Message boards :
Science :
Pandiagonal magic squares of consecutive primes
Message board moderation
Author | Message |
---|---|
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Нашла в своём архиве документ doc, не помню, для какого форума писала сообщение. Но это очень интересно! Вот сейчас мы ищем симметричные кортежи из последовательных простых чисел. Кортежи длины 16 годятся для построения пандиагональных магических квадратов 4-го порядка; не все, конечно, годятся, а только некоторые из них. Вот с этого и начинались у меня кортежи! Они у меня сначала даже и не назывались кортежами, а назывались КПППЧ (Комплементарные Пары Последовательных Простых Чисел). В общем, опубликую этот интересный документ. ______ n=4 (minimal, author Max Alekseyev) 170693941183817: 0, 30, 42, 44, 72, 74, 86, 90, 116, 120, 132, 134, 162, 164, 176, 206 170693941183817 170693941183933 170693941183949 170693941183981 170693941183979 170693941183951 170693941183847 170693941183903 170693941183891 170693941183859 170693941184023 170693941183907 170693941183993 170693941183937 170693941183861 170693941183889 S=682775764735680 See http://oeis.org/A245721 http://dxdy.ru/post891839.html#p891839 n=5, solution is unknown. This is my solution with 5 errors: {13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113} 13 47 111* 89 53 79 107 29 43 55* 59 51* 23 97 83 41 73 113 67 19 121* 35* 37 17 103 S=313 n=6 (minimal) {67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251} 67 193 71 251 109 239 139 233 113 181 157 107 241 97 191 89 163 149 73 167 131 229 151 179 199 103 227 101 127 173 211 137 197 79 223 83 S=930 See http://oeis.org/A073523 n=7, solution is unknown. I tried to solve this problem for the next array of consecutive primes: {7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239} This is my solution with 5 errors: 97 167 233 179 11 103 7 59 19 71 163 101 211 173 157 137 89 181 23 83 127 113 131 139 109 121* 123* 61 191 67 53 17 229 47 193 -17* 197 227 107 239 31 13 197* 79 -15* 41 73 199 223 S=797 ______ Недавно перечитывала темы на форуме dxdy.ru. Там есть о том, как мы искали пандиагональный квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел. О! Мы его долго и упорно искали. И... не нашли! Программа Белышева у меня в архиве сохранилась - Поиск антимага25. Крутила её очень долго. Нет решения! Макс Алексеев тоже долго искал этот квадрат. А ещё... Prоgger искал! :) В-о-о-о-т история какая богатая у нас :) А антимаг25 так и не найден! Progger а не запустить ли вам подпроект по поиску анимага25? :) Для пандиагонального квадрата 5-го порядка не нужен симметричный кортеж длины 25, а нужен просто кортеж из 25 последовательных простых чисел, но чтобы из чисел этого кортежа составился антимагический квадрат Стенли 5-го порядка (отсюда название программы Белышева). Из антимагического квадрата Стенли (5-го порядка) автоматически составляется пандиагональный квадрат. Но вот найти такой кортеж из последовательных простых чисел не удалось. В опубликованном документе вы видите моё решение с 5 ошибками. У меня было ещё много решений с ошибками, кажется, и с 4 ошибками были. Сейчас поищу. Нет, с 4 ошибками не было квадрата. С 5 ошибками самое лучшее приближение к решению. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
А посмотрите на пандиагональный квадрат 6-го порядка! Давным-давно построен. Кортеж из последовательных простых чисел здесь тоже не симметричный, конечно. Но вот квадрат составился! А квадрат 5-го порядка никак не хочет составляться. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Progger это ведь вы писали :) Сделал возможность распределённого поиска и запустил поиск квадратов Стенли 4х4 на 22 ядрах (клиент однопоточный, я запустил 22 экземпляра). За ~12 часов удалось проверить до 2,4*10^14. Первые числа найденных квадратов можно посмотреть тут. https://dxdy.ru/post904931.html#p904931 Вот когда заявку делали на суперкомпьютер или кластер :) Ни у кого не оказалось лишнего. А я вам отвечала тут https://dxdy.ru/post904988.html#p904988 Отличный результат по квадратам Стенли 4-го порядка. Ну, как? Поищем антимаг25? :) |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Вот здесь http://dxdy.ru/post903861.html#p903861 последний кортеж из 25 последовательных простых чисел, выложенный Максом Алексеевым 531511414105079: 0 18 30 42 48 90 102 132 144 150 182 200 212 272 282 290 302 314 332 338 422 440 464 470 524 Вот до каких пор он просчитал! Этот кортеж прошёл у него все предпроверки, но ... решения не дал. Вот отсюда можно и продолжить поиск. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Запустила программу Белышева по поиску антимага25, работает! Можно искать :) Ох и трудно искать чёрную кошку в тёмной комнате, особенно если её там нет :) Но... где-то же должен быть этот дьявольский квадрат 5х5 из последовательных простых чисел! Дьявольский - это синоним к пандиагональный :) (кто не в курсе) |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Цитата n=6 (minimal) Об этом замечательном дьявольском квадрате добавлю. Как уже сообщалось, этот квадрат найден очень давно. Мне очень хотелось построить хотя бы ещё один такой квадрат. Но... увы! Проверила очень много потенциальных (подходящих) кортежей из 36 последовательных простых чисел, квадрат так и не сложился. Не может быть, чтобы не было второго такого квадрата, и не только второго. Однако найти не удалось пока. Итак, что мы имеем на сегодня? 1. Дьявольских квадратов 4-го порядка из последовательных простых чисел уже много найдено (56 штук подряд записаны в OEIS; будет больше, когда проверим пропущенный интервал; Врублевский нашёл в конкурсе 334 таких квадрата). 2. Дьявольский квадрат 5-го порядка из последовательных простых чисел не найден (насколько мне известно). 3. И для порядка 6 имеем всего один такой квадрат. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Для минимального дьявольского квадрата 4-го порядка из последовательных простых чисел покажу иллюстрацию Вот такой он красавец! :) Очень долго его искали. Спасибо Максу Алексееву за упорство в достижении цели! http://dxdy.ru/post891839.html#p891839 А после этого - первого - квадрата и с началом моего проекта по симметричным кортежам из последовательных простых чисел поиск дьявольских квадратов 4х4 пошёл намного веселее. Смотрите статью в OEIS http://oeis.org/A256234 |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Эх, ну как не хватает антимага 25! :) Была бы великолепная троица, которую можно было бы и в OEIS поместить. Дьявольский 6х6 тоже надо нарисовать. А антимаг25 надо найти! Он, конечно, существует (так мне подсказывает интуиция). Жалко, что Макс остановил поиск этого квадрата. Это я перестала поддерживать его энтузиазм :) Progger тоже ведь бросил задачу! А хорошо начинал. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Вот он - такой симпатяга Статья в OEIS об этом квадрате A073523 The set of 36 consecutive primes that form a 6 X 6 pandiagonal magic square with the smallest magic constant (930). 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251 была написана основателем OEIS N. J. A. Sloane в 2002 г., а кто нашёл этот квадрат, я не поняла. Статью дважды редактировали (2009, 2018 гг.) AUTHOR N. J. A. Sloane, Aug 29 2002 Поистине замечательный квадрат! |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Это скриншот из архива Проверяла по программе коллеги А. Чернова потенциальные наборы из 36 последовательных простых чисел на предмет составления дьявольского квадрата 6-го порядка. Много я проверила потенциальных наборов, но квадрат не нашла. И по программе коллеги С. Беляева тоже проверяла. Но второй (и не только!) квадрат должен быть. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Progger писал на форуме dxdy.ru (ссылка выше) Сделал возможность распределённого поиска и запустил поиск квадратов Стенли 4х4 на 22 ядрах (клиент однопоточный, я запустил 22 экземпляра). За ~12 часов удалось проверить до 2,4*10^14. Первые числа найденных квадратов можно посмотреть тут. Ссылка на "тут" http://progger.noip.me/files/4x4.txt сейчас не работает. Тогда я смотрела эти квадраты Стенли 4х4. И вот нашла в своём архиве интересное построение на основе одного из этих квадратов, найденных Progger 200114598395083: 0, 10, 54, 64, 114, 120, 124, 130, 136, 154, 190, 208, 250, 256, 268, 274 Достраиваю этот квадрат Стенли 4-го порядка до квадрата Стенли 5-го порядка 200114598395083+ 0 10 136 154 310* 54 64 190 208 364* 114 124 250 268 424* 120 130 256 274 430* 324 334 460* 478 634* Числа со звёздочкой не являются простыми. То есть это приближение к решению (квадрат Стенли 5х5 из последовательных простых чисел) с шестью ошибками, которые я называю "дырками". Сейчас сделаю иллюстрацию и будет понятно, почему "дырки". |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Иллюстрация Это почти антимаг25 - с шестью "дырками". "Дырки" - это пустые ячейки. Что должно быть в этих пустых ячейках? Должны быть соответствующие простые числа, но таких простых чисел не существует. Вот поэтому и "дырки" :) PS. Любой квадрат Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел легко достроить до квадрата Стенли 5-го порядка, однако при достраивании не все числа получаются простыми. Это и было продемонстрировано в приведённом примере. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
А теперь покажу два квадрата: первый - квадрат Стенли 5-го порядка из простых чисел (не последовательных!) 5 7 17 31 131 11 13 23 37 137 41 43 53 67 167 71 73 83 97 197 101 103 113 127 227 второй - пандиагональный квадрат 5-го порядка, получающийся из данного квадрата Стенли 5 73 127 137 53 37 167 17 71 103 83 101 13 67 131 43 31 197 113 11 227 23 41 7 97 Автор решения В. Павловский. Смотрите статью в OEIS http://oeis.org/A179440 Я привела эти квадраты, чтобы показать, как связаны между собой квадрат Стенли и пандиагональный квадрат 5-го порядка. Между этими квадратами существует взаимно-однозначное соответствие. Поэтому мы искали квадрат Стенли 5-го порядка, как наиболее простой для построения. А пандиагональный квадрат очень легко получить из квадрата Стенли. Можно написать преобразование (по двум приведённым квадратам), превращающее квадрат Стенли 5-го порядка в пандиагональный квадрат. Если не совсем понятно, как это преобразование написать, скажите, я напишу. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Вы можете попробовать превратить этот почти антимаг25 (почти квадрат Стенли 5х5) в почти пандиагональный квадрат 5х5 из последовательных простых чисел. Затем надо попробовать найти настоящий антимаг25 из последовательных простых чисел. Задача века! :) Программу Белышева не пора ли выложить? :) |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Нашла интересное сообщение Jens K Andersen на форуме dxdy.ru. Он решал головоломку о квадратах Стенли из последовательных простых чисел. В сообщении выложены найденные им решения для квадратов Стенли 4-го порядка. И в конце он написал n=5 with consecutive primes looks infeasible. https://dxdy.ru/post844805.html#p844805 То же самое писал Я. Врублевский. Вот такой скепсис. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
И ещё одно интересное сообщение Jens K Andersen The smallest admissible width for a Stanley antimagic square with n=5 is 156 for these four patterns: https://dxdy.ru/post845503.html#p845503 Это уже точно о задаче века :) В сообщении видим паттерны для антимагических квадратов Стенли 5-го порядка. Можно организовать поиск по паттернам. Однако Andersen пишет, что ни один из этих паттернов не встречается до 10^20. PS. Перевод последней фразы в Google: "Также кажется невозможным найти n = 5, генерируя последовательные простые числа и проверяя их. Скачок сложности от n = 4 до n = 5, то есть от 16 до 25 простых чисел, слишком сложен." Программа Белышева реализует как раз этот алгоритм. Так же вроде бы искал М. Алексеев. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Итак, Jens K Andersen принял активное участие в решении опубликованной мной головоломки Puzzle 731. Stanley Antimagic squares of consecutive primes и нашёл следующие решения для квадратов Стенли 4-го порядка (цитирую из указанной головоломки) The first squares for n=4 start at 136367186951, 399926078933, 501929799281, И далее он высказал предположение, что эта задача для квадратов Стенли 5-го порядка будет решаться очень трудно. Возможно, это правильное предположение. Но... волков бояться - в лес не ходить (пословица). Самые интересные задачи это трудные задачи! Вот для квадратов 4-го порядка задача оказалась лёгкой и была быстро решена. Замечу, что для ассоциативных квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел задача уже посложнее и минимальный такой квадрат искали очень долго. Дальше поиск квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел продолжил Progger, о чём уже сообщалось выше. Он нашёл несколько таких квадратов и выложил их (дал ссылку на файл). Сейчас этого файла, конечно, уже нет. Но у меня в архиве сохранился этот файл (я тогда его скачала). Покажу несколько следующих (за последним квадратом Andersen) квадратов Стенли 4-го порядка из последовательных простых чисел, найденных Progger (показаны первые числа кортежей из 16 последовательных простых чисел, которые дают квадрат Стенли) 2746843352863 3470912763677 5315526378703 5335292321137 4074596243479 3867021315889 5903685999199 6124939767703 6429396612757 6818841087187 10596801113131 10966182052333 11015383510333 13666562520659 13938481169299 13760000150111 12214047745681 14749220825741 15207505150379 15217792563401 17523798951947 16920531813323 19787844669503 19240181582057 22318855800547 20722734659453 22746303831037 23894895580453 23995325009659 24231010279351 24363975340447 26614676517257 26915369432911 26960208602689 . . . . . . . . и несколько последних . . . . . . 213138612953129 216491560889033 218118208895681 219104472040717 220077778438211 221129329676881 222695705831197 222184232831581 228419335262389 229364493122131 229990733463977 234478516640507 235019536167391 236922634584271 236685443589139 238703515116679 237336951057847 Снова отмечу, что это не ассоциативные квадраты Стенли. Для ассоциативных квадратов Стенли нужны симметричные кортежи. Ну вот, задача века, как говорят специалисты, весьма сложная, и в XXI веке решение её специалистами не прогнозируется. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
В рабочем файле с квадратами Progger у меня столько всего написано! :) Я продолжала все его решения до кортежей длины 25 и пыталась строить из них квадраты Стенли 5-го порядка из последовательных простых чисел. Выше показано одно из таких построений - квадрат Сенли 5-го порядка из последовательных простых чисел с 6 "дырками". Вот ещё запись в рабочем файле *176773622692567 Вы видите кортеж из 16 последовательных простых чисел (из решений Progger), продолженный до 28 последовательных простых чисел. Почти все решения Progger были проверены таким способом. Пыталась даже продолжать кортежи в обе стороны. Увы! Решение для квадрата Стенли 5х5 не было найдено. Уже позже Белышев написал программу поиска антимага25. Но и поиск по этой программе ничего не дал. Однако... ещё не вечер! XXI век ещё не заканчивается :) |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Какое интересное нашла сообщение на форуме dxdy.ru! https://dxdy.ru/post939437.html#p939437 Да, дьявольскими квадратами из последовательных простых чисел я много занималась. Начну с приближения к пандиагональному квадрату 7-го порядка из последовательных простых чисел с 4 "дырками" 151 139 227 181 13 79 7 43 11 73 157 49* 253* 211 167 137 97 193 23 31 149 107 109 131 113 199 97* 41 173 101 59 17 197 71 179 53 239 127 89 233 37 19 103 61 83* 47 83 229 191 Магическая константа квадрата S=797. Далее цитирую сообщение К эпохальному решению maxal - наименьшему пандиагональному квадрату 4-го порядка из последовательных простых чисел - я могу пока добавить наименьший пандиагональный квадрат 8-го порядка из последовательных простых чисел, содержащий 4 ошибки - это 4 повторенных элемента: Этот квадрат составлен из последовательных простых чисел, но 4 числа повторились, а повторяться элементы магических квадратов не должны. Вот в этом ошибки в данном решении ("дырки"). Вот, уже до квадрата 8-го порядка добралась тогда. Не помню, пыталась ли строить пандиагональный квадрат 9-го порядка из последовательных простых чисел. Надо дальше читать эту тему. Но все построенные квадраты - не точные решения, а лишь приближения к решению. Точные решения есть пока только для квадратов 4-го и 6-го порядков. Можно начинать проект "Пандиагональные квадраты из последовательных простых чисел". Проблема сложная, решить её на одном компьютере невозможно. |
Send message Joined: 6 Apr 17 Posts: 14093 Credit: 0 RAC: 0 |
Цитата Этот квадрат составлен из последовательных простых чисел, но 4 числа повторились, а повторяться элементы магических квадратов не должны. Уточнение. Это массив из 60 простых чисел, из которых составлен показанный пандиагональный квадрат 8-го порядка 79 83 89 97 101 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 431 433 439 Пропущены 4 простых числа в этом наборе: 103, 223, 293, 421. Эти числа в квадрате заменены дубликатами простых чисел 151, 157, 353, 379. Квадрат получился интересный, всего 4 "дырки". Мне для пандиагонального квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел не удалось найти решение с 4 "дырками", самое меньшее - 5 "дырок". |
©2024 (C) Progger