечательный квадрат!

Это скриншот из архива



Проверяла по программе коллеги А. Чернова потенциальные наборы из 36 последовательных простых чисел на предмет составления дьявольского квадрата 6-го порядка.
Много я проверила потенциальных наборов, но квадрат не нашла.
И по программе коллеги С. Беляева тоже проверяла.
Но второй (и не только!) квадрат должен быть.

Progger писал на форуме dxdy.ru (ссылка выше)

Сделал возможность распределённого поиска и запустил поиск квадратов Стенли 4х4 на 22 ядрах (клиент однопоточный, я запустил 22 экземпляра). За ~12 часов удалось проверить до 2,4*10^14. Первые числа найденных квадратов можно посмотреть тут.

Ссылка на "тут" http://progger.noip.me/files/4x4.txt сейчас не работает.
Тогда я смотрела эти квадраты Стенли 4х4.
И вот нашла в своём архиве интересное построение на основе одного из этих квадратов, найденных Progger

200114598395083: 0, 10, 54, 64, 114, 120, 124, 130, 136, 154, 190, 208, 250, 256, 268, 274

Достраиваю этот квадрат Стенли 4-го порядка до квадрата Стенли 5-го порядка

200114598395083+

0 10 136 154 310*
54 64 190 208 364*
114 124 250 268 424*
120 130 256 274 430*
324 334 460* 478 634*

Числа со звёздочкой не являются простыми.
То есть это приближение к решению (квадрат Стенли 5х5 из последовательных простых чисел) с шестью ошибками, которые я называю "дырками".
Сейчас сделаю иллюстрацию и будет понятно, почему "дырки".

Иллюстрация



Это почти антимаг25 - с шестью "дырками". "Дырки" - это пустые ячейки.
Что должно быть в этих пустых ячейках? Должны быть соответствующие простые числа, но таких простых чисел не существует.
Вот поэтому и "дырки" :)

PS. Любой квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел легко достроить до квадрата Стенли 5-го порядка, однако при достраивании не все числа получаются простыми.
Это и было продемонстрировано в приведённом примере.

А теперь покажу два квадрата:
первый - квадрат Стенли 5-го порядка из простых чисел (не последовательных!)

5 7 17 31 131
11 13 23 37 137
41 43 53 67 167
71 73 83 97 197
101 103 113 127 227

второй - пандиагональный квадрат 5-го порядка, получающийся из данного квадрата Стенли

5 73 127 137 53 
37 167 17 71 103 
83 101 13 67 131 
43 31 197 113 11 
227 23 41 7 97 

Автор решения В. Павловский.
Смотрите статью в OEIS
http://oeis.org/A179440

Я привела эти квадраты, чтобы показать, как связаны между собой квадрат Стенли и пандиагональный квадрат 5-го порядка.
Между этими квадратами существует взаимно-однозначное соответствие.
Поэтому мы искали квадрат Стенли 5-го порядка, как наиболее простой для построения.
А пандиагональный квадрат очень легко получить из квадрата Стенли.
Можно написать преобразование (по двум приведённым квадратам), превращающее квадрат Стенли 5-го порядка в пандиагональный квадрат.
Если не совсем понятно, как это преобразование написать, скажите, я напишу.

Вы можете попробовать превратить этот почти антимаг25 (почти квадрат Стенли 5х5)



в почти пандиагональный квадрат 5х5 из последовательных простых чисел.

Затем надо попробовать найти настоящий антимаг25 из последовательных простых чисел.
Задача века! :)
Программу Белышева не пора ли выложить? :)

Нашла интересное сообщение Jens K Andersen на форуме dxdy.ru.
Он решал головоломку о квадратах Стенли из последовательных простых чисел.
В сообщении выложены найденные им решения для квадратов Стенли 4-го порядка.
И в конце он написал

n=5 with consecutive primes looks infeasible.

https://dxdy.ru/post844805.html#p844805

То же самое писал Я. Врублевский.
Вот такой скепсис.

И ещё одно интересное сообщение Jens K Andersen

The smallest admissible width for a Stanley antimagic square with n=5 is 156 for these four patterns:

0 30 60 84 114
2 32 62 86 116
6 36 66 90 120
20 50 80 104 134
42 72 102 126 156

0 14 30 44 54
6 20 36 50 60
42 56 72 86 96
90 104 120 134 144
102 116 132 146 156

0 12 60 96 102
10 22 70 106 112
24 36 84 120 126
40 52 100 136 142
54 66 114 150 156

0 30 54 84 114
22 52 76 106 136
36 66 90 120 150
40 70 94 124 154
42 72 96 126 156

None of them have an occurrence below 10^20 and finding 25 simultaneous primes is infeasible. The largest known non-trivial prime k-tuplets are 19-tuplets found by Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski. 25 may be millions of times harder.

It also looks infeasible to find n=5 by generating consecutive primes and testing them. The jump in complexity from n=4 to n=5, i.e. from 16 to 25 primes, is just too hard.

https://dxdy.ru/post845503.html#p845503

Это уже точно о задаче века :)
В сообщении видим паттерны для антимагических квадратов Стенли 5-го порядка.
Можно организовать поиск по паттернам. Однако Andersen пишет, что ни один из этих паттернов не встречается до 10^20.

PS. Перевод последней фразы в Google:
"Также кажется невозможным найти n = 5, генерируя последовательные простые числа и проверяя их. Скачок сложности от n = 4 до n = 5, то есть от 16 до 25 простых чисел, слишком сложен."

Программа Белышева реализует как раз этот алгоритм.
Так же вроде бы искал М. Алексеев.

Итак, Jens K Andersen принял активное участие в решении опубликованной мной головоломки
Puzzle 731. Stanley Antimagic squares of consecutive primes
и нашёл следующие решения для квадратов Стенли 4-го порядка
(цитирую из указанной головоломки)

The first squares for n=4 start at 136367186951, 399926078933, 501929799281,
809511139667, 1038209011757, 1502332658587, 2351122716457, 2401736073493.

И далее он высказал предположение, что эта задача для квадратов Стенли 5-го порядка будет решаться очень трудно.
Возможно, это правильное предположение.
Но... волков бояться - в лес не ходить (пословица).
Самые интересные задачи это трудные задачи!
Вот для квадратов 4-го порядка задача оказалась лёгкой и была быстро решена.
Замечу, что для ассоциативных квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел задача уже посложнее и минимальный такой квадрат искали очень долго.

Дальше поиск квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел продолжил Progger, о чём уже сообщалось выше.
Он нашёл несколько таких квадратов и выложил их (дал ссылку на файл). Сейчас этого файла, конечно, уже нет.
Но у меня в архиве сохранился этот файл (я тогда его скачала).
Покажу несколько следующих (за последним квадратом Andersen) квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел, найденных Progger (показаны первые числа кортежей из 16 последовательных простых чисел, которые дают квадрат Стенли)

2746843352863
3470912763677
5315526378703
5335292321137
4074596243479
3867021315889
5903685999199
6124939767703
6429396612757
6818841087187
10596801113131
10966182052333
11015383510333
13666562520659
13938481169299
13760000150111
12214047745681
14749220825741
15207505150379
15217792563401
17523798951947
16920531813323
19787844669503
19240181582057
22318855800547
20722734659453
22746303831037
23894895580453
23995325009659
24231010279351
24363975340447
26614676517257
26915369432911
26960208602689
. . . . . . . .

и несколько последних

. . . . . . 
213138612953129
216491560889033
218118208895681
219104472040717
220077778438211
221129329676881
222695705831197
222184232831581
228419335262389
229364493122131
229990733463977
234478516640507
235019536167391
236922634584271
236685443589139
238703515116679
237336951057847

Снова отмечу, что это не ассоциативные квадраты Стенли.
Для ассоциативных квадратов Стенли нужны симметричные кортежи.

Ну вот, задача века, как говорят специалисты, весьма сложная, и в XXI веке решение её специалистами не прогнозируется.

В рабочем файле с квадратами Progger у меня столько всего написано! :)
Я продолжала все его решения до кортежей длины 25 и пыталась строить из них квадраты Стенли 5-го порядка из последовательных простых чисел.
Выше показано одно из таких построений - квадрат Сенли 5-го порядка из последовательных простых чисел с 6 "дырками".
Вот ещё запись в рабочем файле

*176773622692567
{0, 4, 36, 40, 70, 90, 94, 96, 106, 120, 124, 132, 160, 186, 190, 216;
234, 246, 252, 274, 286, 354, 372, 406, 424, 432, 456, 480}
Из этого составила квадрат 5х5 с 6 дырками

Вы видите кортеж из 16 последовательных простых чисел (из решений Progger), продолженный до 28 последовательных простых чисел.

Почти все решения Progger были проверены таким способом.
Пыталась даже продолжать кортежи в обе стороны.
Увы! Решение для квадрата Стенли 5х5 не было найдено.

Уже позже Белышев написал программу поиска антимага25.
Но и поиск по этой программе ничего не дал.
Однако... ещё не вечер!
XXI век ещё не заканчивается :)

Какое интересное нашла сообщение на форуме dxdy.ru!
https://dxdy.ru/post939437.html#p939437
Да, дьявольскими квадратами из последовательных простых чисел я много занималась.

Начну с приближения к пандиагональному квадрату 7-го порядка из последовательных простых чисел с 4 "дырками"

151 139 227 181 13 79 7
43 11 73 157 49* 253* 211
167 137 97 193 23 31 149
107 109 131 113 199 97* 41
173 101 59 17 197 71 179
53 239 127 89 233 37 19
103 61 83* 47 83 229 191

Магическая константа квадрата S=797.

Далее цитирую сообщение

К эпохальному решению maxal - наименьшему пандиагональному квадрату 4-го порядка из последовательных простых чисел - я могу пока добавить наименьший пандиагональный квадрат 8-го порядка из последовательных простых чисел, содержащий 4 ошибки - это 4 повторенных элемента:

79  101  439  109  227  401  379  281 
359  233  263  409  191  197  251  113 
89  419  257  271  269  383  149  179 
389  311  173  131  229  83  353  347 
283  97  167  181  431  397  107  353* 
307  313  211  433  139  277  199  137 
193  163  349  331  373  127  241  239 
317  379*  157  151  157*  151*  337  367 

S=2016

Плохие (повторенные) элементы помечены *

Этот квадрат составлен из последовательных простых чисел, но 4 числа повторились, а повторяться элементы магических квадратов не должны.
Вот в этом ошибки в данном решении ("дырки").

Вот, уже до квадрата 8-го порядка добралась тогда.
Не помню, пыталась ли строить пандиагональный квадрат 9-го порядка из последовательных простых чисел.
Надо дальше читать эту тему.
Но все построенные квадраты - не точные решения, а лишь приближения к решению.
Точные решения есть пока только для квадратов 4-го и 6-го порядков.

Можно начинать проект "Пандиагональные квадраты из последовательных простых чисел".
Проблема сложная, решить её на одном компьютере невозможно.

Цитата

Этот квадрат составлен из последовательных простых чисел, но 4 числа повторились, а повторяться элементы магических квадратов не должны.
Вот в этом ошибки в данном решении ("дырки").

Уточнение.
Это массив из 60 простых чисел, из которых составлен показанный пандиагональный квадрат 8-го порядка

79  83  89  97  101  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  227  229  233  239  241  251  257  263  269  271  277  281  283  307  311  313  317  331  337  347  349  353  359  367  373  379  383  389  397  401  409  419  431  433  
439

Пропущены 4 простых числа в этом наборе: 103, 223, 293, 421. Эти числа в квадрате заменены дубликатами простых чисел 151, 157, 353, 379.
Квадрат получился интересный, всего 4 "дырки".
Мне для пандиагонального квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел не удалось найти решение с 4 "дырками", самое меньшее - 5 "дырок".