А вот нормализованный дважды симметричный ЛК 2-го порядка

0 1
1 0

И (как я предполагаю) дважды симметричные ЛК существуют для всех чётных порядков.
Надо бы сделать последовательности количеств дважды симметричных ЛК (одна - для нормализованных ЛК, вторая - для всех).
Таких ведь нет в OEIS? Почему начали сразу с ДЛК?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Дважды симметричный ЛК 4-го порядка сочинить совсем просто.
Берём дважды симметричный ДЛК 4-го порядка

0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

Переставляем две строки, получаем дважды симметричный ЛК 4-го порядка

0 1 2 3
1 0 3 2
3 2 1 0
2 3 0 1

Впрочем, ДЛК - это тоже ЛК.

Сейчас попробую сочинить дважды симметричный ЛК 6-го порядка.
С порядком N=8 тоже всё просто. Для порядка N=10 я уже сочинила дважды симметричный ЛК (показан выше).
Осталось посчитать количества дважды симметричных ЛК, до N=10 пока (или до N=8). И считать надо нормализованные ЛК, для всех ЛК - просто умножить полученные количества на N!
Итак, последовательность количеств нормализованных дважды симметричных ЛК порядка 2N начинается так:

a(1)=1, a(2)=?

a(2) - это количество нормализованных дважды симметричных ЛК 4-го порядка. Сколько их?
Кто быстро сосчитает? :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Вот сочинила нормализованный дважды симметричный ЛК 6-го порядка (вручную, конечно)

0 1 2 3 4 5
2 4 0 5 1 3
4 2 5 0 3 1
5 3 4 1 2 0
3 5 1 4 0 2
1 0 3 2 5 4

Теперь надо сосчитать дважды симметричные ЛК.
Господа! Предлагаю решить эту простенькую задачку :)
Последовательности в OEIS можно шлёпнуть, ежели там таких ещё нет.

А я сейчас занялась построением дважды симметричного ДЛК 20-го порядка. Пока у меня нет такого ДЛК, есть только симметричный, показан здесь.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Итак, статья OEIS
Number of doubly symmetric diagonal Latin squares of order 2n with constant first row.
https://oeis.org/A287650
исправлена.

Цитирую:

Doubly symmetric diagonal Latin square example:
0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 7 6 1 0 5 4
2 3 1 0 7 6 4 5
6 7 5 4 3 2 0 1
7 6 3 2 5 4 1 0
4 5 0 1 6 7 2 3
5 4 6 7 0 1 3 2
1 0 4 5 2 3 7 6

Теперь приведён действительно дважды симметричный ДЛК 8-го порядка. Но что там написано в определении... даже не стала переводить.
Кому интересно, посмотрите статью.

Однако мне непонятно, вот последовательность:

0, 2, 0, 12288

Если дважды симметричные ДЛК существуют только для порядков N = 4k, k = 1, 2, 3, ..., (доказанный факт!), зачем включать в последовательность несуществующие члены a(2n) для нечётных n, которые всегда равны 0?

Последовательность надо делать из существующих членов.
Фактически в последовательности на данный момент всего два члена:

2, 12288

Всё! Следующий член последовательности a(3) - это количество нормализованных дважды симметричных ДЛК 12-го порядка.
Член a(3), как я понимаю, ещё не найден.

Последовательность должна быть названа так:
Number of doubly symmetric diagonal Latin squares of order 4n with constant first row.

И в этой последовательности a(n) - количество нормализованных дважды симметричных ДЛК порядка 4n.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Попыталась построить вручную нормализованный дважды симметричный ДЛК 20-го порядка.
Увы! Диагональность не получилась - повторяются элементы.
Ну, зато получился нормализованный дважды симметричный ЛК 20-го порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Однако мне непонятно, вот последовательность:

0, 2, 0, 12288

Кстати, а почему остановились на члене последовательности a(4) и не написали следующий член a(5)=0?
Имеем на сегодня такую последовательность:

0, 2, 0, 12288, 0

А дальше будет так:

0, 2, 0, 12288, 0, X1, 0, X2, 0, ...

Эти нули нужны в последовательности?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ломаю голову, как построить нормализованный дважды симметричный ДЛК 20-го порядка.
Писать программу в лоб (как писала для порядков 8, 10, 12) не хочется - длинно очень.
Пытаюсь как-то сократить процесс.
Вот такую заготовку сочинила:

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9  14  15  12  13  18  19  16  17 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8  15  14  13  12  19  18  17  16 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10  13  12  15  14  17  16  19  18 

Но не знаю, годная ли заготовка. На каком-то шаге можно зайти в тупик.
Осталось сформировать 8 строк, остальные сформируются автоматически - по симметричности.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Пишу программу для дважды симметричного ДЛК 20-го порядка по шагам. Интересное занятие :)
Пока вот что составилось

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9  14  15  12  13  18  19  16  17 
 4  5  6  7  0  1  8  9  2  3  16  17  10  11  18  19  12  13  14  15 
 6  7  4  5  2  3  10  11  0  1  18  19  8  9  16  17  14  15  12  13 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 7  6  5  4  3  2  11  10  1  0  19  18  9  8  17  16  15  14  13  12 
 5  4  7  6  1  0  9  8  3  2  17  16  11  10  19  18  13  12  15  14 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8  15  14  13  12  19  18  17  16 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10  13  12  15  14  17  16  19  18 

Здесь вроде конфликтов не возникло. Не знаю, как дальше пойдёт. Осталось сформировать 6 строк.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Э. Ватутин открыл новый вид симметрии ДЛК
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89455#post89455

Вообще-то центрально-симметричным (или ассоциативным) ДЛК я назвала бы совсем другой вид: не по взаимно-однозначному соответствию центрально-симметричных элементов (как у Ватутина), а по сумме этих элементов, которая всегда одинакова. Аналогичное понятие центральной симметрии существует для магических квадратов, такие магические квадраты называются ассоциативными.

Пример центрально-симметричных ДЛК 7-го порядка (из моей статьи http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty.htm )



Это ортогональная пара ДЛК.
Кстати, эти ДЛК не только ассоциативные, но и пандиагональные, то есть идеальные.
О пандиагональных ДЛК Ватутин рассказал чуть выше указанного поста.
У Ватутина задача - всё пересчитать и результаты счёта занести в OEIS :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Да, самое главное забыла сказать: посмотрите на приведённую выше иллюстрацию, в этих центрально-симметричных ДЛК 7-го порядка (в смысле моего определения) тоже имеется взаимно-однозначное соответствие центрально-симметричных элементов.
Таким образом, центрально-симметричные ДЛК по Ватутину давно известны и открывать их не надо было. Ну, каждый человек обязательно должен открыть Америку :)

Если дополнительно к условию в определении Ватутина добавить требование одинаковой суммы центрально-симметричных элементов, получим ассоциативные (центрально-симметричные) ДЛК в смысле моего определения (и аналогичного определения для магических квадратов; впрочем, ДЛК - это тоже магические квадраты, только нетрадиционные, поэтому логично для ДЛК определить ассоциативность именно так, как она определяется для магических квадратов).
Ну, у Ватутина своё понимание центральной симметрии ДЛК. Как я уже писала, сколько людей, столько и пониманий.
Когда-нибудь выработается однозначное определение центрально-симметричных (ассоциативных) ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Поискать в Сети можно, как другие определяют ассоциативные (центрально-симметричные) ДЛК.
Делаю запрос в Гугле, он сразу выводит меня на сайт Harry White
http://budshaw.ca/SODLS.html
Вот посмотрите, как Harry определяет пандиагональные (pan), идеальные (ultra) и ассоциативные (assoc) ДЛК


Очевидно, что его определение ассоциативных ДЛК совпадает с моим определением.
На иллюстрации, показанной выше (пример из моей статьи), вы видите идеальные (ultra) ДЛК 7-го порядка. Эти ДЛК одновременнно и ассоциативные, и пандиагональные.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Продолжаю строить нормализованный дважды симметричный ДЛК 20-го порядка по шагам.
Вот что получилось уже

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9  14  15  12  13  18  19  16  17 
 4  5  6  7  0  1  8  9  2  3  16  17  10  11  18  19  12  13  14  15 
 6  7  4  5  8  9  2  3  0  1  18  19  16  17  10  11  14  15  12  13 
 8  9  12  13  2  3  0  1  4  5  14  15  18  19  16  17  6  7  10  11 
 10  11  14  15  12  13  16  17  18  19  0  1  2  3  6  7  4  5  8  9 
 12  13  8  9  14  15  19  18  16  17  2  3  1  0  4  5  10  11  6  7 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
 13  12  9  8  15  14  18  19  17  16  3  2  0  1  5  4  11  10  7  6 
 11  10  15  14  13  12  17  16  19  18  1  0  3  2  7  6  5  4  9  8 
 9  8  13  12  3  2  1  0  5  4  15  14  19  18  17  16  7  6  11  10 
 7  6  5  4  9  8  3  2  1  0  19  18  17  16  11  10  15  14  13  12 
 5  4  7  6  1  0  9  8  3  2  17  16  11  10  19  18  13  12  15  14 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8  15  14  13  12  19  18  17  16 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10  13  12  15  14  17  16  19  18 

Пока всё в порядке. Осталось всего три шажочка - три пары симметричных строк сформировать.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Увы!
Составила почти полный нормализованный дважды симметричный ДЛК 20-го порядка

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13 18 19 16 17
4 5 6 7 0 1 8 9 2 3 16 17 10 11 18 19 12 13 14 15
6 7 4 5 8 9 2 3 0 1 18 19 16 17 10 11 14 15 12 13
8 9 12 13 2 3 0 1 4 5 14 15 18 19 16 17 6 7 10 11
10 11 14 15 12 13 16 17 18 19 0 1 2 3 6 7 4 5 8 9
12 13 8 9 14 17 19 18 16 15 4 3 1 0 2 5 10 11 6 7
14 15 16 17 18 19 10 11 6 7 12 13 8 9 0 1 2 3 4 5
16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
17 16 19 18 11 10 13 12 15 14 5 4 7 6 9 8 1 0 3 2
15 14 17 16 19 18 11 10 7 6 13 12 9 8 1 0 3 2 5 4
13 12 9 8 15 16 18 19 17 14 5 2 0 1 3 4 11 10 7 6
11 10 15 14 13 12 17 16 19 18 1 0 3 2 7 6 5 4 9 8
9 8 13 12 3 2 1 0 5 4 15 14 19 18 17 16 7 6 11 10
7 6 5 4 9 8 3 2 1 0 19 18 17 16 11 10 15 14 13 12
5 4 7 6 1 0 9 8 3 2 17 16 11 10 19 18 13 12 15 14
3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12 19 18 17 16
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 17 16 19 18

Не сложились две последние строки.
Пошаговый, полуавтоматический режим не дал результата. А искать полным перебором - это слишком долго для данного порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Открытия, открытия... :)

Ватутин открыл ДЛК 9-го порядка, у которого 516 ортогональных диагональных соквадратов

0 1 2 3 4 5 6 7 8 
6 7 8 0 1 2 3 4 5 
3 4 5 6 7 8 0 1 2 
5 3 4 8 6 7 2 0 1 
2 0 1 5 3 4 8 6 7 
8 6 7 2 0 1 5 3 4 
7 8 6 1 2 0 4 5 3 
4 5 3 7 8 6 1 2 0 
1 2 0 4 5 3 7 8 6

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89479#post89479

Этот ДЛК входит в полную систему MOLS 9-го порядка



См. мою статью
http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm
(рис. 7)
Самый первый ЛК (слева, сверху) на этой иллюстрации. Чтобы получить ДЛК, надо в этом ЛК переставить строки.

Из указанного сообщения:

4. Наибольшая характеристика ортогональности равна 81.

Интересно: что за характеристика такая?

И далее citerra пишет:

если отсортировать по 1 столбцу
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 0 4 5 3 7 8 6
2 0 1 5 3 4 8 6 7
3 4 5 6 7 8 0 1 2
4 5 3 7 8 6 1 2 0
5 3 4 8 6 7 2 0 1
6 7 8 0 1 2 3 4 5
7 8 6 1 2 0 4 5 3
8 6 7 2 0 1 5 3 4

Восторг! В точности первый ЛК с иллюстрации.

Какие ещё чудные "открытия" нас ожидают? :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Добавлю: если в первом ЛК в показанной полной системе MOLS 9-го порядка переставить строки, чтобы получился ДЛК (как у Ватутина), и точно так же переставить строки во всех остальных ЛК системы, получится изоморфная (эквивалентная) полная система MOLS 9-го порядка.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

PS. Вручную наверное построение таких ДЛК и правда не просто, а программа такие находит за доли секунды

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89492#post89492

Не-а, очень даже просто, если порядок ДЛК хороший, то есть является произведением таких двух чисел, для которых существуют дважды симметричные ДЛК таких порядков.
Вот дважды симметричный ДЛК 32-го порядка, построенный мной вручную методом составных квадратов (32=4*8)



Дважды симметричный ДЛК 48-го порядка я тоже построила данным методом вручную (48=4*12).
Можно и запрограммировать метод составных квадратов, процедура простенькая.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

На форуме Math Help Planet я показала левый верхний квадрант дважды симметричного ДЛК 48-го порядка, построенного методом составных квадратов вручную
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=308670#p308670

Копирую иллюстрацию

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Хожу на форум boinc.ru, как в кунсткамеру открытий чудных :)

Вот опять вижу открытие
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89500#post89500

А почему комментирую здесь? Да потому что мне на форуме boinc.ru нельзя комментировать: бан на 50 лет.

Итак, Ватутин открыл новый вид симметрии ДЛК, на сей раз между двумя ДЛК.
Вроде бы этот вид симметрии объясняет двушки от не симметричных ДЛК. Не знаю, может, и объясняет. Этот важнейший момент не уловила - как именно объясняет.
Цитирую:

Ну а дальше все просто: раз центральный квадрат симметричен, то у него симметричное покрытие трансверсалями и два несимметричных ОДЛК

Что такое "симметричное покрытие трансверсалями", я не знаю.

Ну, а пока просто рассмотрела эти два ДЛК, которые симметричны друг другу по Ватутину.
Вот эти два ДЛК:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 8 7 2 4 5 9 6 0
9 7 1 5 6 2 0 4 3 8
2 8 7 4 5 6 3 0 9 1
6 0 4 8 9 7 1 3 5 2
5 2 3 0 1 8 9 6 7 4
3 6 9 2 0 1 7 8 4 5
7 4 0 6 8 9 2 5 1 3
4 5 6 9 3 0 8 1 2 7
8 9 5 1 7 3 4 2 0 6

1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
0 2 9 6 3 5 4 8 7 1
8 6 0 4 7 3 1 5 2 9
3 9 6 5 4 7 2 1 8 0
7 1 5 9 8 6 0 2 4 3
4 3 2 1 0 9 8 7 6 5
2 7 8 3 1 0 6 9 5 4
6 5 1 7 9 8 3 4 0 2
5 4 7 8 2 1 9 0 3 6
9 8 4 0 6 2 5 3 1 7

Получается второй ДЛК из первого эквивалентными преобразованиями, а посему, само собой, они изоморфны.
[Параллельный перенос на торе - это не что иное как перестановка строк и/или столбцов, а поскольку это было выполнено с сохранением диагональности исходного ДЛК, то это не что иное как М-преобразования.]

Изоморфность подтверждает и КФ этих двух ДЛК, она у них одинаковая:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 0 4 6 9 7 3 5 8
8 5 4 7 9 2 0 1 6 3
3 6 7 9 1 8 4 5 0 2
7 4 9 6 8 3 5 2 1 0
9 8 6 5 7 1 2 0 3 4
5 9 1 2 0 6 3 8 4 7
4 3 8 0 5 7 9 6 2 1
2 0 5 8 3 4 1 9 7 6
6 7 3 1 2 0 8 4 9 5

Разумеется, как изоморфные ДЛК, они имеют одинаковое количество трансверсалей, одинаковое количество ОДЛК.
Вот протокол программы С. Беляева для этих ДЛК:

первый ДЛК

Name:a17.txt
1 - only the diagonal 1
Max=100
1
15 13 11 11 10 10 14 15 8 9 :116
 sq=2 12
 cm=12  cmm=12
END

второй ДЛК

Name:a17.txt
1 - only the diagonal 1
Max=100
1
15 13 11 11 10 10 14 15 8 9 :116
 sq=2 12
 cm=12  cmm=12
END

Таким образом, и первый, и второй ДЛК дают двушку. И при чём тут их симметричность друг другу, я абсолютно не понимаю. Ну, возможно, она и при чём, только я не понимаю. Бывает :)

Наконец, если нормализовать второй ДЛК, получится первый ДЛК. Попробуйте :)
Это тоже, безусловно, говорит об изоморфности этих ДЛК.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А как насчёт четвёрок от не симметричных ДЛК?
Например, вот эта четвёрка (найдена мной)



Наверное, у основного ДЛК этой четвёрки (Square A) должны быть два симметричных ДЛК по Ватутину (?).

Ах, а если найти не симметричный ДЛК, у которого три симметричных ДЛК по Ватутину, то и шестёрка получится - от не симметричного ДЛК (?).
Можно ли найти такой не симметричный ДЛК - с тремя симметричными ему ДЛК?

Кстати, все известные на сегодня шестёрки происходят от симметричных ДЛК, более того - от "браунов"; вот они (всего 6 штук)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
2 3 4 0 8 1 9 5 6 7
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
6 4 9 1 2 7 8 0 5 3
3 5 0 8 7 2 1 9 4 6
5 0 1 7 6 3 2 8 9 4
7 6 5 9 1 8 0 4 3 2
4 9 8 2 3 6 7 1 0 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
3 4 9 1 7 2 8 0 5 6
6 5 0 8 2 7 1 9 4 3
7 6 5 0 1 8 9 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5 9 1 2 6 3 7 8 0 4
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
2 3 4 9 8 1 0 5 6 7
4 0 8 7 3 6 2 1 9 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
3 4 9 1 7 2 8 0 5 6
6 5 0 8 2 7 1 9 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5 0 1 7 6 3 2 8 9 4
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
4 9 8 2 3 6 7 1 0 5
7 3 5 9 8 1 0 4 6 2
2 6 4 0 1 8 9 5 3 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
3 4 9 8 2 7 1 0 5 6
6 5 0 1 7 2 8 9 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 0 8 2 6 3 7 1 9 5
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
5 9 1 7 3 6 2 8 0 4
7 3 4 9 1 8 0 5 6 2
2 6 5 0 8 1 9 4 3 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
4 0 8 2 3 6 7 1 9 5
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
3 5 9 8 7 2 1 0 4 6
2 3 5 9 8 1 0 4 6 7
7 6 4 0 1 8 9 5 3 2
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
6 4 0 1 2 7 8 9 5 3
5 9 1 7 6 3 2 8 0 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
5 0 1 2 6 3 7 8 9 4
7 6 5 9 1 8 0 4 3 2
3 5 0 8 7 2 1 9 4 6
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
6 4 9 1 2 7 8 0 5 3
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
2 3 4 0 8 1 9 5 6 7
4 9 8 7 3 6 2 1 0 5

А вот что имеем с восьмёрками. Найденные давно (в нашем с Белышевым эксперименте) восьмёрки происходят от "браунов":

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 0 9 5 6 7 8
3 4 9 8 7 2 1 0 5 6
8 7 6 5 9 0 4 3 2 1
7 3 4 0 8 1 9 5 6 2
5 0 8 7 3 6 2 1 9 4
4 9 1 2 6 3 7 8 0 5
2 6 5 9 1 8 0 4 3 7
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
6 5 0 1 2 7 8 9 4 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8
8 7 6 5 0 9 4 3 2 1
4 0 1 7 6 3 2 8 9 5
7 6 4 9 8 1 0 5 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
2 3 5 0 1 8 9 4 6 7
5 9 8 2 3 6 7 1 0 4
3 4 0 1 2 7 8 9 5 6
6 5 9 8 7 2 1 0 4 3

А восьмёрки, найденные в нашем BOINC-проекте ODLK, происходят от симметричных ДЛК, но не "браунов":

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 0 5 4 9 6 7 8
4 9 6 8 2 7 1 3 0 5
6 8 7 4 9 0 5 2 1 3
7 3 5 9 1 8 0 4 6 2
9 4 8 7 6 3 2 1 5 0
3 5 9 1 7 2 8 0 4 6
8 7 4 6 0 9 3 5 2 1
5 0 1 2 3 6 7 8 9 4
2 6 0 5 8 1 4 9 3 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8
8 6 7 0 5 4 9 2 3 1
5 8 9 6 2 7 3 0 1 4
9 5 8 7 3 6 2 1 4 0
3 7 4 9 1 8 0 5 2 6
7 4 6 8 0 9 1 3 5 2
6 9 5 2 8 1 7 4 0 3
2 0 1 5 6 3 4 8 9 7
4 3 0 1 7 2 8 9 6 5

Это пока все восьмёрки, которые нам известны.

Ни шестёрок, ни восьмёрок от не симметричных ДЛК пока не найдено.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Для проверки была написана программа, которая не нашла ни одного ассоциативного ДЛК! Точнее, ни одного нормализованного ассоциативного ДЛК. Для некоторых ДЛК после некоторых манипуляций со строками и столбцами такой квадрат сделать можно, но после нормализации он теряет свойство ассоциативности (см. картинку). Таким образом, можно сделать ряд выводов:
1. Ассоциативные ДЛК есть, они являются подмножеством центрально симметричных ДЛК (справедливости ради, весьма небольшим по мощности).

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89489#post89489

Обалденный вывод :) Кто-то в этом сомневался?

(справедливости ради, весьма небольшим по мощности).

Какой справедливости ради? :)

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg