Ковёр ручной работы :)



На основе симметричного ДЛК 18-го порядка, показанного выше, построила ДЛК 36-го порядка.
Вроде нет ошибок, но... ручная работа. Завтра ещё проверю.

Этот ДЛК пока не симметричный, но после нормализации должен стать симметричным.
Попробуйте :)
У нас уже поздно, я завтра буду пробовать.

P.S. Зелёные ячейки - это от процесса построения.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

О, обнаружила, что построенный мной вчера ДЛК 36-го порядка симметричный :)
ДЛК 18-го порядка, показанный здесь, тоже симметричный.
Просто я привыкла рассматривать нормализованные симметричные ДЛК, а в них сумма двух симметричных элементов равна N-1 (N - порядок квадрата). Понятно, что в не нормализованных симметричных ДЛК это не так.

Ну вот, симметричный ДЛК 36-го порядка готов.
Теперь задача - построить дважды симметричный ДЛК этого порядка. Метод составных квадратов для данного порядка не работает.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Ещё один ковёр ручной работы :)



Это нормализованный симметричный ДЛК 40-го порядка, "браун". Построен методом составных квадратов. Использовались следующие ДЛК:
базовый ДЛК 4-го порядка (дважды симметричный)

0 1 2 3
3 2 1 0
1 0 3 2
2 3 0 1

основной ДЛК 10-го порядка (симметричный, "браун")

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 6 4 0 9 5 3 7 1
2 3 4 9 8 1 0 5 6 7
3 4 0 8 7 2 1 9 5 6
5 0 8 2 3 6 7 1 9 4
6 5 9 1 2 7 8 0 4 3
7 6 5 0 1 8 9 4 3 2
1 7 3 5 9 0 4 6 2 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 9 1 7 6 3 2 8 0 5

Итак, дошла до порядка 40. Симметричные ДЛК строятся просто для всех чётных порядков. А вот дважды симметричные не для всех порядков просто. По крайней мере, для меня. Пока не построила дважды симметричные ДЛК следующих порядков: 20, 24, 28, 36, 40.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Смотрим последовательность в OEIS

Number of symmetric diagonal Latin squares of order 2n with constant first string.
https://oeis.org/A287649

Цитата из статьи OEIS

EXAMPLE
Horizontal plane symmetric diagonal Latin square:

0 1 2 3 4 5 
4 2 0 5 3 1 
5 4 3 2 1 0 
2 5 4 1 0 3 
3 0 1 4 5 2 
1 3 5 0 2 4 

Vertical plane symmetric diagonal Latin square:

0 1 2 3 4 5 
4 2 5 0 3 1 
3 5 1 2 0 4 
5 3 0 4 1 2 
2 4 3 1 5 0 
1 0 4 5 2 3 

Итак, есть горизонтально симметричные и вертикально симметричные ДЛК.
Тут - как лучше говорить? Я бы предпочла вертикально симметричным называть ДЛК симметричный относительно вертикальной оси симметрии квадрата, а горизонтально симметричным - симметричный относительно горизонтальной оси симметрии квадрата.
То есть вертикально симметричный ДЛК в моём понимании этот:

0 1 2 3 4 5 
4 2 0 5 3 1 
5 4 3 2 1 0 
2 5 4 1 0 3 
3 0 1 4 5 2 
1 3 5 0 2 4 

а горизонтально симметричный этот:

0 1 2 3 4 5 
4 2 5 0 3 1 
3 5 1 2 0 4 
5 3 0 4 1 2 
2 4 3 1 5 0 
1 0 4 5 2 3 

Но от перестановки этих двух ДЛК суть дела не меняется: ДЛК всё равно два и два вида симметрии.

Размышляю дальше.
Как связаны между собой вертикально симметричные и горизонтально симметричные ДЛК?
Если мы повернём вертикально симметричный ДЛК на 90 градусов, мы ведь получим горизонтально симметричный ДЛК.
Вот пример. Беру вертикально симметричный ДЛК 18-го порядка, построенный мной



поворачиваю его на 90 градусов по часовой стрелке (можно и против часовой стрелки повернуть) и получаю горизонтально симметричный ДЛК



Только этот ДЛК не нормализованный. Нормализовать не проблема, сейчас нормализую.

Вопрос такой: верно ли, что каждому вертикально симметричному ДЛК соответствует один и точно один горизонтально симметричный ДЛК?
Если это так, то никаких разных вертикально симметричных и горизонтально симметричных ДЛК нет, а есть ровно столько же горизонтально симметричных, сколько и вертикально симметричных, и между ними взаимно-однозначное соответствие. Более того: вертикально симметричный ДЛК изоморфен соответствующему горизонтально симметричному ДЛК, так как они получаются друг из друга эквивалентным преобразованием (поворот на 90 градусов); ну и если надо нормализовать ДЛК – переобозначение элементов.

Из сообщений Белышева я поняла, что количество вертикально симметричных ДЛК равно количеству горизонтально симметричных ДЛК.
И если в статье OEIS указывать и те, и другие, то количества должны быть умножены на 2. А если указывать только вертикально симметричные ДЛК, тогда количества будут правильные.

P.S. Кстати, ответа от Ватутина на форуме boinc.ru я больше не видела по поводу сообщения Белышева о данной последовательности OEIS.
Может быть, они утрясли этот вопрос в личной переписке (?).
Если так, не мешало бы и общественность поставить в известность.
Ну, а насчёт последовательности https://oeis.org/A287650 будет ответ или нет?
В этой статье OEIS с определением дважды симметричных ДЛК о-ч-е-н-ь большие непонятки. Может, разъяснят всё-таки, как это определение правильно понимать?

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Только этот ДЛК не нормализованный. Нормализовать не проблема, сейчас нормализую.

Нормализовала



Вы видите на этой иллюстрации нормализованный горизонтально симметричный ДЛК 18-го порядка (симметрия элементов относительно горизонтальной оси симметрии квадрата).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Наконец-то! Долгожданный ответ от Э. Ватутина о дважды симметричных ДЛК получен:

В связи с прояснением (у меня в голове smile ) понимания того, что такое симметрия в ДЛК, число дважды симметричных ДЛК порядка 8 было перечитано и составило 12288, то же самое значение недавно получил whitefox. Избыток квадратов по сравнению с предыдущим значением составляют ДЛК, у которых соответствие по вертикали работает в одну сторону (значению X из верхней половины ДЛК соответствует Y из нижней, но Y-ку из верхней половины X из нижней не соответствует). Данное "одностороннее" соответствие не дает симметричной структуры трансверсалей, а значит не интересно, оно было исключено из рассмотрения, что и дало приведенное выше уменьшенное значение

PS. Кто там до whitefox'а проверял мое прошлое значение и подтвердил его...

отсюда
http://forum.boinc.ru/default.aspx?g=posts&m=89332#post89332

Теперь осталось исправить статью в OEIS, точнее две статьи.

Что касается проверки результата для дважды симметричных ДЛК 8-го порядка.
Не знаю, на что Ватутин намекает в своём сообщении (см. цитату).
Я проверяла этот результат по своей программе и подтвердила его; программа у меня написана в точном соответствии с приведённым в статье OEIS примером дважды симметричного ДЛК 8-го порядка. Как теперь выяснилось ("прояснилось") это неправильный пример. А посему и результат (количество дважды симметричных ДЛК 8-го порядка) получен неправильный.
Правильный результат у Белышева (whitefox).

Далее, моя программа не нашла ни одного дважды симметричного ДЛК 10-го порядка (ни по какому определению). Как доказал Белышев, таких ДЛК и не существует.
Написала я программу и для дважды симметричных ДЛК 12-го порядка. Но выполнить её полностью на моём ПК проблематично. Миллион дважды симметричных ДЛК программа находит без проблем. Выше показан дважды симметричный ДЛК 12-го порядка, найденный по моей программе. Причём все первые ДЛК программа выдаёт в смысле определения Белышева, то есть они действительно дважды симметричные.
Неправильные дважды симметричные ДЛК (в смысле определения Ватутина) должны пойти дальше.

Белышев выложил вчера на форуме boinc.ru определения симметричных и дважды симметричных ДЛК.
Пока пытаюсь осмыслить все определения.

PS. Посмотрела статью в OEIS о дважды симметричных ДЛК с фиксированной первой строкой
https://oeis.org/A287650

Пока не изменена. Может быть, в процессе изменения находится.
Хм... посмотрела историю статьи. Статью правили в конце сентября. Добавлена ссылка. Вроде бы чуть изменён комментарий к примеру:

In the horizontal direction there is a one-to-one correspondence between elements 0 and 7, 1 and 6, 2 and 5, 3 and 4. In the vertical direction there is also a correspondence between elements 0 and 1, 1 and 4, 2 and 0, 3 and 5, etc.

Но... пример тот же и суть не изменилась. В строках имеется взаимно-однозначное соответствие элементов, а в столбцах нет взаимно-однозначного соответствия элементов.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

У меня в домашнем ящике была дискуссия о дважды симметричных ДЛК с коллегами.
20 июня с. г. я писала:

Hello, dear colleagues!

Look here please
https://oeis.org/A287650

Is it right to consider this DLS of order 8 as double symmetric DLS?

0 1 2 3 4 5 6 7
6 2 3 7 0 4 5 1
4 5 1 0 7 6 2 3
5 6 7 4 3 0 1 2
7 3 6 2 5 1 4 0
2 7 4 1 6 3 0 5
3 0 5 6 1 2 7 4
1 4 0 5 2 7 3 6

I think that a more logical example of double symmetric DLS of order 8:

0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5
6 7 4 5 2 3 0 1
4 5 6 7 0 1 2 3
5 4 7 6 1 0 3 2
7 6 5 4 3 2 1 0
3 2 1 0 7 6 5 4
1 0 3 2 5 4 7 6

Can you tell me where to find the definition of double symmetric DLS?

Таким образом, пример дважды симметричного ДЛК 8-го порядка в OEIS у меня сразу вызвал подозрение в его правильности.
Но коллеги мне определение не прислали. Более того, один коллега (Francis Gaspalou) написал, что вполне понимает пример, приведённый в OEIS.
Цитирую письмо этого коллеги:

Dear Natalia, dear friends,

For me the definition of the OIES page is clear:
-we have an axially symmetry for the horizontal rows
-for the columns, we have a permutation on the digits 0 to 9 which is defined by the numbers in the first row and in the 10th row.

I made a backtracking program for searching the Double symmetric DLS with 0,1,2,...,9 on the first row.
It is a program in C with 25 parameters (25 imbricated loops).
Unfortunately, the program gives 0 solution! There is no Double symmetric DLS with the above definition.
I can build the 12 first parameters, but there is no solution on and after the 13th parameter

See details hereafter.

Best regards
Francis

Он пишет, как я поняла, что ему тоже не удалось построить дважды симметричный ДЛК 10-го порядка даже и в смысле примера, приведённого в OEIS.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Белышев выложил вчера на форуме boinc.ru определения симметричных и дважды симметричных ДЛК.
Пока пытаюсь осмыслить все определения.

Итак, будем постепенно осмысливать определения Белышева.

Определение 1. Нормализованный ДЛК будем называть симметричным по citerra если все его строки являются М-перестановками.

Здесь под М-перестановкой понимается перестановка P чисел {0,1,...,N-1} со свойством:
P(i) + P(N-1 - i) = N-1
для всех i принадлежащих [0, N-1] (элементы перестановки нумеруем с нуля).

(М от магический так как каждая М-перестановка определяет ровно одно эквивалентное преобразование магического квадрата — соответствующее М-преобразованием).

Ну, не по citerra, конечно же! По Брауну.

В посте
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=260730#p260730
читаем

А я сейчас с головой ушла в программу построения пары ОДЛК. Не могу ни на что отвлекаться. Программа большая, надо быть внимательной.
Взяла в качестве исходного ДЛК квадрат из группы Брауна (1992 год)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 9 8 1 0 5 6 7
3 4 9 8 2 7 1 0 5 6
8 7 6 5 0 9 4 3 2 1
5 0 1 7 6 3 2 8 9 4
6 5 0 1 7 2 8 9 4 3
4 9 8 2 3 6 7 1 0 5
7 6 5 0 1 8 9 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8

Вот он - симметричный ДЛК Брауна. Только в оригинале этот ДЛК был не такой, а вот такой

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

И симметричность в этом ДЛК не видна.
Я нормализовала оригинальный ДЛК Брауна. И вот в нормализованном ДЛК симметричность стала очень хорошо видна.

В следующем посте Avgust написал:

Обратили ли Вы внимание, что в ДЛГ Брауна есть четкая закономерность: ассоциативность относительно вертикальной оси симметрии? Сумма всегда равна 9.

Отсюда и начались симметричные ДЛК. Так что, citerra тут абсолютно ни при чём.

Историю вспомнили. Возвращаемся к определению. Определение вроде понятное.
Пока хватит :) Дальше осмысливаю, но пока не вслух.

PS. Да, вот вспомнила одну поправку: я бы написала так в этом определении:
"Нормализованный ДЛК чётного порядка N будем называть симметричным по Брауну ... "

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Кстати, показанному ДЛК Брауна соответствует такая КФ второго формата (для СН ДЛК)

0 3 5 7 6 4 9 8 2 1
9 1 6 8 3 2 5 4 0 7
5 7 2 6 1 0 4 3 9 8
6 8 1 3 7 9 2 0 5 4
1 2 8 9 4 6 7 5 3 0
3 4 7 0 8 5 1 9 6 2
8 9 3 4 0 1 6 2 7 5
2 6 9 1 5 8 0 7 4 3
4 5 0 2 9 7 3 1 8 6
7 0 4 5 2 3 8 6 1 9

КФ принадлежит линейке №6, которой принадлежат все "брауны".

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В следующем посте Avgust написал:

Обратили ли Вы внимание, что в ДЛГ Брауна есть четкая закономерность: ассоциативность относительно вертикальной оси симметрии? Сумма всегда равна 9.

Показываю картинку из указанного поста Avgust



На картинке хорошо видна вертикальная симметрия, то есть симметрия относительно вертикальной оси симметрии ДЛК.
Поскольку дальше появляются ещё горизонтально симметричные ДЛК, определим тут сразу, что вертикально симметричный ДЛК по Брауну - это симметричный ДЛК в смысле определения 1.

О горизонтально симметричных ДЛК позже.
Сейчас разберёмся с нормализацией.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

В посте
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?p=260730#p260730
читаем

А я сейчас с головой ушла в программу построения пары ОДЛК. Не могу ни на что отвлекаться. Программа большая, надо быть внимательной.
Взяла в качестве исходного ДЛК квадрат из группы Брауна (1992 год)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 9 8 1 0 5 6 7
3 4 9 8 2 7 1 0 5 6
8 7 6 5 0 9 4 3 2 1
5 0 1 7 6 3 2 8 9 4
6 5 0 1 7 2 8 9 4 3
4 9 8 2 3 6 7 1 0 5
7 6 5 0 1 8 9 4 3 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8

Вот он - симметричный ДЛК Брауна. Только в оригинале этот ДЛК был не такой, а вот такой

0 8 5 1 7 3 4 6 9 2
5 1 7 2 9 8 0 3 4 6
1 7 2 9 5 6 8 0 3 4
9 6 4 3 0 2 7 1 5 8
3 0 8 6 4 1 5 9 2 7
4 3 0 8 6 5 9 2 7 1
7 2 9 5 1 4 6 8 0 3
6 4 3 0 8 9 2 7 1 5
2 9 6 4 3 7 1 5 8 0
8 5 1 7 2 0 3 4 6 9

И симметричность в этом ДЛК не видна.
Я нормализовала оригинальный ДЛК Брауна. И вот в нормализованном ДЛК симметричность стала очень хорошо видна.

Итак, в оригинальном ДЛК Брауна симметричность не видна. Но она, конечно же, есть.

И Белышев даёт

Определение 2.1. Будем называть ДЛК вертикально симметричным, если после нормализации все его строки становятся М-перестановками.

Правильно. Нормализовала я оригинальный ДЛК Брауна и он стал симметричным в смысле определения 1 (то есть все его строки стали М-перестановками).

Таким образом, привязывать понятие вертикально симметричного ДЛК к нормализации совсем не обязательно.
Тут надо заметить, что симметричность не нормализованного ДЛК легко увидеть, исходя из определения Ватутина о взаимно-однозначном соответствии симметричных элементов.
Посмотрите ещё раз на оригинальный ДЛК Брауна. Взаимно-однозначное соответствие элементов, симметричных относительно вертикальной оси симметрии квадрата, в этом ДЛК налицо.

Вот мой пример вертикально симметричного не нормализованного ДЛК 18-го порядка



Далее я нормализовала этот ДЛК и получила всё в точном соответствии с определением 1.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Размышляю дальше.
Как связаны между собой вертикально симметричные и горизонтально симметричные ДЛК?
Если мы повернём вертикально симметричный ДЛК на 90 градусов, мы ведь получим горизонтально симметричный ДЛК.
Вот пример. Беру вертикально симметричный ДЛК 18-го порядка, построенный мной



поворачиваю его на 90 градусов по часовой стрелке (можно и против часовой стрелки повернуть) и получаю горизонтально симметричный ДЛК

Белышев даёт такое определение горизонтально симметричного ДЛК

Определение 2.2. Будем называть ДЛК горизонтально симметричным, если после транспонирования он становится вертикально симметричным.

Можно, конечно, и через транспонирование определить.
Ну, а поворот на 90 градусов - чем плохое определение? Почти то же самое транспонирование, но быстрее и понятнее.
Наглядный пример привела.
Поскольку горизонтально симметричный ДЛК получается из вертикально симметричного ДЛК эквивалентным преобразованием и между этими двумя симметриями ДЛК есть взаимно-однозначное соответствие, то, на мой взгляд, горизонтально симметричные ДЛК не представляют самостоятельного интереса для исследования симметричных ДЛК.
Достаточно вертикально симметричных (или же - симметричных) ДЛК в смысле определения 1 или 2.1.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

А как же тогда определить дважды симметричный ДЛК?
Да очень просто.

Определение: симметричный ДЛК чётного порядка будем называть дважды симметричным, если при повороте на 90 градусов (в любом направлении) он даёт симметричный ДЛК.

Посмотрите на пример в предыдущем посте. Очевидно, что повёрнутый на 90 градусов симметричный ДЛК 18-го порядка симметричным не является. А потому этот ДЛК и не является дважды симметричным.

А теперь посмотрим на симметричный ДЛК 12-го порядка



Поверните этот симметричный ДЛК на 90 градусов, вы получите симметричный ДЛК.
Поэтому данный ДЛК является дважды симметричным.

Вот и всё. И не надо никакой горизонтальной симметрии.

Далее я пока не осмыслила определения Белышева.
Там ещё введено понятие симметричного набора, что, как я понимаю, должно заменить понятие взаимно-однозначного соответствия симметричных элементов.
Ну, мне, например, понятно, что такое взаимно-однозначное соответствие симметричных элементов.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Определение. Симметричный ДЛК чётного порядка N будем называть "брауном", если он состоит из N/2 пар инверсированных строк.

Термин "браун" произошёл от автора первого подобного ДЛК 10-го порядка Брауна, вот этот классический "браун"

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 3 4 9 8 1 0 5 6 7 
3 4 9 8 2 7 1 0 5 6 
8 7 6 5 0 9 4 3 2 1 
5 0 1 7 6 3 2 8 9 4 
6 5 0 1 7 2 8 9 4 3 
4 9 8 2 3 6 7 1 0 5 
7 6 5 0 1 8 9 4 3 2 
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 
1 2 3 4 9 0 5 6 7 8

Пример "брауна" 20-го порядка, построен мной методом Гергели



PS. Лат. inversio — перестановка, переворачивание.
У нас - именно переворачивание или зеркальное отражение.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Очевидно, что в общем случае "брауны" не являются дважды симметричными ДЛК.
Но есть и такие "брауны", которые являются дважды симметричными ДЛК.

Пример (повторю, чтобы не отсылать по ссылке)



Если мне не изменяют глаза, этот дважды симметричный ДЛК 32-го порядка является "брауном".
ДЛК построен мной методом составных квадратов.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Посмотрела в почте дискуссию группы коллег о дважды симметричных ДЛК.
Там я посылала им полученные по моей программе 15780 дважды симметричных ДЛК 8-го порядка (если генерировать их в соответствии с примером в статье OEIS) и ещё миллион дважды симметричных ДЛК 12-го порядка - тоже по моей программе.
Вот последние три дважды симметричных ДЛК 12-го порядка из файла, который отправила коллегам

. . . . . . . . . . . . 
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9 
 4  8  6  11  1  2  9  10  0  5  3  7 
 7  11  8  5  2  1  10  9  6  3  0  4 
 11  7  10  6  8  9  2  3  5  1  4  0 
 9  4  5  8  10  11  0  1  3  6  7  2 
 8  5  4  9  11  10  1  0  2  7  6  3 
 10  6  11  7  9  8  3  2  4  0  5  1 
 6  10  9  4  3  0  11  8  7  2  1  5 
 5  9  7  10  0  3  8  11  1  4  2  6 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9 
 4  8  6  11  1  2  9  10  0  5  3  7 
 7  11  8  5  2  1  10  9  6  3  0  4 
 11  7  10  6  8  9  2  3  5  1  4  0 
 9  5  4  8  10  11  0  1  3  7  6  2 
 8  4  5  9  11  10  1  0  2  6  7  3 
 10  6  11  7  9  8  3  2  4  0  5  1 
 6  10  9  4  3  0  11  8  7  2  1  5 
 5  9  7  10  0  3  8  11  1  4  2  6 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10 

 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 
 2  3  0  1  6  7  4  5  10  11  8  9 
 4  8  6  11  1  2  9  10  0  5  3  7 
 7  11  8  5  2  10  1  9  6  3  0  4 
 8  4  5  9  11  1  10  0  2  6  7  3 
 10  6  11  7  9  8  3  2  4  0  5  1 
 11  7  10  6  8  9  2  3  5  1  4  0 
 9  5  4  8  10  0  11  1  3  7  6  2 
 6  10  9  4  3  11  0  8  7  2  1  5 
 5  9  7  10  0  3  8  11  1  4  2  6 
 3  2  1  0  7  6  5  4  11  10  9  8 
 1  0  3  2  5  4  7  6  9  8  11  10 

SGENERIROVANO KVADRATOV 1000000 

_______________________________

Makarova Natalia
1.07.2017

Миллион дважды симметричных ДЛК 12-го порядка программа находит быстро.
А всего их будет... очень много :)

Сейчас хочу разобраться с дважды симметричными ДЛК 8-го порядка и найти их все в соответствии с правильным определением.
Их должно быть 12288. Из найденных мной 15780 симметричных ДЛК должны выброситься 3492 ДЛК - не дважды симметричных.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Косяк я сделала в программе очень хороший. Вчера целый день пыталась понять, в чём ошибка, но так и не поняла. Редчайший косяк!
Тогда бросила эту программу и сделала так: взяла массив решений из 15780 якобы дважды симметричных ДЛК 8-го порядка, написала программку для выбрасывания неправильных решений, скормила программке массив решений, на выходе получила 12288 правильных дважды симметричных ДЛК 8-го порядка.
Показываю начало и конец массива из 12288 ДЛК.

Дважды симметричные нормализованные ДЛК 8-го порядка

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 4  5  7  6  1  0  2  3 
 6  7  5  4  3  2  0  1 
 7  6  4  5  2  3  1  0 
 5  4  6  7  0  1  3  2 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 4  5  7  6  1  0  2  3 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 5  4  6  7  0  1  3  2 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 5  4  7  6  1  0  3  2 
 6  7  5  4  3  2  0  1 
 7  6  4  5  2  3  1  0 
 4  5  6  7  0  1  2  3 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 5  4  7  6  1  0  3  2 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 4  5  6  7  0  1  2  3 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 2  3  0  1  6  7  4  5 
 6  7  4  5  2  3  0  1 
 4  5  6  7  0  1  2  3 
 5  4  7  6  1  0  3  2 
 7  6  5  4  3  2  1  0 
 3  2  1  0  7  6  5  4 
 1  0  3  2  5  4  7  6 
. . . . . . . . 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  0  3  6  1  4  7  2 
 4  2  1  7  0  6  5  3 
 2  4  7  1  6  0  3  5 
 3  6  5  0  7  2  1  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  0  7  4  1  2 
 2  4  1  7  0  6  3  5 
 4  2  7  1  6  0  5  3 
 3  0  5  6  1  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  0  7  4  1  2 
 4  2  1  7  0  6  5  3 
 2  4  7  1  6  0  3  5 
 3  0  5  6  1  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  7  0  4  1  2 
 2  4  7  6  1  0  3  5 
 4  2  1  0  7  6  5  3 
 3  0  5  1  6  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

 0  1  2  3  4  5  6  7 
 7  5  6  4  3  1  2  0 
 5  6  3  7  0  4  1  2 
 4  2  7  6  1  0  5  3 
 2  4  1  0  7  6  3  5 
 3  0  5  1  6  2  7  4 
 1  3  0  2  5  7  4  6 
 6  7  4  5  2  3  0  1 

SGENERIROVANO KVADRATOV 12288 

Уф! Вроде теперь всё правильно. Сейчас выложу этот массив на Яндекс.Диск.

Вот ссылка для скачивания этого массива дважды симметричных нормализованных ДЛК 8-порядка
https://yadi.sk/d/mQPO2Rh33NgfWw

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Progger
можно уже прикинуть процесс подсчёта нормализованных дважды симметричных ДЛК 12-го порядка.
С определением вроде разобрались.
Я думаю, это не очень трудоёмкая задача для BOINC.
Вот немного справитесь с делами и можно подумать над этой задачкой :)

Эх... у нас ведь ещё одна задача висит - тотальная проверка всех симметричных ДЛК 10-го порядка на ОДЛК (по новой программе Белышева). Эта задача, конечно, важнее, должна идти вперёд (на мой взгляд).

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Статья в OEIS https://oeis.org/A287649 исправлена.
Теперь она называется так:
Number of horizontally symmetric diagonal Latin squares of order 2n with constant first row.

Цитирую статью:

EXAMPLE
Horizontally symmetric diagonal Latin square:
0 1 2 3 4 5
4 2 0 5 3 1
5 4 3 2 1 0
2 5 4 1 0 3
3 0 1 4 5 2
1 3 5 0 2 4
Vertically symmetric diagonal Latin square:
0 1 2 3 4 5
4 2 5 0 3 1
3 5 1 2 0 4
5 3 0 4 1 2
2 4 3 1 5 0
1 0 4 5 2 3

Или я стою на голове, или тут всё с точностью до наоборот.
Смотрите выше определения Белышева.

Статья OEIS
https://oeis.org/A287650
находится в правке.

PS. Покажу ещё раз классический вертикально симметричный ДЛК 10-го порядка Брауна



Как мне кажется, этот ДЛК вертикально симметричный в соответствии с определением Белышева.
Сравните с вертикально симметричным ДЛК 6-го порядка, приведённым в статье OEIS.

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg

Дискуссия в процессе правки статьи OEIS https://oeis.org/draft/A287650

Mon Oct 09 04:15 Eduard I. Vatutin: Previous value a(4) was wrong due to inaccurate definition of one plane symmetry property

04:20 Michel Marcus: Can you sign your new comment.
04:53 Eduard I. Vatutin: Your question is not clear to me. You suggest adding the information like "a(4) was corrected by Eduard I. Vatutin Oktober 9 2017"?

05:27 Eduard I. Vatutin: I understood your suggestion by viewing different sequences :), comments was signed

11:11 N. J. A. Sloane: "double symmetric" should be "doubly symmetric"

13:14 Eduard I. Vatutin: Changed to doubly

Wed Oct 11 10:22 Andrey Zabolotskiy: Eduard, are my changes OK? By the way, does a(n) equal 0 for all odd n?

Thu Oct 12 02:42 Eduard I. Vatutin: Andrey, yes, you can say so. All odd members are equal 0, it is property of Latin squares, diagonal Latin squares are special case of general Latin squares

05:02 Andrey Zabolotskiy: So we have just two non-trivial terms. Ok, but keyword "bref" then.

13:58 Andrey Zabolotskiy: Regarding the index: I'd prefer a new category, not because diagonal L. sq. are somehow especially fundamental, but simply for readers' convenience. Don't forget to move there entries added by me.

Вот это интересный момент:

Andrey Zabolotskiy: By the way, does a(n) equal 0 for all odd n?
Eduard I. Vatutin: Andrey, yes, you can say so. All odd members are equal 0, it is property of Latin squares, diagonal Latin squares are special case of general Latin squares

Нет, это не "можно так сказать", а этот факт надо доказать. И Белышев его уже доказал.
Дважды симметричные ДЛК существуют только для порядков N = 4k, k = 1, 2, 3, ...
Причём это не свойство всех латинских квадратов, как утверждает Ватутин.
Вот пример дважды симметричного ЛК 10-го порядка (нижний квадрат на иллюстрации), ЛК построен мной вручную

---

My new article "SOLS and SODLS"
in Russian https://yadi.sk/d/nvdI6TgBrKv72A
in English https://yadi.sk/d/VeY9bx6_q6CcZg